Phép quay quanh một điểm trong e2

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toán tập hợp điểm, bài toán tính toán, … Tuy

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với học sinh, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác

Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học không gian

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toán tập hợp điểm, bài toán tính toán, … Tuy nhiên, việc vận dụng phép quay quanh một điểm trong để giải các bài toán hình học không phải là việc dễ dàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh

Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp, em xin được trình bày những kiến thức cơ bản về phép quay quanh một điểm trong và ứng dụng của

nó đối với việc giải các bài toán trong hình học phẳng và hình học không gian

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

1) Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay

2)Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc giải bốn lớp bài tập hình học: bài toán chứng minh, bài toán dựng hình, bài toán tìm tập hợp điểm, bài toán tính toán

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí Toán học , các bài giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu và các kiến thức thực hành

B NỘI DUNG Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1.1 Khái niệm về phép biến hình

a) Cho hai tập hợp điểm T và T ta gọi là một song ánh từ T vào 

 hoàn toàn xác định của T sao cho :

(i) Nếu  và  là hai điểm phân biệt của T thì  và  là hai điểm phân biệt của  T thì  (Khi đó ta nói  là đơn ánh) (ii) Với  T thì bao giờ cũng có một điểm T sao cho

 (Khi đó ta nói  là toàn ánh)

Điểm  được gọi là ảnh, hay điểm tương ứng hoặc hình biến đổi của của điểm  qua ánh xạ  Ngược lại, điểm  được gọi là tạo ảnh của điểm    qua ánh xạ 

Nếu  thì ta còn nói rằng ánh xạ  (ở đây là một song ánh) biến điểm  của T thành điểm  của T

b) Khi hai tập hợp điểm T và T là đồng nhất, cũng có nghĩa là trùng nhau, ký hiệu T T , ta nói rằng  là một phép biến hình trong T (hay từ T vào chính nó)

Như vậy, ta có thể định nghĩa một phép biến hình trên đường thẳng, trong mặt phẳng hay trong không gian tùy theo T là tập các điểm của một

đường thẳng  nào đó trong mặt phẳng, hay T là tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng  hay T là tập hợp tất cả các điểm của không gian 

Thậm chí, T có thể là tập hợp tất cả các điểm của một hình H nào đó là một bộ phận ( tập con ) của một đường thẳng  , hay một bộ phận của một mặt phẳng (  ), hay một bộ phận của không gian

Kí hiệu H , H hay H 

Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1( Định nghĩa phép biến hình )

Một song ánh  hoặc  từ tập các điểm của đường thẳng  hay của mặt phẳng  lên chính nó được gọi là một phép biến hình trên đường thẳng  hay của mặt phẳng 

Như vậy, chẳng hạn cho một phép biến hình của mặt phẳng

   là cho một quy tắc để với mọi điểm của (P) ta tìm được một điểm M    hoàn toàn xác định, thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i) Nếu  và  đều thuộc (P), M  N thì  và  đều thuộc (P),   

(ii)  thì tồn tại duy nhất điểm   sao cho    Nếu H là một hình nào đó của (P) thì ta có thể xác định được tập hợp điểm H  H    HH là một hình phẳng được gọi là ảnh hay hình biến đổi, hoặc hình tương ứng của hình H qua phép biến hình  ; ngược lại, hình H được gọi là tạo ảnh (hay hình nguyên của hình H qua phép biến hình 

Chú thích 1.1

Phép biến hình định nghĩa như trên còn được gọi một cách chính xác hơn

là phép biến hình điểm ( vì nó biến đổi điểm thành điểm)

Hai phép biến hình điểm  và  là tương đương nếu với mọi điểm M của T đều có cùng một ảnh trong T   T suy ra      , ta viết   

1.2 Phép biến đổi 1 – 1 và phéo biến đổi ngược

Giả sử  là phép biến đổi biến điểm M thành M Đương nhiên có thể

có nhiều điểm  có cùng một ảnh  qua phép biến đổi đó

Chẳng hạn, phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng; nếu  là hình chiếu của  trên một đường thẳng d thì ngoài  còn có vô số các điểm khác  có cùng hình chiếu   Nếu  chỉ ứng với điểm  duy nhất thì

ta nói  là phép biến đổi 1 – 1

Định nghĩa 1.2.1

 là phép biến đổi 1 – 1 nếu mọi ảnh  của  qua phép biến đổi đó ứng với duy nhất điểm 

Định nghĩa 1.2.2

Nếu  là phép biến đổi 1 – 1 biến M thành 

   thì tồn tại một phép biến đổi biến  thành điểm M

Phép biến đổi như vậy gọi là phép biến đổi ngược của 

Cho tập hợp điểm H và phép biến đổi  Nếu ảnh của mọi điểm thuộc

H qua phép biến đổi đã cho cũng thuộc H thì được gọi là tập hợp bất biến

Ta nói điểm  bất động qua phép biến đổi  nếu    Tập hợp điểm H được gọi là bất động qua  nếu H gồm toàn thể các điểm bất động qua 

Chẳng hạn trục đối xứng là đường thẳng bất động qua phép đối xứng với trục đó

1.4 Hai phép biến đổi trùng nhau

Cho hai phép biến đổi  và g xác định trên toàn mặt phẳng Ta nói 

và g trùng nhau hoặc g và  chỉ là một nếu ảnh của mọi điểm  qua hai phép biến đổi đó trùng nhau

Tức là   g

Rõ ràng  là một phép biến đổi đồng nhất nếu mọi điểm thuộc mặt phẳng là điểm bất động của  , nghĩa là    , 

1.5.Tích của hai phép biến hình

Cho hai phép biến hình  và g Với mỗi điểm M, giả sử    và

2 PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM

2.1.Góc định hướng giữa hai tia

Trong hình học, hình tạo bởi hai tia Ox và Oy được gọi là góc tạo bởi hai tia đó và được kí hiệu bởixOy Số đo của góc xOy nằm trong khoảng từ

0o đến 180o ( hoặc từ 0 đến  radian )

Nếu thứ tự của hai cạnh góc xOy được xét đến, tức là hai góc xOy và yOx khác nhau thì ta nói xOy đã được định hướng và được kí hiệu bởi ( Ox;Oy ) Trong đó, Ox là cạnh đầu và Oy là cạnh cuối của góc

- Giá trị của góc định hướng không phải là duy nhất,ta quy ước giá trị đó

âm hay dương là tùy theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương của mặt phẳng

 và  nằm cùng phía đối với đường thẳng  Hai góc đó được gọi là ngược hướng khi và chỉ khi  và  nằm khác phía đối với đường thẳng 

Hệ thức Chasles:

Nếu (Ox Oy) = y Oz) =Ox Oz) =  thì      , tức là:

x ; Oy) + (Oy ; Oz) = (Ox ; Oz)



Góc định hướng giữa hai tia khác gốc:

Cho hai tia Ax và By có các gốc A, B khác nhau Lấy một điểm O tùy

ý và gọi Ox,Oy là hai tia theo thứ tự cùng hướng với Ax, By Khi đó ta nói góc định hướng tạo bởi Ox và Oy bằng góc định hướng tạo bởi hai tia

Ax và By và viết :

(Ax ; By) = (Ox ; Oy)

Rõ ràng, nếu Ax / / By thì (Ax ; By) = 0 (mod 

hoặc : (Ax ; By) = ± ( mod 2 

2.2 Phép quay quanh một điểm

a) Định nghĩa 2.2.1

Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho một điểm  và góc định hướng  Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  là phép biến hình biến  thành  và biến mỗi điểm  khác  thành

điểm  sao cho:

   

Vậy Q là phép dời hình (đpcm)

(iv) Phép quay Q biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng

- Biến tia Sx thành tia S x  và góc tạo bởi hai tia đó bằng 

- Biến đoạn PQ thành đoạn P Q  và PQ = P Q 

- Biến góc xSy thành góc x S y   và hai góc xSy = x S y  

- Biến đường tròn R) thành đường tròn (I R)

(v) Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay Chứng minh:

Xét hai phép quay Q(O; và Q(O 

*TH2: OO

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E2 VÀO

VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Cũng như các phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu nhất để giải các bài toán hình học

Để giải một bài toán bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau:

- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các phép quay riêng biệt dễ quan sát

- Những bài toán hình học mà trong các giả thiết xuất hiện các yếu tố góc đặc biệt như góc: 90o,30o,60o,…và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giác cân, tam giác đều, hình thoi, hình vuông,…thường gợi ý cho ta ý tưởng dùng phép quay để giải

Cụ thể:

1 Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán chứng minh

1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh có dạng AB, trong đó:

A là giả thiết, bao gồm:

+) Những yếu tố đã cho như : điểm, đường thẳng, đường tròn,…

+) Những quan hệ đã biết: liên thuộc, song song, vuông góc,…

+) Những yếu tố về lượng : độ dài, góc,…

B là kết luận cần được khẳng định là đúng

“  ’’ là những suy luận hợp logic dựa trên các giả thiết có mặt

trong A , các định nghĩa, định lí, …để khẳng định B đúng

1.2 Giải bài toán chứng minh sử dụng phép biến hình

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một

phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép biến hình đó ta có thể nhận được các kết quả về:

- Tính đồng qui hay tính thẳng hàng

- Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc

- Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau

- Các tam giác, các đường tròn bằng nhau,…

Giúp ta suy ra điều cần chứng minh

Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa đến các kết quả trên

Ta có thể đổi bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề “ A B”

thành mệnh đề “ A   ” bằng cách chuyển A thành A và B thành B qua B

một phép biến hình Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ tính chất 1 –

1 và tính chất bất biến của phép biến hình đã sử dụng ( cụ thể là phép quay ) để suy ra tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu

Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen gọi là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến với những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được điều cần chứng minh

Thực chất công việc này là dựng ảnh của điểm hay của đường qua phép biến hình nào đó

1.3 Một số ví dụ:

*Ví dụ 1:

Cho hình vuông ABCD Một

đường thẳng d cắt các đường thẳng AB

và CD tương ứng tại các điểm M N ,

Một đường thẳng d vuông góc với d

cắt các đường thẳng AD và BC tương

ứng tại các điểm P và Q Chứng minh rằng MN PQ

Giải

Ta gọi O là tâm hình vuông

Phép quay Q O ( ,90 ) B :  A A, D Do đó, biến đường thẳng BA thành đường thẳng AD và biến M thành M  , biến N thành N Cũng qua phép quay đó, biến C thành B ; biến D thành C , do đó đường thẳng CD biến thành đường thẳng BC và N biến thành N Theo tínhchất của phép

Cho hình vuông ABCD và một điểm M bất kỳ Kí hiệu x là đường

thẳng đi qua A vuông góc với MB ; y là đường thẳng đi qua B vuông góc

với MC ; z là đường thẳng đi qua C vuông góc với MD ; d là đường thẳng

đi qua D vuông góc với MA

A B C D phải là một hoán vị của bốn đỉnh đó

Khi đó, tâm O của hình vuông ABCD phải biến thành điểm cách đều cả

bốn đỉnh , , ,A B C D , tức là biến thành O

Vậy O phải là điểm bất động của phép quay cần tìm

Khi góc quay  , do cạnh góc vuông phải biến thành cạnh góc vuông 0

nên  chỉ có thể là  ,

2

, hoặc

2



 (modulo 2) Phép quay Q( ; )O là phép đối xứng tâm O biến 4 đỉnh , , , A B C D theo thứ tự thành , , ,C D A B

A B C D theo thứ tự thành , , ,D A B C

Vậy có tất cả bốn phép quay ( kể cả biến đổi đồng nhất ) biến hình vuông

ABCD thành chính nó (đpcm)

* Ví dụ 4:

Trên các cạnh AB CD của tứ giác lồi ABCD và về phía ngoài tứ giác ta ,

dựng các tam giác đều ABM và CDN Trên các cạnh BC DA và về phía ,

trong tứ giác ta dựng các tam giác đều BCP và ADQ Chứng minh rằng

MPNQ

Giải

Phép quay tâm B với góc quay 60  biến điểm M thành điểm A , điểm

P thành điểm C , khi đó MPAC Phép quay tâm D với góc quay 60 

biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C , khi đó QN  AC Từ

các kết quả trên ta suy ra MPNQ

', ' ,' 135

KB  LC  MA Gọi D E, theo thứ tự giao điểm

của AL với CK và BM ; F là giao điểm của BM và CK Chứng minh tam

giác EFD là tam giác đều

Giải

Dễ thấy AK BLCM

Gọi O là tâm của tam giác đều

Thực hiện phép quay tâm O , góc quay 120 , theo chiều ngược với chiều

1.4 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép biến hình

Nếu mệnh đề AB đã được khẳng định nhờ sử dụng phép biến hình

thì cũng có thể dùng phép biến hình đó để xét mệnh đề đảo B A hay mệnh

đề đảo bộ phận của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới

Từ một mệnh đề đã chứng minh được, có thể dùng những phép biến hình để

chuyển mệnh đề đó thành mệnh đề mới : A B khi đó ta được một bài toán

mới Cũng có thể sử dụng phép biến hình để phát biểu lại một vài điều kiện của

giả thiết A hoặc kết luận B để nhận được bài toán mới

Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay là chọn phép quay cho phù hợp để tìm ra lời giải của bài toán

2 Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán quỹ tích

2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm ( còn gọi là một hình )

có tính chất  cho trước

Quỹ tích các điểm M có tính chất  cho trước có thể là một tập rỗng, tập hữu hạn hoặc tập vô hạn điểm

Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình H nào đó ta

phải thực hiện các bước sau:

- Bước 1 (phần thuận) : Chứng minh mỗi điểm có tính chất  đều

phải thuộc hình H ( nói lên tính không thiếu của quỹ tích)

- Bước 2 (phần đảo) : Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H

đều có tính chất  ( Nói lên tính không thừa của quỹ tích)

2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ sử dụng phép biến hình

Do đó, muốn sử dụng phép biến hình dựa vào giải toán tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp biến điểm M thành điểm M' sao cho quỹ tích điểm M ' tìm được dễ

dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích điểm M

2.3 Một số ví dụ

* Ví dụ 1:

Cho tam giác đều ABC Tìm tập hợp các điểm M nằm trong

tam giác sao cho : MA2 MB2 MC2

Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay Q( ; 60 )B  biến

M thành M' và cung AMB thành cung CM B có số đo 150 '

Vì tam giác BMM đều '

Cho đường thẳng d , điểm A cố định không nằm trên d Với mỗi điểm

B  ta dựng tam giác đều ABC Tìm tập hợp điểm C , khi B thay đổi trên d

Cho nửa đường tròn đường kính AB

và một điểm M chuyển động trên nửa

đường tròn ấy Tìm quỹ tích các điểm N

sao cho tam giác BMN là tam giác

đều

Giải

Tam giác BMN , cho ta : NBM 60

quay tâm B , góc quay là 60 Vậy quỹ tích của N là nửa đường tròn ảnh của

nửa đường tròn đường kính AB trong phép quay tâm B , góc quay 60

Chú ý : ta có hai đường tròn như thế, do việc chọn hai chiều quay

* Ví dụ 4:

Cho nửa đường tròn đường kính AB Một điểm C di chuyển trên nửa đường tròn ấy Trên tia AC ta lấy điểm M sao cho BC Tìm quỹ tích điểm M

Giải

Lấy điểm C đối xứng của C qua trung '

điểm O của AB (là tâm của nửa đường tròn

đường kính AB ) Khi C di chuyển trên nửa

đường tròn đã cho thì C di chuyển trên nửa '

đường tròn AmB

Ta có : AM  AC' (vì cùng bằng BC )

MAC ' 90

Vậy M là ảnh của C' trong phép quay

tâm A , góc quay 90 Quỹ tích của M là ảnh

của nửa đường tròn tâm A , góc quay 90

3 Ứng dụng phép quay vào giải bài toán dựng hình

3.1 Bài toán dựng hình

Bài toán dựng hình có dạng sau: “ Cho hình H Hãy dựng hình H' liên

hệ với hình H ”

Bài toán dựng hình thường được giải theo quy trình 4 bước:

- Bước 1 (phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối lien hệ giữa yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho để đưa ra cách dựng

- Bước 2 (Cách dựng): Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản

và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng

- Bước 3 (Chứng minh): Là việc chỉ ra hình càn dựng ở bước 2 đã thỏa mãn yêu cầu bài toán

- Bước 4 (Biện luận): Xét xem khi nào bài toán giải được và khi đó bài toán có bao nhiêu nghiệm

3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình

Giải bài toán dựng hình nhờ sử dụng phép biến hình thể hiện ở bước 1 (phân tích), ta quy việc xác định từng bộ phận của hình cần dựng về ảnh của hình đã cho qua một phép biến hình

3.3 Một số ví dụ

*Ví dụ 1

Cho ba đường thẳng , ,x y z đôi một cắt nhau Hãy dựng tam giác đều có

các đỉnh nằm trên ba đường thẳng đã cho

Giải

Bước 1(Phân tích):

Giả sử ABC là tam giác đều đã dựng có A , x B  , C y  Xét z

phép quay tâm A góc quay 60  biến B thành C , do đó y biến thành ' y đi

qua C , C là điểm chung của ' y và z

Giả sử 'y phải cắt z tại C Phép

quay Q( , 60 )A  biến y thành y , do đó B thuộc y Tam giác ' ABC có

Bài toán chỉ có nghiệm khi x và đường tròn tâm B có điểm chung và các đường tròn tâm C , bán kính c và tâm A , bán kính  có điểm chung Số

nghiệm có được phụ thuộc vào số các điểm chung đó (đpcm)

Giả sử ABC là tam giác đã dựng thỏa mãn điều kiện bài toán, trong đó

B Phép quay tâm d A , góc quay 90  biến Bd Cd d', d1 đi qua

C , khi đó C là giao điểm của hai đường thẳng ' d và d 1

Bước 2(Cách dựng):

Ta có cách dựng sau:

- Dựng d là ảnh của d qua phép quay tâm A với góc quay 90  1

- Gọi C là giao điểm của ' d và d 1

- Dựng B là ảnh của C qua phép quay tâm A với góc quay 90 

Bước 3(Chứng minh):

Bước 4(Biện luận):

Bài toán luôn có nghiệm và có hai nghiệm

* Ví dụ 4:

Cho ba đường thẳng d d d1, 2, 3song song với nhau và một điểm A thuộc

1

d Hãy dựng tam giác đều ABC sao cho hai đỉnh , B C nằm trên hai đường

thẳng song song còn lại

Giải

Bước 1(Phân tích):

Giả sử ta đã dựng được tam giác

đều ABC , có ba đỉnh , , A B C theo thứ

Điều này có nghĩa là B là ảnh

của C trong phép quay tâm A , góc quay 60 , hay B là giao điểm của d với 2

ảnh của đường thẳng d trong phép quay tâm A , góc quay 3 60

Ta thực hiện bước này như sau: Kẻ AH d3

Dựng một tia Ax hợp với tia AH một góc 60 Trên tia Ax lấy một

điểm H' sao cho AH'AH

Dựng đường thẳng d đi qua '3 H' và vuông góc với Ax ; d'3cắt d2 tại

B

- Lấy A làm tâm, quay cung tròn tâm A , bán kính AB , cắt d tại C 3

Tam giác ABC là tam giác cần dựng