Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

trường đại học sư phạm hà nội khoa toán ************* phạm thị thủy phép quay quanh điểm mặt phẳng khố luận tốt nghiệp đại học Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Bùi văn bình Hà Nội – 2008 Lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu, với cố gắng thân, đặc biệt em hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình Để hồn thành khố luận này, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình thầy tổ hình học khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội Một lần em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khoẻ tới thầy cô Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Phạm Thị Thuỷ Lời cam đoan Em xin cam đoan khố luận hồn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình thầy tổ hình học trường ĐHSP Hà Nội Bản khố luận không trùng kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Phạm Thị Thuỷ Mục lục Lời cảm ơn…………………………………………………………… Trang Lời cam đoan …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… Phần 1: Mở 1 L í d o c h ọ n đ ề t i … … … ………………………………… 2 Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………… Phần 3: Kết Phương pháp nghiên cứu……………………………………… Phần 2: Nội dung Chương 1: Cơ sở phép quay quanh điểm mặt phẳng Bài 1: Định hướng……………………………………………… Bài 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng………………… Chương 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng tập hình học……….……….……….……….……….……….……….…… Bài 1: Dùng phép quay để giải tốn hình học……………… Bài 2: Xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay………… 40 Tài liệu tham khảo …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 41 Phần 1: mở đầu Trong nhà trường phổ thông, hình học Lí chọn đề tài ln mơn học khó học sinh Bởi hình học có tính chất chặt chẽ, tính lơgic tính trừu tượng cao mơn học khác tốn học Trong chương trình tốn bậc trung học phổ thơng có đưa cho học sinh cơng cụ để giải tốn hình học sử dụng phép biến hình mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung phép quay nói riêng thể tính ưu việt rõ rệt giải tốn Là giáo viên phải tuỳ vào trình độ học sinh mà đưa tốn phù hợp nên giáo viên cần biết cách xây dựng tốn Sử dụng phép biến hình nói chung phép quay nói riêng ta xây dựng sáng tạo tốn Chính khố luận em xin trình bày “Phép quay quanh điểm mặt phẳng” Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng đưa sở lí thuyết phép quay quanh điểm mặt phẳng - Xây dựng hệ thống tập ứng dụng phép quay để giải - Xây dựng, sáng tạo toán cách sử dụng phép quay Phương pháp nghiên cứu Trên sở nghiên cứu lí thuyết phép quay quanh điểm mặt phẳng đưa hệ thống tập phù hợp Phần 2: Nội dung Chương 1: sở phép quay quanh điểm mặt phẳng Bài 1: Định hướng Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có hai chiều quay, ta chọn chiều làm chiều dương chiều lại làm chiều âm ta nói định hướng mặt phẳng Thơng thường, ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương chiều ngược lại làm chiều âm Góc định hướng hai tia 2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy Góc định hướng có tia đầu Ox, tia cuối oy, kí hiệu ( Ox,Oy ) góc thu ta quay tia đầu Ox tới trùng tia cuối Oy * Nhận xét: Giá trị góc định hướng khơng phải nhất, ta qui ước giá trị âm hay dương tuỳ theo chiều quay chiều âm hay chiều dương mặt phẳng Ta gọi ỏ giá trị đầu góc định hướng, giá trị thu quay Ox tới trùng Oy theo góc hình học nhỏ Nếu ỏ giá trị góc định hướng hai tia Ox Oy thì: (Ox,Oy) = α + k2π (k ∈Z) 2.2 Hệ thức Salơ Trong mặt phẳng định hướng, cho ba tia chung gốc Ox, Oy, Oz Hệ thức Salơ: (Ox,Oy) + (Oy,Oz) = (Ox,Oz) * Mở rộng cho n tia: Trong mặt phẳng định hướng, cho n tia chung gốc: OA , OA , OA , , OA n Hệ thức Salơ: (OA1,OA2 ) + (OA2 ,OA3 ) + + (OAn-1,OAn ) = (OA1,OAn ) Bài 2: PHép quay quanh điểm mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm O cố định góc định hướng ỏ sai khác k2π (k ∈ Z) Một phép quay tâm O với góc quay α phép biến hình biến điểm O thành biến điểm M thành điểm M’ cho OM = OM’ (OM,OM') = α α Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay ỏ Q O Q(O; α ) Ta thường chọn ỏ cho -π ≤ α ≤ π * Chú ý: Theo định nghĩa phép quay Q(O;ỏ) với ỏ = phép đồng nhất, α = π α = -π phép đối xứng tâm O Tính chất 2.1 Q(O; α ) phép dời hình CM: Giả sử : Q(O;ỏ) : M  M’ N  N’ Theo định nghĩa phép quay ta có : OM = OM'  ON = ON'  (OM,OM') = (ON,ON' )  ⇒ OM = OM'  ON = ON'  Giải: - Bước (phân tích): Giả sử dựng N B' P B hình vng MNPQ ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD C với: A∈MN, B∈NP, C∈PQ, D∈QM.A d4 Theo ví dụ ta có: đường thẳng d1 qua M Q D D, vng góc với AC, cắt NP B’ d3 BD’ = AC d1 d2 - Bước (cách dựng): Dựng đường thẳng d1 qua D vng góc với AC Trên d1 lấy điểm B’ cho DB’ = AC AB’CD tứ giác lồi Qua C dựng đường thẳng d2 vng góc với BB’ P Qua A dựng đường thẳng d3 song song với d2, cắt BB’ N Qua D dựng đường thẳng d4 vng góc với d3, cắt d3 d2 M Q Khi ta hình vng MNPQ cần dựng - Bước (chứng minh): Dễ thấy hình vng MNPQ dựng thoả mãn yêu cầu toán - Bước (biện luận): Bài tốn có nghiệm hình B’ khơng trùng với B Bài tốn có vơ số nghiệm hình B’ trùng với B Bài 2: Xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay Xuất phát từ điều biết toán đơn giản, sử dụng phép biến hình ta xây dựng, sáng tạo toán khoá luận em trình bày cách sáng tạo, xây dựng tốn nhờ sử dụng phép quay mà khơng trình bày lời giải tốn lời giải dễ dàng có cách ta xây dựng tốn 59 Ví dụ 1: Giả sử cho trước điểm O mặt phẳng; N, N’ hai điểm tuỳ ý Thực phép quay: Q90o O N  M : QO  N'  M' NN' = MM' ⇒  NN' ⊥ MM' Bằng cách đặt N, N’, M, M’ vào hình thích hợp ta xác định phép 90o quay Q 90o O xây dựng toán, chẳng hạn: Bài toán 1: B' M' Cho hai hình vng ABCD A' B N C N' A’B’C’D’ có chung tâm đỉnh đánh theo chiều quay kim M đồng hồ Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC; M’, N’ lần C' A D lượt trung điểm cạnh A’B’, B’C’ Chứng minh rằng: D' MM' ⊥ NN', MM' = NN' Trong phép quay trên, thay góc 90  góc 60  ta toán sau: Bài toán 2: Hai tam giác ABC A’B’C có đỉnh đánh theo chiều quay kim đồng hồ Gọi M, N trung B N B' A' điểm AA’, BB’ Chứng minh rằng: M MA’ = NB’ (MA’, NB’) = 60  A Ví dụ 2: C Cho tam giác ABC, trọng tâm G Xét đường thẳng a cắt AB, BC N, M Thực phép quay: Q-120o G Q -120o :a  b Giả sử đường thẳng b cắt AC, AB lần G lượt P, Q A Khi ta có: o (a,b) = 60 120 C  A Q G : A  B 120o Giả sử: Q :P  P' G N o Vì G Q 60 120 B M P ∈[ CA] ⇒ P'∈[ AB] ⇒ Q G  :P C a o ∠PGP' = 120 ⇒ P' ≡ N 120o b P N ⇒ GN = GP, ∠PGN = 120 o Tương tự ta chứng minh được: Q 120o G o :Q  M ⇒ GQ = GM, ∠QGM = 120 ⇒ GN + GM = GP + GQ ⇔ PQ = MN (1) Tam giác NGP tam giác MGQ cân G nên : ∠NPQ = ∠MQP ⇒ NP // QM hay MPNQ hình thang (2) Kết hợp (1) (2) ta có: MPNQ hình thang cân *Từ ta có tốn sau: Bài tốn: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Qua G kẻ đường thẳng a cắt BC, AB M, N; kẻ đường thẳng b cắt AC, AB P, Q, đồng thời tạo với đường thẳng a góc 60  Chứng minh rằng: MPNQ hình thang cân Ví dụ 3: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, C, B Thực phép quay: Q60o C-60o C , Q o Q Q 60 C :B  E F -60o :A  F 60o B E  Q : ⇒ BF = EA ⇒ A C F  A M C E N C B Gọi M, N trung điểm BF, EA ta có: Q 60o :MN Do đó: CM = CN ∠MCN = 60o , hay tam giác CMN dều C *Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán 1: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C không trùng với A B Dựng tam giác CAF, BCE cho E, F nằm phía đường thẳng AB Chứng minh rằng: a, AE = BF b, Tam giác CMN đều, M, N trung điểm BF, EA Khi điểm C nằm ngồi đường thẳng AB ta có kết tương tự ta có tốn sau: Bài tốn 2: Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Dựng tam giác CBE CFA chiều theo thứ tự Chứng minh rằng: a, AE = BF b, Tam giác CMN với M, N trung điểm BF, AE Khi góc quay 60  thay góc quay 90  ta có tốn sau: Bài tốn 3: N M Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C khác A B Dựng hình vng ACMN, CBEF nằm phía đường thẳng AB Gọi P, Q Q trung điểm AF, BM F Chứng minh rằng: a, AF vng góc với BM E P A B C b, Tam giác QPC tam giác vng cân A Ví dụ 4: Cho tam giác ABC B Thực phép quay: C' 60 60 B' 60 : B  B' Q  C  C' ⇒ BC = B'C', AC = CC', AB = BB' A C Trong tam giác ABC cạnh lớn khơng lớn tổng hai cạnh lại, nghĩa đoạn lớn ba đoạn BC, AB, AC không lớn tổng hai đoạn lại Do đó, theo ta có: ba đoạn B’C’, CC’, BB’ đoạn lớn khơng lớn tổng hai đoạn lại *Từ phân tích ta xây dựng tốn sau: Bài tốn: Cho ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C Dựng tam giác ABB’ tam giác ACC’ cho hai tam giác chiều theo thứ tự Chứng minh đoạn thẳng lớn ba đoạn B’C’, BB’, CC’ không lớn tổng hai đoạn lại Ví dụ 5: Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, D Thực phép quay: Q60o -60o A , QA Q 60o A A B  E : E  K B o :D  F, Q -60 A D  F 60o  ⇒ QA  K  E D C F : E  B K E DK = EF ⇒  o ( DK, EF ) = 60  Nếu ta lấy điểm C cho DKEC hình bình hành thì: DK = CE DK// CE Do đó: EF = CE  ∠CEF o = 60 hay tam giác CEF *Từ phân tích ta có tốn xây dựng sau: Bài tốn: Cho hình bình hành ABCD Dựng tam giác ABE ADF cho E nằm phía với điểm C đường thẳng AB, điểm F nằm phía với điểm C đường thẳng AD Chứng minh rằng: tam giác CEF tam giác Ví dụ 6: A 41 M M' C Xét tam giác ABC theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung nhỏ AB Thực phép quay: Q-60o B A  C Q B : M  M' ⇒ ∆BAM = ∆BCM' (c.c.c) -60 o o ⇒ ∠BMA = ∠BM'C = 120 , AM = CM' o Tam giác BMM’ nên : ∠MM'B = 60 , MM' = MB Do đó: ∠MM'C = hay M, M’, C thẳng hàng M’ thuộc đoạn MC nên: 180o MC = MM’ + M’C = MB + MA *Từ phân tích ta xây dựng tốn sau: Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Chứng minh: MC = MA + MB Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác cân AMB, ANC cân M, N góc AMB m, góc ANC n Thực phép quay: QmM , QNn QmM : B  A QnN : A C m ⇒ Qn ○ Q :BC N Giả sử: M n Q m Q N = Qn + m M P Khi đó, theo cách xác định tích hai phép quay, tam giác MNP ta có: 42 ∠P MN = m , n n+m ⇒ o ∠MNP = ∠NPM = 180 2 42 Đặt p = o 360 A - (n+m) M *TH n + m > 180 ⇒ p < 180 1: o N o m n B Vì: QP n+m :BC ⇒ QP C 360o - p : B  nên P C nằm khác phía với A đường thẳng BC hay tam giác BCP p P cân P dựng phía ngồi tam giác ABC có góc BPC p *Từ phân tích ta xây dựng toán: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác cân AMB, ANC, BPC cân M, N, P ∠AMB = m, ∠ANC = n, ∠B PC = p cho o n + m + p = 360 Tính góc tam giác PMN Khi cho m, n, p giá trị xác định ta có tốn cụ thể sau: Bài tốn 1: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác ABM, CAN, BCP có tâm K, H, G Chứng minh rằng: tam giác KHG tam giác Bài toán 2: C ác M, N Gọi P trung điểm BC Chứng minh rằng: MNP h tam tam o giác giác vuông cân ta vuôn m g N o g AB iá M, c CA BC hay tam giác PBC cân P dựng A N B lần C lượt cân D cân n o *TH n + m < 180 ⇒ p > 180 M 2: n+m 360o - p m : B  C nên Vì: :BC QP ⇒ QP P phía với A đường thẳng A p P B C ự n g r a p h ía n g o ài c 43 vào phía tam giác ABC ∠BPC = - p = n + m o 360 *Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác cân ABM, CAN; dựng vào phía tam giác ABC tam giác cân BCP cân M, N, P ∠AMB = m, ∠ANC = n, ∠BPC = p; p = n + m Tính góc tam giác PMN Cho m, n, p giá trị xác định ta có tốn cụ thể, chẳng hạn ta xây dựng toán sau: Bài tốn: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác AMB, ANC cho: tam giác AMB vuông cân tại M, tam giác ANC đều; dựng vào phía tam giác ABC tam giác BPC cân P cho ∠BPC = o 150 Tính góc tam giác PMN 70 Phần : Kết luận Đề tài trình bày được: Cơ sở lí luận phép quay quanh điểm mặt phẳng Hệ thống tập sử dụng phép quay để giải thể phương pháp giải tốn hình học ngắn gọn, dễ hiểu sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nói riêng Lưu ý đến việc sử dụng kết toán để giải toán khác, vận dụng linh hoạt, xác Đưa ví dụ việc sử dụng phép quay để xây dựng, sáng tạo tốn Tuy có nhiều cố gắng, song lực thân điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khố kuận khơng tránh khỏi khiếm khuyết sai sót; em kính mong thầy cơ, bạn bảo tham gia ý kiến để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Bình Giáo trình tập hình học sơ cấp (1993), trường ĐHSP Hà Nội [2] Nguyễn Văn Vạn _ Bùi Văn Bình Giáo trình hình học sơ cấp (1993), trường ĐHSP Hà Nội [3] Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng (2003), Nxb Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn Phép biến hình mặt phẳng (2006), Nxb Giáo dục [5] V.Vpraxolov Các tốn hình học phẳng (2002), Nxb Hải Phòng ... dung Chương 1: Cơ sở phép quay quanh điểm mặt phẳng Bài 1: Định hướng……………………………………………… Bài 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng ……………… Chương 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng tập hình học……….……….……….……….……….……….……….……... quay quanh điểm mặt phẳng đưa hệ thống tập phù hợp Phần 2: Nội dung Chương 1: sở phép quay quanh điểm mặt phẳng Bài 1: Định hướng Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có... Bài 2: PHép quay quanh điểm mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm O cố định góc định hướng ỏ sai khác k2π (k ∈ Z) Một phép quay tâm O với góc quay α phép biến hình biến điểm