Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

trường đại học sư phạm hà nội khoa toán ************* phạm thị thủy phép quay quanh điểm mặt phẳng khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Bùi văn bình Hà Nội – 2008 Lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu, với cố gắng thân, đặc biệt em hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình Để hoàn thành khoá luận này, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình thầy cô tổ hình học khoa toán trường ĐHSP Hà Nội Một lần em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khoẻ tới thầy cô Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Phạm Thị Thuỷ Lời cam đoan Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình thầy cô tổ hình học trường ĐHSP Hà Nội Bản khoá luận không trùng kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Phạm Thị Thuỷ Mục lục Trang Lời cảm ơn…………………………………………………………… Lời cam đoan………………………………………………………… Phần 1: Mở đầu 1 Lí chọn đề tài………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………… Phương pháp nghiên cứu……………………………………… Phần 2: Nội dung Chương 1: Cơ sở phép quay quanh điểm mặt phẳng 2 Bài 1: Định hướng……………………………………………… Bài 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng………………… Chương 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng tập hình học……….……….……….……….……….……….……….…… Bài 1: Dùng phép quay để giải toán hình học……………… Bài 2: Xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay………… 32 Phần 3: Kết luận Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 40 41 Phần 1: mở đầu Lí chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó học sinh Bởi hình học có tính chất chặt chẽ, tính lôgic tính trừu tượng cao môn học khác toán học Trong chương trình toán bậc trung học phổ thông có đưa cho học sinh công cụ để giải toán hình học sử dụng phép biến hình mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung phép quay nói riêng thể tính ưu việt rõ rệt giải toán Là giáo viên phải tuỳ vào trình độ học sinh mà đưa toán phù hợp nên giáo viên cần biết cách xây dựng toán Sử dụng phép biến hình nói chung phép quay nói riêng ta xây dựng sáng tạo toán Chính khoá luận em xin trình bày “Phép quay quanh điểm mặt phẳng” Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng đưa sở lí thuyết phép quay quanh điểm mặt phẳng - Xây dựng hệ thống tập ứng dụng phép quay để giải - Xây dựng, sáng tạo toán cách sử dụng phép quay Phương pháp nghiên cứu Trên sở nghiên cứu lí thuyết phép quay quanh điểm mặt phẳng đưa hệ thống tập phù hợp Phần 2: Nội dung Chương 1: sở phép quay quanh điểm mặt phẳng Bài 1: Định hướng Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có hai chiều quay, ta chọn chiều làm chiều dương chiều lại làm chiều âm ta nói định hướng mặt phẳng Thông thường, ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương chiều ngược lại làm chiều âm Góc định hướng hai tia 2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy Góc định hướng có tia đầu Ox, tia cuối oy, kí hiệu ( Ox, Oy ) góc thu ta quay tia đầu Ox tới trùng tia cuối Oy * Nhận xét: Giá trị góc định hướng nhất, ta qui ước giá trị âm hay dương tuỳ theo chiều quay chiều âm hay chiều dương mặt phẳng Ta gọi ỏ giá trị đầu góc định hướng, giá trị thu quay Ox tới trùng Oy theo góc hình học nhỏ Nếu ỏ giá trị góc định hướng hai tia Ox Oy thì: (Ox,Oy)  α + k2π (k  Z) 2.2 Hệ thức Salơ Trong mặt phẳng định hướng, cho ba tia chung gốc Ox, Oy, Oz Hệ thức Salơ: (Ox, Oy)  (Oy, Oz)  (Ox, Oz) * Mở rộng cho n tia: Trong mặt phẳng định hướng, cho n tia chung gốc: OA , OA , OA , , OA n Hệ thức Salơ: (OA1 ,OA ) + (OA ,OA3 ) + + (OA n-1 ,OA n ) = (OA1 ,OA n ) Bài 2: PHép quay quanh điểm mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm O cố định góc định hướng ỏ sai khác k2π (k  Z) Một phép quay tâm O với góc quay α phép biến hình biến điểm O thành biến điểm M thành điểm M’ cho OM = OM’ (OM,OM') = α α Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay ỏ QO Q(O; α ) Ta thường chọn ỏ cho -π  α  π * Chú ý: Theo định nghĩa phép quay Q(O;ỏ) với ỏ = phép đồng nhất, α = π α = -π phép đối xứng tâm O Tính chất 2.1 Q(O; α ) phép dời hình CM: Giả sử : Q(O;ỏ) : M  M’ N  N’ Theo định nghĩa phép quay ta có : OM  OM '  ON  ON'  (OM, OM ')  (ON, ON' )  OM  OM'  ON  ON'  (OM, ON)  (OM', ON')  ΔOMN = ΔOM'N' (c.g.c)  MN  M ' N' Vậy Q(O; α ) phép dời hình 2.2 Q(O; α ) (α  k2π, k  Z) có điểm bất động phép biến đổi 1-1 CM: Theo định nghĩa ta có O điểm bất động Q(O; α ) Giả sử O’ điểm bất động thứ hai Q(O; α ), khác O Thế góc tạo tia OO’ α , nghĩa α = (mâu thuẫn giả thiết) Điều chứng tỏ Q(O; α ) có điểm O điểm bất động Nêú M M có ảnh điểm M’ Q(O; - α ) : M'  M M '  M OM1 = OM Khi :  (OM',OM1 ) = (OM',OM ) = -α Kết chứng tỏ M  M 2.3 Q(O; α ) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự chúng CM: Theo tính chất 2.1, phép quay Q(O; α ) phép dời hình Do A’, B’, C’ ảnh ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C A’, B’, C’ thẳng hàng theo thứ tự * Hệ quả: Phép quay Q(O; α ) biến: i)Một đường thẳng d thành đường thẳng d’và góc định hướng tạo hai đường thẳng α , d  d' α = ± 90o ii)Biến tia Sx thành tia S’x’ góc tạo hai tia α iii)Biến đoạn PQ thành đoạn P’Q’ PQ = P’Q’ iv)Biến góc xSy thành góc x' S' y' hai góc v)Biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R) 2.4 Tích hai phép quay phép tịnh tiến phép quay CM: Xét hai phép quay QαO' QβO Đặt Q = QαO'  QβO * TH1 : O  O' OM = OM' QβO:M  M'  (OM,OM') = β OM' = OM'' QαO:M'  M''  (OM',OM'') = α OM = OM'' Do :  (OM,OM'') = (OM,OM') + (OM',OM'') = β + α Vậy Q = Qα+β O *TH2: O  O' : Bổ đề: Tích hai phép đối xứng trục cắt phép quay quanh giao điểm với góc quay 2(a, a') (a a’ hai trục) a  a'  I Đ a'  Đ a  Q2I(a,a') CM: I - Nếu M  I theo tính chất phép M đối xứng trục ta có : M'' M '  I  M ' '  I M' a 10 a' o Thực phép quay: Q90 O AB  DA  90o  DC  CB Q O :M  M'   N  N' M  AB  M'  DA N  DC  N'  CB MN = M'N', MN  M'N' MN  PQ Vì :  nên M’N’ song song M'N'  MN  trùng với PQ trường hợp ta có M’N’ = PQ Do đó: MN = PQ Ta sử dụng kết toán để giải số toán dựng hình sau: Bài 1: Dựng hình vuông ABCD biết tâm O M, N đường thẳng AB, BC Giải: - Bước (phân tích): Giả sử dựng d2 d4 hình vuông ABCD thoả mãn A d3 d1 B M toán N' Giả sử: N’, M’ đối xứng với O N, M qua O thì: N'  AD, M'  DC N Đường thẳng qua M, vuông góc với M' M'' D NN’, cắt CD M’’ theo ví dụ ta có: MM’’ = NN’ 33 C - Bước (cách dựng): Dựng N’, M’ đối xứng với N, M qua điểm O Trên đường thẳng d1 qua M, vuông góc với NN’ ta lấy điểm M’’ cho: MM’’ = NN’ M, A phía đường thẳng M’M’’ Qua N dựng đường thẳng d2 vuông góc với M’M’’ cắt M’M’’ C Qua M dựng đường thẳng d3 vuông góc với d2 cắt d2 B Qua N’ dựng đường thẳng d4 song song với d2, cắt d3 M’M’’ A D Khi ta hình vuông ABCD cần dựng - Bước (chứng minh): Dễ thấy hình vuông ABCD dựng thoả mãn yêu cầu toán - Bước (biện luận): OM  ON Nếu  Thì theo cách dựng ta có: o  MON = 90  M  M'M''  M  DC Điều mâu thuẫn với giả thiết M  AB Vậy trường hợp toán vô nghiệm hình Các trường hợp khác toán có nghiệm hình Bài 2: Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A trung điểm M BC Giải: 34 d1 d2 d3 A B P M Q C d4 D - Bước (phân tích): Giả sử dựng hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu toán Qua M kẻ đường thẳng d1 vuông góc với AM, cắt AB, DC P, Q theo ví dụ ta có: PQ = AM - Bước (cách dựng): Qua M dựng đường thẳngd1 vuông góc với AM Trên d1 hai phía M lấy hai điểm P, Q cách M cho PQ = AM Qua M dựng đường thẳng d2 vuông góc với AP, cắt AP B Qua A dựng d3 song song với d2 Qua Q dựng đường thẳng d4 song song với AP, cắt d2 d3 C D Khi ta hình vuông ABCD cần dựng - Bước (chứng minh): Dễ thấy hình vuông ABCD dựng thoả mãn yêu cầu toán - Bước (biện luận): Bài toán có nghiệm hình Bài 3: Hãy dựng hình vuông ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD 35 Giải: - Bước (phân tích): Giả sử dựng N B' P B hình vuông MNPQ ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD C với: A  MN, B  NP, C  PQ, D  QM A Theo ví dụ ta có: đường thẳng d1 qua M d4 Q D D, vuông góc với AC, cắt NP B’ d3 BD’ = AC d2 d1 - Bước (cách dựng): Dựng đường thẳng d1 qua D vuông góc với AC Trên d1 lấy điểm B’ cho DB’ = AC AB’CD tứ giác lồi Qua C dựng đường thẳng d2 vuông góc với BB’ P Qua A dựng đường thẳng d3 song song với d2, cắt BB’ N Qua D dựng đường thẳng d4 vuông góc với d3, cắt d3 d2 M Q Khi ta hình vuông MNPQ cần dựng - Bước (chứng minh): Dễ thấy hình vuông MNPQ dựng thoả mãn yêu cầu toán - Bước (biện luận): Bài toán có nghiệm hình B’ không trùng với B Bài toán có vô số nghiệm hình B’ trùng với B Bài 2: Xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay Xuất phát từ điều biết toán đơn giản, sử dụng phép biến hình ta xây dựng, sáng tạo toán khoá luận em trình bày cách sáng tạo, xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay mà không trình bày lời giải toán lời giải dễ dàng có cách ta xây dựng toán 36 Ví dụ 1: Giả sử cho trước điểm O mặt phẳng; N, N’ hai điểm tuỳ ý o Thực phép quay: Q90 O N  M : O  N'  M'  NN' = MM'   NN'  MM' Q 90o Bằng cách đặt N, N’, M, M’ vào hình thích hợp ta xác định phép quay Q 90o O xây dựng toán, chẳng hạn: Bài toán 1: B' M' Cho hai hình vuông ABCD A' B N C N' A’B’C’D’ có chung tâm đỉnh đánh theo chiều quay kim M đồng hồ Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC; M’, N’ lần C' A D lượt trung điểm cạnh A’B’, B’C’ Chứng minh rằng: D' MM'  NN', MM' = NN' Trong phép quay trên, thay góc 90  góc 60  ta toán sau: Bài toán 2: Hai tam giác ABC A’B’C có đỉnh đánh theo chiều quay kim đồng hồ Gọi M, N trung 37 B N B' A' điểm AA’, BB’ Chứng minh rằng: M MA’ = NB’ (MA’, NB’) = 60  A Ví dụ 2: C Cho tam giác ABC, trọng tâm G Xét đường thẳng a cắt AB, BC N, M Thực phép quay: Q-120 G Q -120o G o :a  b Giả sử đường thẳng b cắt AC, AB P, Q A Khi ta có: (a,b) = 60o Q 120o G N C  A : A  B G Q b P 60 120 Giả sử: 120o Q G :P  P' B M Vì P CA  P'  AB a PGP' = 120  P'  N o Q 120o G :P  N  GN = GP, PGN = 120o Tương tự ta chứng minh được: 120o Q G C :Q  M  GQ = GM, QGM = 120o  GN + GM = GP + GQ  PQ = MN (1) Tam giác NGP tam giác MGQ cân G nên : NPQ = MQP  NP // QM hay MPNQ hình thang (2) 38 Kết hợp (1) (2) ta có: MPNQ hình thang cân *Từ ta có toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Qua G kẻ đường thẳng a cắt BC, AB M, N; kẻ đường thẳng b cắt AC, AB P, Q, đồng thời tạo với đường thẳng a góc 60  Chứng minh rằng: MPNQ hình thang cân Ví dụ 3: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, C, B o o -60 Thực phép quay: Q60 C , QC Q Q 60o C F :B  E -60o C :A  F M E 60  B  E  Q :  BF = EA C F  A  o N A C B Gọi M, N trung điểm BF, EA ta có: Q 60o C :MN Do đó: CM = CN MCN = 60o , hay tam giác CMN dều *Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán 1: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C không trùng với A B Dựng tam giác CAF, BCE cho E, F nằm phía đường thẳng AB Chứng minh rằng: a, AE = BF b, Tam giác CMN đều, M, N trung điểm BF, EA Khi điểm C nằm đường thẳng AB ta có kết tương tự ta có toán sau: 39 Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Dựng tam giác CBE CFA chiều theo thứ tự Chứng minh rằng: a, AE = BF b, Tam giác CMN với M, N trung điểm BF, AE Khi góc quay 60  thay góc quay 90  ta có toán sau: Bài toán 3: N M Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C khác A B Dựng hình vuông ACMN, CBEF nằm phía đường thẳng AB Gọi P, Q Q trung điểm AF, BM F Chứng minh rằng: E P a, AF vuông góc với BM A B C b, Tam giác QPC tam giác vuông cân A Ví dụ 4: B Cho tam giác ABC B' Thực phép quay: B  B' : A C  C'  BC = B'C', AC = CC', AB = BB' Q C' 60 60 60 C Trong tam giác ABC cạnh lớn không lớn tổng hai cạnh lại, nghĩa đoạn lớn ba đoạn BC, AB, AC không lớn tổng hai đoạn lại Do đó, theo ta có: ba đoạn B’C’, CC’, BB’ đoạn lớn không lớn tổng hai đoạn lại *Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán: 40 Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C Dựng tam giác ABB’ tam giác ACC’ cho hai tam giác chiều theo thứ tự Chứng minh đoạn thẳng lớn ba đoạn B’C’, BB’, CC’ không lớn tổng hai đoạn lại Ví dụ 5: Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, D o o -60 Thực phép quay: Q60 A , QA Q 60o A :D  F, Q -60o A A B  E : E  K B D C D  F 60o   Q : E  B A K  E  F K E DK = EF  o ( DK, EF ) = 60 Nếu ta lấy điểm C cho DKEC hình bình hành thì: DK = CE DK// CE EF = CE Do đó:  hay tam giác CEF o  CEF = 60  *Từ phân tích ta có toán xây dựng sau: Bài toán: Cho hình bình hành ABCD Dựng tam giác ABE ADF cho E nằm phía với điểm C đường thẳng AB, điểm F nằm phía với điểm C đường thẳng AD Chứng minh rằng: tam giác CEF tam giác Ví dụ 6: A 41 M M' C Xét tam giác ABC theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung nhỏ AB Thực phép quay: Q-60 B o A  C : B M  M'  BAM = BCM' (c.c.c) Q -60o  BMA = BM'C = 120o , AM = CM' Tam giác BMM’ nên : MM'B = 60o , MM' = MB Do đó: MM'C = 180o hay M, M’, C thẳng hàng M’ thuộc đoạn MC nên: MC = MM’ + M’C = MB + MA *Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Chứng minh: MC = MA + MB Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác cân AMB, ANC cân M, N góc AMB m, góc ANC n Thực phép quay: QmM , QnN Q mM : B  A Q nN : A  C m  Q nN  Q M :BC Giả sử: m QnN  QM = QPn + m Khi đó, theo cách xác định tích hai phép quay, tam giác MNP ta có: PMN = m n n+m , MNP =  NPM = 180o 2 42 Đặt p = 360o - (n+m) A M *TH1: n + m > 180  p < 180 o Vì: Q n+m P N o : BCQ 360o - p P m n C B : B  C nên P nằm khác phía với A đường thẳng p BC hay tam giác BCP cân P dựng P phía tam giác ABC có góc BPC p *Từ phân tích ta xây dựng toán: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác cân AMB, ANC, BPC cân M, N, P AMB = m, ANC = n, BPC = p cho n + m + p = 360o Tính góc tam giác PMN Khi cho m, n, p giá trị xác định ta có toán cụ thể sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác ABM, CAN, BCP có tâm K, H, G Chứng minh rằng: tam giác KHG tam giác Bài toán 2: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác vuông cân ABM, CAN cân M, N Gọi P trung điểm BC Chứng minh rằng: MNP tam N giác vuông cân n *TH2: n + m < 180o  p > 180o M Vì: Q n+m P : BCQ 360o - p P : B  C nên A m p P phía với A đường thẳng BC hay tam giác PBC cân P dựng P B 43 C vào phía tam giác ABC BPC = 360o - p = n + m *Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác cân ABM, CAN; dựng vào phía tam giác ABC tam giác cân BCP cân M, N, P AMB = m, ANC = n, BPC = p; p = n + m Tính góc tam giác PMN Cho m, n, p giá trị xác định ta có toán cụ thể, chẳng hạn ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác AMB, ANC cho: tam giác AMB vuông cân tại M, tam giác ANC đều; dựng vào phía tam giác ABC tam giác BPC cân P cho BPC = 150o Tính góc tam giác PMN 44 Phần : Kết luận Đề tài trình bày được: Cơ sở lí luận phép quay quanh điểm mặt phẳng Hệ thống tập sử dụng phép quay để giải thể phương pháp giải toán hình học ngắn gọn, dễ hiểu sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nói riêng Lưu ý đến việc sử dụng kết toán để giải toán khác, vận dụng linh hoạt, xác Đưa ví dụ việc sử dụng phép quay để xây dựng, sáng tạo toán Tuy có nhiều cố gắng, song lực thân điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khoá kuận không tránh khỏi khiếm khuyết sai sót; em kính mong thầy cô, bạn bảo tham gia ý kiến để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Bình Giáo trình tập hình học sơ cấp (1993), trường ĐHSP Hà Nội [2] Nguyễn Văn Vạn _ Bùi Văn Bình Giáo trình hình học sơ cấp (1993), trường ĐHSP Hà Nội [3] Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng (2003), Nxb Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn Phép biến hình mặt phẳng (2006), Nxb Giáo dục [5] V.Vpraxolov Các toán hình học phẳng (2002), Nxb Hải Phòng 46 47 [...]... Chương 2: PHéP quay quanh điểm trong mặt phẳng với bài tập hình học Bài 1: Dùng phép quay để giải toán hình học Cũng như phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu để giải toán hình học Để giải một bài toán hình học bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau: - Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các phép quay riêng biệt dễ quan sát - Những bài toán hình học mà trong. .. quĩ tích Do đó, muốn sử dụng phép biến hình vào giải toán tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp biến điểm M thành điểm M’ sao cho quĩ tích diểm M’ tìm được dễ dàng hơn, từ đó suy ra quĩ tích của điểm M Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC Tìm tập hợp điểm M nằm trong tam giác sao cho : MA 2 + MB2 = MC2 C Giải: Thực hiện phép quay: Q-60 B Q -60o B M' o... Thực hiện phép quay: QαO B 15 M O A x Ox  Oy : Q O M  M'  α Khi đó nếu OA = OB thì: α Q :A  B O  MA = M'B  MA + MB = M'B + MB  MM' Do đó MA + MB nhỏ nhất khi B là giao điểm của Oy với MM’ -α Khi đó A = Q (B) O Ví dụ 2: Tam giác ABC có BC = a, AC = b, C = α ( α < 120o ) Tìm điểm M trong mặt phẳng sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó Giải: A' Thực hiện phép quay: Q-60... trên cạnh PN N o Thực hiện phép quay: Q60 A Q 60o A C  B  :  N  N' P  P'  Vì C nằm trên cạnh PN nên B nằm trên đoạn P’N’ Do đó C là giao điểm của đoạn P’N’ và cạnh QM - Bước 2 (cách dựng): Dựng N’, P’ lần lượt là ảnh của N, P qua phép quay Q 60o A Dựng giao điểm B của đoạn N’P’ với cạnh MQ Dựng C là ảnh của B qua phép quay Q -60o A - Bước 3 (chứng minh): B là giao điểm của đoạn N’P’ với cạnh... đó 2.2 Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình ta thường chuyển đại lượng cần xác định về đại lượng đã biết nhờ phép biến hình rồi thực hiện yêu cầu bài toán Với việc sử dụng phép quay ta thường đưa về bài toán tính toán trước rồi giải bài toán cực trị Ví dụ 1: Cho góc xOy và điểm M nằm trong góc đó Tìm trên các cạnh Ox, Oy các điểm A, B sao cho OA = OB và MA... Suy ra: CM'B  CM'M  MM'B  90  60  150 Mặt khác: AMB  CM'B(c.c.c)  AMB  CM'B  150 Chứng tỏ M thuộc cung chứa góc150  dựng trên dây AB Tập hợp các điểm M là cung 150  nằm trong tam giác ABC dựng trên dây AB, trừ A, B Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó thì phép quay Q -60o B điểm M’ và cung AMB thành cung CM’B có số đo 150  19 biến điểm M thành Vì tam giác BMM’ đều nên MM'C  150... tập hợp các điểm N là đường tròn (O; R 2 - a 2 ) với a < R, là điểm O với a = R, là tập rỗng với a > R Ví dụ 3: 20 Cho đường tròn tâm O, một điểm A cố định và một góc α Với mỗi điểm B thuộc đường tròn ta dựng tam giác cân ABC có A = α Tìm tập hợp các đỉnh C khi B thay đổi Giải: O O' Thực hiện phép quay: Q Q α A α A B C : B  C,  O    O' Vì tập hợp điểm B là đường tròn (O) nên tập hợp điểm C là... mỗi điểm có tính chất α đều phải thuộc hình H (nói lên tính không thiếu của quĩ tích) - Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H đều có tính chất α (nói lên tính không thừa của quĩ tích) 3.2 Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình Giả sử: E2  E2 : là một phép biến hình của mặt phẳng thì: M  M' Nếu quĩ tích diểm M là hình H thì ta có quĩ tích điểm M’ là (H) Nếu quĩ tích điểm. .. Bước 1 (phân tích): Giả sử đã dựng được tam giác đều ABC thoả mãn: A  x,B  y,C  z o Xét phép quay: Q60 A C  B : A z  z' C  z  B  z'  B = y  z' Q 60o - Bước 2 (cách dựng): Lấy điểm A bất kì trên x z' Dựng ảnh z’ của z qua phép quay Q 60o A B Dựng giao điểm B của z’ và y Dựng ảnh C của B qua phép quay Q -60o A y A z Khi đó ta được tam giác đều ABC cần dựng - Bước 3 (chứng minh): Ta có:... giữa các điểm hay đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép biến hình đó ta có thể nhận được các kết quả về: Tính đồng qui hay tính thẳng hàng Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau giúp suy ra điều cần chứng minh Phép quay là một ... dung Chương 1: Cơ sở phép quay quanh điểm mặt phẳng 2 Bài 1: Định hướng……………………………………………… Bài 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng ……………… Chương 2: Phép quay quanh điểm mặt phẳng tập hình học……….……….……….……….……….……….……….……... điểm mặt phẳng đưa hệ thống tập phù hợp Phần 2: Nội dung Chương 1: sở phép quay quanh điểm mặt phẳng Bài 1: Định hướng Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có hai chiều quay, ... quay quanh điểm mặt phẳng - Xây dựng hệ thống tập ứng dụng phép quay để giải - Xây dựng, sáng tạo toán cách sử dụng phép quay Phương pháp nghiên cứu Trên sở nghiên cứu lí thuyết phép quay quanh điểm