Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

Để giải một bài toán hình học bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau: - Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các phép quay riêng biệt dễ quan sát.. Bài toán

phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học Bùi văn bình

Hà Nội – 2008

2

Lời cảm ơnTrong thời gian nghiên cứu, cùng với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt em được sự hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình

Để hoàn thành khoá luận này, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình

và các thầy cô trong tổ hình học khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2

Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức khoẻ tới các thầy cô

Hà Nội, tháng 05 năm 2008

Sinh viên

Phạm Thị Thuỷ

3

Lời cam đoan

Em xin cam đoan bản khoá luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Văn Bình cũng như các thầy cô trong tổ hình học trường ĐHSP Hà Nội 2

Bản khoá luận này không trùng kết quả của các tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2008

Sinh viên

Phạm Thị Thuỷ

2 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 1

3 Phương pháp nghiên cứu……… 1

Trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay có đưa ra cho học sinh một công cụ mới để giải toán hình học đó là sử dụng phép biến hình trong mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng thể hiện tính ưu việt rõ rệt trong giải toán

Là một giáo viên phải tuỳ vào trình độ học sinh của mình mà đưa ra bài toán phù hợp nên mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng một bài toán Sử dụng phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng ta có thể xây dựng và sáng tạo các bài toán

Chính vì vậy ở khoá luận này em xin trình bày về “Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng và đưa ra cơ sở lí thuyết về phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phép quay để giải

- Xây dựng, sáng tạo bài toán bằng cách sử dụng phép quay

3 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lí thuyết của phép quay quanh điểm trong mặt phẳng đưa ra hệ thống bài tập phù hợp

6

Phần 2: Nội dung Chương 1: cơ sở của phép quay quanh điểm

trong mặt phẳng

Bài 1: Định hướng

1 Định hướng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu

ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm thì ta nói rằng đã định hướng được mặt phẳng Thông thường, ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương còn chiều ngược lại làm chiều âm

2 Góc định hướng giữa hai tia

2.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy Góc định hướng có tia đầu là Ox, tia cuối là oy, kí hiệu (Ox,Oy) là góc thu được khi ta quay tia đầu Ox tới trùng tia cuối Oy

* Nhận xét: Giá trị của góc định hướng trên không phải là duy nhất, ta qui

ước giá trị đó là âm hay dương tuỳ theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương của mặt phẳng

Ta gọi ỏ là giá trị đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi quay

Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay ỏ là Q hoặc Q(O;αO α)

Ta thường chọn ỏ sao cho -π α π

* Chú ý:

Theo định nghĩa phép quay Q(O;ỏ) với ỏ = 0 là phép đồng nhất, còn nếu

α = π hoặc α = -π thì đó là phép đối xứng tâm O

'ONON

'OMOM

'ONON

'OMOM

9

 ΔOMN = ΔOM'N' (c.g.c)

 MN M'N'

Vậy Q(O; α ) là phép dời hình

2.2 Q(O;α) (α k2π, k Z) có một điểm bất động duy nhất và là phép biến đổi 1-1

CM:

Theo định nghĩa ta có O là điểm bất động của Q(O;α)

Giả sử O’ là điểm bất động thứ hai của Q(O;α), khác O Thế thì góc tạo bởi tia OO’ và chính nó bằng α, nghĩa là α = 0 (mâu thuẫn giả thiết) Điều đó chứng tỏ Q(O;α) có điểm O là điểm bất động duy nhất

* Hệ quả: Phép quay Q(O;α) biến:

i)Một đường thẳng d thành đường thẳng d’và góc định hướng tạo bởi hai đường thẳng đó bằng α, dd' khi α = ± 90o

ii)Biến tia Sx thành tia S’x’ và góc tạo bởi hai tia đó bằng α

iii)Biến đoạn PQ thành đoạn P’Q’ và PQ = P’Q’

10

iv)Biến góc xSy thành góc x'S'y' và hai góc đó bằng nhau

v)Biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R)

2.4 Tích của hai phép quay hoặc là một phép tịnh tiến hoặc một phép quay

Bổ đề: Tích của hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay quanh giao

điểm với góc quay 2(a,a')(a và a’ là hai trục)

I'M

M'

M'' M

I

Vậy 2 ( a , a ' ) 

I

Q Đa' Đa

CM tính chất:

Gọi b là đường thẳng qua O và O’

Dựng đường thẳng a qua O và (a,b) = β

2

Dựng đường thẳng a’ qua O’ và (b,a') = α

2 Khi đó ta có:

Q = ĐβO b Đa

α O'

Q = Đa'Đb

α + β(a,a') =

Để giải một bài toán hình học bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau:

- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các phép quay riêng biệt dễ quan sát

- Những bài toán hình học mà trong giả thiết xuất hiện các yếu tố góc đặc biệt như: góc: 90, 30, 60…và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giác cân, tam giác đều, hình thoi, hình vuông, … thường gợi cho ta ý tưởng dùng phép quay để giải

Cụ thể ta sẽ nghiên cứu hệ thống bài tập sau:

1 Bài toán tính toán

1.1 Bài toán tính toán

Trong hình học ta thường gặp một số bài toán tính toán như: tính độ dài, tính số đo góc,…

Để giải bài toán tính toán ta phải thiết lập mối quan hệ giữa những cái đã biết và cái cần tìm, sau đó tính toán theo yêu cầu bài toán

1.2 Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình

13

t t'

M'

A M

N'

Dùng phép biến hình để giải bài toán tính toán là sử dụng các phép biến hình để di chuyển các yếu tố (các hình) ở những vị trí không thuận lợi cho việc tính toán về các vị trí thuận lợi cho việc tính toán (cùng một tam giác, cùng một đường tròn,…) Đặc biệt phép quay là công cụ ưu việt để giải các bài toán tính toán vì đã biết số đo góc quay

Ví dụ 1:

Cho hai vòng tròn (O) và (O’) mà vòng tròn này đi qua tâm vòng tròn kia Cát tuyến qua giao điểm A của hai vòng tròn cắt hai vòng tròn trên tại hai giao điểm thứ hai lần lượt là M và M’ Tìm góc giữa hai tiếp tuyến Mt và M’t’ của (O) và (O’)

M M ' : (O) (O')

Mt M't' (Mt,M't') 60

o

-90 A

B D :

CB nằm trong góc ACE (1)

Tam giác ACE đều nên: ACE 60 (2)  

Tam giác BAC cân tại A và

A

C M

E B

A

C M

15

y

x A

B M'

Bài toán cực trị là bài toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của đại lượng nào đó

2.2 Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình

Giải bài toán cực trị nhờ phép biến hình ta thường chuyển đại lượng cần

xác định về đại lượng đã biết nhờ phép biến hình rồi thực hiện yêu cầu bài

toán Với việc sử dụng phép quay ta thường đưa về bài toán tính toán trước

rồi giải bài toán cực trị

Ví dụ 1:

Cho góc xOy và điểm M nằm trong góc đó Tìm trên các cạnh Ox, Oy các

điểm A, B sao cho OA = OB và MA + MB nhỏ nhất

A A':

A B = a + b - 2abcos 60 + α

M'

M

C A

A'

B

Tóm lại, điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng BA’ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACA’ Khi đó độ dài ngắn nhất cần tìm là:

   Trên đường tròn (O;R) ta lấy điểm M, trên đường tròn (O’;R)

ta lấy điểm M’ sao cho MM’ đi qua B Gọi S là giao điểm các tiếp tuyến của hai đường tròn tại M và M’ Xác định vị trí của hai điểm M và M’ để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM’ lớn nhất

αABM'' =

2ABM ABM'' 180

3 Bài toán quĩ tích

3.1 Bài toán quĩ tích

Bài toán quĩ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một hình) có tính chất α cho trước

Quĩ tích điểm M có tính chất α cho trước có thể là tập rỗng, tập hữu hạn hoặc tập vô hạn điểm

Để khẳng định quĩ tích những điểm có tính chất α là hình H nào đó ta phải thực hiện các bước sau:

- Bước 1 (phần thuận): Chứng minh mỗi điểm có tính chất α đều phải thuộc hình H (nói lên tính không thiếu của quĩ tích)

- Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H đều có tính chất α (nói lên tính không thừa của quĩ tích)

3.2 Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình

Nếu quĩ tích diểm M là hình H thì ta có quĩ tích điểm M’ là (H)

Nếu quĩ tích điểm M’ là hình H’ thì ta có quĩ tích điểm M là 1(H’)

Để giải bài toán quĩ tích, thông thường ta phải chứng minh cả phần thuận

và phần đảo Phần thuận thường dễ chỉ ra nhưng phần đảo thường khó hơn

19

M' C

M

Nhưng khi ta giải bài toán bằng cách sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nói riêng, nhờ vào tính chất 1- 1 mà cả phần thuận và phần đảo được giải quyết cùng lúc Đây là ưu điểm lớn của việc sử dụng phép biến hình vào giải toán quĩ tích

Do đó, muốn sử dụng phép biến hình vào giải toán tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp biến điểm M thành điểm M’ sao cho quĩ tích diểm M’ tìm được dễ dàng hơn, từ đó suy ra quĩ tích của điểm M

Chứng tỏ M thuộc cung chứa góc150 dựng trên dây AB Tập hợp các điểm

M là cung 150 nằm trong tam giác ABC dựng trên dây AB, trừ A, B

Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó thì phép quay -60o

B

Q biến điểm M thành điểm M’ và cung AMB thành cung CM’B có số đo 150

Kí hiệu 2a là dộ dài dây AB có độ dài

không đổi, R là bán kính đường tròn tâm

Vậy tập hợp các điểm N là đường tròn 2 2

(O; R - a ) với a < R, là điểm O với

a = R, là tập rỗng với a > R

Ví dụ 3:

Vì tập hợp điểm B là đường tròn (O) nên

tập hợp điểm C là đường tròn (O’) là ảnh

của đường tròn (O) qua phép quay α

Bài toán dựng hình thường được giải theo qui trình 4 bước:

- Bước 1 (phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối liên

hệ giữa yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho để đưa ra cách dựng

- Bước 2 (cách dựng): Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng

- Bứơc 3 (chứng minh): Là việc chỉ ra hình cần dựng ở bước 2 đã thoả mãn yêu cầu bài toán

- Bước 4 (biện luận): Khẳng định số nghiệm của bài toán

4.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình

Giải bài toán dựng hình nhờ sử dụng phép biến hình thể hiện ở bước phân tích, ta qui việc xác định từng bộ phận của hình cần dựng về ảnh của hình đã cho qua một phép biến hình

Ví dụ 1:

Giả sử đã dựng được tam giác đều ABC nội

tiếp hình vuông MNPQ với đỉnh A cho

trước nằm trên cạnh MN, đỉnh B trên cạnh

Dựng C là ảnh của B qua phép quay -60o

N' N:

23

y z

Vậy ta được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài toán

- Bước 4 (biện luận):

Bài toán có một nghiệm hình nếu đoạn N’P’ cắt đoạn MQ

Bài toán vô nghiệm hình nếu đoạn N’P’ không cắt đoạn MQ

Lấy điểm A bất kì trên x

Dựng ảnh z’ của z qua phép quay

o

60

A

Q

Dựng giao điểm B của z’ và y

Dựng ảnh C của B qua phép quay

Theo cách dựng ta có: By, Ax

o

A

C = Q (B)  CBA=60 ,AC=AB ABClà tam giác đều

Vậy ABC là tam giác đều cần dựng

- Bước 4 (biện luận):

Bài toán có một nghiệm hình nếu z’ cắt y

Bài toán vô nghiệm hình nếu z’ song song với y

Bài toán có vô số nghiệm hình nếu z’ trùng y

*Nhận xét: Trong ví dụ 2, khi ta thay ba đường thẳng bởi ba hình khác, chẳng

hạn: ba đường tròn, ba hình vuông, ba hình bình hành, một đường thẳng và hai đường tròn, một đường tròn và hai đường thẳng,… thì ta được các bài toán hoàn toàn tương tự, sử dụng cách giải như trên

Ta có: ABCD và MNPQ có chung tâm đối

thẳng MN qua phép quay đó thì :

D = aQM

90 O

D = a QM

D QM,a MN

a = (MN)MN//PQ a PQ

C = (D) C PQ

Q Q

A = Q (B) nên A đối xứng với C qua O Do đó: A MN

Vậy hình vuông ABCD vừa dựng thoả mãn đề bài

- Bước 4 (biện luận):

Bài toán có một nghiệm hình

5 Bài toán chứng minh

5.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh có dạng: AB, trong đó:

A là giả thiết, bao gồm: những yếu tố đã cho (điểm, đường thẳng, đường tròn,…); những quan hệ đã biết (liên thuộc, song song, vuông góc,…);những yếu tố về lượng (độ dài, góc,…)

B là kết luận cần được khẳng định là đúng

26

“” là những suy luận hợp lôgic dựa trên các giả thiết có mặt trong A, các định nghĩa, các định lí, các công cụ,… để khẳng định B đúng

5.2 Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép biến hình đó

ta có thể nhận được các kết quả về:

Tính đồng qui hay tính thẳng hàng

Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc

Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau

giúp suy ra điều cần chứng minh

Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa đến các kết quả trên

Ta có thể chuyển đổi bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề

“ AB” thành mệnh đề “ A'B'” , “ A'B” hay “ AB'”bằng cách chuyển A thành A’ và B thành B’ qua một phép biến hình Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ tính chất 1_1 và tính chất của phép biến hình đã

sử dụng để suy ra mệnh đề ban đầu

Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen gọi

là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến với những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được điều cần chứng minh Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh của điểm hay đường qua một phép biến hình nào đó

Ví dụ 1:

Cho hai trục x’Ox và y’Oy vuông góc với nhau tại O Giả sử C là điểm trên phân giác góc xOy, vòng tròn tâm I di động qua C và O cắt Ox’, Oy lần lượt tại M, N

O'

C

O I

a, Chứng minh rằng : OM + ON = k không đổi

b, Giả sử vòng tròn tâm I’ qua C và O cắt Ox’, Oy lần lượt tại A, B thì ta

28

d3

d2 d1

d4 C'' B''

D A

B

C' C

MN + CM + CN = BM +DN + CM + CN = (BM + CM) + (DN



+ CN) = BC + DC

= 2BCVậy CM + CN + MN không phụ thuộc vị trí của các điểm M, N trên BC và

CD

Ví dụ 3:

Cho hình vuông ABCD nội tiếp hình bình hành A’B’C’D’ sao cho:

A A'B', B B'C', C C'D', D D'A'    Hạ từ các đỉnh D’, A’, B’, C’, các

đường vuông góc d1, d2, d3, d4 lần lượt xuống các cạnh hình vuông: CD,

DA, AB, BC Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2, d3, d4 tạo thành một hình vuông

29

rằng qua phép quay 90 quanh điểm O (O là

tâm hình vuông ABCD) các đường thẳng

d1, d2, d3, d4 đường này biến thành đường

kia như sau:

A' A''B' B'':

C' C''D' D''

d1 d2: d3 d4d4 d1

*Chú ý: Có nhiều bài toán sau khi giải xong ta thu được những kết quả mà

dựa vào đó ta có thể xây dựng và giải nhiều bài toán khác liên quan Điều đó được thể hiện qua một số ví dụ sau đây:

M N

B

C A

S

G

H K

M

N

E F

P Q

nghĩa là tam giác DKH vuông cân tại D

*Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 1 ta có công cụ để giải một số bài toán sau: Bài 1:

Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài của tam giác các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF lần lượt có tâm là K, H, G Chứng minh rằng:

b, Tương tự như câu a, ta chứng minh

được: CK HG, BH KG  , nghĩa là AG,

CK, BH là ba đường cao của tam giác

KHG nên chúng đồng qui

Bài 2:

Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABMN và BCPQ lần lượt có tâm là: K, H Gọi I, R lần lượt là trung điểm AC, MQ Chứng minh rằng: KIHR là hình vuông

Giải:

Theo kết quả của ví dụ 1 ta có:

IK = IH, IKIH (1)

Xét tam giác MBQ ta có BMNA, BCPQ

là các hình vuông dựng ra phía ngoài tam

giác đó nên theo ví dụ 1 ta có:

N P

điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là các đỉnh của một hình vuông

Giải:

Gọi I, M, K, N lần lượt là trung điểm

BD, HF, AC, EG

Vì K là trung điểm AC nên áp dụng kết

quả của ví dụ 1 đối với các tam giác

90 K

F E:

F

G

H

K D

C A

B