Luận văn sư phạm Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán ************* ph m th th y phép quay quanh m m t ph ng khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Hình h c Ng ih ng d n khoa h c Bùi v n bình Hà N i – 2008 L ic m n Trong th i gian nghiên c u, v i s c g ng c a b n thân, đ c bi t em đ h cs ng d n t n tình c a th y Bùi V n Bình hồn thành khố lu n này, em xin chân thành c m n th y Bùi V n Bình th y t hình h c khoa toán tr M t l n n a em xin đ ng HSP Hà N i c g i l i c m n sâu s c l i chúc s c kho t i th y cô Hà N i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Ph m Th Thu L i cam đoan Em xin cam đoan b n khoá lu n đ c hồn thành s n l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân s giúp đ t n tình c a th y Bùi V n Bình c ng nh th y t hình h c tr ng HSP Hà N i B n khoá lu n không trùng k t qu c a tác gi khác N u trùng em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Ph m Th Thu M cl c Trang L i c m n…………………………………………………………… L i cam đoan………………………………………………………… Ph n 1: M đ u 1 Lí ch n đ tài………………………………………… Nhi m v nghiên c u………………………………………… Ph ng pháp nghiên c u……………………………………… Ph n 2: N i dung Ch ng 1: C s c a phép quay quanh m m t ph ng Bài 1: Ch nh h 2 ng……………………………………………… Bài 2: Phép quay quanh m m t ph ng………………… ng 2: Phép quay quanh m m t ph ng t p hình h c……….……….……….……….……….……….……….…… Bài 1: Dùng phép quay đ gi i tốn hình h c……………… Bài 2: Xây d ng toán m i nh s d ng phép quay………… 32 Ph n 3: K t lu n Tài li u tham kh o…………………………………………………… 40 41 Ph n 1: m đ u Lí ch n đ tài Trong nhà tr ng ph thơng, hình h c ln m t mơn h c khó đ i v i h c sinh B i hình h c có tính ch t ch t ch , tính lơgic tính tr u t ng cao h n môn h c khác c a tốn h c Trong ch ng trình tốn b c trung h c ph thơng hi n có đ a cho h c sinh m t cơng c m i đ gi i tốn hình h c s d ng phép bi n hình m t ph ng B i phép bi n hình nói chung phép quay nói riêng th hi n tính u vi t rõ r t gi i toán Là m t giáo viên ph i tu vào trình đ h c sinh c a mà đ a toán phù h p nên m i giáo viên c n bi t cách xây d ng m t toán S d ng phép bi n hình nói chung phép quay nói riêng ta có th xây d ng sáng t o tốn Chính v y khố lu n em xin trình bày v “Phép quay quanh m t m m t ph ng” Nhi m v nghiên c u - Xây d ng đ a c s lí thuy t v phép quay quanh m m t ph ng - Xây d ng h th ng t p ng d ng phép quay đ gi i - Xây d ng, sáng t o toán b ng cách s d ng phép quay Ph ng pháp nghiên c u Trên c s nghiên c u lí thuy t c a phép quay quanh m m t ph ng đ a h th ng t p phù h p Ph n 2: N i dung Ch ng 1: c s c a phép quay quanh m m t ph ng Bài 1: nh h nh h ng ng m t ph ng Trong m t ph ng cho m O xung quanh O có hai chi u quay, n u ta ch n m t chi u làm chi u d r ng đ nh h quanh O ng ng đ ng chi u l i làm chi u âm ta nói c m t ph ng Thông th c chi u kim đ ng h làm chi u d ng, ta ch n chi u quay xung ng chi u ng c l i làm chi u âm Góc đ nh h ng gi a hai tia nh ngh a 2.1 Trong m t ph ng đ nh h đ nh h ng cho hai tia chung g c O: Ox, Oy Góc ng có tia đ u Ox, tia cu i oy, kí hi u ( Ox, Oy ) góc thu đ c ta quay tia đ u Ox t i trùng tia cu i Oy * Nh n xét: Giá tr c a góc đ nh h c giá tr âm hay d d ng không ph i nh t, ta qui ng tu theo chi u quay chi u âm hay chi u ng c a m t ph ng Ta g i giá tr đ u c a góc đ nh h ng, giá tr thu đ c quay Ox t i trùng Oy theo góc hình h c nh nh t N u m t giá tr c a góc đ nh h ng gi a hai tia Ox Oy thì: (Ox,Oy)  + k2 (k  Z) 2.2 H th c Sal Trong m t ph ng đ nh h ng, cho ba tia chung g c Ox, Oy, Oz H th c Sal : (Ox, Oy)  (Oy, Oz)  (Ox, Oz) * M r ng cho n tia: Trong m t ph ng đ nh h ng, cho n tia chung g c: OA , OA , OA , , OA n H th c Sal : (OA1 ,OA ) + (OA ,OA3 ) + + (OA n-1 ,OA n ) = (OA1 ,OA n ) Bài 2: PHép quay quanh m m t ph ng nh ngh a Trong m t ph ng đ góc đ nh h ng c đ nh h ng, cho m t m O c đ nh m t sai khác k2 (k  Z) M t phép quay tâm O v i góc quay m t phép bi n hình bi n m O thành bi n m i m M thành m M’ cho OM = OM’ (OM,OM') = Kí hi u phép quay tâm O v i góc quay QO ho c Q(O; ) Ta th ng ch n cho -   * Chú ý: Theo đ nh ngh a phép quay Q(O; ) v i = ho c = phép đ ng nh t, n u = - phép đ i x ng tâm O Tính ch t 2.1 Q(O; ) phép d i hình CM: Gi s : Q(O; ) : M  M’ N  N’ Theo đ nh ngh a phép quay ta có : OM  OM '  ON  ON'  (OM, OM ')  (ON, ON' )  OM  OM'  ON  ON'  (OM, ON)  (OM', ON') OMN = OM'N' (c.g.c)   MN  M ' N' V y Q(O; ) phép d i hình 2.2 Q(O; ) (  k2 , k  Z) có m t m b t đ ng nh t phép bi n đ i 1-1 CM: Theo đ nh ngh a ta có O m b t đ ng c a Q(O; ) Gi s O’ m b t đ ng th hai c a Q(O; tia OO’ b ng , ngh a ), khác O Th góc t o b i = (mâu thu n gi thi t) i u ch ng t Q(O; ) có m O m b t đ ng nh t Nêú M M có m t nh m M’ Q(O; - ) : M'  M M '  M OM1 = OM Khi :  (OM',OM1 ) = (OM',OM ) = - K t qu ch ng t M  M 2.3 Q(O; ) bi n ba m th ng hàng thành ba m th ng hàng b o t n th t c a chúng CM: Theo tính ch t 2.1, phép quay Q(O; ) phép d i hình Do n u A’, B’, C’ l nl t nh c a ba m th ng hàng theo th t A, B, C A’, B’, C’ th ng hàng theo th t * H qu : Phép quay Q(O; ) bi n: i)M t đ hai đ ng th ng d thành đ ng th ng b ng ng th ng d’và góc đ nh h , d  d' = ± 90o ii)Bi n tia Sx thành tia S’x’ góc t o b i hai tia b ng iii)Bi n đo n PQ thành đo n P’Q’ PQ = P’Q’ ng t o b i iv)Bi n góc xSy thành góc x' S' y' hai góc b ng v)Bi n đ ng tròn (I;R) thành đ ng tròn (I’;R) 2.4 Tích c a hai phép quay ho c m t phép t nh ti n ho c m t phép quay CM: Xét hai phép quay QO' QO t Q = QO'  QO * TH1 : O  O' OM = OM' QO:M  M'  (OM,OM') = OM' = OM'' QO:M'  M''  (OM',OM'') = OM = OM'' Do :  (OM,OM'') = (OM,OM') + (OM',OM'') = + V y Q = QO+ *TH2: O  O' : B đ : Tích c a hai phép đ i x ng tr c c t m t phép quay quanh giao m v i góc quay 2(a, a') (a a’ hai tr c) a  a'  I a'  a  Q2I(a,a') CM: - N u M  I theo tính ch t c a phép đ i x ng tr c ta có : I M M'' M '  I  M ' '  I M' a 10 a' Th c hi n phép quay: Q90 O o AB  DA  90o  DC  CB Q O :M  M'   N  N' M  AB  M'  DA N  DC  N'  CB MN = M'N', MN  M'N' MN  PQ nên M’N’ song song Vì :  M'N' MN   ho c trùng v i PQ tr ng h p ta c ng có M’N’ = PQ Do đó: MN = PQ Ta s d ng k t qu c a toán đ gi i m t s tốn d ng hình sau: Bài 1: D ng hình vuông ABCD bi t tâm O M, N l n l t đ ng th ng AB, BC Gi i: -B đ c (phân tích): Gi s d ng d2 d4 c hình vng ABCD tho mãn A d3 d1 B M toán Gi s : N’, M’ l n l N' t đ i x ng v i O N, M qua O thì: N'  AD, M'  DC N ng th ng qua M, vng góc v i M' M'' D NN’, c t CD t i M’’ theo ví d ta có: MM’’ = NN’ 33 C -B c (cách d ng): D ng N’, M’ l n l Trên đ t đ i x ng v i N, M qua m O ng th ng d1 qua M, vng góc v i NN’ ta l y m M’’ cho: MM’’ = NN’ M, A phía đ i v i đ ng th ng M’M’’ Qua N d ng đ ng th ng d2 vng góc v i M’M’’ c t M’M’’ t i C Qua M d ng đ ng th ng d3 vng góc v i d2 c t d2 t i B Qua N’ d ng đ ng th ng d4 song song v i d2, c t d3 M’M’’ l n l tt i A D Khi ta đ -B c hình vuông ABCD c n d ng c (ch ng minh): D th y hình vng ABCD đ -B c d ng nh tho mãn yêu c u toán c (bi n lu n): OM  ON N u Thì theo cách d ng o  MON = 90  ta có: M  M'M''  M  DC i u mâu thu n v i gi thi t M  AB V y tr Các tr ng h p toán vơ nghi m hình ng h p khác tốn có m t nghi m hình Bài 2: D ng hình vng ABCD bi t đ nh A trung m M c a BC Gi i: 34 d1 d2 d3 A B P M Q C d4 D -B c (phân tích): Gi s d ng đ Qua M k đ c hình vng ABCD tho mãn yêu c u toán ng th ng d1 vng góc v i AM, c t AB, DC l n l t t i P, Q theo ví d ta có: PQ = AM -B c (cách d ng): Qua M d ng đ ng th ngd1 vng góc v i AM Trên d1 v hai phía c a M l y hai m P, Q cách đ u M cho PQ = AM Qua M d ng đ ng th ng d2 vng góc v i AP, c t AP t i B Qua A d ng d3 song song v i d2 Qua Q d ng đ ng th ng d4 song song v i AP, c t d2 d3 l n l t t i C D Khi ta đ -B c hình vng ABCD c n d ng c (ch ng minh): D th y hình vng ABCD đ mãn u c u tốn -B c (bi n lu n): Bài tốn có m t nghi m hình Bài 3: Hãy d ng hình vng ngo i ti p t giác l i ABCD 35 c d ng nh tho Gi i: -B c (phân tích): Gi s d ng đ c N B' P B hình vng MNPQ ngo i ti p t giác l i ABCD C v i: A  MN, B  NP, C  PQ, D  QM A Theo ví d ta có: đ M ng th ng d1 qua d4 Q D D, vng góc v i AC, c t NP t i B’ BD’ = AC -B d2 d3 d1 c (cách d ng): D ng đ ng th ng d1 qua D vng góc v i AC Trên d1 l y m B’ cho DB’ = AC AB’CD t giác l i Qua C d ng đ ng th ng d2 vuông góc v i BB’ t i P Qua A d ng đ ng th ng d3 song song v i d2, c t BB’ t i N Qua D d ng đ ng th ng d4 vng góc v i d3, c t d3 d2 l n l t t i M Q Khi ta đ -B c hình vng MNPQ c n d ng c (ch ng minh): D th y hình vng MNPQ d ng nh tho mãn yêu c u toán -B c (bi n lu n): Bài tốn có m t nghi m hình n u B’ khơng trùng v i B Bài tốn có vơ s nghi m hình n u B’ trùng v i B Bài 2: Xây d ng toán m i nh s d ng phép quay Xu t phát t nh ng u bi t toán đ n gi n, s d ng phép bi n hình ta có th xây d ng, sáng t o tốn m i khố lu n em ch trình bày cách sáng t o, xây d ng toán m i nh s d ng phép quay mà khơng trình bày l i gi i c a tốn l i gi i d dàng có đ ta xây d ng tốn 36 c cách Ví d 1: Gi s cho tr c m O m t ph ng; N, N’ hai m tu ý Th c hi n phép quay: Q90 O o N  M : O  N'  M'  NN' = MM'   NN'  MM' Q 90o B ng cách đ t N, N’, M, M’ vào hình thích h p ta s xác đ nh đ 90o xây d ng đ quay Q O c toán, ch ng h n: Bài tốn 1: B' M' Cho hai hình vng ABCD A' B N C N' A’B’C’D’ có chung tâm đ nh đ c đánh theo chi u quay kim đ ng h G i M, N l n l M t trung m c nh AB, BC; M’, N’ l n l c phép C' A D t trung m c nh A’B’, B’C’ Ch ng minh r ng: D' MM'  NN', MM' = NN' Trong phép quay trên, thay góc 90  b i góc 60  ta đ Bài toán 2: Hai tam giác đ u ABC A’B’C có đ nh đ c đánh theo chi u quay kim đ ng h G i M, N l n l t trung 37 c toán nh sau: B N B' A' m AA’, BB’ Ch ng minh r ng: M MA’ = NB’ (MA’, NB’) = 60  A Ví d 2: C Cho tam giác đ u ABC, tr ng tâm G Xét đ ng th ng a c t AB, BC l n l t t i N, M Th c hi n phép quay: Q-120 G Q Gi s đ l -120o G o :a  b ng th ng b c t AC, AB l n t t i P, Q A Khi ta có: (a,b) = 60o Q 120o G N C  A : A  B G Q b P 60 120 Gi s : 120o Q G :P  P' B M Vì P CA  P'  AB a PGP' = 120  P'  N o Q 120o G :P  N  GN = GP, PGN = 120o T ng t nh v y ta ch ng minh đ 120o Q G C c: :Q  M  GQ = GM, QGM = 120o  GN + GM = GP + GQ  PQ = MN (1) Tam giác NGP tam giác MGQ cân t i G nên : NPQ = MQP  NP // QM hay MPNQ hình thang (2) 38 K t h p (1) (2) ta có: MPNQ hình thang cân *T ta có toán sau: Bài toán: Cho tam giác đ u ABC có tr ng tâm G Qua G k đ l nl t t i M, N; k đ t ov iđ ng th ng a c t BC, AB ng th ng b c t AC, AB l n l t t i P, Q, đ ng th i ng th ng a góc 60  Ch ng minh r ng: MPNQ hình thang cân Ví d 3: Cho ba m th ng hàng theo th t A, C, B -60 Th c hi n phép quay: Q60 C , QC o Q Q 60o C F :B  E -60o C o :A  F M E 60  B  E  Q :  BF = EA C  F A  o G i M, N l n l Q N A C B t trung m BF, EA ta c ng có: 60o C :MN Do đó: CM = CN MCN = 60o , hay tam giác CMN d u *T s phân tích ta xây d ng đ c toán sau: Bài toán 1: Trên đo n th ng AB ta l y m C không trùng v i A B D ng tam giác đ u CAF, BCE cho E, F n m phía đ i v i đ ng th ng AB Ch ng minh r ng: a, AE = BF b, Tam giác CMN đ u, M, N l n l Khi m C n m đ t trung m BF, EA ng th ng AB ta c ng có k t qu t tốn sau: 39 ng t ta có Bài tốn 2: Cho ba m A, B, C không th ng hàng D ng tam giác đ u CBE CFA chi u theo th t Ch ng minh r ng: a, AE = BF b, Tam giác CMN đ u v i M, N l n l Khi góc quay 60  đ t trung m BF, AE c thay b i góc quay 90  ta có tốn sau: Bài tốn 3: N M Trên đo n th ng AB l y m C khác A B D ng hình vng ACMN, CBEF n m v m t phía đ i v i đ Ql nl ng th ng AB G i P, Q t trung m AF, BM F Ch ng minh r ng: E P a, AF b ng vng góc v i BM A B C b, Tam giác QPC tam giác vuông cân A Ví d 4: B Cho tam giác ABC B' Th c hi n phép quay: B  B' : A C  C'  BC = B'C', AC = CC', AB = BB' Q C' 60 60 60 C Trong tam giác ABC c nh l n nh t không l n h n t ng hai c nh l i, ngh a đo n l n nh t ba đo n BC, AB, AC không l n h n t ng hai đo n l i Do đó, theo ta có: ba đo n B’C’, CC’, BB’ đo n l n nh t không l n h n t ng hai đo n l i *T s phân tích ta xây d ng đ c toán sau: Bài tốn: 40 Cho ba m khơng th ng hàng A, B, C D ng tam giác đ u ABB’ tam giác đ u ACC’ cho hai tam giác chi u theo th t Ch ng minh r ng đo n th ng l n nh t ba đo n B’C’, BB’, CC’ không l n h n t ng hai đo n l i Ví d 5: Cho ba m khơng th ng hàng A, B, D -60 Th c hi n phép quay: Q60 A , QA o Q 60o A :D  F, Q o -60o A A B  E : E  K B D C D  F 60o   Q : E  B A K  E  F K E DK = EF  o ( DK, EF ) = 60 N u ta l y m C cho DKEC hình bình hành thì: DK = CE DK// CE EF = CE Do đó:  hay tam giác CEF đ u o  CEF = 60  *T s phân tích ta có tốn đ c xây d ng nh sau: Bài tốn: Cho hình bình hành ABCD D ng tam giác đ u ABE ADF cho E n m phía v i m C đ i v i đ v i m C đ i v i đ ng th ng AB, m F n m phía ng th ng AD Ch ng minh r ng: tam giác CEF tam giác đ u Ví d 6: A 41 M M' C Xét tam giác đ u ABC theo th t ng c chi u kim đ ng h , n i ti p đ ng tròn tâm O i m M thu c cung nh AB Th c hi n phép quay: Q-60 B o A  C : B M  M'  BAM = BCM' (c.c.c) Q -60o  BMA = BM'C = 120o , AM = CM' Tam giác BMM’ đ u nên : MM'B = 60o , MM' = MB Do đó: MM'C = 180o hay M, M’, C th ng hàng M’ thu c đo n MC nên: MC = MM’ + M’C = MB + MA *T s phân tích ta xây d ng đ c toán sau: Bài toán: Cho tam giác đ u ABC n i ti p m t đ ng tròn Trên cung nh AB l y m t m M Ch ng minh: MC = MA + MB Ví d 7: Cho tam giác ABC D ng phía ngồi tam giác tam giác cân AMB, ANC l n l t cân t i M, N góc AMB b ng m, góc ANC b ng n Th c hi n phép quay: QmM , QnN Q mM : B  A Q nN : A  C m  Q nN  Q M :BC Gi s : m QnN  QM = QPn + m Khi đó, theo cách xác đ nh tích hai phép quay, tam giác MNP ta có: PMN = m n n+m , MNP =  NPM = 180o 2 42 t p = 360o - (n+m) A M *TH1: n + m > 180  p < 180 o Vì: Q n+m P N o : BCQ 360o - p P m n C B : B  C nên P n m khác phía v i A đ i v i đ ng th ng p BC hay tam giác BCP cân t i P d ng P phía ngồi tam giác ABC có góc BPC b ng p *T s phân tích ta xây d ng đ c toán: Bài toán: Cho tam giác ABC D ng phía ngồi tam giác tam giác cân AMB, ANC, BPC l n l t cân t i M, N, P AMB = m, ANC = n, BPC = p cho n + m + p = 360o Tính góc c a tam giác PMN Khi cho m, n, p giá tr xác đ nh ta có tốn c th nh sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC D ng phía ngồi tam giác tam giác đ u ABM, CAN, BCP l n l t có tâm K, H, G Ch ng minh r ng: tam giác KHG tam giác đ u Bài toán 2: Cho tam giác ABC D ng phía ngồi tam giác vuông cân ABM, CAN l nl t cân t i M, N G i P trung m BC Ch ng minh r ng: MNP tam N giác vuông cân n *TH2: n + m < 180o  p > 180o M Vì: Q n+m P : BCQ 360o - p P : B  C nên P phía v i A đ i v i đ A m p ng th ng BC hay tam giác PBC cân t i P d ng P B 43 C vào phía tam giác ABC BPC = 360o - p = n + m *T s phân tích ta xây d ng đ c toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC D ng phía ngồi tam giác tam giác cân ABM, CAN; d ng vào phía tam giác ABC tam giác cân BCP l n l t cân t i M, N, P AMB = m, ANC = n, BPC = p; p = n + m Tính góc c a tam giác PMN Cho m, n, p giá tr xác đ nh ta có tốn c th , ch ng h n ta xây d ng đ c toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC D ng phía ngồi tam giác tam giác AMB, ANC cho: tam giác AMB vuông cân t i t i M, tam giác ANC đ u; d ng vào phía c a tam giác ABC tam giác BPC cân t i P cho BPC = 150o Tính góc c a tam giác PMN 44 Ph n : K t lu n tài trình bày đ c: C s lí lu n c a phép quay quanh m m t ph ng H th ng t p s d ng phép quay đ gi i th hi n m t ph ng pháp gi i tốn hình h c ng n g n, d hi u s d ng phép bi n hình nói chung, phép quay nói riêng L u ý đ n vi c s d ng k t qu c a toán đ gi i toán khác, v n d ng linh ho t, xác a ví d v vi c s d ng phép quay đ xây d ng, sáng t o toán Tuy có nhi u c g ng, song n ng l c b n thân c ng nh u ki n v tài li u th i gian h n ch nên khố ku n không tránh kh i nh ng m khuy t sai sót; em kính mong th y cô, b n ch b o tham gia ý ki n đ khố lu n hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! 45 Tài li u tham kh o [1] Bùi V n Bình Giáo trình t p hình h c s c p (1993), tr ng HSP Hà N i [2] Nguy n V n V n _ Bùi V n Bình Giáo trình hình h c s c p (1993), tr ng HSP Hà N i [3] Nguy n M ng Hy Các phép bi n hình m t ph ng (2003), Nxb Giáo d c [4] Thanh S n Phép bi n hình m t ph ng (2006), Nxb Giáo d c [5] V.Vpraxolov Các tốn v hình h c ph ng (2002), Nxb H i Phòng 46 47 ... Ph n 2: N i dung Ch ng 1: C s c a phép quay quanh m m t ph ng Bài 1: Ch nh h 2 ng……………………………………………… Bài 2: Phép quay quanh m m t ph ng………………… ng 2: Phép quay quanh m m t ph ng t p hình h c……….……….……….……….……….……….……….……... phép quay quanh m m t ph ng - Xây d ng h th ng t p ng d ng phép quay đ gi i - Xây d ng, sáng t o toán b ng cách s d ng phép quay Ph ng pháp nghiên c u Trên c s nghiên c u lí thuy t c a phép quay. .. ,OA n ) Bài 2: PHép quay quanh m m t ph ng nh ngh a Trong m t ph ng đ góc đ nh h ng c đ nh h ng, cho m t m O c đ nh m t sai khác k2 (k  Z) M t phép quay tâm O v i góc quay m t phép bi n hình