Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng

Mở ĐầU Lí DO CHọN Đề TàI Hình học phận quan trọng Toán học kiến thức hình học phần kiến thức khó học sinh môn học lôgic trừu tượng so với môn học khác Trong chương trình hình học lớp 11 học sinh làm quen với phần kiến thức hình học tương đối khó phép biến hình Phép biến hình mảng kiến thức khó học sinh tiếp xúc với vấn đề nên việc sử dụng phép biến hình để giải số toán hình học em lạ gặp nhiều khó khăn Chính lí em chọn đề tài: Phép đối xứng tâm mặt phẳng nhằm cung cấp cho người đọc hiểu rõ phép biến hình ứng dụng việc giải toán hình học phẳng MụC ĐíCH NGHIÊN CứU Làm rõ ứng dụng phép đối xứng tâm việc giải toán hình học mặt phẳng ĐốI TƯợNG NGHIÊN CứU Phép đối xứng tâm mặt phẳng PHạM VI NGHIÊN CứU Các toán hình học mặt phẳng NHIệM Vụ NGHIÊN CứU Nghiên cứu kiến thức phép đối xứng tâm ứng dụng việc giải toán hình học phẳng Đưa hệ thống tập dạng toán: chứng minh tính chất hình học, cực trị, quỹ tích, dựng hình, phép đối xứng tâm hệ tọa độ Đề - vuông góc NộI DUNG CHƯƠNG CƠ Sở Lí LUậN Đ1: PHéP BIếN HìNH TRONG MặT PHẳNG 1.1 ĐịNH NGhĩA Mỗi song ánh f : P P từ tập điểm mặt phẳng P lên gọi phép biến hình mặt phẳng Ví dụ: Phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến 1.2 ĐịNH Lí Tập hợp phép biến hình mặt phẳng lập thành nhóm phép nhân ánh xạ 1.3 MộT Số ĐịNH NGHĩA CƠ BảN Cho phép biến hình f : P P Điểm M P gọi điểm bất động (điểm kép) phép biến hình f f(M) = M Hình H P gọi hình kép f(H) = H Nghĩa là, M H : f(M) H Hình H P gọi hình bất động phép biến hình f M H : f(M) = M Phép biến hình f mặt phẳng gọi phép biến hình đối hợp f = id _phép đồng Phép biến hình tích: Cho g f hai phép biến hình mặt phẳng Khi h = g f song ánh mặt phẳng nên h phép biến hình gọi phép biến hình tích Đ2 PHéP DờI HìNH TRONG MặT PHẳNG 2.1 ĐịNH NGHĩA Phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm mặt phẳng gọi phép dời hình mặt phẳng Nghĩa là, với hai điểm M, N thuộc mặt phẳng P có ảnh M' = f(M), N' = f(N) ta có M'N' = MN 2.2 TíNH CHấT 2.2.1 Tính chất 1: Phép dời hình bảo toàn thẳng hàng ba điểm thứ tự chúng đường thẳng chứa ba điểm Hệ 1: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Hệ 2: Phép dời hình biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường tròn thành đường tròn tâm biến thành tâm 2.2.2 Tính chất 2: Tích hai phép dời hình liên tiếp phép dời hình Nghĩa là, f1 : M M' f2 : M' M" hai phép dời hình ta có tích hai phép dời hình f2 f1 : M M" phép dời hình 2.3 ĐịNH Lí Về Sự XáC ĐịNH PHéP DờI HìNH Trong mặt phẳng phép dời hình hoàn toàn xác định hai tam giác 2.4 CáC PHéP DờI HìNH ĐặC BIệT 2.4.1 Phép tịnh tiến 2.4.2 Phép đối xứng tâm 2.4.3 Phép đối xứng trục 2.4.4 Phép quay Trong việc giải toán hình học phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ mà biết sử dụng có phương pháp biến hình Đó phương pháp vận dụng tính chất phép biến hình vào việc khảo sát tính chất hình học hình, tính toán đại lượng hình học, tìm tập hợp điểm dựng hình Các phép dời hình vận dụng nhiều việc giải toán hình học phẳng Đề tài đề cập đến phép dời hình đặc biệt phép đối xứng tâm Qua việc tìm hiểu tính chất ứng dụng phép đối xứng tâm mặt phẳng để vận dụng vào giải toán hình học cụ thể Từ cung cấp cho người đọc công cụ giải toán phương pháp biến hình mà cụ thể sử dụng phép đối xứng tâm (có thể gọi phương pháp đối xứng tâm) Đ3 PHéP ĐốI XứNG TÂM TRONG MặTPHẳNG 3.1 ĐịNH NGHĩA Trong mặt phẳng cho điểm O Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM' = -OM gọi phép đối xứng qua tâm O Phép đối xứng qua tâm O thường kí hiệu ĐO Điểm O gọi tâm đối xứng O M M' Điểm O gọi tâm đối xứng hình (H) phép đối xứng tâm ĐO biến hình (H) thành nó, tức ĐO(H) = H 3.2 TíNH CHấT 3.2.1 Tính chất 1: Nếu A B ảnh hai điểm A, B phép đối xứng tâm ĐO A'B' = -AB 3.2.2 Tính chất 2: Phép đối xứng tâm ĐO có điểm bất động tâm O Nghĩa ĐO(O) = O 3.2.3 Tính chất 3: Phép đối xứng tâm ĐO phép biến đổi - 3.2.4 Tính chất 4: Tích hai phép đối xứng tâm phép tịnh tiến 3.2.5 Tính chất 5: Tích ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm 3.2.6 Tính chất 6: Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng 3.2.7 Hệ quả: Phép đối xứng tâm ĐO biến: Đường thẳng d thành đường thẳng d d // d d d Tia Sx thành tia Sx ngược chiều Đoạn MN thành đoạn MN MN = MN Góc thành góc Đường tròn (I, R) thành đường tròn (I, R) 3.3 BIểU THứC TọA Độ CủA PHéP ĐốI XứNG TÂM Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(a; b) Nếu phép đối xứng tâm ĐI x' = 2a - x biến điểm M(x; y) thành điểm M(x; y) y' = 2b - y CHƯƠNG ứNG DụNG PHéP ĐốI XứNG TÂM VàO GIảI CáC BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG Đ1 BàI TOáN CHứNG MINH TíNH CHấT HìNH HọC 1.1 Phương pháp chung Bài toán chứng minh tính chất hình học ta thường gặp hai loại toán sau: Bài toán định tính: Ta thường gặp toán sau: Bài toán 1: Xác định phép đối xứng tâm biến hình (H) thành hình (H) Bước 1: Lấy điểm M tùy ý thuộc (H) Gọi M ảnh M qua phép đối xứng tâm ĐO Chứng minh M (H) Bước 2: Ngược lại lấy điểm M (H) Gọi M tạo ảnh M qua ĐO Chứng minh M (H) Bước 3: Kết luận phép đối xứng tâm biến hình (H) thành hình (H) ĐO Bài toán 2: Chứng minh O tâm đối xứng hình (H) Bước 1: Lấy điểm M thuộc (H), gọi điểm M ảnh điểm M qua phép đối xứng ĐO Bước 2: Chứng minh M (H) Bước 3: Kết luận điểm O tâm đối xứng hình (H) Bài toán 3: Chứng minh tính chất Bước 1: Xác định nhiều phép đối xứng tâm để thiết lập mối liên hệ yếu tố Bước 2: Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm để giải yêu cầu toán Bài toán định lượng: tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích hình hình học Bước 1: Xác định yếu tố cần tính toán, yếu tố biết toán Bước 2: Tìm mối liên hệ yếu tố cho với yếu tố cần tính toán Bước 3: Thiết lập phép đối xứng tâm thích hợp Bước 4: Dựa vào liệu thiết lập để tính toán yếu tố cần tính toán 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) (O) có bán kính R Tìm phép đối xứng tâm biến (O) thành (O) Ví dụ 2: Xác định tâm đối xứng hình gồm hai đường thẳng song song Ví dụ 3: Cho ABC có đường tròn nội tiếp (O) Kẻ tiếp tuyến (O) song song với cạnh ABC Chứng minh cạnh ABC tiếp tuyến nói tạo thành lục giác có cạnh đối diện Ví dụ 4: Cho ABC vuông cân A, điểm M tùy ý AC Kẻ tia Ax vuông góc với BM cắt BC H Gọi K điểm đối xứng với C qua H Kẻ tia Ky vuông góc với BM cắt AB N Tính góc ? Bài Xác định tâm đối xứng hình sau a) Hình gồm hai đường thẳng cắt b ) Hình gồm hai đường tròn Bài Chứng minh hình có hai trục đối xứng vuông góc với có tâm đối xứng Bài Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD ABCD nội tiếp hình bình hành ABCD cho A AB, B BC, C CD,D DA Chứng minh tâm hai hình bình hành trùng Bài Cho phép đối xứng tâm ĐA, ĐB, ĐC, (A, B, C phân biệt) Chứng minh: Đ = ĐCoĐBoĐAoĐCoĐBoĐA phép đồng Bài Cho đoạn AC B trung điểm AC Chứng minh ĐCoĐBoĐA = ĐB Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Hạ MM, NN, PP, QQ vuông góc với CD, DA, AB BC Chứng minh bốn đường thẳng MM, NN,PP, QQ đồng quy điểm Bài Cho ABC có H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi E, F, K điểm đối xứng với H qua M, N, P Chứng minh E, F, K thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC Bài Đường tròn (O) cắt cạnh BC, CA, AB ABC tương ứng điểm M M, N N, P P Chứng minh đường thẳng qua M, N, P tương ứng vuông góc với cạnh tam giác chứa điểm đồng quy đường thẳng qua M, N, P vuông góc với cạnh tam giác chứa điểm đồng quy Bài 10 Cho điểm M nằm ABC Gọi N, P, Q điểm đối xứng với M qua trung điểm AB, BC, CA Chứng minh CN, AP, BQ đồng quy Bài 11 Cho ABC có AM CN trung tuyến Chứng minh ABC Đ2 toán cực trị 2.1 Phương pháp chung Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ được: Với vị trí hình H miền D f m (m số) Xác định vị trí hình H miền D cho f = m Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ được: Với vị trí hình H miền D f m (m số) Xác định vị trí hình H miền D cho f = m 2.2 Các ví dụ Ví dụ Cho ABC điểm O nằm tam giác Gọi ABC ảnh ABC phép đối xứng tâm ĐO T đa giác tạo phần chung hai tam giác ABC, ABC Tìm vị trí O cho T có diện tích lớn Ví dụ Trong hệ tọa độ Đề vuông góc cho đường hyperbol (H) có phương trình y = điểm A(-2; 3) Một đường thẳng d qua gốc tọa x độ cắt đường cong (H) hai điểm M M Xác định vị trí d để AM2 + AM'2 có giá trị nhỏ 10 2.3 Bài tập Bài Cho ABC Hãy tìm đa giác lồi có tâm đối xứng chứa (các đỉnh cạnh tam giác nằm biên đa giác) tam giác cho có diện tích nhỏ Bài Trong hệ tọa độ Đề - vuông góc cho elíp (E) có phương trình: x2 y2 = Tìm hình chữ nhật ABCD nội tiếp (E) cho hình chữ nhật a b2 có diện tích chu vi lớn + Bài Trong hệ tọa độ Đề vuông góc cho đường hyperbol (H) có phương trình y = điểm A(-2; 2) Một đường thẳng d qua gốc tọa x độ cắt (H) điểm P Q Xác định vị trí đường thẳng PQ để AP + AQ nhỏ Bài Trong hệ tọa độ Đề vuông góc cho elíp (E) có phương trình x + 4y2 = điểm A(3; -2) Một đường thẳng qua tâm đối xứng elíp hai điểm P Q Hãy xác định vị trí đường thẳng PQ cho AP + AQ nhỏ 11 Đ3 BàI TOáN QUỹ TíCH 3.1 Phương pháp chung Sử dụng phép đối xứng tâm để giải toán quỹ tích chứng minh tập hợp điểm cần tìm ảnh hình biết qua phép đối xứng tâm Bài toán: Cho hình (H) điểm M thay đổi (H) Tìm quỹ tích điểm M M thay đổi Cách giải: Bước : Tìm điểm I cố định cho I trung điểm MM Bước 2: Dựa vào tính chất phép đối xứng tâm ĐI ta suy quỹ tích điểm M Nhận xét: Để giải toán quỹ tích ta phải tiến hành chứng minh phần thuận phần ảo Nhưng ta sử dụng phép đối xứng tâm để giải toán, nhờ tính chất - phép đối xứng tâm nên phần thuận phần ảo toán lúc chứng minh 3.2 Các ví dụ Ví dụ Cho đường tròn (O, R) hai điểm A, B cố định Với điểm M, ta xác định điểm M cho MM' = MA + MB Tìm quỹ tích điểm M điểm M di động đường tròn (O, R) Ví dụ Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Điểm M di động (O), M không trùng với A, B Hai đường tròn (O), (O) qua M tiếp xúc với AB A, B Gọi N giao điểm thứ hai (O) (O) Tìm tập hợp điểm N M di động đường tròn (O) 3.3 Bài tập Bài Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), BC cố định A di động đường tròn (O) Tìm quỹ tích trực tâm H ABC Bài Cho điểm C thay đổi đường tròn (O), đường kính AB Trên tia AC lấy P cho AC = CP 12 a) Tìm tập hợp điểm Q đỉnh hình bình hành có cạnh PA PB b) Tìm tập hợp điểm H đỉnh hình bình hành có hai cạnh AB AP Bài Cho đường tròn (O) hai điểm A, C cố định cho đường thẳng AC không cắt đường tròn (O) Điểm B thay đổi đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm D B di chuyển đường tròn (O) cho ABCD hình bình hành Bài Cho đường thẳng d hai điểm A, C cố định không thuộc d Điểm B thay đổi d Tìm quỹ tích điểm D B di chuyển đường thẳng d cho ABCD hình bình hành Bài Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M thay đổi (O) Gọi N điểm đối xứng với M qua A, P điểm đối xứng với N qua B, Q điểm đối xứng với P qua C Chứng minh phép biến hình biến điểm M thành điểm Q phép đối xứng tâm Tìm quỹ tích điểm Q Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C phân biệt không nằm đường tròn (O, R), M di động (O) Điểm N đối xứng với M qua A, P đối xứng với N qua B, Q đối xứng với P qua C Tìm tập hợp điểm Q M chuyển động đường tròn (O) Bài Cho hình bình hành ABCD với điểm M cạnh AB Lấy N đối xứng với M qua D, P đối xứng với N qua trung điểm CD, Q đối xứng với P qua B Tìm quỹ tích điểm Q M thay đổi cạnh AB 13 Đ4 BàI TOáN DựNG HìNH 4.1 Phương pháp chung Giải toán dựng hình ta thực theo bước sau: Bước 1: Phân tích Giả sử dựng hình thỏa mãn đầu bài.Tìm điều kiện xác định phận hình cần dựng (phần thể điều kiện cần) Bước 2: Cách dựng Dựa vào bước để dựng hình phép đối xứng tâm phù hợp (phần thể điều kiện đủ) Bước 3: Chứng minh Khẳng định hình thu từ cách dựng nghiệm Chứng tỏ điều kiện cần đủ Bước 4: Biện luận Bài toán có nghiệm : số nghiệm Bài toán vô nghiệm Giải toán dựng hình cách sử dụng phép đối xứng tâm việc thể phần phân tích ta quy việc xác định phận hình cần dựng việc xác định hình ảnh phận hình cần dựng qua phép đối xứng tâm 4.2 Các ví dụ Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (K) có giao điểm A Dựng đường thẳng qua A cho cắt hai đường tròn theo dây cung Ví dụ Cho hai đường thẳng x, y hai điểm A, G không thuộc x, y Dựng ABC có trọng tâm G đỉnh B, C thuộc x, y 14 4.3 Bài tập Bài Qua điểm A cho trước, kẻ đường thẳng cho đoạn thẳng xác định giao điểm với đường thẳng đường tròn cho trước nhận A làm trung điểm Bài Cho ABC điểm D nằm tam giác Qua D dựng đoạn thẳng cho cắt AB, BC E, E EE nhận D làm trung điểm Bài Hãy dựng ngũ giác có trung điểm cạnh điểm M, N, P, Q, R cho trước Bài Cho bốn đường thẳng a, b, c, d hai đường thẳng song song điểm O không thuộc bốn đường thẳng Hãy dựng hình bình hành có bốn điểm thuộc bốn đường thẳng cho nhận O làm tâm đối xứng Bài Cho đường tròn (O), điểm P cho trước đường thẳng d không cắt (O) Dựng hình bình hành có hai đỉnh liên tiếp nằm d hai đỉnh nằm đường tròn (O) nhận P giao điểm hai đường chéo Bài Cho góc điểm A, C nằm Dựng điểm B thuộc Ox điểm D thuộc Oy cho tứ giác ABCD hình bình hành 15 Đ5 PHéP ĐốI XứNG TÂM hệ tọa độ đề - vuông góc 5.1 Phương pháp chung Sử dụng tính chất biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm Dạng 1: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm ta xét ba toán: Bài toán 1: Xác định điểm M(x; y) ảnh M(x; y) qua tâm đối x' = 2a - x xứng I(a; b) Khi ta có I trung điểm MM nên y' = 2b - y Đặc biệt I trùng với gốc tọa độ dễ dàng suy M(-x; -y) Bài toán 2: Xác định phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = qua tâm I(a; b) Cách giải Cách 1: Thực theo bước sau: Bước 1: Với điểm M(x; y) d suy tồn M(x; y) d x + x' = 2a x = 2a - x' nhận I trung điểm nên: (*) y + y' = 2b y = 2b - y' Bước 2: Thay (*) vào phương trình đường thẳng d ta được: Ax + By - C - 2aA - 2bB = Bước 3: Viết lại (1) dạng: Ax + By - C - 2Aa - 2bB = (1) (2) Phương trình (2) phương trình đường thẳng d Cách 2: Thực theo bước: Bước 1: Lấy điểm A(x; y) d, từ suy tọa độ điểm A đối xứng với A qua I Bước 2: Vì d // d, d có phương trình Ax + By + C = nên suy d có phương trình Ax + By + D = (*) 16 Bước 3: Vì A d Thay tọa độ A vào phương trình (*) ta tìm giá trị D Từ suy phương trình đường thẳng d Bài toán 3: Xác định phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) : f(x, y) = qua điểm A(xo, yo) (A khác tâm I (C)) Cách giải Cách 1: Thực theo bước: Bước 1: Với điểm M(x; y) (C) tồn M(x1; y1) (C) cho M đối xứng với M qua A(xo, yo) tồn x1, y1 thỏa mãn hệ f(x1; y1 ) = phương trình: x1 + x' = 2x0 y + y' = 2y (*) Bước 2: Khử x1, y1 từ hệ (*) ta phương trình đường tròn (C) cần tìm Cách 2: Thực theo bước: Bước 1: Gọi I, I tâm đường tròn (C) (C) R bán kính đường tròn (C) Khi A trung điểm II.Từ suy tọa độ điểm I Bước 2: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I bán kính R Dạng 2: Tâm đối xứng đồ thị hàm số Xét hai toán : Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) Chứng minh đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng Cách giải: Thực theo bước: X = x - a Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ: Y = y - b x = X + a y = Y + b Khi hàm số có dạng: Y + b = f(X + a) Y = F(X) Bước 2: Chứng minh hàm số (1) hàm số lẻ 17 (1) Bước 3: Kết luận I(a, b) tâm đối xứng đồ thị hàm số Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng Cách giải: Thực theo bước: X = x - a x = X + a Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ: Y = y - b y = Y + b Khi hàm số có dạng : Y + b = f(X + a) Y = F(X) (1) Bước 2: Đồ thị hàm số nhận I(a; b) làm tâm đối xứng hàm số (1) hàm số lẻ Từ tìm giá trị tham số m Bước 3: Kết luận giá trị m 5.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình x y + = điểm I(1; 2) Phép đối xứng tâm ĐI biến đường thẳng thành đường thẳng Viết phương trình đường thẳng Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm A(-2; 3) biến đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 16 thành đường tròn (C) Xác định phương trình đường tròn (C) Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 -3x +1 Chứng minh đồ thị hàm số nhận điểm I (1;-1) tâm đối xứng Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d (a 0) nhận điểm I(- b b ; f(- )) làm tâm đối xứng 3a 3a Ví dụ Cho hàm số (C) : y = x + 3mx - m Tìm m để đồ thị hàm số (C) nhận điểm I (1; 0) làm tâm đối xứng 18 5.3 Bài tập Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3), đường thẳng d: 3x 2y + = đường tròn (C): x2 + y2 + 2x 6y + = Xác định tọa độ điểm M, phương trình đường thẳng d, đường tròn (C) theo thứ tự ảnh M, d (C) qua phép đối xứng tâm A(-2; 1) Bài Cho hai đường thẳng d có phương trình: 3x - y - = đường thẳng có phương trình: x + y = Phép đối xứng tâm I biến d thành d: 3x - y + = 0, biến thành : x + y - = Tìm tọa độ điểm I Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm I phương trình cạnh AB 2x - y = 0, phương trình cạnh AD 4x - 3y = 0, tâm I (2; 2) Viết phương trình cạnh BC CD Bài Tìm M d, N d cho ĐI(M) = N a) d: 2x + 3y - = 0, d: x + y - = I (-1;3) b) d: 3x - 5y + = 0, d: x - 4y + = I (2;3) Bài Cho đường thẳng có phương trình x + y + = 0, đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = điểm A (-1; 1) Tìm M , N (C) cho ĐA(M) = N Bài Trong hệ tọa độ Đề - vuông góc chứng minh gốc tọa độ O(0; 0) tâm đối xứng đường elíp (E) có phương trình: Nhận xét: Tương tự ta có hypebol (H) có phương trình: nhận gốc tọa độ O tâm đối xứng 19 x2 a2 x2 a2 y2 b2 + y2 b2 =1 = Bài Cho hàm số (C): y = x +1 Chứng minh đồ thị hàm số (C) x -1 nhận I (1;1) làm tâm đối xứng Nhận xét: Đồ thị hàm số y = f(x) = ax + b với c ad - bc cx + d -d a nhận điểm I ; làm tâm đối xứng c c Bài Cho hàm số y = x - 2x - Chứng minh đồ thị hàm số nhận x-2 điểm I (2; 2) làm tâm đối xứng ax2 + bx + c Nhận xét: Đồ thị hàm số y = với d nhận điểm dx + e -e b 2ac I ; - làm tâm đối xứng d d d x - mx + m -1 Bài Cho hàm số (C) y = Tìm m để đồ thị hàm số nhận x-2 điểm I (2;3) làm tâm đối xứng 20 KếT LUậN Nội dung chủ yếu đề tài nghiên cứu phép đối xứng tâm ứng dụng phép đối xứng tâm vào việc giải toán hình học mặt phẳng Trong đề tài em đưa số dạng toán bản: tìm phép đối xứng tâm, chứng minh tính chất hình học, tìm quỹ tích điểm, dựng hình toán sử dụng hệ tọa độ phép đối xứng tâm Trong dạng toán em đưa phương pháp chung để giải dạng toán đưa số ví dụ minh họa giúp người đọc thấy ứng dụng phép đối xứng tâm vào việc giải dạng toán Phần tập em đưa sau ví dụ để giúp người đọc củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ vận dụng phép đối xứng tâm để giải toán hình học mặt phẳng Em hi vọng thông qua đề tài phần giúp người đọc hiểu rõ phép đối xứng tâm Đồng thời qua việc nghiên cứu đề tài giúp em nắm vững kiến thức phép đối xứng tâm phục vụ cho việc giảng dạy sau Do lần làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học, đồng thời kiến thức kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong thầy cô tổ hình học bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn ! 21 Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp tập 2, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Hoàng Khanh (2008), Tuyển chọn 400 tập toán 11, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, TPHCM Lê Hồng Đức-Nhóm Cự Môn, Giải toán hình học, NXB Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội Lê Hoành Phò (2011), Hình học 11 tập phương pháp giải, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, Hà Nội Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán hình học phẳng 10, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Hình học nâng cao 11 (2006), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 22 [...]... KếT LUậN Nội dung chủ yếu của đề tài nghiên cứu về phép đối xứng tâm và ứng dụng của phép đối xứng tâm vào việc giải các bài toán hình học trong mặt phẳng Trong đề tài em đã đưa ra một số dạng bài toán cơ bản: tìm phép đối xứng tâm, chứng minh tính chất hình học, tìm quỹ tích điểm, dựng hình và bài toán sử dụng hệ tọa độ đối với phép đối xứng tâm Trong mỗi dạng toán em đưa ra phương pháp chung để giải... tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O) Gọi N là điểm đối xứng với M qua A, P là điểm đối xứng với N qua B, Q là điểm đối xứng với P qua C Chứng minh phép biến hình biến điểm M thành điểm Q là một phép đối xứng tâm Tìm quỹ tích điểm Q Bài 6 Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C phân biệt không nằm trên đường tròn (O, R), M di động trên (O) Điểm N đối xứng với M qua A, P đối xứng với... của phép đối xứng tâm vào việc giải dạng toán đó Phần bài tập em đưa ra ngay sau các ví dụ để giúp người đọc củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng vận dụng phép đối xứng tâm để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng Em hi vọng rằng thông qua đề tài của mình có thể phần nào giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép đối xứng tâm Đồng thời qua việc nghiên cứu đề tài này giúp em nắm vững hơn kiến thức về phép. .. của phép đối xứng tâm Dạng 1: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm ta xét ba bài toán: Bài toán 1: Xác định điểm M(x; y) là ảnh của M(x; y) qua tâm đối x' = 2a - x xứng I(a; b) Khi đó ta có I là trung điểm của MM nên y' = 2b - y Đặc biệt nếu I trùng với gốc tọa độ thì dễ dàng suy ra M(-x; -y) Bài toán 2: Xác định phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0 qua tâm. .. tìm được giá trị của tham số m Bước 3: Kết luận giá trị của m 5.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình x y + 3 = 0 và điểm I(1; 2) Phép đối xứng tâm ĐI biến đường thẳng thành đường thẳng Viết phương trình đường thẳng Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm A(-2; 3) biến đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 16 thành đường tròn (C) Xác... làm tâm đối xứng c c Bài 8 Cho hàm số y = x 2 - 2x - 2 Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận x-2 điểm I (2; 2) làm tâm đối xứng ax2 + bx + c Nhận xét: Đồ thị hàm số y = với d 0 luôn nhận điểm dx + e -e b 2ac I ; - 2 làm tâm đối xứng d d d x 2 - mx + m -1 Bài 9 Cho hàm số (C) y = Tìm m để đồ thị hàm số nhận x-2 điểm I (2;3) làm tâm đối xứng 20 KếT LUậN Nội dung chủ yếu của đề tài nghiên cứu về phép. .. x3 -3x 2 +1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm I (1;-1) là tâm đối xứng Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d (a 0) luôn nhận điểm I(- b b ; f(- )) làm tâm đối xứng 3a 3a Ví dụ 4 Cho hàm số (C) : y = 1 3 x + 3mx 2 - 2 m Tìm m để đồ thị hàm số (C) nhận điểm I (1; 0) làm tâm đối xứng 18 5.3 Bài tập Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3), đường thẳng d: 3x 2y + 9 = 0... tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm A(-2; 1) Bài 2 Cho hai đường thẳng d có phương trình: 3x - y - 3 = 0 và đường thẳng có phương trình: x + y = 0 Phép đối xứng tâm I biến d thành d: 3x - y + 1 = 0, biến thành : x + y - 6 = 0 Tìm tọa độ điểm I Bài 3 Cho hình bình hành ABCD có tâm I và phương trình cạnh AB là 2x - y = 0, phương trình cạnh AD là 4x - 3y = 0, tâm I (2; 2) Viết phương trình... (C) sao cho ĐA(M) = N Bài 6 Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc chứng minh rằng gốc tọa độ O(0; 0) là tâm đối xứng của đường elíp (E) có phương trình: Nhận xét: Tương tự ta có hypebol (H) có phương trình: cũng nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng 19 x2 a2 x2 a2 y2 b2 + y2 b2 =1 = 1 Bài 7 Cho hàm số (C): y = x +1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) x -1 nhận I (1;1) làm tâm đối xứng Nhận xét: Đồ thị hàm... 3: Kết luận I(a, b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng Cách giải: Thực hiện theo các bước: X = x - a x = X + a Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ: Y = y - b y = Y + b Khi đó hàm số có dạng : Y + b = f(X + a) Y = F(X) (1) Bước 2: Đồ thị hàm số nhận I(a; b) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm ... chất 4: Tích hai phép đối xứng tâm phép tịnh tiến 3.2.5 Tính chất 5: Tích ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm 3.2.6 Tính chất 6: Phép đối xứng tâm biến ba điểm... điểm M cho OM' = -OM gọi phép đối xứng qua tâm O Phép đối xứng qua tâm O thường kí hiệu ĐO Điểm O gọi tâm đối xứng O M M' Điểm O gọi tâm đối xứng hình (H) phép đối xứng tâm ĐO biến hình (H) thành... biến hình mà cụ thể sử dụng phép đối xứng tâm (có thể gọi phương pháp đối xứng tâm) Đ3 PHéP ĐốI XứNG TÂM TRONG MặTPHẳNG 3.1 ĐịNH NGHĩA Trong mặt phẳng cho điểm O Phép biến hình biến điểm M