Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng

Phép biến hình là một mảng kiến thức khó và học sinh cũng được tiếp xúc ít với vấn đề này nên việc sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán hình học đối với các em còn mới lạ và gặ

Mở ĐầU

Hình học là một bộ phận quan trọng của Toán học và kiến thức về hình học luôn là một phần kiến thức khó đối với học sinh bởi nó là một môn học lôgic và trừu tượng hơn so với các môn học khác Trong chương trình hình học lớp 11 học sinh được làm quen với một phần kiến thức hình học mới và tương đối khó đó là phép biến hình Phép biến hình là một mảng kiến thức khó và học sinh cũng được tiếp xúc ít với vấn đề này nên việc sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán hình học đối với các em còn mới lạ và gặp nhiều khó khăn Chính bởi lí do đó em đã chọn

đề tài: “Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng” nhằm cung cấp cho người

đọc hiểu rõ hơn về một phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học phẳng

2 MụC ĐíCH NGHIÊN CứU

Làm rõ ứng dụng của phép đối xứng tâm trong việc giải các bài toán hình học trong mặt phẳng

3 ĐốI TƯợNG NGHIÊN CứU

Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng

4 PHạM VI NGHIÊN CứU

Các bài toán hình học trong mặt phẳng

5 NHIệM Vụ NGHIÊN CứU

Nghiên cứu những kiến thức cơ bản của phép đối xứng tâm và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học phẳng Đưa ra một hệ thống bài tập về các dạng bài toán: chứng minh tính chất hình học, cực trị, quỹ tích, dựng hình, phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc

NộI DUNG

CHƯƠNG 1 CƠ Sở Lí LUậN

Đ1: PHéP BIếN HìNH TRONG MặT PHẳNG 1.1 ĐịNH NGhĩA

Mỗi song ánh f: PP từ tập các điểm của mặt phẳng P lên chính nó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng

Ví dụ: Phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến…

 Phép biến hình tích: Cho g và flà hai phép biến hình trong mặt

phẳng Khi đó h = g f là một song ánh của mặt phẳng nên h là một phép biến hình gọi là phép biến hình tích

Đ2 PHéP DờI HìNH TRONG MặT PHẳNG 2.1 ĐịNH NGHĩA

Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong mặt phẳng được gọi là phép dời hình trong mặt phẳng

Nghĩa là, nếu với bất kì hai điểm M, N thuộc mặt phẳng P và có

Hệ quả 2: Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó trong đó tâm biến thành tâm

2.2.2 Tính chất 2: Tích của hai phép dời hình liên tiếp cũng là một phép dời hình Nghĩa là, f : M1 M' và f : M'2 M"là hai phép dời hình thì khi đó ta có tích của hai phép dời hình f2f : M1 M"cũng là một phép dời hình

2.3 ĐịNH Lí Về Sự XáC ĐịNH PHéP DờI HìNH

hai tam giác bằng nhau

Đ3 PHéP ĐốI XứNG TÂM TRONG MặTPHẳNG

3.1 ĐịNH NGHĩA

Trong mặt phẳng cho một điểm O Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M’ sao cho OM' = -OM

 

được gọi là phép đối xứng qua tâm O Phép đối xứng qua tâm O thường được kí hiệu là ĐO

Điểm O được gọi là tâm đối xứng

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng tâm

ĐO biến hình (H) thành chính nó, tức là ĐO(H) = H

3.2 TíNH CHấT

3.2.1 Tính chất 1: Nếu A’ và B’ là lần lượt ảnh của hai điểm A, B trong

phép đối xứng tâm ĐO thì A'B' = -AB. 

3.2.2 Tính chất 2: Phép đối xứng tâm ĐO có điểm bất động duy nhất là tâm O Nghĩa là ĐO(O) = O

3.2.3 Tính chất 3: Phép đối xứng tâm ĐO là phép biến đổi 1 - 1

3.2.4 Tính chất 4: Tích của hai phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến

3.2.5 Tính chất 5: Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt là một phép đối xứng tâm

3.2.6 Tính chất 6: Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba

điểm thẳng hàng

3.2.7 Hệ quả: Phép đối xứng tâm ĐO biến:

Đường thẳng d thành đường thẳng d’ và d // d’ hoặc d  d’

Tia Sx thành tia S’x’ ngược chiều nhau

Đoạn MN thành đoạn M’N’ và MN = M’N’

Đường tròn (I, R) thành đường tròn (I’, R)

3.3 BIểU THứC TọA Độ CủA PHéP ĐốI XứNG TÂM

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(a; b) Nếu phép đối xứng tâm ĐI

biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thì x' = 2a - x

CHƯƠNG 2 ứNG DụNG PHéP ĐốI XứNG TÂM VàO GIảI

CáC BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG

Đ1 BàI TOáN CHứNG MINH TíNH CHấT HìNH HọC 1.1 Phương pháp chung

Bài toán chứng minh tính chất hình học ta thường gặp hai loại toán sau: Bài toán định tính: Ta thường gặp các bài toán sau:

Bài toán 1: Xác định phép đối xứng tâm biến hình (H) thành hình (H’)

Bước 1: Lấy điểm M tùy ý thuộc (H) Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm ĐO Chứng minh M’  (H’)

Bước 2: Ngược lại lấy điểm M’  (H’) Gọi M là tạo ảnh của M’ qua ĐO Chứng minh M  (H)

Bước 3: Kết luận phép đối xứng tâm biến hình (H) thành hình (H’)

là ĐO

Bài toán 2: Chứng minh O là tâm đối xứng của hình (H)

Bước 1: Lấy điểm M bất kì thuộc (H), gọi điểm M’ là ảnh của

điểm M qua phép đối xứng ĐO

Bước 2: Chứng minh M’  (H)

Bước 3: Kết luận điểm O là tâm đối xứng của hình (H)

Bài toán 3: Chứng minh tính chất 

Bước 1: Xác định một hoặc nhiều phép đối xứng tâm để thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố

Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép đối xứng tâm để giải các yêu cầu của bài toán

Bài toán định lượng: tính độ dài đoạn thẳng, số đo của góc, tỉ số độ dài

đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích của các hình hình học

Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết của bài toán

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán

Bước 3: Thiết lập được các phép đối xứng tâm thích hợp

Bước 4: Dựa vào các dữ liệu đã được thiết lập để tính toán các yếu

tố cần tính của bài toán

Bài 1 Xác định tâm đối xứng của các hình sau đây

a) Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau

b ) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau

Bài 2 Chứng minh rằng một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì nó có tâm đối xứng

Bài 3 Chứng minh một tứ giác có tâm đối xứng thì nó là hình bình hành

Bài 4 Cho 2 hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ nội tiếp trong hình bình hành ABCD sao cho A’  AB, B’  BC, C’  CD,D’  DA Chứng minh rằng tâm của hai hình bình hành đó trùng nhau

Bài 5 Cho 3 phép đối xứng tâm ĐA, ĐB, ĐC, (A, B, C phân biệt) Chứng minh: Đ = ĐCoĐBoĐAoĐCoĐBoĐA là phép đồng nhất

Bài 6 Cho đoạn AC và B là trung điểm của AC Chứng minh rằng

ĐCoĐBoĐA = ĐB

Bài 7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Hạ MM’, NN’, PP’, QQ’ lần lượt vuông góc với CD, DA, AB BC Chứng minh rằng bốn

đường thẳng MM’, NN’,PP’, QQ’ đồng quy tại 1 điểm

Bài 8 Cho ∆ABC có H là trực tâm Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Gọi E, F, K lần lượt là điểm đối xứng với H qua M, N, P Chứng minh E, F, K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 9 Đường tròn (O) cắt các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC tương ứng tại các điểm M và M’, N và N’, P và P’ Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua M, N, P tương ứng vuông góc với các cạnh tam giác chứa các điểm đó đồng quy thì đường thẳng đi qua M’, N’, P’ vuông góc với các cạnh tam giác chứa các điểm đó cũng đồng quy

Bài 10 Cho điểm M nằm trong ∆ABC Gọi N, P, Q là điểm đối xứng với

M qua trung điểm của AB, BC, CA Chứng minh CN, AP, BQ đồng quy Bài 11 Cho ∆ABC có AM và CN là các trung tuyến Chứng minh rằng

Đ2 bài toán cực trị 2.1 Phương pháp chung

Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm

 Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được:

Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m(m là hằng số)

Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

 Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được:

Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m(m là hằng số)

Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

2.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho ∆ABC và điểm O nằm trong tam giác Gọi ∆A’B’C’ là ảnh của ∆ABC trong phép đối xứng tâm ĐO T là một đa giác được tạo bởi phần chung của hai tam giác ABC, A’B’C’ Tìm vị trí của O sao cho T có diện tích lớn nhất

Ví dụ 2 Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc cho đường hyperbol (H) có phương trình y = 1

x và điểm A(-2; 3) Một đường thẳng d đi qua gốc tọa

độ cắt đường cong (H) tại hai điểm M và M’ Xác định vị trí của d để

AM + AM' có giá trị nhỏ nhất

2.3 Bài tập

Bài 1 Cho ∆ABC Hãy tìm một đa giác lồi có tâm đối xứng chứa trong

nó (các đỉnh hoặc các cạnh của tam giác có thể nằm trên biên đa giác) tam giác đã cho và có diện tích nhỏ nhất

Bài 2 Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc cho elíp (E) có phương trình:

đó có diện tích và chu vi lớn nhất

Bài 3 Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc cho đường hyperbol (H) có

phương trình y = 1

x và điểm A(-2; 2) Một đường thẳng d đi qua gốc tọa

độ cắt (H) tại 2 điểm P và Q Xác định vị trí của đường thẳng PQ để

Đ3 BàI TOáN QUỹ TíCH 3.1 Phương pháp chung

 Sử dụng phép đối xứng tâm để giải bài toán quỹ tích là chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua phép đối xứng tâm Bài toán: Cho hình (H) và điểm M thay đổi trên (H) Tìm quỹ tích điểm M’ khi M thay đổi

Cách giải:

Bước 1 : Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MM’

Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm ĐI ta suy ra quỹ tích

điểm M’

Nhận xét: Để giải bài toán quỹ tích ta phải tiến hành chứng minh cả

phần thuận và phần ảo Nhưng ở đây ta sử dụng phép đối xứng tâm để giải bài toán, nhờ tính chất 1 - 1 của phép đối xứng tâm nên cả phần thuận và phần ảo của bài toán cùng lúc được chứng minh

3.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B cố định Với mỗi điểm

M, ta xác định điểm M’ sao cho MM' = MA + MB

  

Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M di động trên đường tròn (O, R)

Ví dụ 2 Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định Điểm M di động trên (O), M không trùng với A, B Hai đường tròn (O’), (O”) qua M lần lượt tiếp xúc với AB tại A, B Gọi N là giao điểm thứ hai của (O’) và (O”) Tìm tập hợp điểm N khi M di động trên đường tròn (O)

a) Tìm tập hợp điểm Q là đỉnh của hình bình hành có 2 cạnh PA và PB b) Tìm tập hợp điểm H là đỉnh của hình bình hành có hai cạnh AB và AP Bài 3 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, C cố định sao cho đường thẳng

AC không cắt đường tròn (O) Điểm B thay đổi trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm D khi B di chuyển trên đường tròn (O) sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 4 Cho đường thẳng d và hai điểm A, C cố định không thuộc d Điểm

B thay đổi trên d Tìm quỹ tích điểm D khi B di chuyển trên đường thẳng

d sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 5 Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O) Gọi N là điểm đối xứng với M qua A, P là điểm đối xứng với N qua B, Q là điểm đối xứng với P qua C Chứng minh phép biến hình biến

điểm M thành điểm Q là một phép đối xứng tâm Tìm quỹ tích điểm Q Bài 6 Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C phân biệt không nằm trên

đường tròn (O, R), M di động trên (O) Điểm N đối xứng với M qua A, P

đối xứng với N qua B, Q đối xứng với P qua C Tìm tập hợp điểm Q khi

M chuyển động trên đường tròn (O)

Bài 7 Cho hình bình hành ABCD với mỗi điểm M trên cạnh AB Lấy N

đối xứng với M qua D, P đối xứng với N qua trung điểm của CD, Q đối xứng với P qua B Tìm quỹ tích điểm Q khi M thay đổi trên cạnh AB

Đ4 BàI TOáN DựNG HìNH 4.1 Phương pháp chung

 Giải bài toán dựng hình ta thực hiện theo 4 bước sau:

Bài toán có nghiệm : chỉ ra số nghiệm

Bài toán vô nghiệm

 Giải bài toán dựng hình bằng cách sử dụng phép đối xứng tâm là việc thể hiện ở phần phân tích ta quy việc xác định từng bộ phận hình cần dựng về việc xác định một hình là ảnh của bộ phận hình cần dựng qua phép đối xứng tâm

4.3 Bài tập

Bài 1 Qua điểm A cho trước, hãy kẻ đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm trung điểm

Bài 2 Cho ∆ABC và điểm D nằm trong tam giác Qua D dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần lượt tại E, E’ và EE’ nhận D làm trung

đối xứng

Bài 5 Cho đường tròn (O), điểm P cho trước và đường thẳng d không cắt (O) Dựng hình bình hành có hai đỉnh liên tiếp nằm trên d và hai đỉnh nằm trên đường tròn (O) và nhận P là giao điểm của hai đường chéo

Ox và điểm D thuộc Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Đ5 PHéP ĐốI XứNG TÂM trong hệ tọa độ

đề - các vuông góc 5.1 Phương pháp chung

 Sử dụng tính chất và biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Dạng 1: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm ta xét ba bài toán:

Bài toán 1: Xác định điểm M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua tâm đối

xứng I(a; b) Khi đó ta có I là trung điểm của MM’ nên x' = 2a - x

y' = 2b - y







Đặc biệt nếu I trùng với gốc tọa độ thì dễ dàng suy ra M’(-x; -y)

Bài toán 2: Xác định phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường

thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0 qua tâm I(a; b)

Cách giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với mỗi điểm M(x; y)  d suy ra tồn tại M’(x’; y’)  d’

Bước 2: Thay (*) vào phương trình đường thẳng d ta được:

Ax’ + By’ - C - 2aA - 2bB = 0 (1) Bước 3: Viết lại (1) dưới dạng: Ax + By - C - 2Aa - 2bB = 0 (2) Phương trình (2) là phương trình đường thẳng d’

Bước 3: Vì A’  d’ Thay tọa độ A’ vào phương trình (*) ta tìm

được giá trị của D Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d’

Bài toán 3: Xác định phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường

tròn (C) : f(x, y) = 0 qua điểm A(xo, yo) (A khác tâm I của (C))

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận

điểm I(a, b) làm tâm đối xứng

Cách giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ: X = x - a x = X + a

Bước 3: Kết luận I(a, b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) Tìm điều kiện của tham số để đồ thị

hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng

Cách giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Với phép biến đổi tọa độ: X = x - a x = X + a

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm A(-2; 3) biến đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 16 thành đường tròn (C’) Xác

5.3 Bài tập

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (2;3), đường thẳng d: 3x – 2y + 9 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 Xác định tọa độ điểm M’, phương trình đường thẳng d’, đường tròn (C’) theo thứ tự

là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm A(-2; 1)

Bài 2 Cho hai đường thẳng d có phương trình: 3x - y - 3 = 0 và đường thẳng ∆ có phương trình: x + y = 0 Phép đối xứng tâm I biến d thành d’: 3x - y + 1 = 0, biến ∆ thành ∆’: x + y - 6 = 0 Tìm tọa độ điểm I

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD có tâm I và phương trình cạnh AB là 2x - y = 0, phương trình cạnh AD là 4x - 3y = 0, tâm I (2; 2)

Viết phương trình cạnh BC và CD

Bài 4 Tìm M  d, N  d’ sao cho ĐI(M) = N

a) d: 2x + 3y - 7 = 0, d’: x + y - 1 = 0 và I (-1;3) b) d: 3x - 5y + 2 = 0, d’: x - 4y + 3 = 0 và I (2;3) Bài 5 Cho đường thẳng ∆ có phương trình x + y + 2 = 0, đường tròn (C)

có phương trình x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0 và điểm A (-1; 1)

Tìm M  ∆, N (C) sao cho ĐA(M) = N

Bài 6 Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc chứng minh rằng gốc tọa độ

O(0; 0) là tâm đối xứng của đường elíp (E) có phương trình: