Phép đối xứng tâm trong e2, e3

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, quỹ tích, chứng minh, tính toán… Tuy nhiên việc vận dụng phép đối xứng tâm

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn khó đối với học sinh, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác Đặc biệt là các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học không gian

Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông không những chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh

và sáng tạo trong tương lai

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, quỹ tích, chứng minh, tính toán… Tuy nhiên việc vận dụng phép đối xứng tâm trong E2,E3 để giải các bài toán hình học không phải là việc dễ dàng

Thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh

Vì thời gian có hạn nên em xin trình bày những kiến thức cơ bản về phép đối xứng tâm trong E2

,E3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về phép đối xứng tâm

Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép đối xứng tâm trong các lớp bài toán hình học sau:

 Chứng minh tính chất hình học

 Dựng hình

 Tập hợp điểm

 Bài toán cực trị

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phép đối xứng tâm

6 Nội dung của đề tài

Phần 1 Mở đầu

Phần 2 Nội dung

1 Đại cương về phép biến hình

2 Định nghĩa các tính chất của phép đối xứng tâm

3 Ứng dụng của phép đối xứng tâm trong việc giải một số lớp bài toán hình học

Phần 3 Một số kết luận và kiến nghị

7 Kế hoạch nghiên cứu

Tháng 9/2012 đến tháng 1/2012 nhận đề tài và hoàn thành đề cương Tháng 2/2013 đến tháng 3/2013 tìm hiểu cơ sở lý thuyết, tìm tài liệu tham khảo

Tháng 4/2013 đến tháng 5/2013 hoàn thành đề tài

PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

 Hình H nằm trong En được gọi là hình kép nếu f(H) = H

 Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu:

Chương 2 PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM

1 Định nghĩa

Trong không gian En(n=2,3) cho một điểm O phép biến hình của En

biến

M thành M’ sao cho: OM'= -OM được gọi là phép đối xứng qua O

O: gọi là tâm đối xứng

Kí hiệu: ĐO

2 Tính chất

 Trong E2: Phép đối xứng tâm là một phép bảo tồn phương

trong E3: Phép đối xứng tâm là phản chiếu bảo tồn phương

 Phép đối xứng tâm ĐO có một điểm bất động duy nhất

 Phép đối xứng tâm ĐO là phép biến hình 1-1

 Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt là một phép đối xứng tâm

3 Ứng dụng của phép đối xứng qua tâm

§ 1 CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và

đường phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh mà trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Giải:

Thật vậy , giả sử tam giác ABC có đường trung tuyến AD đồng thời là đường phân giác

Dễ thấy B,C đối xứng với nhau qua D

Gọi A’=ĐD(A) tứ giác ABA’C là hình bình hành tâm D

Bởi vậy, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy ra:

Tam giác BAA’ cân ở B và do đó BA’=BA suy ra:

AB=AC và tam giác ABC cân ở A

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC,CA,AB ta lấy lần lượt

các điểm A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2 sao cho 6 điểm đó nằm trên một đường tròn Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua A1 và vuông góc với BC,

đi qua B1 và vuông góc với AC, đi qua C1 và vuông góc với AB đồng quy thì các đường thẳng đi qua A2 và vuông góc với BC, đi qua B2 và vuông góc với

AC, đi qua C2 và vuông góc với AB cũng đồng quy

Giải:

Gọi x là dường thẳng đi qua A1 và vuông góc với BC, (O) là đường tròn

đi qua 6 điểm đã nêu trong bài toán

Gọi A’1 là giao diểm thứ 2 của x với (O) rõ ràng A’1A2 là đường kính của (O)

Vì vậy phép đối xứng ĐO biến A’1 thành A2 Do đó nó biến đường thẳng

x thành đường thẳng x’ đi qua A2 và x//x’ hay x’ BC

Tương tự ĐO biến đường thẳng y thành đường thẳng y’ đi qua B2 và vuông góc với AC, biến đường thẳng z thành đường thẳng z’ đi qua C và

vuông góc với AB(trong đó y, z lần lượt là các đường thẳng đi qua B1 và vuông góc với AC, đi qua C1 và vuông góc với AB)

Vậy nếu S là điểm chung của x, y, z thì ảnh S’ của S qua phép đối xứng tâm ĐO cũng là điểm chung của x’, y’, z’ Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Cho hình bình hành ABCD và đường tròn bàng tiếp (O) của

tam giác ABD tiếp xúc với phần kéo dài của AB và AD tương ứng tại các điển M và N Đoạn thẳng MN cắt BC và DC tương ứng tại các điểm P,Q Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với các cạnh

 BH=DK mà IB=ID nên IH=IK

Rõ ràng phép đối xứng tâm ĐI biến B thành D, H thành K

Tam giác AMN cân tại A và vì DQ // AM nên tam giác DQN cân tại D suy ra DQ = DN = DK = BH = BM’ Thế thì Q là ảnh của M’ qua ĐI Tương

tự P là ảnh của N’ qua ĐI

Ta có ĐI biến A,B,D thành C,D,B nên ĐI biến tam giác ABD thành tam giác CDB Vậy ĐI biến đường tròn (O’) nội tiếp tam giác ABD thành đường tròn (O’’) nội tiếp tam giác CDB

Mà ĐI biến M’,N’,H thành Q,P,K hơn nữa (O’) đi qua M’,N’,H nên (O’’) đi qua Q,P,K Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4 Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn cho

trước Từ M,N P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA ta vẽ các đường thẳng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng

Chứng minh các đường thẳng này đồng quy

Giải:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Dễ thấy MNPQ là hình bình hành

Gọi I là tâm của tứ giác MNPQ

Ta có phép đối xứng tâm ĐI biến M,N,P,Q lần lượt thành P,Q.M,N

Ta có OM,ON,OP,OQ lần lượt vuông góc với AB,BC,CD,DA

Do tính chất của phép đối xứng tâm nên đường thẳng OM đi qua M biến thành đường thẳng đi qua P và song song với OM Đó chính là đường thẳng

đi qua P và vuông góc với AB

Như vậy qua phép đối xứng tâm ĐI các đường thẳng OM,ON,OP,OQ lần lượt biến thành các đường thẳng đi qua P,Q,M,N và vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng

Ví dụ 5 Cho ba điểm A,B,C với điểm M bất kì khác ba điểm đã cho ta

kí hiệu M1 là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A M2 là ảnh của M1 qua phép đối xứng tâm B và M3 là ảnh của M2 qua phép đối xứng tâm C Ta dựng điểm D thỏa mãn BD=BA+BC

Chứng minh rằng M3 đối xứng với M qua D

Giải:

Ta xét ba điểm A,B,C không thẳng hàng Theo giả thiết các điểm A,B,C

là trung điểm ba cạnh tứ giác MM1M2M3 Gọi D’ là trung điểm của cạnh

MM3 khi đó tứ giác ABCD’ là hình bình hành có BD’ là một trong hai đường chéo của nó Vì vậy D’ trùng với D

Trường hợp A,B,C thẳng hàng và M không nằm trên đường thẳng AB Khi đó BC là đường trung bình của tam giác M1M2M3 và ta có M 1M3= 2BC

Gọi D’ là giao điểm của MM3 với đường thẳng AB và D’ là trung điểm của đoạn MM3

Những bài tập luyện tập tương ứng

1 Cho đường tròn tâm O và dây cung AB.gọi x,y là 2 đường thẳng vuông góc với AB tại các đầu mút của dây cung đó Chứng minh x,y đối xứng nhau qua tâm O

HD: Gọi A’ là giao điểm thứ 2 của x với (O) khi đó A’B là đường kính

của đường tròn ĐO biến A’ thành B nên ĐO biến đường thẳng x thành đường thẳng x’ đi qua B và vuông góc với AB.đường thẳng x’ trùng với y

2 Cho 2 hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ trong đó A’AB,B’BC, C’CD,D’DA Chứng minh 2 hình bình hành trên có cùng tâm

HD: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ĐO biến A’ thành C1(C1CD) biến B’ thành D1(D1DA) và A’B’ song song và bằng C1D1 vì C’D’ song song và bằng A’B’ nên: C’D’ song song và bằng C1D1 suy ra C’D’ ≡ C1D1

3 Cho 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự nằm trên một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện AB=CD Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có MA+MD  MB+MC

HD: Gọi O là trung điểm của AD

ĐO biến M,A,B lần lượt thành M’,D,C nên MA=M’D, MB=M’C

Ta có MA+MD=MD+M’D  MC+M’C= MC+MB

§ 2 DỰNG HÌNH

Ví dụ 1 Qua giao điểm P của hai đường tròn cắt nhau (O1) và (O2) đã cho hãy kẻ một cát tuyến ∆ sao cho nó định ra trên các đường tròn đó hai dây cung bằng nhau

Giải:

 Phân tích:

Giả sử dựng được cát tuyến ∆ đi qua P cắt (O1) ở A và (O2) ở B sao cho AP=BP

Khi đó A,B đối xứng với nhau qua P hay ĐP(B) =A mà B  (O2) nên

A(O’2) đối xứng với (O2) qua P mà A(O1) nên A=(O1)∩(O’2)

Vậy cát tuyến ∆ cần dựng đi qua P và giao điểm thứ hai A của hai đường

 Chứng minh:

Vì A(O’2) B(O2) và AB đi qua P hơn nữa (O’2)=ĐP(O2) nên A=ĐP(B)

hay AP=BP.đpcm

 Biện luận:

Bài toán luôn có một nghiệm hình

Chúng ta cũng có thể mở rộng bài toán trên như sau:

Qua giao điểm P của hai đường tròn cắt nhau (O1) và (O2) cho trước hãy

kẻ một cát tuyến ∆ sao cho nó định ra trên các đường tròn đó hai dây cung mà hiệu độ dài bằng a (a>0 cho trước)

Giải:

Phân tích:

Gọi M,M’ là các giao điểm của ∆ với (O1) và (O2) M,M’≠P và coi PM

 PM’

Phép đối xứng tâm ĐP biến M’ thành M’’ sẽ biến (O2) thành (O’2)

Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh PM’’,PM

Khi đó O’2HPM và O1KPM Gọi E là hình chiếu của O1 trên O’2H ta

 Chứng minh:

Nối O’2E cắt ∆ tại H khi đó O’2H  PM

Vì ĐP[(O2)]= (O’2) nên ĐP(M’)= M’’, M’’ (O’2),M’’  ∆

Ví dụ 2 Cho đường tròn tâm O và hai đỉnh A,B Dựng đường kính COD

của đường tròn sao cho CA = DB

Giải:

 Phân tích:

Giả sử dựng được đường kính COD thỏa mãn yêu cầu bài toán

ĐO(A)=A’, ĐO(C)=D nên AC=A’D=BD D thuộc đường trung trực của A’B

Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của d với (O)

Nhận xét:

Khi thay đường tròn tâm O bởi một hình H có tâm đối xứng là O(hình vuông, hình bình hành,hình chữ nhật)có các đường chéo cắt nhau tại O thì ta

có bài toán sau:

Cho H(ABCD) có AC∩BD=O và P.Q cố định Hãy dựng đường thẳng đi qua O cắt 2 cạnh đối nhau của H, giả sử AB,CD lần lượt tại E,F sao cho EP=FQ.(2 cạnh AC,BD tương tự)

Làm tương tự như hình tròn

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O) đường thẳng d không có điểm chung với

đường tròn (O) và điểm H Hãy dựng hình bình hành ABCD sao cho hai đỉnh liên tiếp A,B nằm trên d và hai đỉnh còn lại nằm trên (O) và nhận H là giao điểm các đường chéo Hãy xác định vị trí của H để hai đỉnh của hình bình hành trên d cách nhau xa nhất

Giải:

 Phân tích:

Giả sử dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn A,B thuộc d

H là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành

Theo cách dựng ta có: ĐH-1 biến d’ thành d mà C,D thuộc d’ nên ĐH-1biến C,D thành A,B A,B thuộc d và ABCD là hình bình hành

 Biện luận:

Bài toán có một nghiệm hình khi d’ cắt (O) tại 2 điểm phân biệt

Bài toán vô nghiệm hình khi d’ không cắt (O) hoặc cắt (O) tại 1 điểm duy nhất

AB lớn nhất thì CD lớn nhất khi và chỉ khi CD là đường kính của (O) trong trường hợp này ảnh của tâm O qua ĐH phải thuộc d gọi O’ là giao điểm của OH với d thì H là trung điểm của OO’

Khai thác:

Nếu không cho trước điểm H thì phải thêm và bớt điều kiện gì để dựng được hình bình hành ABCD

Khi đó ta có bai toán sau:

Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A,C còn hai đỉnh đối diện B,D còn lại nằm trên một đường tròn tâm O bán kính R cho trước

 Phân tích:

Giả sử dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó phép đối xứng tâm I biến B thành D và biến D thành B Suy ra B,D thuộc đường tròn (O,R) và đường tròn (O’,R) là ảnh của (O,R) qua ĐI

 Dựng hình:

Dựng I là trung điểm của AC

Dựng ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm I là đường tròn O’

Gọi B,D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và tâm O’

Nếu I nằm trong đường tròn tâm O thì bài toán có nghiệm hình

Nếu I nằm ngoài đường tròn tâm O thì bài toán vô nghiệm hình

`

Ví dụ 4 Cho 4 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào

song song và một điểm O không nằm trên 4 đường thẳng đó Hãy dựng một hình bình hành mà 4 đỉnh nằm trên 4 đường thẳng và nhận O làm giao điểm các đường chéo

Theo cách dựng ĐO-1 biến C,D lần lượt thành A,B nên ABCD là hình

bình hành

 Biện luận:

Bài toán luôn luôn có một nghiệm hình

Ví dụ 5 Dựng một tam giác biết một đỉnh,trọng tâm và hai đường thẳng

mỗi một đi qua một đỉnh trong hai đỉnh còn lại

b’//c thì bài toán vô nghiệm hình

b’ cắt c thì bài toán có một nghiệm hình

b’ trùng c thì bài toán có vô số nghiệm

Những bài tập luyện tập tương ứng

1 Dựng tam giác ABC biết độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A,B và góc C

HD: Kí hiệu AM,BN là các trung tuyến G là trọng tâm tam giác ABC

Phép đối xứng tâm ĐM biến B thành C biến G thành G’ Khi đó G’C=GB=

mặt khác C nằm trên cung chứa góc dựng trên AM

2 Cho đường tròn tâm O đường thẳng d và điểm A không nằm trên d và (O) Tìm điểm B trên (O) sao cho BA cắt d tại C thỏa mãn AB=AC

HD: Phép đối xứng qua A biến C thành B nên biến d thành d’ cắt đường

tròn (O) tại B

3 Cho góc xOy và 2 điểm A,C nằm trong góc đó Hãy dựng các điểm B,D trên 2 cạnh Ox,Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

HD: Gọi I là trung điểm của AC Phép đối xứng qua I biến B thành D

nên biến Ox thành tia O’x’ đi qua D D là giao điểm của tia O’x’ với tia Oy

§ 3 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

Ví dụ 1 Cho mặt phẳng (P) và 4 điểm A,B,C,D Với mỗi điểm M thuộc

(P) ta xác định điểm N theo công thức MA+MB+MC+MD=2MN Tìm tập hợp điểm N khi M biến thiên trong (P)

Giải:

Gọi G là trọng tâm của 4 điểm A,B,C,D

Với điểm M bất kì Theo công thức trọng tâm ta có:

4MG=MA+MB+MC+MD4MG=2MN 2MG=MN

2MG=MG+GNMG=-NG

Hệ thức đó chứng tỏ tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với (P) qua G

Nhận xét:

Ta có thể mở rộng bài toán trên trong E3

ta được bài toán sau:

Cho mặt cầu (O) và 4 điểm A,B,C,D Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu ta xác định điểm N theo hệ thức 7MN=2MA+3MB+4MC+5MD Tìm tập hợp điểm N khi M biến thiên trên mặt cầu

Giải:

Gọi G là điểm sao cho 2GA+3GB+4GC+5GD=O khi đó ta có

7MN=14MG hay 7MG+7GN=14MG tương đương với

GN=-GM suy ra tập hợp N là mặt cầu đối xứng với (O) qua G

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và đường tròn (O) Trên cạnh AB ta lấy

điểm E sao cho BE=2AE F là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ tư hình bình hành AEIF với mỗi điểm P trên đường tròn (O) ta dựng điểm Q sao cho

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC,CA,AB Tìm tập hợp M trong tam giác sao cho ảnh của M qua các phép đối xứng tâm ĐA’, ĐB’, ĐC’ đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Giải:

M2= ĐB’(M), M1=ĐA’(M) khi đó: CM =-AM2=-BM1 suy ra: ABM1M2 là hình bình hành Hơn nữa ABM1M2 là hình bình hành nội tiếp đường tròn nên ABM1M2 là hình chữ nhật

Ví dụ 4 Cho đường tròn (O) và ba điểm A,B,C phân biệt Với mỗi điểm

P thuộc đường tròn ta xác định P1 là ảnh của P trong phép đối xứng ĐA, P2 là ảnh của P1 qua phép đối xứng ĐB, P’ là ảnh của P2 trong phép đối xứng ĐC Tìm tập hợp P’ khi P biến thiên trên đường tròn (O)

Những bài tập luyện tập tương ứng

1 Cho đoạn thẳng BC cố định và số k>0 Với mỗi điểm A ta xác định điểm D sao cho AD=AB+AC Tập hợp điểm D khi A thay đổi thoả mãn điều kiện AB2

+ AC2 = k

HD: Gọi I là trung điểm của BC khi đó 2 AI=AB+AC=AD suy ra I là trung điểm của AD ĐI biến A thành D mà tập hợp A thỏa mãn điều kiện đã cho là một đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng vậy tập hợp D là đường tròn hoặc điểm hoặc rỗng

2 Cũng đề bài như trên nhưng thay tìm tập hợp điểm D khi A thay đổi thỏa mãn điều kiện AB2

– AC2 = k

HD: Tập hợp A là một đường thẳng d vuông góc với BC Gọi I là trung

điểm của BC khi đó I cố định và A đối xứng với D qua I Vậy tập hợp D là một đường thẳng

3 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax,Ay vuông góc với AB và nằm cùng phía với đường thẳng AB Xét hình thoi MNPQ có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 600

Tìm tập hợp đỉnh N

HD: Gọi I là giao điểm các đường chéo của hình thoi khi đó I cố định và

phép đối xứng qua I biến M thành N