Vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự vào giải một số bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp

20 Chương III: Vận dụng các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự vào giải một bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp... Tên đề tài: Vận dụng ph

MỤC LỤC

BẢNG KÝ KIỆU 2

PHẦN MỞ ĐẦU .3

1 Lí do chọn đề tài: 3

2 Lịch sử vấn đề nghiên cứu: 4

3 Mục đích nghiên cứu: 4

4 Nhiệm vụ nghiên cứu: 5

5 Phương pháp nghiên cứu: 5

6 Đối tượng nghiên cứu: 5

7 Phạm vi nghiên cứu: 5

8 Cấu trúc của đề tài: 5

9 Kế hoạch thời gian: 5

PHẦN NỘI DUNG 6

Chương I: Bài toán và lời giải bài toán - Phương pháp tìm lời giải bài toán chứng minh hình học .6

ChươngII: Các phép biến hình 20

Chương III: Vận dụng các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự vào giải một bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp 25

PHẦN KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

Tên đề tài: Vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự vào giải một số bài toán chứng minh hình học phẳng

Bản thân chúng tôi, tác giả của đề tài này là những giảng viên Toán nhận thức được rằng, muốn nâng cao năng lực nhận thức của bản thân, một trong những việc làm quan trọng là học giải toán và dạy học sinh biết giải toán

Bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng, thông qua việc giải chúng người học

có thể hình thành, củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kĩ xảo, những thao tác

tư duy,

Trong dạy học toán việc tìm ra lời giải một bài toán là hết sức quan trọng, tuy nhiên mỗi bài toán chỉ cần tìm ra lời giải bài toán thì chưa đủ, người làm toán nếu biết nhìn nhận mỗi bài toán, phân tích lời giải để khai thác mở rộng bài toán, từ đó tìm ra một lớp các bài toán tương tự nhau, đưa ra các cách giải khác nhau, các kết quả của các bài toán mở rộng, khai thác từ những bài toán đã cho thì sẽ củng cố được thêm rất nhiều kiến thức Toán học, từ đó nâng cao khả năng giải toán và năng lực của bản thân

Phép biến hình là một trong những nội dung của bộ môn hình học mà chúng tôi thấy tương đối khó, việc vận dụng chúng vào giải toán nói chung và giải toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp nói riêng còn nhiều hạn chế

Để bổ sung và nâng cao kiến thức cho bản thân về phép biến hình nói chung và ứng dụng của các phép biến hình, cụ thể là các phép dời hình như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay và phép biến hình là phép vị tự nói riêng trong giải và khai thác bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp, nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học, là những lí do để chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài này

2 Lịch sử vấn đề nghiên cứu:

Các phép biến hình đã được đưa vào chương trình hình học ở các cấp THCS và THPT và chương trình đào tạo giáo viên THCS, đề cập tới cả 4 thể loại chứng minh, tính toán, dựng hình, quỹ tích Các bài tập chứng minh hình học có sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự có ở một vài tài liệu, nhưng các tài liệu đó chưa chỉ rõ phương pháp ứng dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay , phép vị tự cũng như cách tư duy khi giải các bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp nói chung và toán chứng minh hình học nói riêng, chưa khai thác, mở rộng các bài toán đó Cái mới của đề tài là sưu tầm các bài tập chứng minh hình học phẳng sơ cấp, Phân tích, đưa ra cách tìm lời giải và lời giải

có sử dụng các phép biến hình như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối

xứng tâm, phép quay, phép vị tự, và cách giải khác Phân tích khai thác mở rộng

bài toán đó

3 Mục đích nghiên cứu:

“Mục đích nghiên cứu của một đề tài, luận văn, đề án khoa học là tìm tòi làm rõ bản chất của một sự kiện mới hay tìm một giải pháp nâng cao chất lượng một hoạt động thực tế nào đó” Trích giáo trình Phương pháp luận nghiên cứu khoa học – Phạm Viết Vượng –NXB ĐHQG HN- trang 112

- Tìm hiểu bài toán và lời giải bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán chứng minh hình học để vận dụng vào giải bài toán chứng minh hình học

- Nghiên cứu tìm hiểu việc vận dụng phép dời hình (phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay), phép vị tự trong giải và khai thác bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp

- Tìm hiểu Bài toán và lời giải bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán cùng các phép suy luận trong giải toán

- Nghiên cứu, tìm hiểu thêm việc vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự trong khai thác và mở rộng một

số bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp, nâng cao khả năng giải toán và năng lực nhận thức của bản thân

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu, sưu tầm một số bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp, phân tích cách tìm lời giải, đưa ra lời giải hoặc nhiều lời giải các bài toán đó có

sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay , phép

vị tự Khai thác mở rộng các bài toán đó

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu đề cập đến bài toán và lời giải bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán chứng minh hình học và các phép biến hình

- Tổng kết kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu bộ môn

6 Đối tượng nghiên cứu:

Tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp có thể sử dụng các phép biến hình (Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay), phép vị tự Các bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp

7 Phạm vi nghiên cứu:

Các bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp

8 Cấu trúc của đề tài:

- Phần mở đầu

- Phần nội dung: gồm 3 chương

+ Chương I: Bài toán và lời giải bài toán- Phương pháp tìm lời giải bài toán chứng minh hình học

- Danh mục tài liệu tham khảo

9 Kế hoạch thời gian:

Từ tháng 15/8/2011 đến 15/5/2012 Chỉnh sửa, báo cáo đề tài 30/6/2012

PHẦN NỘI DUNG Chương I: BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TOÁN – PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC

I.1 Bài toán

Theo G.POLYA: "Bài toán là việc đặt ra sự tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay"

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán

là sự đòi hỏi phải đạt được mục đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập,

I.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

Trong định nghĩa về bài toán ở trên, ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài toán

ví dụ: "Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các trung tuyến tương ứng là m m m a, b, c Chứng minh 2 2 2

5

m m b c  a ”

Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện ở cụm từ "Chứng minh"

Mục đích của bài toán thể hiện qua: " 2 2 2

5

m m b c  a "

I.3 Lời giải bài toán

Lời giải của một bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần phải thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra

Một bài toán có thể có:

- Một lời giải

- Không có lời giải

- Nhiều lời giải

Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

Việc tìm ra nhiều cách giải cho bài toán là một cách rèn luyện tư duy hiệu quả

Từ một bài toán ban đầu ta có thể đặc biệt hóa nó để có được những bài toán mới rồi từ đó tìm ra nhiều lời giải cho bài toán này

Ví dụ: Bài toán có nhiều lời giải

Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD có AB = CD; M, N tương ứng là các trung

điểm của BC, DA Giả sử đường thẳng MN cắt các đường thẳng AB, CD tương ứng tại P, Q Chứng minh rằng BPM  CQM

Gọi I là trung điểm của AC Từ giả thiết suy ra IM, IN tương ứng là đường trung bình của các tam giác  ABC và  ACD Suy ra IM // AB; IN // CD và

IM = AB = CD = IN

Do đó  IMN cân tại I Suy ra IMN  INM

Mặt khác ta có BPM  IMN (so le trong); CQM  INM (đồng vị)

do đó BPM  IMN (đpcm)

Bây giờ ta đặc biệt hóa bằng cách cho D nằm giữa A và C ta có bài toán sau:

Bài toán 2: Cho ABC có AC> AB Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD =

AB Gọi M, N tương ứng là trung điểm của BC, AD Chứng minh rằng

BAC2CNM

Lời giải: Cách 1 Gọi K là trung điểm của BD Khi đó NK, MK là đường trung

bình của các tam giác DAB và BCD

Từ tính chất của đường trung bình của tam giác ta

suy raBACDNK (Góc đồng vị)

BACDNK (So le trong)

NMK KNM (KNM cân tại K)BAC2CNM

(đpcm)

Hình 1

Hình 2

Cách 2 Gọi I là trung điểm của AC Ta có IM // AB và AB = 2IM = CD;

CD = CA – DA = 2IA - 2NA =2(IA – NA)= 2IN  IM = IN   IMN cân tại I 

INM MNI

BACMIC (đồng vị )

MIC2CNM (góc ngoài của tam giác)  BAC2CNM (đpcm)

Cách 3: Gọi H là điểm đối xứng của A qua M Khi đó MN là đường trung bình của  ADH nên MN//DH suy ra CDHCNM (đồng vị)

Cách 4:

Gọi L là điểm đối xứng của D qua

M Khi đó MN là đường trung bình

của  ADL nên MN//AL 

CALBLA (so le trong)

 CNM CAL BLA BAL

Suy ra BAC2CNM (đpcm)

Cách 5

Gọi R là điểm đối xứng của B qua N Khi đó MN là đường trung bình của

 BRC nên MN// CR  DCRCNM (so le trong)

Cách 6 Kí hiệu AB = c; BC = a; CA = b Dựng AS // MN (S  BC)

a.b

AS là phân giác của góc BAC Vậy BAC2CAS2CNM (đpcm)

Nhận xét: Như vậy, bằng cách vẽ hình phụ khác nhau, ta đã có 6 cách giải cho bài toán trên

I.4 Ý nghĩa của việc giải toán

I.4.1 Củng cố các kiến thức cơ bản của học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích kỹ

dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới Và cứ như vậy kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức có liên quan đến bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều lần

Ví dụ : Hãy tìm các cách giải của bài toán sau:

Hình 7

"Cho 3 hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng 1 được dựng liên tiếp nhau theo hình vẽ dưới đây:

     Với cách giải này ta củng cố cho học sinh các kiến thức sau:

- Định nghĩa hàm số lượng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm

số lượng giác của một góc;

- Công thức biến đổi lượng giác của một tổng

Cách 2 (Lớp 7):

Đặt BCA   ; BDA   ; Để tính tổng

hai góc  và  ta dịch chuyển góc  đến vị trí

kề với góc  tạo ra một góc tổng của chúng

Bằng cách xét các tam giác vuông bằng nhau, ta

chứng minh được 0

B  Với cách giải này ta củng cố cho học sinh các kiến thức sau:

- Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, tính chất của hai tam giác bằng nhau;

- Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân

Đặt BCA   ; BDA   ; Ta có: BOC DOB vì chung nhau góc

O và 2 cạnh kề góc đó tỉ lệ với nhau Từ đây ta suy ra CBO  và dễ dàng

45

   

Với các giải này ta củng cố cho học sinh các kiến thức sau:

- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng;

- Tính chất của hai tam giác đồng dạng;

- Tính chất của hai đường thẳng song song;

- Hình vuông và các tính chất của nó

I.4.2 Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật nhất của Toán học cũng như của môn Toán là một khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt Vì vậy, khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,

Chúng ta cũng đã biết, không thể có một phương pháp chung nào giải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: Phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hóa, Như vậy, qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

I.4.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ bộ môn khoa học nào là nhớ được kiến thức, hiểu được kiến thức và vận dụng các

Hình 10

kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức

là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong các tình huống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm; bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm

Trong dạy học định lý toán học: Bài toán có thể sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; việc tổ chức cho học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức hướng dẫn cho học sinh tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương trình nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học: Người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố các kiến thức và hình thành một kỹ năng cơ bản nào đó

I.4.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó, người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại, nhiều khi người ta phải

có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó

Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách con người

I.5 Những gợi ý khi giải bài toán chứng minh hình học

I.5.1 Những điều cần chuẩn bị trước khi chứng minh một bài toán hình học

Để giải một bài toán chứng minh hình học ta cần phải làm những gì? Nắm vững lí thuyết (thuộc định nghĩa, tiên đề, định lí ) chưa đủ để đảm bảo cho ta giải được một bài toán chứng chứng minh hình học Đó mới chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho việc giải một bài toán chứng minh hình học

Chuẩn bị trước khi chứng minh:

1- Đọc kĩ đề bài để hiểu hết ý của đề (gọi là nắm vững đề bài) Nên đọc nhiều lần, có thể vừa đọc đề vừa vẽ hình sơ bộ ra vở nháp để hiểu rõ ý nghĩa của các từ ngữ toán học dùng trong bài

2- Phân tích sơ bộ giả thiết kết luận của bài, dựa vào đề bài vẽ hình chính xác Hình vẽ chính xác giúp ta quan sát tốt, gợi ý cho ta suy diễn đúng và tìm được cách chứng minh dễ dàng Vẽ hình tùy tiện, không chính xác lại là điều thường xảy ra đối với những người mới học hình học Vì vậy học hình học điều cần thiết là phải rèn luyện kĩ năng vẽ hình Không được vẽ các hình ở dạng đặc biệt Ví dụ: Cho hai đường thẳng cắt nhau thì không được vẽ chúng vuông góc Cho một tam giác thì không được vẽ tam giác vuông, cân hoặc đều Cho một góc thì không được vẽ góc vuông,

Đặt tên cho các yếu tố trong hình có liên quan đến bài giải, dùng kí hiệu đánh dấu các yếu tố bằng nhau (cạnh, góc, )

3- Dựa vào đề bài và hình vẽ, dùng các kí hiệu toán học thay cho các ngôn ngữ toán học thông thường để tóm tắt thành giả thiết kết luận bên cạnh hình vẽ

Sau khi đã làm xong ba bước trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết luận đọc lại đề bài một lượt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi tìm cách chứng minh

Suy nghĩ để tìm phương pháp chứng minh

Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một Phương pháp chủ yếu để tìm lời giải của một bài toán chứng minh hình học thường là phương pháp bắt đầu từ kết luận Ta thừa nhận kết luận đúng từ đó làm cơ sở suy xét Giả sử Z là kết luận Ta thừa nhận Z Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng, vì từ Y suy

ra được Z Nếu có Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng vì từ X suy ra được Y Tiếp tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X1 khác cũng đúng vì

từ X1 suy ra được X, Cứ như vậy suy ngược cho đến cuối cùng ta được một mệnh đề A chẳng hạn phù hợp với giả thiết, hoặc chính mệnh đề A là giả thiết thì thôi

Phương pháp trên gọi là phương pháp phân tích đi lên và ta có thể tóm tắt như sau: Z  Y  X  X1  A

Đây là phương pháp bằng suy luận có lý ta đi ngược từ kết luận lên giả thiết Nó không phải là một phương pháp chứng minh Vì xuất phát từ một mệnh

đề chưa biết đúng, sai bằng suy luận có lý ta suy ra được một mệnh đề đúng thì

chưa thể có kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát (Z) Do vậy sau khi vận dụng phương pháp trên để tìm được cách chứng minh (gọi là tìm được chìa khóa giải bài toán) ta phải trình bày lời giải theo thứ tự ngược lại gọi là phương pháp tổng hợp sơ đồ như sau: A   X1  X Y  Z

Với A là giả thiết của bài ra, mệnh đề này luôn đúng Bằng suy luận có lý dựa vào các khái niệm cơ bản, các định lý và các tiên đề đã học ta khẳng định được tính đúng đắn của Z

Phương pháp chứng minh như trên gọi là phương pháp chứng minh trực tiếp

Những điều cần chú ý khi chứng minh một bài toán hình học

Chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ, chính xác Sau khi đã có phần chuẩn bị và suy nghĩ để tìm ra phương pháp chứng minh như trên thì việc trình bày lời giải bài toán theo phương pháp tổng hợp như trên

là rất quan trọng Một số điểm cần chú ý khi diễn đạt lời giải của bài toán chứng minh hình học:

1 Mỗi một câu, một mệnh đề, một hệ thức nào đó được nêu ra trong bài chứng minh của mình đều phải có lý do, có căn cứ xác đáng, không mơ hồ, không qua loa Vì vậy khi trình bày một bài chứng minh hình học mặc nhiên hình thành hai phần: Phần bên trái là những mệnh đề, những hệ thức toán học thường nên mở đầu bằng các từ „xét”, “ta có”, “nên”, “suy ra”, “rút ra”, “vậy”, vv Phần bên phải là những lí do: ghi những cơ sở, những căn cứ để có được những mệnh đề, những hệ thức toán học đó

2 Những lý do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh hình học là: Giả thiết, những định nghĩa đã học, những tiên đề đã học, những định lý đã học, cũng có khi là kết quả của câu chứng minh trước của bài Những điều chưa học hay trong phạm vi chương trình không dạy thì không được dùng làm căn cứ

3 Khi chứng minh nếu phải vẽ thêm đường phụ thì bắt đầu vào bài phải nói ngay vẽ đường phụ nào? Vẽ như thế nào và tên gọi của nó

4 Gặp những phần chứng minh giống nhau trong bài thì không cần lặp lại

cả quá trình chứng minh mà chỉ ghi “chứng minh tương tự như trên ta cũng có” rồi ghi kết quả chứng minh vào

5 Dùng kí hiệu đánh dấu trên hình những yếu tố bằng nhau

6 Lời lẽ diễn đạt cần phải ngắn gọn, không thiếu, không thừa Trong trường hợp có thể nên dùng kí hiệu, dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để bài chứng minh được rõ ràng, mạch lạc không dài dòng

Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý như tính cẩn thận, tính chính xác trong vẽ hình vv

I.5.2 Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong chứng minh hình học

Khi giải một bài toán chứng minh hình học, trừ một số bài dễ còn lại phần lớn các bài đều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được Vậy vẽ đường phụ như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì? Đó là điều người học cần phải biết được với mỗi bài toán cụ thể Không thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học Ngay với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tùy thuộc vào cách giải bài toán

Phân tích: Bình thường hai đường chéo AC và BD không có mối liên hệ nào

gúp ta so sánh Nếu đưa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đường phụ Có thể từ B hoặc C vẽ đường thẳng song song với AC hoặc BD Cũng có thể ở giữa A và D ta chọn một điểm E sao cho BE=AC (hoặc sao cho CE = AB, tùy theo cách vẽ)

Như vậy ta đã làm xuất hiện BDE có BE = AC Việc so sánh AC với BD được chuyển thành so sánh BE với BD trong BDE Để so sánh BE với BD

ta so sánh các góc đối diện với chúng trong BDE, lấy A > D làm trung gian

2)Vẽ đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau

Hình 11

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Trên AB và BC lấy hai điểm E và F sao

cho AF = CE (E  AB, FBC) Kẻ DHAF và DK  CDE Chứng minh

DH = DK

Phân tích: Ta nhận thấy ngay việc chứng minh cho DH = DK thực chất là

việc chứng minh cho AFD và CED có diện tích bằng nhau, vì hai tam giác này có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau Nếu hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và có đường cao thuộc hai cạnh đáy đó cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau Vì vậy nếu ta vẽ đường chéo AC và lấy ACD làm trung gian để

so sánh với diện tích CED và diện tích AFD ta thấy ngay

dt AFD = dt ACD ( vì có cùng đáy AD và cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD)

dt CED = dt ACD ( vì có cùng đáy CD và cùng chiều cao hạ từ A và E xuống CD)

Suy ra dt AFD = dt AED hay 1DH.AF 1DK.CE

Phân tích: Ở bài toán này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng bằng AB +

CD và một đoạn khác bằng AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh Nhưng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi kết luận bằng cách chuyển vế AC và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có: AB – AC >

Hình 12

BE – CD Như vậy đề toán có thể biến đổi thành một đề toán mới tương đương “Cho tam giác ABC có AB > AC, Chứng minh rằng hiệu của hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu của hai đường cao tương ứng thuộc hai cạnh đó”

Biến đổi như vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn AB chồng lên đoạn AC để xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC Đó là CB‟ = AB‟ –

AC (hình vẽ)

Ta có tam giác cân ABB‟ (AB =

AB‟) Từ B‟ kẻ B‟H  AB và

CF  B‟H Đến đây ta đã thấy việc

giải toán trở nên dễ dàng Ta chỉ

cần chứng minh cho BE = B‟H và

CDHF là hình chữ nhật, sẽ suy ra

được B‟F = BE – CD Cuối cùng

bài toán đưa về việc so sánh B‟F

với B‟C trong tam giác vuông

B‟FC

4) Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng nhau mà bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa những đại lượng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh được dẽ dàng

5) Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó

Ví dụ: Cho tam giác ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác Chứng

minh rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường thẳng xy bằng 1

3tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó

Phân tích:  ABC có G là trọng tâm , kẻ AA‟, BB‟, CC‟ và GG‟ đều vuông góc với xy Ta phải chứng minh GG'= (AA'+BB'+CC')1

3Dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh nào đó của tam giác ABC với trọng tâm G thì đường thẳng nối 2 điểm đó phải đi qua trung điểm của cạnh đối diện Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC và lấy một điểm E là trung điểm của BG ta sẽ có

1BE=EG=GN= BN

3 (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Khai thác tính chất này và dựa vào định lý “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”, ta tiếp tục vẽ các đường EE‟ và NN‟ vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA‟CC‟; EE‟NN‟ và BB‟GG‟ Vận dụng tính chất đường trung bình của hình thang để tính đường trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của nó rồi biến đổi dần ta sẽ được kết quả cần tìm

Thông qua một số ví dụ đã nêu chúng ta hiểu được phần nào vai trò của đường phụ trong chứng minh hình học Có nắm được kiến thức chắc chắn, biết vận dụng linh hoạt mới mới biết khai thác dữ kiện của bài toán

Một số loại đường phụ thường vẽ như sau:

1 Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

2 Vẽ một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước

3 Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước

4 Dựng đường phân giác của một góc cho trước

5 Nối hai điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước

6 Dựng một góc bằng một góc cho trước

7 Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước

8 Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau

Hình 14

ChươngII: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH II.1.Phép biến hình:

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó

II.2 Phép tịnh tiến

II.2.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P), cho trước một vectơ u Phép biến hình biến mỗi điểm M trong mặt phẳng thành điểm M’ sao cho MM' u được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ u; u được gọi là véc tơ tịnh tiến

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;

- Biến tia thành tia song song hoặc trùng với nó;

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó

- Biến góc thành góc có cùng số đo

b Phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M thành điểm M’ là phép biến đổi

1-1 và có phép biến đổi ngược Đó là phép tịnh tiến theo vectơ (-u ) biến điểm

M’ thành điểm M

II.3 Phép quay trong mặt phẳng

II.3.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một góc  sai khác k2 Một phép biến hình biến điểm O

thành chính nó và biến mọi điểm M khác O trong mặt phẳng thành điểm M’ sao

cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

Khi đó ta gọi nó là phép quay tâm O, góc quay  Kí hiệu: α

Q :MM

II.3.2 Các tính chất của phép quay trong mặt phẳng

a Phép quay biến:

- Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng

- Đường thẳng d thành đường thẳng d‟ và góc định hướng (d, d‟) =  nếu

< π

2 hoặc bằng  -  nếu  > π

2; tia Ox thành tia O‟x‟ và góc tạo bởi hai tia

đó bằng ; đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A‟B‟ mà AB = A‟B‟

- Góc thành góc có cùng số đo

- Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó

b Phép quay tâm O, góc quay  biến điểm M thành điểm M’ là phép biến đổi 1-1 và có phép biến đổi ngƣợc Đó là phép quay tâm O, góc quay (- ) biến M’ thành M

II.4 Phép đối xứng trục trong mặt phẳng

II.4.1 Định nghĩa: Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M‟ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM‟ được gọi là phép đối xứng qua đường

thẳng d hay phép đối xứng trục d

Đường thẳng d gọi là trục của đối xứng, kí hiệu là Đd

II.4.2 Tính chất:

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

II.5 Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng

II.5.1 Định nghĩa: Trong mặt phẳng (P), cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM‟ được gọi là phép đối xứng tâm I

Điểm I gọi là tâm đối xứng, kí hiệu là Đ I

II.5.2 Tính chất: Phép đối xứng tâm

- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

II.6 Phép dời hình trong mặt phẳng

II.6.1 Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách

giữa hai điểm

II.6.2 Tính chất: Phép dời hình

- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm

- Biến đường thẳng thành đường thẳng

- Biến tia thành tia,

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó

- Biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

II.6.3 Định nghĩa hai hình bằng nhau: Hai hình (H) và (H‟) được gọi là

bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình (H) thành hình (H‟)

+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó

+ Biến góc thành góc bằng nó

+ Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR

II.8 Tích của hai phép biến hình

II.8.1 Khái niệm: Nếu ta dùng phép biến hình f: P P để biến điểm M bất kì của P thành một điểm M’ rồi lại dùng phép biến hình thứ hai g: P P để biến M’ thành M” Ta có M’ = f(M) và M” = g(M’) Khi đó phép biến hình h

biến M thành M” gọi là tích của hai phép biến hình f và g kí hiệu: h = gof

Ta có h(M)= gof (M)=M”

II.8.2 Tính chất: Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình II.8.3 Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, và phép quay Định lí 1: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là d1 và d2 song song với nhau là một phép tịnh tiến theo một véc tơ v có phương vuông góc với hai trục, có hướng từ d1 đến d2 và có độ dài bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó

Định lí 2: Mọi phép tịnh tiến theo một véc tơ v đều có thể phân tích bằng nhiều

cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng trục với hai trục song song

Định lí 3: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là d1 và d2 cắt nhau tại một điểm O là một phép quay tâm O và góc quay  = 2(d1,d2)

Định lí 4: Mọi phép quay tâm O góc quay  với  ≠ 0 đều có thể phân tích bằng

nhiều cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng với hai trục cắt nhau tại O

Định lí 5: Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc  là một phép quay

góc 

Định lí 6:Tích của hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép quay

với góc quay bằng tổng của hai góc quay đã cho, hay đặc biệt là một phép tịnh

tiến nếu hai phép quay đã cho, có các góc đối nhau

Chương III: VẬN DỤNG CÁC PHÉP TỊNH TIẾN, PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM, PHÉP QUAY, PHÉP VỊ TỰ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG SƠ CẤP Bài toán 1 (phép tịnh tiến) Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O,R)

và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Ta phân tích như sau: Để chứng minh trực tâm tam giác nằm trên một đường tròn cố định có nhiều cách, chẳng hạn ta thường phải chứng minh khoảng cách từ một trực tâm bất kì đến một điểm cố định một khoảng không đổi, hoặc

H là một đỉnh của một đa giác nội tiếp một đường tròn nhưng cách đó rất dài, phức tạp, nếu như ta vận dụng các tính chất của phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều Muốn vậy ta phải chỉ ra

H là ảnh của một phép biến hình nào đó mà phép biến hình đó có tính chất biến đường tròn thành đường tròn Trong bài toán này có giả thiết A là điểm thay đổi trên đường tròn, nếu ta tìm được một phép biến hình nào đó biến điểm A thành điểm H thì bài toán sẽ đơn giản hơn

Ta nhận thấy , nếu BC là đường kính thì trực tâm H của tam giác chính là

A Vậy H nằm trên đường tròn cố định (O,R)

Nếu BC không phải là đường kính,

Cách 1: Vẽ đường kính BB‟ của đường tròn Dễ thấy rằng nếu H là trực tâm của

tam giác ABC thì AH = B'C (vì tứ giác AHCB‟ là hình bình hành) Như vậy phép tịnh tiến theo véc tơ cố định B'C biến điểm A thành điểm H Do đó, khi A thay đổi trên (O,R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn (O,R) cố định qua phép tịnh tiến nói trên Vậy trực tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Cách 2: Gọi H‟ là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O)

BAH ' BCH ' (vì cùng chắn cung BH')

Mặt khác BAH ' BCH (vì

cùng phụ với góc ABC)

BCH ' BCH  HCH‟ cân  BC

là đường trung trực của HH‟ BC cố

định, vậy H là ảnh của H‟ qua phép đối

xứng trục BC Mà H‟ chạy trên đường

tròn (O) nên H cũng chạy trên đường

tròn (O‟) là ảnh của đường tròn (O)

qua phép đối xứng trục BC Vậy H

thuộc đường tròn

Khai thác mở rộng bài toán: Nhận xét 1: Hãy thay điều kiện “H là trực tâm”

bằng “H là trọng tâm” và thiết lập bài toán tương tự như bài toán 1 Ta có bài toán khác

Bài toán 1a: Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O,R) và một điểm A

thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Phân tích tương tự như trên nhưng ở đây ta thấy BC cố định nên trung điểm I của BC cũng cố định Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm của tam giác thì véc tơ IG 1IA

V Vậy G thuộc đường tròn

Nhận xét 2: Nếu ta bổ sung giả thiết M là trung điểm của cạnh BC, H‟ là điểm

đối xứng với H qua M ta có bài toán sau:

Hình 22

Hình 23