Phép tịnh tiến trong e2, e3

Phép tịnh tiến là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh tính chất hình học,....Tuy nhiên, việc

LờI CảM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, với sự cố gắng của bản thân, sự động viên từ gia đình và sự chỉ bảo tận tình của thầy Phan Hồng Trường, em đã hoàn thành khóa luận tôt nghiệp của mình

Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong khoa Toán nói chung; các thầy, cô trong tổ hình học nói riêng; đặc biệt là thầy Phan Hồng Trường, đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy, cô cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh nghiệm và khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Phan Thị Huệ

LờI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy Phan Hồng Trường cũng như các thầy, cô giáo trong tổ Hình học của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận này không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể các bạn đọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn

Sinh viên

Phan Thị Huệ

Mục lục

Phần 1: Mở ĐầU 1

Phần 2: NộI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN 3

1.1 Đại cương về phép biến hình 3

1.2 Phép tịnh tiến 5

CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN 8

VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN cơ bản 8

2.1 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán chứng minh 8

2.2 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán quỹ tích 15

2.3 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán dựng hình 21

2.4 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán cực trị 31

2.5 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán tính toán 36

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Phần 1: Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một môn học khó đối với học sinh, bởi tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học vì nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học không gian

Trong chương trình môn Toán phổ thông ở nước ta hiện nay, vai trò

và tầm quan trọng của phép biến hình ngày càng được thể hiện rõ ràng và sâu sắc không chỉ trong lý thuyết, mà cả trong thực hành giải bài tập Các phép biến hình là công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu lực trong việc giải các bài toán hình học

Phép tịnh tiến là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh tính chất hình học, Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến

để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian không phải là việc dễ dàng, thực tế nó lại là một phần khó đối với cả giáo viên

và học sinh

Vì vậy, em quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Phép tịnh tiến trong E2, E3” Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp, em xin trình bày những kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến và ứng dụng của nó trong việc giải các lớp bài toán trong hình học phẳng và hình học không gian

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống, tóm tắt kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến trong E2, E3

- Ví dụ và các bài tập có hướng dẫn giải để minh họa cho phần ứng dụng của phép tịnh tiến trong E2, E3 vào giải toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Phép tịnh tiến trong E2, E3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lý thuyết về phép tịnh tiến

- Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép tịnh tiến trong các lớp bài tập hình học:

 Bài toán chứng minh tính chất hình học

- Phân tích các tài liệu liên quan

- Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán

- Tham khảo ý kiến của thầy cô, bạn bè

Phần 2: NộI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN 1.1 Đại cương về phép biến hình

1.1.1 Phép biến hình trong En (n = 2, 3)

1.1.1.1 Định nghĩa

Cho một quy tắc f Với mỗi điểm M bất kỳ theo quy tắc f ta xác

định được một điểm M’ Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến

đổi f và được ký hiệu là f: M ↦ M’ (đọc là f biến M thành M’) Điểm M

được gọi là tạo ảnh của M’, f được gọi là một phép biến đổi hình học hay nói ngắn gọn hơn là một phép biến hình

Từ định nghĩa ta suy ra rằng: Nếu M , M tương ứng là ảnh của M1,

M2 trong phép biến đổi và M khác M thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt

Nếu f được xác định với mọi điểm trong không gian thì ta nói f là một phép biến hình trong không gian

1.1.1.2 Phép biến đổi 1 - 1

Nếu mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là một phép biến đổi một đối một (song ánh) hay 1 - 1

1.1.1.3 Phép biến đổi đồng nhất

Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất nếu f biến mỗi điểm M trong

En (n = 2, 3) thành chính nó Ký hiệu là Id: Id(M) = M,  M

1.1.1.4 Phép biến đổi ngược

Giả sử f: M ↦ M’, ∀ M Nếu tồn tại một phép biến đổi g biến M’ thành M thì ta nói g là phép biến đổi ngược của f hay f có phép biến đổi ngược Kí hiệu: g = f-1

.

Như vậy: Nếu M’ = f(M) thì M = f-1(M’) và f-1∘ f = f ∘ f-1

= Id

1.1.1.5 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi

1 Cho hai phép biến đổi f và g, với mỗi điểm M bất kỳ f: M ↦ M’

và g: M’ ↦ M” Phép biến đổi biến M thành M” được gọi là tích của hai phép biến đổi f và g

Ký hiệu: g ∘ f: M ↦ M”

2 Cho n phép biến đổi f1, f2, , fn (n > 2) Tích của n phép biến đổi

đã cho là một phép biến đổi F có được bằng cách thực hiện liên tiếp theo một thứ tự nhất định n phép biến đổi đó

Ký hiệu: F = fn ∘ fn-1 ∘ ∘ f2 ∘ f1

1.1.1.6 Hai phép biến đổi trùng nhau

Cho hai phép biến đổi f và g Ta nói f và g trùng nhau, ký hiệu là

f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong En (n = 2, 3) của hai phép biến đổi

đó trùng nhau Nghĩa là ∀ M, f: M ↦M’ và g: M ↦ M’

1.1.1.7 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi

Cho phép biến đổi f của tập T

1 Điểm M của tập T được gọi là điểm bất động (hay điểm kép,

điểm tự ứng) của phép biến đổi f, nếu f(M) = M

2 Đường thẳng d là đường thẳng bất động của phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f

3 Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng bất động của phép biến đổi

f, nếu mọi điểm thuộc (P) là điểm bất động của f

4 Đường thẳng (mặt phẳng) được gọi là đường thẳng (mặt phẳng) bất biến của phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng (mặt phẳng) đã cho thành chính nó

1.1.1.8 ảnh của một hình qua một phép biến đổi

Cho một hình F trong En

(n = 2, 3) Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F qua một phép biến đổi f lập thành một hình F’ được gọi là ảnh

của F qua phép biến đổi đó, ký hiệu là F’ = f(F) nếu f có phép biến đổi ngược cũng tức là F = f-1 (F’)

Ký hiệu f: F ↦ F’ hoặc F’ = {F(M) ∖ M ∈ F} hoặc F’ = f(F)}

Phép biến hình trong En (n = 2, 3) bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm bất kỳ được gọi là phép biến hình đẳng cự, gọi tắt là phép đẳng cự 1.2 Phép tịnh tiến

1.2.1 Định nghĩa

Cho véctơ v⃗ ≠ 0⃗ Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM′⃗ = v⃗ được gọi là phép tịnh tiến theo véctơ v⃗ Ký hiệu: T⃗ Như vậy: T⃗(M) = M’ ⇔ MM′⃗ = v⃗

Nếu phép biến hình đó được thực hiện cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói T⃗ là phép tịnh tiến trong không gian

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình H trong phép tịnh tiến T⃗ lập thành một hình H’ H’ được gọi là ảnh của hình H trong phép tịnh tiến đó

1.2.2 Tính chất

Cho phép tịnh tiến T⃗ ta có các tính chất sau:

i T⃗ không có điểm bất động và T ⃗ là phép biến đổi ngược của nó:

ii Nếu v⃗ = 0⃗ thì T⃗ là phép đồng nhất

iii Nếu A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến thì AB⃗ = A′B′⃗

iv Tích của hai phép biến đổi T⃗ và T⃗ là một phép tịnh tiến mà véctơ tịnh tiến là u⃗ + v⃗ tức là T⃗ ∘ T⃗ = T⃗ ∘ T⃗ = T⃗ ⃗

v Tích của một phép đối xứng tâm Đ và một phép tịnh tiến T⃗ là một phép đối xứng tâm và tâm O của phép biến đổi đó được xác định bởi

ii Bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng

iii Đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song hoặc trùng với d

iv Tia Ox thành tia O’x’ cùng chiều với Ox

v Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ và AB = A’B’

vi Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (O’, R’)

1.2.4 Phép tịnh tiến với mặt phẳng, miền mặt phẳng (đa giác, hình tròn)

Phép tịnh tiến T⃗ biến:

i Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P’) và (P’) // (P) hoặc (P’) ≡ (P); nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng

ii Miền đa giác thành miền đa giác

iii Hình tròn (I, r) thành hình tròn (I’, r)

1.2.5 Phép tịnh tiến với góc nhị diện

Phép tịnh tiến T⃗ biến góc nhị diện thành góc nhị diện và số đo hai góc phẳng nhị diện bằng nhau

1.2.6 Phép tịnh tiến với hình trụ tròn xoay, hình nón tròn xoay

Phép tịnh tiến T⃗ biến hình trụ tròn xoay (T) thành hình trụ tròn xoay (T’); hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay (N’)

1.2.7 Phép đối xứng - trượt trong không gian

Cho mặt phẳng (P) và véctơ v⃗ ≠ 0⃗ cùng phương với (P) Ta nói phép biến đổi T1 = S(P) ∘ T⃗ hoặc T2 = T⃗ ∘ S(P) là phép đối xứng trượt theo mặt phẳng (P)

Phép đối xứng trượt theo mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng bất biến là mặt phẳng (P)

CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN

VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN cơ bản 2.1 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán chứng minh

2.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A  B là đúng, trong đó A được gọi là giả thiết, B được gọi là kết luận của bài toán

Để giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết hay mệnh đề đúng đã biết, bằng cách lập luận chặt chẽ và suy diễn logic, dựa trên các định nghĩa, tính chất của các hình để dẫn tới kết luận

2.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình

- Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm, các đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó, để nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép biến hình ta có thể nhận được các kết quả về: tính đồng quy hay thẳng hàng quan hệ song, quan hệ vuông góc, liên thuộc, đồng dạng, giúp suy ra được điều cần chứng minh

- Việc dựng hình phụ: dựng các hình phụ (chẳng hạn phép tịnh tiến

là dựng các đoạn thẳng song song và bằng nhau) làm sao đem những

điều kiện đã cho của bài toán và của những hình có liên quan đến việc chứng minh vốn rời rạc nhau tập hợp thành một nơi, làm cho chúng có liên hệ với nhau để việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn

2.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình

- Từ bài toán ban đầu (A) có thể biểu diễn dưới dạng mệnh đề là:

A ⇒ B

Qua một phép biến hình f mệnh đề trên tương ứng thành: A’ ⇒ B’

Cho bài toán (A’) với giả thiết A’ và kết luận B’

- Lợi dụng tính 1 - 1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng minh, ta xét xem mệnh đề đảo B ⇒ A xem có đúng không Nếu đúng ta

có thể ra bài toán với cả điều kiện cần và đủ

- Thay đổi một vài điều kiện của giả thiết, hoặc xem xét các trường hợp đặc biệt, tương tự của bài toán, ta cũng có thể ra bài toán mới

2.1.4 Ví dụ

Ví dụ 1:

a Chứng minh rằng: Nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi bằng nửa tổng hai cạnh còn lại thì tứ giác đó là hình thang

b Chứng minh rằng: Nếu tổng độ dài hai đoạn thẳng nối các trung

điểm của hai cạnh đối diện của tứ giác lồi bằng nửa chu vi của nó thì tứ giác đó là hình bình hành

Lời giải

a Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện AB, CD

Theo giả thiết ta có: EF = (AD + BC) (1)

Gọi K là ảnh của D qua phép tịnh tiến theo véctơ BC⃗ ⇒ DK⃗ = BC⃗

g

e

b Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD của tứ giác ABCD

 Nhận xét: Từ bài toán trên ta rút ra một số kết luận sau:

- Trong tứ giác lồi, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng hai cạnh còn lại

- Nếu có thêm điều kiện EF = GH thì tứ giác ABCD là hình thoi

- Nếu có thêm điều kiện EF ⊥ GH thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật

- Nếu có thêm điều kiện EF ⊥ GH và EF = GH thì tứ giác ABCD

là hình vuông

Điều ngược lại hiển nhiên đúng

Từ những nhận xét trên ta có một số bài toán với cách giải tương tự:

Bài toán 1: “Chứng minh rằng tổng hai đoạn thẳng nối trung điểm hai

cạnh đối diện của một tứ giác lồi không lớn hơn nửa chu vi của tứ giác

đó”

Bài toán 2: “Chứng minh rằng tứ giác lồi là hình thoi khi và chỉ khi tổng

hai đoạn nối trung điểm hai cạnh của tứ diện của một tứ giác bằng nửa chu vi của tứ giác đó và hai đoạn nối trung điểm nói trên bằng nhau”

Bài toán 3: “Chứng minh rằng tứ giác lồi là hình chữ nhật khi và chỉ khi

tổng hai đoạn nối trung điểm hai cạnh của tứ diện của một tứ giác bằng nửa chu vi của tứ giác đó và hai đoạn nối trung điểm nói trên bằng nhau”

Ví dụ 2: “Cho tứ giác lồi ABCD có AB = CD Chứng minh rằng các

đường thẳng AB, CD tạo ra các góc bằng nhau với đường thẳng nối trung

điểm cạnh AD và BC”

Lời giải Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Ta phải chứng minh: (MN; AB) = (MN; CD)

M là trung điểm của A′D

Mà CA’ = CD ⇒ ∆CA’D cân tại C

Do đó đường trung tuyến CM’ cũng là đường phân giác của ∆A’CD

⇒ (MN; AB) = (CM’; A’C) = (CM’; CD) = (MN; CD)

Vậy (MN; AB) = (MN; CD)

 Nhận xét: Từ bài toán trên ta rút ra một số kết luận sau:

- AB = CD ⇔ (MN; AB) = (MN; CD)

- Gọi I, J là trung điểm của AC, BD

I’ = T ⃗(I), J’ = T ⃗(J) ⇒ I’, J’ là trung điểm của CA’và CD

Ta cũng chứng minh được: AB = CD ⇔ (IJ; AB) = (IJ; CD)

n

A'

m'

“Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh các mệnh đề sau tương đương:

Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác phẳng A’CB’D vuông (vì là hình bình hành có

đường chéo bằng nhau)

c'

d

m

n

Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD

Theo câu a ta có A’CB’D là hình vuông, tương tự AC’BD’ cũng là hình vuông, và MN là đường vuông góc chung của AB và CD nên các hình vuông AC’BD’, A’CB’D là đáy của một hình hộp đứng

 Nhận xét: Ta có bài toán tương tự của bài toán trên:

“Cho tứ diện ABCD có: AB = CD, AC = BD, AD = BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD

a Phép tịnh tiến theo véctơ MN⃗ biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ Chứng minh rằng: tứ giác phẳng A’CB’D là hình chữ nhật

b Phép tịnh tiến theo véctơ NM⃗ biến đoạn thẳng CD thành đoạn thẳng C’D’ Chứng minh rằng: bốn đỉnh của tứ diện ABCD cùng với các điểm A’, B’, C’, D’ là đỉnh của một hình hộp chữ nhật”

2.1.4 Bài tập đề nghị

Bài 1: “Trên cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, ta lấy điểm D (khác B, C) Phép tịnh tiến theo véctơ DA⃗ biến B thành B’, C thành C’ Chứng minh rằng: trực tâm ∆AB’C’ nằm trên một đường thẳng

cố định khi D thay đổi trên cung BC không chứa A”

Hướng dẫn giải Xét phép tịnh tiến theo véctơ DA⃗:

T ⃗: ∆DBC ↦ ∆AB’C’

⇒ T ⃗ biến các đường cao của ∆DBC

thành các đường cao tương ứng của ∆AB’C’

Vì BC // B’C’ nên đường cao kẻ từ A của

∆AB’C’ vuông góc với BC

Tức là đường cao kẻ từ A của ∆AB’C’ nằm

trên đường thẳng cố định

Vậy trực tâm ∆AB’C’ nằm trên đường thẳng cố định đi qua A và vuông góc BC

Bài 2: “Cho tứ diện ABCD có các đường cao đồng quy tại điểm H Trong

∆ABC ta lấy điểm M và dựng các hình bình hành AMNB, AMEC Từ các

điểm M, N, E ta dựng các đường thẳng tương ứng song song với AH, BH,

CH Ta ký hiệu I, K, L lần lượt là giao điểm của các đường thẳng đó với các mặt (BCD), (CDA), (ABD) Chứng minh rằng: Các điểm D, H, I, K,

L cùng nằm trên một mặt cầu”

Hướng dẫn giải D

A

B

CH

M

N

EH'

KIL

⇒ K thuộc mặt cầu đường kính DH’

Tương tự I, L cũng thuộc mặt cầu đường kính DH’

Ta có: DH ^(ABC)

Vậy 5 điểm D, H, I, K, L cùng thuộc một mặt cầu

2.2 ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán quỹ tích

2.2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một hình có tính chất  cho trước) Quỹ tích điểm M có tính chất  cho trước

có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm, tập vô hạn điểm

Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  phải thuộc hình (H) nào đó ta phải thực hiện:

Bước 1: (Phần thuận): Chứng minh mỗi điểm có tính chất  phải thuộc hình (H) (nói lên tính không thiếu của quỹ tích)

Bước 2: (Phần đảo): Chứng minh mỗi phần tử thuộc hình (H) đều có tính chất  (nói lên tính không thừa của quỹ tích)

2.2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình

Giả sử f: En↦ En

(n = 2, 3)

M ↦ M’

Là một phép biến hình

- Nếu quỹ tích của M là hình () thì ta có quỹ tích M’ là f()

- Ngược lại nếu quỹ tích M’ là (’) thì quỹ tích M là f-1(’)

Do đó muốn sử dụng phép biến hình và giải bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành M’ sao cho quỹ tích những

điểm M’ tìm được dễ dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích của điểm M

2.2.3 Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình

Giả sử quỹ tích các điểm M có tính chất  nào đó đã tìm được là một hình () Lấy một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M’, ta

có thể phát biểu bài toán mới: Tìm quỹ tích các điểm M’ có liên quan với

điểm M bởi f, kết quả quỹ tích cần tìm chính là f()

2.2.4 Ví dụ

Ví dụ 1: “Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định, điểm A thay đổi trên đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC”

Lời giải Kéo dài AO cắt (O, R) tại điểm thứ 2 là A’

ia'

⇒ I là trung điểm của HA’

Xét ∆AHA’ ta có: OI là đường trung bình nên AH ⃗ = 2OI⃗

Vì BC cố định nên I cố định, do đó OI⃗ hoàn toàn xác định

Từ đó ta có: H = T ⃗ (A)

Để có ∆ABC thì A ∈ (O; R) ∖ {B ∪ C}

⇒ Quỹ tích của điểm H là:

(O’; R) = T ⃗ [(O, R)] ∖ T ⃗ (B) ∪ T ⃗ (C)

 Nhận xét: Từ bài toán trên ta rút ra kết luận sau: “Trong một tam

giác, khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ tâm

đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh ấy” Do đó ta có thể tìm

được quỹ tích của các điểm có liên quan đến trực tâm bởi một hệ thức nào đó

Từ đó, ta có thể đề ra bài toán:

“Cho (O, R), dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của (O, R)), C là một điểm thay đổi trên (O, R), H là trực tâm của ∆ABC Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (C, CH) và (H, HC) Tìm tập hợp các điểm M, N”

Ví dụ 2: “Cho ∆ABC Với mỗi điểm M ta dựng điểm N theo công thức: MN⃗ = MA⃗ + 2MB⃗ - 3MC⃗ Tìm tập hợp N khi M thay đổi trên đường thẳng d”

Lời giải Theo giả thiết:

⇒ N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ AE⃗

Vì M ∈ d nên N ∈ d’ (d’ = T ⃗(d))

Vậy tập hợp điểm N là đường thẳng d’ = T ⃗(d)

 Nhận xét: Từ bài toán trên ta thấy, để tìm quỹ tích của một điểm N có

liên quan đến các điểm cho trước theo một hệ thức nào đó, M là điểm chuyển động cho trước, ta biểu diễn MN⃗ theo một véctơ xác định rồi suy

ra quỹ tích điểm N

Ta có bài toán với cách giải tương tự:

Bài toán 1: “Cho ∆ABC Với mỗi điểm M, ta dựng điểm N theo công thức: MN⃗ = MA⃗ + MB⃗ - 2MC⃗ Tìm tập hợp điểm N khi M thay đổi trên

đường tròn (O)”

Bài toán 2: “Cho hai điểm cố dịnh A, B và đường tròn (O) Với mỗi điểm

M thuộc (O) ta gọi M’ đối xứng với M qua A và M” đối xứng với M’ qua

B Tìm tập hợp M” khi M thay đổi trên đường tròn (O)”

Bài toán 3: “Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau và đường

thẳng c Với mỗi điểm M thuộc c, ta dựng điểm M’ đối xứng với M qua

a, M” đối xứng với M’ qua b Tìm tập hợp điểm M” khi M thay đổi trên c”

Ví dụ 3: “Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By có AB là đường vuông góc chung M, N lần lượt chạy trên Ax, By sao cho: AM = BN Tìm quỹ tích trung điểm I của MN”

Ta có: I′I⃗ = M′M⃗ = BA⃗ = BO⃗

Gọi I’ = T ⃗(I) Dễ thấy II’ // MM’ mà I là trung điểm của MN

⇒ I’ là trung điểm M”N,với M’ = T ⃗(M) và I’ ∈ Bt (do Bt = T ⃗(Ou))

⇒ BI’ vừa là phân giác, vừa là trung tuyến của ∆BM’N

 Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát của bài toán trên: “Cho hai nửa

đường thẳng chéo nhau Ax, By có AB là đường vuông góc chung M, N lần lượt chạy trên Ax, By sao cho AM = BN Tìm tập hợp điểm I sao cho

IM = kIN (k > 0 cho trước)”

2.2.5 Bài tập đề nghị

Bài 1: “Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, cạnh CD thay

đổi sao cho = Tìm tập hợp các đỉnh C và D”

m

a

o b

n

m'

z x

u

y

t i'

i

D là ảnh của C trong phép tịnh tiến theo véctơ BA⃗

* Giới hạn: Tập hợp các điểm C là đường tròn (A, AB√2) trừ hai giao

điểm của đường tròn đó với đường thẳng AB

b Phần đảo

Dựng đường tròn (A, AB√2)

Lấy điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (A, AB√2)

Gọi D = T ⃗(C) Xét tứ giác ABCD có BA⃗ = CD⃗

của (A, AB√2) và đường thẳng AB

D là ảnh của C qua phép tịnh tiến T ⃗

b

c d

a