Luận văn sư phạm Phép đối xứng tâm trong E2, E3

PH N M T: M U Lý ch n đ tƠi Trong nhƠ tr ng ph thơng, hình h c lƠ m t mơn khó đ i v i h c sinh, b i tính ch t ch , logic vƠ tính tr u t h c khác ng c a hình h c cao h n môn c bi t lƠ phép bi n hình s c p lƠ m t ph n quan tr ng c a hình h c vƠ lƠ m t cơng c h u ích đ i v i bƠi tốn hình h c ph ng vƠ hình h c khơng gian Vi c đ a n i dung phép bi n hình vƠo ch ng trình tốn b c trung h c c s vƠ trung h c ph thông không nh ng ch nh m cung c p cho h c sinh nh ng cơng c m i đ gi i tốn mƠ cịn t p cho h c sinh lƠm quen v i ph t ng pháp t vƠ suy lu n m i, bi t nhìn nh n s vi c vƠ hi n ng xung quanh cu c s ng v i s v n đ ng vƠ bi n đ i c a chúng đ nghiên c u, tìm tịi, khám phá, t o c s cho s đ i c a nh ng phát minh vƠ sáng t o t ng lai Phép đ i x ng tơm lƠ m t nh ng phép bi n hình s c p đ cv n d ng đ gi i quy t bƠi tốn d ng hình, qu tích, ch ng minh, tính toánầ Tuy nhiên vi c v n d ng phép đ i x ng tơm E2,E3 đ gi i bƠi tốn hình h c khơng ph i lƠ vi c d dƠng Th c t lƠ m t ph n khó đ i v i c giáo viên vƠ h c sinh Vì th i gian có h n nên em xin trình bƠy nh ng ki n th c c b n v phép đ i x ng tơm E2,E3 M c đích nghiên c u c a đ tƠi Nghiên c u phép đ i x ng tơm vƠ ng d ng c a l p bƠi t p hình h c it ng nghiên c u Phép đ i x ng tơm E2, E3 Nhi m v nghiên c u Trình bƠy c s lý thuy t v phép đ i x ng tơm Các ví d minh h a th hi n ng d ng c a phép đ i x ng tơm l p bƠi tốn hình h c sau:  Ch ng minh tính ch t hình h c  D ng hình  T p h p m  BƠi toán c c tr ng pháp nghiên c u Ph Nghiên c u tƠi li u liên quan đ n phép đ i x ng tơm N i dung c a đ tƠi Ph n M đ u Ph n N i dung ic ng v phép bi n hình nh ngh a tính ch t c a phép đ i x ng tơm ng d ng c a phép đ i x ng tơm vi c gi i m t s l p bƠi tốn hình h c Ph n M t s k t lu n vƠ ki n ngh K ho ch nghiên c u Tháng 9/2012 đ n tháng 1/2012 nh n đ tƠi vƠ hoƠn thƠnh đ c ng Tháng 2/2013 đ n tháng 3/2013 tìm hi u c s lý thuy t, tìm tƠi li u tham kh o Tháng 4/2013 đ n tháng 5/2013 hoƠn thƠnh đ tƠi PH N HAI: N I DUNG Ch ng IC M i song ánh f: En En đ NG V PHÉP BI N HỊNH nh ngh a c g i lƠ m t phép bi n hình c a không gian En(n=2,3) nh ngh a Cho phép bi n hình f: En  i m M thu c En đ En ta có khái ni m sau: c g i lƠ m b t đ ng đ i v i phép bi n hình f n u f(M) = M  Hình H n m En đ  Hình H đ c g i lƠ hình kép n u f(H) = H c g i lƠ hình b t đ ng đ i v i phép bi n hình f n u:  M  H: f(M)=M nh ngh a Phép bi n hình f: En En đ c g i lƠ phép bi n hình đ i h p n u: f2 = IdE2 Ví d : Phép đ i x ng tơmầ Ch ng PHÉP I X NG QUA TỂM nh ngh a Trong không gian En(n=2,3) cho m t m O phép bi n hình c a En bi n M thƠnh M’ cho: OM ' = - OM đ c g i lƠ phép đ i x ng qua O O: g i lƠ tơm đ i x ng Kí hi u: O Tính ch t  Trong E2: Phép đ i x ng tơm lƠ m t phép b o t n ph E3: Phép đ i x ng tơm lƠ ph n chi u b o t n ph f: E3 ng ng E3 bi n m M thƠnh M’, bi n m N thƠnh N’ th ta có: M ' N' = - MN  Phép đ i x ng tơm O có m t m b t đ ng nh t  Phép đ i x ng tơm O lƠ phép bi n hình 1-1  Tích c a ba phép đ i x ng tơm v i ba tơm đ i x ng phơn bi t lƠ m t phép đ i x ng tơm ng d ng c a phép đ i x ng qua tơm § CH NG MINH TệNH CH T HỊNH H C Ví d Ch ng minh r ng n u m t tam giác có đ đ ng trung n vƠ ng phơn giác xu t phát t m t đ nh mƠ trùng tam giác lƠ tam giác cân A D B 2 C A’ Gi i: Th t v y , gi s tam giác ABC có đ đ ng trung n AD đ ng th i lƠ ng phơn giác D th y B,C đ i x ng v i qua D G i A’= D(A) t giác ABA’C lƠ hình bình hành tâm D B i v y, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy ra: Tam giác BAA’ B vƠ BA’=BA suy ra: AB=AC vƠ tam giác ABC A Chú thích: V c b n bƠi tốn nƠy ch địi h i v n d ng ki n th c SGK hình h c 7, nhiên c n ph i v thêm hình ph đơy s d ng ngơn ng bi n hình vi c trình bƠy l i gi i c a bƠi toán (c th lƠ phép đ i x ng tơm) Ví d Cho tam giác ABC Trên c nh BC,CA,AB ta l y l n l m A1 A2, B1 B2, C1 C2 cho m n m m t đ trịn Ch ng minh r ng n u đ t ng ng th ng qua A1 vƠ vng góc v i BC, qua B1 vƠ vng góc v i AC, qua C1 vƠ vng góc v i AB đ ng quy đ ng th ng qua A2 vƠ vng góc v i BC, qua B2 vƠ vng góc v i AC, qua C2 vƠ vng góc v i AB c ng đ ng quy Gi i: A x C2 x’ B1 C1 A’1 B B2 A2 A1 C G i x lƠ d ng th ng qua A1 vƠ vng góc v i BC, (O) lƠ đ ng tròn qua m đư nêu bƠi toán G i A’1 lƠ giao di m th c a x v i (O) rõ rƠng A’1A2 lƠ đ ng kính c a (O) Vì v y phép đ i x ng x thƠnh đ T O bi n A’1 thành A2 Do bi n đ ng th ng ng th ng x’ qua A2 vƠ x//x’ hay x’ BC ng t O bi n đ vng góc v i AC, bi n đ ng th ng y thƠnh đ ng th ng y’ qua B2 ng th ng z thƠnh đ ng th ng z’ qua C vng góc v i AB(trong y, z l n l t lƠ đ ng th ng qua B1 vng góc v i AC, qua C1 vƠ vng góc v i AB) V y n u S lƠ m chung c a x, y, z nh S’ c a S qua phép đ i x ng tơm O c ng lƠ m chung c a x’, y’, z’ Suy u ph i ch ng minh Ví d Cho hình bình hành ABCD đ ng tròn bƠng ti p (O) c a tam giác ABD ti p xúc v i ph n kéo dƠi c a AB vƠ AD t n M vƠ N o n th ng MN c t BC vƠ DC t Ch ng minh r ng đ ng ng t i ng ng t i m P,Q ng tròn n i ti p tam giác BCD ti p xúc v i c nh BC, DC t i P vƠ Q Gi i: A M’ N’ O’ B H I K M P Q O D N C G i K lƠ ti p m c a (O) v i BD (O’) lƠ đ ABD ti p xúc v i AB M’, AD ng tròn n i ti p tam giác N’ vƠ v i BD t i H I lƠ trung m c a BD D th y MM’ = BK+BH, NN’ = DK+DH vƠ MM’ = NN’  BH+HK+BH=DK+DK+HK  BH=DK mà IB=ID nên IH=IK Rõ ràng phép đ i x ng tơm I bi n B thƠnh D, H thƠnh K Tam giác AMN t i A vƠ DQ // AM nên tam giác DQN t i D suy DQ = DN = DK = BH = BM’ Th Q lƠ nh c a M’ qua t P lƠ nh c a N’ qua Ta có I I T ng I bi n A,B,D thƠnh C,D,B nên giác CDB V y I bi n đ I bi n tam giác ABD thành tam ng tròn (O’) n i ti p tam giác ABD thƠnh đ ng tròn (O’’) n i ti p tam giác CDB MƠ I bi n M’,N’,H thƠnh Q,P,K h n n a (O’) qua M’,N’,H nên (O’’) qua Q,P,K Suy u ph i ch ng minh Ví d Cho ABCD lƠ m t t giác n i ti p m t đ tr c T M,N P,Q l n l đ ng th ng vng góc v i c nh đ i di n t Ch ng minh đ ng tròn cho t lƠ trung m c nh AB,BC,CD,DA ta v ng ng ng th ng nƠy đ ng quy Gi i: G i O lƠ tơm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD D th y MNPQ lƠ hình bình hƠnh G i I lƠ tơm c a t giác MNPQ Ta có phép đ i x ng tơm I Ta có OM,ON,OP,OQ l n l bi n M,N,P,Q l n l t vuông góc v i AB,BC,CD,DA Do tính ch t c a phép đ i x ng tơm nên đ thƠnh đ t thƠnh P,Q.M,N ng th ng OM qua M bi n ng th ng qua P vƠ song song v i OM qua P vƠ vng góc v i AB 10 ó lƠ đ ng th ng D ng C= b’ c D ng B= I(C)  Ch ng minh: Theo cách d ng ta có: b’= b.ta l i có C thu c c suy d ng đ I(b), I(B)=C mƠ C thu c b’ nên B thu c c tam giác ABC th a mưn bƠi toán  Bi n lu n: b’//c bƠi tốn vơ nghi m hình b’ c t c bƠi tốn có m t nghi m hình b’ trùng c bƠi tốn có vơ s nghi m 26 Nh ng t p luy n t p t ng ng D ng tam giác ABC bi t đ dƠi trung n k t đ nh A,B vƠ góc C HD: Kí hi u AM,BN lƠ trung n G lƠ tr ng tơm tam giác ABC Phép đ i x ng tơm M bi n B thƠnh C bi n G thƠnh G’ Khi G’C=GB= 2mb u ch ng t C n m đ ng trịn tơm G’ v i bán kính R’= 2mb m t khác C n m cung ch a góc d ng AM Cho đ ng trịn tơm O đ ng th ng d vƠ m A khơng n m d vƠ (O) Tìm m B (O) cho BA c t d t i C th a mưn AB=AC HD: Phép đ i x ng qua A bi n C thƠnh B nên bi n d thƠnh d’ c t đ ng trịn (O) t i B Cho góc xOy vƠ m A,C n m góc Hưy d ng m B,D c nh Ox,Oy cho t giác ABCD lƠ hình bình hƠnh HD: G i I lƠ trung m c a AC Phép đ i x ng qua I bi n B thƠnh D nên bi n Ox thƠnh tia O’x’ qua D D lƠ giao m c a tia O’x’ v i tia Oy 27 § TỊM T P H P I M Ví d Cho m t ph ng (P) vƠ m A,B,C,D V i m i m M thu c (P) ta xác đ nh m N theo công th c MA + MB + MC + MD =2 MN Tìm t p h p m N M bi n thiên (P) Gi i: G i G lƠ tr ng tơm c a m A,B,C,D V i m M b t kì Theo cơng th c tr ng tơm ta có: MG = MA + MB + MC + MD 4 MG =2 MN  MG = MN 2 MG = MG + GN  MG =- NG H th c ch ng t t p h p N lƠ m t ph ng đ i x ng v i (P) qua G Nh n xét: Ta có th m r ng bƠi toán E3 ta đ c bƠi toán sau: Cho m t c u (O) vƠ m A,B,C,D V i m i m M thu c m t c u ta xác đ nh m N theo h th c MN =2 MA +3 MB +4 MC +5 MD Tìm t p h p m N M bi n thiên m t c u Gi i: G i G lƠ m cho GA+3 GB +4 GC +5 GD = O ta có MN =14 MG hay MG +7 GN =14 MG t ng đ ng v i GN =- GM suy t p h p N lƠ m t c u đ i x ng v i (O) qua G 28 Ví d Cho tam giác ABC vƠ đ ng tròn (O) Trên c nh AB ta l y m E cho BE=2AE F lƠ trung m c nh AC vƠ I lƠ đ nh th t hình bình hành AEIF v i m i m P đ ng tròn (O) ta d ng m Q cho PA +2 PB +3 PC =6 IQ Tìm t p h p m Q P thay đ i A F E I C B P Gi i G i K lƠ m th a mưn u ki n KA +2 KB +3 KC = O  AK =2 KB +3 KC  AK =2( KA+ AB ) +3( KA + AC )6 AK =2 AB +3 AC (1) Ta có: AI = AE + AF = AB + AC 6 AI =2 AB +3 AC (2) T (1)(2) suy K I  IA +2 IB +3 IC = O Theo gi thi t: PA +2 PB +3 PC =6 IQ  PI + IA +2 PI +2 IB +3 PI +3 IC =6 IQ 6 PI =6 IQ  IP =- IQ  P,Q đ i x ng qua I V y t p h p Q lƠ đ ng tròn (O’) lƠ nh c a (O) qua 29 I Ví d Cho tam giác ABC g i A’,B’,C’ l n l t lƠ trung m c a c nh BC,CA,AB Tìm t p h p M tam giác cho nh c a M qua phép đ i x ng tơm A’, B’, C’ đ u n m đ ng tròn ngo i ti p tam giác Gi i: A M2 M C B M1 M2= B’(M), M1 = A’(M) đó: CM =- AM =- BM1 suy ra: ABM1M2 hình bình hƠnh H n n a ABM1M2 hình bình hƠnh n i ti p đ ng trịn nên ABM1M2 lƠ hình ch nh t CMAB Ch ng minh t đ ng t ta c ng có BMAC V y M lƠ giao m c a ba ng cao c a tam giác V y n u ABC lƠ tam giác nh n t p h p lƠ m t m vƠ lƠ tr c tơm c a tam giác N u ABC lƠ tam giác không nh n t p h p M lƠ t p r ng 30 Ví d Cho đ P thu c đ ng tròn (O) vƠ ba m A,B,C phơn bi t V i m i m ng tròn ta xác đ nh P1 lƠ nh c a P phép đ i x ng nh c a P1 qua phép đ i x ng B, A, P’ lƠ nh c a P2 phép đ i x ng Tìm t p h p P’ P bi n thiên đ P2 C ng tròn (O) Gi i: P1 A D P’ P B C P2 Ta có: A bi n P thƠnh P1 B bi n P1 thành P2 C bi n P2 thƠnh P’ Theo tính ch t tích c a phép đ i x ng tơm v i ba tơm đ i x ng phơn bi t lƠ m t phép đ i x ng tơm Nên D= C B A bi n P thƠnh P’ vƠ D d dƠng đ c xác đ nh b i h th c BD = BA + BC vƠ D lƠ m c đ nh V y t p h p P’ lƠ đ (O) phép đ i x ng ng tròn (O’) (O’) lƠ nh c a đ D 31 ng tròn Nh ng t p luy n t p t ng ng Cho đo n th ng BC c đ nh vƠ s k>0 V i m i m A ta xác đ nh m D cho AD = AB + AC T p h p m D A thay đ i tho mưn u ki n AB2 + AC2 = k HD: G i I lƠ trung m c a BC AI = AB + AC = AD suy I trung m c a AD cho lƠ m t đ I bi n A thƠnh D mƠ t p h p A th a mưn u ki n đư ng tròn ho c m t m ho c r ng v y t p h p D lƠ đ ng tròn ho c m ho c r ng C ng đ bƠi nh nh ng thay tìm t p h p m D A thay đ i th a mưn u ki n AB2 ậ AC2 = k HD: T p h p A lƠ m t đ ng th ng d vuông góc v i BC G i I lƠ trung m c a BC I c đ nh vƠ A đ i x ng v i D qua I V y t p h p D lƠ m tđ ng th ng Cho đo n th ng AB vƠ hai tia Ax,Ay vng góc v i AB vƠ n m phía v i đ ng th ng AB Xét hình thoi MNPQ có đ nh M n m đo n AB, đ nh P Ax đ nh Q By có góc nh n t i đ nh M b ng 60 Tìm t p h p đ nh N HD: G i I lƠ giao m đ ng chéo c a hình thoi I c đ nh vƠ phép đ i x ng qua I bi n M thƠnh N 32 § BÀI TỐN C C TR Ví d : Cho tam giác ABC vƠ m O n m tam giác G i A’,B’,C’ lƠ nh c a A,B,C qua phép đ i x ng tơm O T lƠ m t đa giác đ ct ob i ph n chung c a hai tam giác ABC vƠ A’B’C’ Tìm v trí c a O cho T có di n tích l n nh t Gi i: B’ C’ A H K O A’ C B M Ta có hai tr ng h p TH1: A’ lƠ nh c a A qua O n m tam giác Vì O bi n A thƠnh A’, B thƠnh B’ nên AB//A’B’ (1) Vì O bi n A thƠnh A’, C thƠnh C’ nên AC//A’C’(2) T (1)(2) suy ra: T lƠ hình bình hƠnh có hai c nh liên ti p n m AB,AC vƠ m t đ ng chéo lƠ AA’ G i M lƠ giao m c a AA’ v i BC D ng hình bình hƠnh AKMH có MK//AC MH//AB (KAB,HAC) rõ rƠng T b ch a hình bình hành AKMH 33 Do đó: dt(T)  dt(AKMH) Ta có AK AH AB AC dt( AHK ) = dt( ABC ) Do MK//AC,MH//AB nên VƠ CM AH BM AK = , = AB BC AC BC AK AH + =1 AB AC Theo b t đ ng th c cauchy ta có: AK AH AB AC  AK AH ( + ) = AB AC  dt(AHK)  dt(ABC) t ng đ ng v i dt(AKMH)  dt(ABC) V y dt(T) l n nh t b ng m t ph n hai di n tích ABC D u b ng x y AK AH = = suy A’ AB AC M, M lƠ trung m c a BC  O trung m c a AM A S1 Q C’ P S O S3 S2 B B’ R N C M A’ TH2: A’,B’,C’ n m ngoƠi tam giác ABC Khi T lƠ m t l c giác Phép đ i x ng tơm O bi n A,B,C l n l t thƠnh A’,B’,C’ nên T lƠ m t l c giác có c p c nh đ i song song vƠ b ng 34 G i S1,S2,S3 lƠ di n tích tam giác nh b c t t tam giác ABC b i đ ng th ng B’C’, C’A’, A’B’(hình v ) S lƠ di n tích tam giác tam giác ABC Ta có S1 AQ =( ) AB S S2 BP =( ) S AB S3 PQ =( ) S AB Suy ra: S1+S2+S3 = S[( AQ BP PQ ) +( ) +( )] AB AB AB Áp d ng b t đ ng th c bunhiacopski ta có S1+S2+S3  S AQ BP PQ S ( + + ) = AB AB AB V y min(S1+S2+S3) = S AQ BP PQ x y = = hay O lƠ tr ng tơm AB AB AB tam giác ABC Ta xét di n tích c a T rõ rƠng dt(T) l n nh t S1+S2+S3 nh nh t V y max dt(T) = S 35 PH N BA: M T S K T LU N VÀ KI N NGH L I K T LU N Tr tr c tiên em xin g i l i c m n chơn thƠnh sơu s c t i th y cô ng i h c S ph m HƠ N i nói chung vƠ th y khoa tốn nói riêng, đư t n tình gi ng d y , truy n đ t cho em nh ng ki n th c kinh nghi m quý báu su t th i gian qua c bi t em xin g i l i c m n đ n th y Phan H ng Tr giúp đ , tr c ti p ch b o, h ng đư t n tình ng đ n em su t trình lƠm khóa lu n t t nghi p Trong th i gian lƠm vi c v i th y, em không ng ng ti p thu thêm nhi u ki n th c b ích mƠ cịn h c t p đ c tinh th n lƠm vi c, thái đ nghiêm c u khoa h c nghiêm túc, hi u qu , đơy lƠ nh ng u r t c n thi t cho em trình h c t p vƠ công tác sau nƠy Hà N i, tháng n m 2013 Nguy n Thanh Nga 36 TÀI LI U THAM KH O Hình h c m t s v n đ liên quan NhƠ xu t b n giáo d c Nguy n V n M u (ch biên), xu t b n n m 2008 Ph ng pháp gi i tốn hình h c 11 theo ch đ NhƠ xu t b n giáo d c Vi t Nam Thanh S n (ch biên), xu t b n n m 2010 Tài li u chun tốn hình h c 10 NhƠ xu t b n giáo d c Vi t Nam oƠn Qu nh(ch biên), xu t b n n m 2012 Tài li u chuyên toán t p hình h c 10 NhƠ xu t b n giáo d c Vi t Nam, oƠn Qu nh(ch biên), xu t b n n m 2012 Tài li u chun tốn hình h c 11 NhƠ xu t b n giáo d c Vi t N am oƠn Qu nh(ch biên), xu t b n n m 2012 Tài li u chuyên toán t p hình h c 11 NhƠ xu t b n giáo d c Vi t Nam, oƠn Qu nh(ch biên), xu t b n n m 2011 37 L IC M Trong th i gian v a qua, đ N c s giúp đ c a th y cô giáo vƠ b n sinh viên l p Em đư hoƠn thƠnh khóa lu n t t nghi p v i đ tƠi “Phép đ i x ng tâm E2, E3” Em xin chơn thƠnh c m n th y, giáo t hình h c đư t o u ki n cho em hoƠn thi n khóa lu n nƠy VƠ đ c bi t, em xin chơn thƠnh c m n th y giáo Phan H ng Tr ng ng i đư tr c ti p h ng d n em hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy Hà N i, tháng n m 2013 Sinh viên Nguy n Thanh Nga 38 L I CAM OAN Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p lƠ cơng trình nghiên c u c a b n thơn em d is h ng d n c a th y Phan H ng Tr ng Các k t qu nêu khóa lu n t t nghi p lƠ trung th c, không ph i chép toƠn v n c a b t k cơng trình nƠo Sinh viên Nguy n Thanh Nga 39 M CL C PH N M T: M U 1 Lý ch n đ tƠi M c đích nghiên c u c a đ tƠi it ng nghiên c u Nhi m v nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u N i dung c a đ tƠi K ho ch nghiên c u PH N HAI: N I DUNG Ch ng IC NG V PHÉP BI N HỊNH nh ngh a nh ngh a 3 nh ngh a Ch ng PHÉP I X NG QUA TỂM nh ngh a Tính ch t ng d ng c a phép đ i x ng qua tơm § CH NG MINH TệNH CH T HỊNH H C § D NG HỊNH 15 § TỊM T P H P I M 28 § BÀI TỐN C C TR 33 PH N BA: M T S K T LU N VÀ KI N NGH 36 L I K T LU N 36 TÀI LI U THAM KH O 37 40 ... O phép bi n hình c a En bi n M thƠnh M’ cho: OM ' = - OM đ c g i lƠ phép đ i x ng qua O O: g i lƠ tơm đ i x ng Kí hi u: O Tính ch t  Trong E2: Phép đ i x ng tơm lƠ m t phép b o t n ph E3: Phép. .. i v i phép bi n hình f n u:  M  H: f(M)=M nh ngh a Phép bi n hình f: En En đ c g i lƠ phép bi n hình đ i h p n u: f2 = IdE2 Ví d : Phép đ i x ng tơmầ Ch ng PHÉP I X NG QUA TỂM nh ngh a Trong. .. n ph f: E3 ng ng E3 bi n m M thƠnh M’, bi n m N thƠnh N’ th ta có: M ' N' = - MN  Phép đ i x ng tơm O có m t m b t đ ng nh t  Phép đ i x ng tơm O lƠ phép bi n hình 1-1  Tích c a ba phép đ