Phép quay quanh một điểm trong E2

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, hình học mơn học khó học sinh, tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao mơn học khác Các phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học cơng cụ hữu ích tốn hình học phẳng hình học khơng gian Phép quay phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải tốn dựng hình, tốn chứng minh tính chất hình học, tốn tập hợp điểm, tốn tính tốn, … Tuy nhiên, việc vận dụng phép quay quanh điểm để giải tốn hình học khơng phải việc dễ dàng, thực tế phần khó giáo viên học sinh Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, em xin trình bày kiến thức phép quay quanh điểm ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng hình học khơng gian Nhiệm vụ nghiên cứu 1) Trình bày sở lý thuyết phép quay 2) Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép quay việc giải bốn lớp tập hình học: tốn chứng minh, tốn dựng hình, tốn tìm tập hợp điểm, tốn tính tốn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí Tốn học , giảng chun đề, giáo trình hình học, tài liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu kiến thức thực hành B NỘI DUNG Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Khái niệm phép biến hình a) Cho hai tập hợp điểm T T ta gọi song ánh từ T vào T ,mọi phép tương ứng  mà với điểm  T gắn với điểm   T , ký hiệu  =  Ánh xạ  gọi song ánh  T tồn  T cho    Như vậy, cho song ánh  : T  T vào T cho quy tắc để, với điểm  T ta có điểm  hoàn toàn xác định T cho : (i) Nếu   hai điểm phân biệt T   hai điểm phân biệt T     (ii)Với  T    (Khi ta nói  đơn ánh) có điểm  T cho    (Khi ta nói  tồn ánh) Điểm    gọi ảnh, hay điểm tương ứng hình biến đổi của điểm  qua ánh xạ  Ngược lại, điểm  gọi tạo ảnh điểm    qua ánh xạ  Nếu    ta nói ánh xạ  (ở song ánh) biến điểm  T thành điểm  T b) Khi hai tập hợp điểm T T đồng nhất, có nghĩa trùng nhau, ký hiệu T  T , ta nói  phép biến hình T (hay từ T vào nó) Như vậy, ta định nghĩa phép biến hình đường thẳng, mặt phẳng hay không gian tùy theo T tập điểm đường thẳng  mặt phẳng, hay T tập hợp tất điểm mặt phẳng  hay T tập hợp tất điểm khơng gian  Thậm chí, T tập hợp tất điểm hình H phận ( tập ) đường thẳng  , hay phận mặt phẳng (  ), hay phận khơng gian Kí hiệu H  , H   hay H   Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1( Định nghĩa phép biến hình ) Một song ánh         từ tập điểm đường thẳng  hay mặt phẳng  lên gọi phép biến hình đường thẳng  hay mặt phẳng  Như vậy, chẳng hạn cho phép biến hình mặt phẳng      cho quy tắc để với điểm (P) ta tìm điểm M    hoàn toàn xác định, thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) Nếu   thuộc (P), M  N   thuộc (P),    (ii)  tồn điểm   cho    Nếu H hình (P) ta xác định tập hợp điểm H   H    H H  hình phẳng gọi ảnh hay hình biến đổi, hình tương ứng hình H qua phép biến hình  ; ngược lại, hình H gọi tạo ảnh (hay hình nguyên hình H  qua phép biến hình  Chú thích 1.1 Phép biến hình định nghĩa gọi cách xác phép biến hình điểm ( biến đổi điểm thành điểm) Hai phép biến hình điểm   tương đương với điểm M T có ảnh T   T suy      , ta viết    1.2 Phép biến đổi – phéo biến đổi ngược Giả sử  phép biến đổi biến điểm M thành M Đương nhiên có nhiều điểm  có ảnh  qua phép biến đổi Chẳng hạn, phép chiếu vng góc lên đường thẳng;  hình chiếu  đường thẳng d ngồi  có vơ số điểm khác  có hình chiếu   Nếu  ứng với điểm  ta nói  phép biến đổi – Định nghĩa 1.2.1  phép biến đổi – ảnh   qua phép biến đổi ứng với điểm  Định nghĩa 1.2.2 Nếu  phép biến đổi – biến M thành       tồn phép biến đổi biến  thành điểm M Phép biến đổi gọi phép biến đổi ngược  Kí hiệu  -1 Có trường hợp  -1 lại  , ta nói  có tính đối hợp Chẳng hạn phép đối xứng qua tâm qua trục có tính chất đối hợp Định nghĩa 1.2.3 Một phép biến đổi biến điểm M thành gọi phép đồng 1.3 Tập hợp bất biến điểm bất động Cho tập hợp điểm H phép biến đổi  Nếu ảnh điểm thuộc H qua phép biến đổi cho thuộc H gọi tập hợp bất biến qua phép biến đổi Ta nói điểm  bất động qua phép biến đổi     Tập hợp điểm H gọi bất động qua  H gồm toàn thể điểm bất động qua  Chẳng hạn trục đối xứng đường thẳng bất động qua phép đối xứng với trục 1.4 Hai phép biến đổi trùng Cho hai phép biến đổi  g xác định tồn mặt phẳng Ta nói  g trùng g  ảnh điểm  qua hai phép biến đổi trùng Tức   g Rõ ràng  phép biến đổi đồng điểm thuộc mặt phẳng điểm bất động  , nghĩa    ,  1.5.Tích hai phép biến hình Cho hai phép biến hình  g Với điểm M, giả sử      g     Như tồn quy tắc để từ điểm  ta tìm điểm   Quy tắc gọi tích hai phép biến hình  , g kí hiệu : g   Trong cách kí hiệu này,  thực trước g thực sau Nói chung g   khác   g, nghĩa ảnh điểm  qua phép biến đổi g   khác với ảnh  qua phép biến đổi   g PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM 2.1.Góc định hướng hai tia Trong hình học, hình tạo hai tia Ox Oy gọi góc tạo hai tia kí hiệu x□Oy Số đo o o góc đến 180 ( từ đến  radian ) x□Oy nằm khoảng từ Nếu thứ tự hai cạnh góc x□Oy xét đến, tức hai góc x□Oy y x□O Oy k c đượ nhc u định t hướ t ng n đượ c kí hiệu ( O x; O y) Tr on g , Ox cạ nh đầu Oy cạnh cuối góc Định nghĩa 2.1.1: Hai góc định hướng gọi đối số đo chúng đối Góc định hướng hai Nếu   hai tia góc tạo hai tia có điểm phân biệt    xét thứ tự xác định không thẳng hàng hai Nhận xét: góc định hướng (   ) - Nếu     số đo góc  thỏa mãn điều kiện ( O  ) hướng số   k với k nguyên đo tùy ý  gọi giá trị góc điểm   nằm phía đường thẳng  Hai góc gọi ngược hướng   nằm khác phía đường thẳng  Bổ đề 2.1.4 góc - Giá trị góc định hướng khơng phải nhất,ta quy Cho hai điểm  cố định phân biệt góc  với     ( ước giá trị âm hay dương      ) Tập hợp tùy theo chiều quay chiều âm điểm  khác  hay cho    chiều dương mặt phẳng Định nghĩa 2.1.2 Hai góc định hướng gọi số đo chúng Định nghĩa 2.1.3 cung chứa góc dựng dây  (trừ  ) Hệ thức Chasles: Nếu (OxOy) = yOz) = OxOz) =       , tức là: x ; Oy) + (Oy ; Oz) = (Ox ; Oz) Góc định hướng hai tia khác gốc: Cho hai tia Ax By có gốc A, B khác Lấy điểm O tùy ý gọi Ox,Oy hai tia theo thứ tự hướng với Ax, By Khi ta nói góc định hướng tạo Ox Oy góc định hướng tạo hai tia Ax By viết : (Ax ; By) = (Ox ; Oy) Rõ ràng, Ax / / By (Ax ; By) = (mod  : (Ax ; By) = ± ( mod 2 2.2 Phép quay quanh điểm a) Định nghĩa 2.2.1 Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm  góc định hướng  Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  phép biến hình biến  thành  biến điểm  khác  thành điểm  cho:   và    Khi ta nói  ảnh  qua phép quay tâm  với góc quay  kí hiệu Q(O; :   M b) Tính chất: (i) Theo định nghĩa, phép quay Q(O;    trở thành phép đồng Nếu       phép đối xứng tâm  (ii) Phép quay Q(O; phép biến đổi –   k2 k  z) có điểm bất động Chứng minh: Giả sử M1, M2 tạo ảnh M qua phép quay Q(O; Theo định nghĩa, ta có : OM1 = O = OM2 ( OM1; O ) =  Điều chứng tỏ M1 M2 nằm tia cách O khoảng Vì vậy, M1  M2 Nếu  điểm bất động khác O phép quay theo định nghĩa ta có :    (Vơ lý) Vì    (iii) Phép quay Q phép dời hình Chứng minh: Giả sử : Q(O; :   M   N OM OM   Theo định nghĩa ta có : ON ON (OM ;OM )(ON;ON )  OM OM    ON ON   (OM ;ON )(OM ;ON )         (c.g.c) Vậy Q phép dời hình (đpcm) (iv) Phép quay Q biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự chúng Q(O; phép dời hình Do đó, Chứng minh: Theo tính chất (iii) phép quay ,C ba ảnh ba điểm thẳng hàng A,B,C A,C thẳng hàng theo thứ tự * Hệ quả: Phép quay Q biến: - Một đường thẳng d thành đường thẳng d góc định hướng (d;d =  , d  d     - Biến tia Sx thành tia Sx góc tạo hai tia  - Biến đoạn PQ thành đoạn PQ PQ = PQ - □ x Sy x□S y x□Sy = x□Sy B thành  hai iế góc góc n g ó c thành đường tròn (I R) Biến đườn g tròn  R) (v) Tích hai phép quay phép tịnh tiến phép quay Chứng minh: Hướng dẫn: Bài 1: Rõ ràng nửa đường tròn đường kính OA qua điểm đường tròn đường kính OB qua y A' A'' Nửa BB '' điểm Hai ' nửa v đường tròx□O ny đóThự nằc m tro x ng góc hiệ n ph ép qu ay tâ m O gó c qu ay 90  biế B' n biến B nh A B B '' biến nh '1, thành tứ giác OA' AB '1 B ''1 OA'' AB ''1 , hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính OA Phép quay biến đoạn B '1 B nh ''1 B ' B '' B ' B ''  B '1 B ''1 Vì phép đối xứng qua trung điểm OA biến A' B A'' thành '1 , thành B ''1, A' A''  B A' A''/ / B '1 B ''1 '1 B ''1 Từ kế ta suy đpcm Bài 2: Ta kí hiệu giao điểm thứ hai (O) góc □AOM Phép quayQ( A, ) biến M thành thành tam AO giác M' B coi B nằm (O ') M ' , tam giác AOM biến □AOM  □AOM ' Mặt khác, □ABM  1□ AOM  180 , □ABM  □ABM '  □ABM  □AO 'M '  180 (đpcm) Bài 3: Gọi (O ') ảnh (O) phép quay Q ; (O (S , ) '') phép quay Q(S , ) S ' giao điểm thứ hai (O (O '') Theo kết ') đường thẳng A' A'', B ' B '',C 'C '' qua Bài 4: Phép quay Q(M , biến A thành ) A', B thành B ', S biến thành S ' trung điểm quay Q (N , ảnh (O) A' B ' Phép biến A thành B ' , B ) thành A',do S biến thành S ' Theo tính chất cùa phép quay, ta có:   S ' ( AB, A' B ')     ( AB, B ' A')   nên hai phép quay ngược hướng suy cá tâm quay M N nằm khác phía đường thẳng có MS  MS ', NS  NS ' SS ' Tứ giác MSNS tứ giác lồi ' Hai tam giác SMN S 'MN nên M□ SN  M□S ' N Từ :     ( AB, A' B ')  ( AB, B ' A')  180   180 Tứ giác MSNS tứ giác nội tiếp, suy M□ SN  M□S ' N  180 , từ ' M□ SN  90 Bài 5: Phép quay tâm , góc quay biến thành, biến thành biến thành Bài 6: Thực phép quay tâm , góc quay biến thành; thành; thành, biến thành, biến thành và,biến thành nằm Ta thấy đường trung bình tam giác, trung điểm đoạn Bài 7: Thực phép quay tâm A , góc quay 60 , biến B thành C , P biến thành P ' ta có BP  CP '  3.Mặt khác, tam giác APP ' tam PP '  PA  giác Rõ nên ràng PP ' P 'C  PC , PC lớn P ' nằm đoạn PC , max PC  Bài 8: Ta kí hiệu M , N tiếp điểm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với CB,CD Phép quay tâm C biến M thành N cạnh biến B thành B ' thuộc tia CD , A thành A' A' B '  AB  a Từ điều kiện AB  CD  AD  BC Ta suy CD  CB '  CD  CB  AD coi b  a   AB  b  a Vậy B ' D  b  a Cách dựng dựng A' B ' D (biết c.g.c) Dựng A (khác phía với A' tam giác DB ') cho □ADB '   AD  b Đỉnh C giao điểm trung trực AA ' với B ' D Phép quay biến A' thành A biến B i : T h B ' thành B u điển thuộc ậ đường tròn (O ') n phép quay : Điểm C ảnh điểm B ph épQ qu( ayA (0    ,   18 0 ) ) phQ ( A, ) , ép tập hợp qu ay điểm C thuộc đường tròn (O '),(O ') ảnh (O) qua phép quay Đảo: N ế u C Q( phép A, quay Q( A, ) ) (với chiều ngược lại) biến điểm C thành điểm Vì tạo ảnh nên thuộc đường tròn (O) B Bài 10: Phần thuận : Phép Q(O, ) quay biến A thành A'   S thành S ', (SA, S ' A')     Mặt khác (OS,OS ')   ,     (SA, S ' A')  (OS,OS ') Tứ giác OSA'S ' nằm đường tròn đường tròn cố định chứa điểm O, S, S 'cố định Ta ký hiệu đường tròn qua O, S, S ', A' ( ) Tập hợp A' thuộc ( ) Phép quay Q (O, ) biến A' thành A biến ( ) thành ( ') chứa A Tập hợp A thuộc đường tròn ( ) Bài 11: Thực phép quay tâm B biến A thành C , P biến thành PA  P 'C P ' Đặt PA   , ta có PB  2 , P’ PC  3 Tam giác BPP vuông cân ' B nên PP '2  8a Xét tam giác 2 PP 'C có PC  9a  PP '  P 'C PP '  P 'C B□P 'C  135 Hiển nhiên tam giác APB CP ' B nhau, □APB  B□P 'C  135 Bài 12: Thực phép quay tâm A , góc quay 60 (hoặc 60 ) biến C thành C ' cho C B nằm hai phía AC Hai tam giác AMC ' ' ABC (c.g.c) C ' M  CA  C 'C C□' MC  70 Từ : B□MC  180  ( □AMC '  C□' MC)  180 150  30 C KẾT LUẬN Việc đưa phép biến hình vào chương trình phổ thơng giúp học sinh biết mội quan hệ nhờ ánh xạ – tập điểm mặt phẳng Nó cung cấp cơng cụ hữu hiệu để giải tốn hình học, phát triển tư cho học sinh Cụ thể khóa luận tơi đưa số toán cách sử dụng phép quay mặt phẳng toán: toán chứng minh, tốn tính tốn, tốn dựng hình, tốn quỹ tích Mỗi tốn có ví dụ minh họa số kết rút từ ví dụ đó, đưa ví dụ việc sử dụng phép quay để xay dựng sáng tạo tốn Bên cạnh bổ sung số tập luyện tập có gợi ý cách giải giúp người đọc thấy tính ưu việt giải tốn hình học sử dụng biến hình ( cụ thể phép quay) Mặc dù thân cố gắng song hạn chế trình độ chun mơn tính gấp rút thời gian nên chắn khóa luận khơng tránh khỏi khuyết điểm sai xót, em kính mong thầy cơ, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! D TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chun Tốn - Bài tập Hình học 10 (2012), NXBGDVN 2) Đoàn Quỳnh (Chủ biên),Tài liệu chuyên Tốn - Hình học 10 (2012), NXBGDVN 3)Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng (2003), NXB Giáo Dục 4) Nguyễn Vĩnh Cận, Các toán quỹ tích dựng hình (1998), NXB Giáo Dục 5)Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng (2006), NXB Giáo Dục LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận em nhận nhiều giúp đỡ q báu bổ ích từ thầy bạn bè Em xin chân thành cảm ơn: Các thầy khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khóa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người trực tiếp hướng dẫn, tận tâm,nhiệt tình giúp đỡ bảo suốt trình em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Hình học – khoa Tốn, thư viện nhà trường, gia đình bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Khúc Thị Tuyền LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan khóa luận “Phép quay quanh điểm E ” kết nghiên cứu thân hướng dẫn thầy Phan Hồng Trường Tôi xin khẳng định kết nghiên cứu khóa luận khơng trùng với kế tác giả khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Khúc Thị Tuyền MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2 PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E VÀO VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 10 Ứng dụng phép quay vào giải toán chứng minh 10 1.1 Bài toán chứng minh 10 1.2 Giải toán chứng minh sử dụng phép biến hình 10 1.3 Một số ví dụ 11 1.4 Khai thác toán chứng minh nhờ phép biến hình 15 Ứng dụng phép quay vào giải toán quỹ tích .16 2.1 Bài tốn quỹ tích 16 2.2 Giải tốn quỹ tích nhờ sử dụng phép biến hình 16 2.3 Một số ví dụ 17 Ứng dụng phép quay vào giải tốn dựng hình 19 3.1 Bài tốn dựng hình 19 3.2 Giải tốn dựng hình nhờ phép biến hình 20 3.3 Một số ví dụ 20 Ứng dụng phép quay vào giải tốn tính tốn 24 4.1 Bài tốn tính tốn 24 4.2.Giải tốn tính tốn sử dụng phép biến hình 24 Xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay 26 BÀI TẬP 34 C KẾT LUẬN 43 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 ... MP  NQ Giải Phép quay tâm B với góc quay 60 biến điểm M thành điểm A , điểm P thành điểm C , MP  AC Phép quay tâm D với góc quay 60 biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C , QN ... DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E VÀO VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Cũng phép biến hình khác, phép quay cơng cụ hữu hiệu để giải tốn hình học Để giải toán phép quay ta cần ý số điểm sau:... 2.2 Phép quay quanh điểm a) Định nghĩa 2.2.1 Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm  góc định hướng  Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  phép biến hình biến  thành  biến điểm  khác  thành điểm