Định lí Ceva và định lí Menelaus trong E2

LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới: Thầy Phan Hồng Trường hướng dẫn, bảo tận tình, nhận xét góp ý quý báu thầy q trình tơi thực khố luận Các thầy khoa Tốn dạy dỗ tơi suốt q trình học tập trường Ban giám hiệu, phòng đào tạo tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khố luận Gia đình, bè bạn giúp đỡ động viên tinh thần cho Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2010 Người thực Nguyễn Thị Len -1- LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài đúng, xác, khách quan, trung thực khơng trùng với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2010 Người thực Nguyễn Thị Len MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời nói đầu Chƣơng 1: Định lí Ceva 1.1 Vài nét tác giả Ceva nội dung định lí Ceva 1.2 Ứng dụng định lí Ceva giải toán 1.3 Mở rộng định lí Ceva 34 1.4 Dạng lượng giác định lí Ceva 37 1.5 Định lí đồng quy ngũ giác lồi 41 1.6 Sự đồng quy đường vuông góc 43 Chƣơng 2: Định lí Menelaus 47 2.1 Vài nét tác giả Menelaus nội dung định lí Menelaus 47 2.2 Dạng mở rộng định lí Menelaus 49 2.3 Ứng dụng định lí Menelaus việc giải tốn hình 51 học phẳng Chƣơng 3: Một số tập củng cố 63 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 Chƣơng 1: Định lí Ceva 1.1 Vài nét nhà toán học Ceva nội dung định lí Ceva 1.1.1 Vài nét nhà tốn học Ceva Giovani Ceva sinh ngày tháng 12 năm 1647 Milan, nước Ý.Ông ngày 15 tháng năm 1734 Mantua, nước Ý Thuở nhỏ, ông theo học trường dòng thiên chúa giáo Milan, lớn lên ơng học trường Đại học Pisa sau đó, năm 1686 bổ nhiệm làm giáo sư Toán trường đại học Mantua, nơi ơng gắn bó suốt đời Năm 1686, bổ nhiệm, Giovani Ceva làm việc quyền cai trị vua Gonzagas Tuy nhiên, năm 1708 nước Áo đem quân chiếm đóng bắt đầu xây dựng cơng sự, Giovani Ceva nhanh chóng chuyển sang làm việc chế độ thống trị người nước Áo Phần lớn đời Giovani Ceva giành cho nghiên cứu hình học Ơng khám phá kết quan trọng tam giác phương pháp hình học tổng hợp Định lí phát biểu đường thẳng qua đỉnh tam giác cắt cạnh đối diện rõ ràng đồng quy tích tỉ số đoạn thẳng chia cạnh tam giác Định lí Ceva in “ De lineis rectis” (1678) Ceva cho xuất “ Opuscula mathematica” năm 1682 Trong “Geometria Motus” (1692), chừng mực đó, ơng đề cập đến phép tính vi phân Năm 1711, ơng cho đời “Dere Nummeraria”, cơng trình tốn kinh tế, nhằm tìm điều kiện cân cho hệ thống tiền tệ bang Mantua Ceva có cơng trình quan trọng thuỷ lực học, tiêu biểu “Opus hydro staticum” (1728) Ông viên chức nhỏ Mantua, dùng kiến thức thuỷ lực học để bác bỏ thành cơng dự án ngăn dòng chảy sơng Reno để vào sơng Po 1.1.2 Nội dung định lí Ceva Gọi E, F, G ba điểm tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG cắt điểm O AG BE CF : = GB EC FA A F K G B O E C L Chứng minh A Phần thuận: Giả sử AE, BF, CG cắt điểm O K Từ A, C kẻ đường thẳng song song với BF, chúng cắt CG AE B K, L tương ứng Ta có: AG BE = AK GB EC CL AK = AO CL OL (1) (2) = FA CF E H Từ (1) (2) ta thu được: AG BE FA GB EC = CF AG ⇔ BE CF = (điều phải chứng minh) GB EC FA Phần đảo Giả sử E, F, G nằm ba cạnh BC, CA, AB thoả mãn AG BE CF = GB EC FA Ta phải chứng minh AE, BF, CG đồng quy Gọi AE cắt BF O Nối C với O cắt AB tai G1 A KFhi theo AG BE CF phần thuận = ta có: EC FA K G1B G B O Mà theo AG BE AG giả thiết ta ⇒ có: CF AG = E 1 =G B ⇒ E C F G A G1B GB C ≡ G ⇒ AE, BF, CG đồng quy O 1.1.3 Nhận xét : L (a) Trong chứng minh phần thuận định lí Cêva sử dụng tỉ số diện tích sau: A B E C Gọi K, H hình chiếu B, C xuống đường thẳng AE Khi : BE = BK EC CH Mặt khác: S∆AOB BK.AO = BK = S∆C CH.AO OA BE Do : = EC S∆C OA Tương tự ta : CH S∆AOB  = A G   G B  S∆COA S∆BOC  CF = S∆BOC  S∆AOB Như vậy:  F A AG BE CF S S S = ∆COA ∆AOB ∆BOC S S S∆AOB GB EC ∆B ∆C FA OC OA AG BE CF ⇒ = GB EC FA (b) Để tỏ lòng tơn kính Ceva người ta gọi đoạn thẳng AE, BF, CG Cevian Tổng quát : Cevian đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với điểm cạnh đối đỉnh 1.2 Ứng dụng định lí Ceva việc giải tốn hình học phẳng 1.2.1 Ví dụ ( Các điểm đặc biệt tam giác) Dùng định lí Ceva, chứng minh a) Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm, điểm gọi trọng tâm b) Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm ( tâm đường tròn nội tiếp) c) Ba đường cao tam giác đồng quy điểm, điểm gọi trực tâm ⇒ KE LN AC AN O' E AC FE.AN AC AN = K A = = A AM.AF .CF FE M M M OD LD FC .A AF F CD C D T∠MAN a= ∠CAF c = 180 ó : −(∠ACF + ∠AFC) 0 = 180 − 45 = 35 ∠MBN = ∠EBA + ∠ABD = ∠EFA + ∠ACD = 45 ⇒ Tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn ⇒ (1) ∠ A M N = ∠ A B N Mà tứ giác ACBD nội tiếp đườ ng tròn (O) ( A A M F ⇒ ∠AB ) V D : K (điều phải = ∠A =chứng E minh) CD O  (3) ' AC E D = L ∠ N AC KM F LD V OD   AB N = ∠ AB D Từ (1),(2), (3) ta có: ∠AMN = ∠A CF ⇒ ⇒ ⇒ = M A N AA C // A CF N C AM A F N = CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP CỦNG CỐ Bài 3.1: Thi học sinh giỏi vùng Mĩ (ARML), 1997 Cho hình thang ABCD với AB > CD; E giao điểm hai cạnh bên AD BC; F trung điểm AB a) Chứng minh rằng: AC, BD, EF đồng quy b) Biết diện tích hình thang Đường chéo hình thang lấy giá trị bé bao nhiêu? Bài 3.2 Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC, ta lấy điểm C1, A1,B1 tương ứng cho đường thẳng AA1, BB1 ,CC1 đồng quy O Đường thẳng vẽ qua O song song với AC cắt đường thẳng A1B1, B1C1 tương ứng điểm K, M Chứng minh OK = OM Bài 3.3 ( Olympic Toán học Bankal, 1998) Cho tam giác ABC vuông, không cân, nội tiếp đường tròn (O) Gọi A1,B1,C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB Trên tia OA1 lấy A2 cho tam giác OAA1 đồng dạng với tam giác OA2A Trên tia OB1, OC1 tương tự cho điểm B2 , C2 Chứng tỏ rằng: đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy điểm Bài 3.4 ( Olympic Tốn học mùa Đơng Bulgaria, P.9.2, 2001 ) Cho điểm A1, B1, C1 nằm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC; Ga, Gb Gc trọng tâm tam giác AB1C1, BA1C1 CA1B1 Kí hiệu G1, G2 tương ứng trọng tâm tam giác A1B1C1 tam giác GaGbGc Chứng minh rằng: a) Các điểm G, G1 G2 thẳng hàng b) Ba đường thẳng AGa, BGb CGc đồng quy điểm AA1, BB1 CC1 đồng quy Bài 3.5 Trong tam giác ABC, gọi M trung điểm cạnh BC, cho AB = 12 AC =16 Điểm E F lấy hai cạnh AC AB cho AE = EG 2AF Các đường thẳng EF AM cắt G Hãy tính tỉ số GF Bài 3.6 ( Balkan, Junior, 2001 ) Cho tam giác ABC có ∠C = 900 , CA ≠ CB CH đường cao, CL phân giác Chứng minh với điểm X ≠ C nằm đường thẳng CL ta có ∠XAL ≠ với điểm Y≠ C nằm đường thẳng CH ta ∠XBC có ∠YAC ≠ ∠YBC Bài 3.7 ( Olympic Bulgary, Vòng 3, 1996) Cho hai đường tròn k1, k2 có tâm O1, O2 tiếp xúc ngồi C Một đường tròn k có tâm O tiếp xúc ngồi với hai đường tròn k1, k2 Gọi (d) tiếp tuyến chung C k1, k2; AB đường kính vng góc với (d) k ; điểm A O1 nằm nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng (d) Chứng minh ba đường thẳng AO2, BO1 (d) đồng quy Bài 3.8 Cho tứ giác lồi ABCD thoả mãn điều kiện ∠BAD > 900 Gọi M, N hai điểm nằm BC CD cho ∠MAD = ∠NAB = 90 Chứng tỏ MN BD cắt I IA ⊥ AC Bài 3.9 ( Olympic tốn học Mùa Xuân Bulgaria, P.10.2, 2001 ) Gọi A1, B1 hai điểm nằm cạnh BC, CA tam giác ABC Gọi D, E giao AA1 BB1, A1B1 CD Chứng minh ∠A1EC điểm A, B, A1, E nằm đường tròn = 90 AA1= BA1 Bài 3.10 ( Thi học sinh giỏi Romania, Problem 10.2, 1999) Một mặt phẳng cắt cạnh AB, BC, CD, DA tứ diện ABCD điểm tương ứng M, N, P, Q Chứng minh MN.NP.PQ.QM ≥ AM.BN.CP.DQ Hướng dẫn giải Bài 3.1 a) Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE với Cevian EF, BD, AC b) Gọi D1 ,C1 hình chiếu D C lên AB Đặt d1= BD, p1 = BD, p2 =AC1, CC1 = h, AB = a, CD = b Khơng tính tổng quát, giả sử d1 ≥ d2 , p1 ≥ p2 Dễ thấy, p1+ p2 ≥ a + b Ta có: p1 ≥ SABCD a+ b = = h h Sau áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta tính d21 ≥ Vậy đường chéo hình thang lấy giá trị bé Bài 3.2 Vẽ qua B đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng B1C1 B1A1 tương ứng điểm M1, K1 Mệnh đề chứng minh tương đương với việc chứng minh BM1 = BK1 Sử dụng đồng dạng hai tam giác AB1C1 BM1C1 định lí Ceva ta suy điều phải chứng minh Bài 3.3 Ta chứng minh A2 , B2, C2 lập thành đỉnh tam giác nhận O làm tâm đường tròn nội tiếp, A, B, C tiếp điểm Sau ta đưa tốn cho tốn quen thuộc: Trong tam giác, ba đường thẳng nối ba đỉnh với điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp đồng quy Bài 3.4 a) Sử dụng phương pháp vectơ b) Bằng việc xét tỉ số diện tích, sau sử dụng định lí Ceva Bài 3.5 Kéo dài BC FE cắt H Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác FBH với ba điểm G, A, M thẳng hàng tam giác ECH với ba điểm G, A, M thẳng hàng Sau tính tốn ta GE GF =2 Bài 3.6 Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác điểm: • OAB A1, B1,C1 • OBC B1, C1, A1 • OAC A1, C1, B1 Sau ta nhân vế với vế hệ thức ta thu điều phải chứng minh Bài 3.7 Chứng minh phương pháp phản chứng Bài 3.8 Ta kí hiệu r, r1, r2 bán kính k, k1 k2; Gọi M, N tương ứng tiếp điểm k với k1 k2; P giao điểm (d) AB Các đường thẳng AN, BM, (d) có chung điểm H, điểm gọi trực tâm tam giác ABC Áp dụng định lí Ceva, sau ta có kết sau: r r2 PB = Giả sử giao AP điểm (d) với đường thẳng BO1 , AO2 D1 D2 Có hai tam r CD1 = Tương tự, ta CD2 giác O1CD BPD1 đồng dạng nên D1 P D =r2 có: A P PB P CD CD = ⇒ D1 P ⇒ D1 ≡D D2 P Bài 3.9 Gọi F giao AE BC Để giải toán, ta cần chứng minh EA1 phân giác góc BEF Bài 3.10 Sử dụng định lí Cosin vào tam giác MBN bất đẳng thức Trung bình cộngtrung bình nhân Sau áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với M, N, T thẳng hàng tam giác ADC với Q, P, T thẳng hàng KẾT LUẬN Có thể nói việc chứng minh tốn đồng quy thẳng hàng hình học phẳng việc sử dụng hai định lí Ceva Menelaus, nhiều khơng dễ dàng Trong khố luận, tơi đưa số ví dụ minh hoạ tập tự giải với mong muốn hình thành kĩ khả suy luận cho bạn đọc Hi vọng rằng, khoá luận tài liệu bạn đọc yêu toán phát triển nhiều tốn hay, sâu có sử dụng định lí Ceva Menelaus Một lần tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, giáo viên trực tiếp hướng dẫn để tơi hồn thành tốt khố luận Mặc dù cố gắng song hạn chế khả kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy bạn đọc Xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Nho (2007), Những định lí chọn lọc hình học phẳng qua kì thi Olympic, NXBGD [2]Nguyễn Vũ Thanh (2008), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trung học sở hình học, NXBGD [3] Nguyễn Văn Nho (2003), Olympic Tốn học Châu Á- Thái Bình Dương, NXBGD [4] Nguyễn Văn Nho (2002), Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc, NXBGD [5] Nguyễn Văn Nho (2004), Tuyển chọn toán từ thi số nước Đông Âu, tập 1, NXBGD [6] Nguyễn Quý Dy - Nguyễn Văn Nho - Đào Tam -Lưu Xuân Tình (2004), Tuyển tập 200 thi vơ địch Tốn, tập 4: Hình học phẳng, NXBGD [7] Một số trang Internet: http:/violet.vn http:/maths.forum.vn http:/diendantoanhoc.net.vn LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Các định lí với khái niệm Tốn học tạo thành nội dung mơn Tốn, làm tảng cho việc rèn luyện kĩ môn, đặc biệt khả suy luận chứng minh, phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất đạo đức Một định lí kết suy diễn chặt chẽ từ định đề, tính chất định lí trước Có định lí mà ngày chứng minh cách khơng khó khăn tầm quan trọng điều khơng thể phủ nhận, giá trị nằm chỗ đời thời đại ứng dụng sao; bên cạnh đó, vẻ đẹp mơ để đến nhiều kết đẹp khác mục tiêu nghiên cứu thuộc Toán học đại Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn hình học phẳng tốn chứng minh đồng quy, thẳng hàng thường gặp đặc biệt kì thi học sinh giỏi, thi Olympic toán nước Để giải toán dạng có nhiều cách song khơng thể khơng nhắc đến việc ứng dụng hai định lí Ceva Menelaus Với mong muốn giúp thân bè bạn tìm hiểu, nghiên cứu sâu ứng dụng hai định lí tiếng này, tơi chọn “Định lí Ceva định lí Menelaus IE ” làm đề tài cho khố luận 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định lí Ceva Menelaus ứng dụng việc giải số toán hình học phẳng 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa, thể tác dụng hai định lí việc giải tốn hình học phẳng 4.Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, sử dụng cơng cụ tốn học 5.Cấu trúc khố luận Chương 1: Định lí Ceva Chương 2: Định lí Menelaus Chương 3: Một số tập củng cố ... đầu Chƣơng 1: Định lí Ceva 1.1 Vài nét tác giả Ceva nội dung định lí Ceva 1.2 Ứng dụng định lí Ceva giải toán 1.3 Mở rộng định lí Ceva 34 1.4 Dạng lượng giác định lí Ceva 37 1.5 Định lí đồng quy... đường vuông góc 43 Chƣơng 2: Định lí Menelaus 47 2.1 Vài nét tác giả Menelaus nội dung định lí Menelaus 47 2.2 Dạng mở rộng định lí Menelaus 49 2.3 Ứng dụng định lí Menelaus việc giải tốn hình... Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 Chƣơng 1: Định lí Ceva 1.1 Vài nét nhà toán học Ceva nội dung định lí Ceva 1.1.1 Vài nét nhà tốn học Ceva Giovani Ceva sinh ngày tháng 12 năm 1647 Milan, nước