Phép dời hình và ứng dụng của nó trong En

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** TRẦN THỊ THOA PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG En KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** TRẦN THỊ THOA PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG En KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGHUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2012 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng thân đặc biệt hướng dẫn, bảo tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu để em hồn thành khóa luận Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lòng biết ơn chân thành đến thầy Nguyễn Năng Tâm, quan tâm, bảo, góp ý kiến thầy, giáo tổ hình học thầy, giáo khoa Tốn giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy, bạn đọc nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm có hướng hồn thiện, phát triển khóa luận sau Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Trần Thị Thoa LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hồn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm thầy, cô giáo tổ hình học khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Bản khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Trần Thị Thoa Mục lục Trang Phần mở đầu…………………………………………………………………1 Phần nội dung……………………………………………………………… Chương 1: Phép dời hình E n ……………………………………… 1 Sơ lược phép biến hình phép biến hình afin… ……………… Đại cương phép dời hình ………………………………………… Chương 2: Ứng dụng phép dời hình vào giải số lớp tốn E n Ứng dụng phép dời hình để giải tốn chứng minh hình học……………………………………………………………………10 Ứng dụng phép dời hình để giải tốn quỹ tích hình học… 20 Ứng dụng phép dời hình để giải tốn dựng hình hình học……………………………………………………………………27 Ứng dụng phép dời hình để giải tốn tính tốn hình học….38 Kết luận ………………………………………………………………… 45 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 46 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình hình học bậc trung học học sinh biết đến phép biến hình việc vận dụng cơng cụ để giải số lớp tốn hình học cách nhanh gọn hợp lý Trong nhiều trường hợp phép biến hình cơng cụ hữu hiệu để giải lớp toán như: tốn quỹ tích, tốn tính tốn… Tuy nhiên việc giải tập phương pháp biến hình khơng phải dễ dàng Để khắc phục làm sáng tỏ thêm phần việc giải tốn phương pháp biến hình nói chung phép dời hình nói riêng nên em chọn đề tài “Phép dời hình ứng dụng E n ” Nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Trình bày sở lý thuyết phép dời hình 2.2 Đề xuất phương pháp vận dụng phép dời hình để giải số dạng tốn hình học 2.3 Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lý luận, cơng cụ tốn học - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan Chương n Phép dời hình E Sơ lược phép biến hình phép biến hình afin 1.1 Phép biến hình - Giả sử K tập khác rỗng K gọi không gian, phần tử K gọi điểm, phần tử khác rỗng K gọi hình - Giả sử K khơng gian, song ánh f : K gọi phép  K biến hình khơng gian K - Phép biến hình f khơng gian K gọi phép biến hình đối hợp f đồng - Giả sử f phép biến hình khơng gian K , điểm M K gọi điểm bất động f f M M   Hình H khơng gian K gọi hình kép f f H H , hình H gọi hình bất động với điểm H bất động 1.2 Phép biến hình afin - Định nghĩa: Phép biến hình không gian E n biến đường thẳng thành đường thẳng gọi phép biến hình afin - n Định lý: Phép biến hình f khơng gian E phép biến hình afin biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng Đại cương phép dời hình 2.1 Định nghĩa - n Phép biến hình khơng gian E bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý gọi phép dời hình - Trong khơng gian E n hai hình gọi tồn phép dời hình biến hai hình thành hình lại 2.2 Tính chất a, Phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự điểm Chứng minh: Giả sử qua phép dời hình f , cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C điểm A thành A điểm B thành B điểm C thành C ta có , , AB AB, BC BC, CACA Vì C B nằm nên A AB BC AC Từ suy ABBC Như ba điểm A, B,C AC thẳng hàng điểm B nằm A C b, Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng Chứng minh: Cho đường thẳng d không gian K qua hai điểm đường thẳng K đi qua ảnh A, B A, B A, B gọi d  Nếu M thuộc d ảnh M  thuộc d  M  thuộc d  theo tính chất a, tạo ảnh thuộc d , tức f  d d  c, Tích hai phép dời hình phép dời hình Chứng minh: Cho hai phép dời hình f g Ta xét tính chất phép biến hình g  f Giả sử A, B hai điểm ta có f A  g A f B  A, A , B, g  B  B  Vìf phép dời hình nên ta có AB AB  g AB AB Như phép biến hình g  f biến điểm A thành điểm A, biến điểm B thành điểm B thỏa mãn điều kiện AB  AB hai phép dời hình g  f Do tích phép dời hình phép biến hình có tính chất bảo tồn khoảng cách hai điểm A, B mặt phẳng d, Tích phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh: Giả sử g  h   f g, h, f phép dời hình, ta cần chứng minh g   h  Thật giả sử f biến M thành M , f  thành M  g biến M  thành M  Ta có g  h M  thành M  f M thành M  g  h   h biến M  phép dời hình biến biến M thành M  Mặt khác h  f g   h  f biến M thành biến M  Vậy g  h   g  h   hai biến điểm M thành điểm M  với f f điểm M mặt phẳng e, Tập hợp phép dời hình lập thành nhóm phép nhân ánh xạ qua AC vuông góc với d O trung - BD R   P   AC  BOOD     Vậy ABCDABCD hình lập phương cần dựng Ứng dụng phép dời hình để giải tốn tính tốn hình học Bài tốn tính tốn Ta thường gặp số tốn tính tốn tính khoảng cách, tính số đo góc, tính diện tích… Để giải tốn tính tốn ta phải thiết lập mối liên hệ biết cần tìm, sau tính tốn theo u cầu Giải tốn tính tốn nhờ phép dời hình Dùng phép dời hình vào giải tốn tính tốn thực chất sử dụng phép dời hình để di chuyển yếu tố cho vị trí khơng thuận lợi vị trí thuận lợi cho việc tính tốn Các ví dụ a, Ví dụ Cho □ ABC cân A , góc  B□AC 80 , điểm O nằm tam giác cho góc O□BC 10 ,O□CB 30 Hãy tính  góc □AOB Lời giải:  Kẻ đường cao AH Gọi I AH OB , K AH OC Xét phép đối xứng trục ĐAH : B  C ĐAH :□ IHB □ IHC  I□CH I□BH O□BC 10 I□CK O□CB I□CH 30 10 20  Mà □ACB    80 180    50   □ACK 20   □ CK phân giác góc ACI ĐAH : A  A II BC KK Vậy phép đối xứng trục ĐA biến □AI H B thành □AI C nên biến phân giác CK tam giác AIC thành phân giác BK tam giác AIB □ABK 20 K□BO  Ngoài  B□OK O□BC O□CB 10   30 40 góc Xét phép đối xứng trục ĐBK : A  O B□OK B□AK  40 BB KK   cân B có góc □ABO 40 nên góc □AOB 70 Suy □OAB  Vậy □AOB 70 b, Ví dụ Cho □ABC , trung tuyến BE,CF cho chúng thỏa mãn □ABE = □ACF =  30 Gọi G trọng tâm tam giác □ ABC Tính B□GC ? góc Lời giải: Do góc □ABE □ACF F□BE E□CF Từ suy tứ giác BFEC nội tiếp Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC , có bán kính R Xét phép đối xứng tâm ĐE : ĐE : O  O1 CA 52 1 OC AO 1 O E EO R Xét phép đối xứng tâm Đ : F ĐF : O  O2 BA OB AO2  FO2 FO R Từ 1 2   suy □OEF cân O Ta lại có: F□OE 2F□CE 2.30 60   □OEF tam giác Lại có E, F trung điểm OO1 ,OO2 2EF O1O2 2R  O1 O2  AO  A O 2R OO 2 A,O ,O thẳng hàng A nằm hai điểm O O 2 Do tam giác AEF tam giác Suy tam giác ABC tam giác B□GC 120   Vậy B□GC 120 c, Ví dụ Cho mặt phẳng P tam giác ABC có đỉnh C nằm khác phía với hai 53 đỉnh A , B  P  Biết khoảng cách từ A , B , C đến P tương ứng a, b, c Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm G tam giác đến P  a b c Lời giải: Gọi A B, C thứ tự chân đường vng góc hạ từ A , B , C xuống  P  , Ta có AA a, BB CCc b, Xét phép tịnh tiến: T :  P   Q  C A B A1 B1 C C A1 B1 , Suy , C  Q và  P / /  Q  54 Ta có CC BBP , AA P, P  AA/ / BB/ /CC / / B1B CC/ / AA Theo tính chất phép dời hình ta có  A, CCA1 AB1Bc B, A, A1 thẳng hàng AA a c B, B1 thẳng hàng Dễ thấy BB1 b c AA1 BB1  Q  , 55 Gọi E, F trung điểm BC CB EF / / BB1 / / AA1 Ta có   b c EF  Q  EF BB     G trọng tâm tam giác A BC AG A F 1 G trọng tâm tam giác ABC AG  AE Trong hình thang AA1 FE ta có GG/ / EF GG Q  Vậy d  G,  Q  GG Ta cần tính GG Gọi E, F trung điểm AG, AG E F  Q  Trong hình thang EFF E ta có GG đường trung bình nên EF E F  GG EF E F  BB    E F   21 Trong hình thang GGA A có E F  đường trung bình nên GGAA1  2 EF Từ 1  ta có BB1 GGAA1 BB1 AA1 GG  GG     4 GG BB1 AA1 c a c b a b 2c   3 GG  Gọi d  G,  P   h a b c h GGc  Bài tập Bài tập 1: Cho □ ABC vuông cân A , điểm M tùy ý cạnh AC , kẻ tia Ax vng góc với BM cắt BC H Gọi K điểm đối xứng với C qua H , kẻ tia Ky vuông góc với BM cắt AB I Tính góc □AI M Bài tập 2: Cho hình thang ABCD AB / /CD   có AB  BC  CD  a, b, c, AD  Gọi M giao điểm đường phân giác góc A D, d  giao điểm đường phân giác góc B C Tính độ dài MN Lời giải: 1) Ta có KI / / AH Gọi F ĐA I CF / / AH / / KI BM CF , □ABM □ACF □ ABM □ ACF g.c.g  AM AF AI Suy □ AMI vuông cân A Vậy □AIM 45 2) Do M giao điểm đường phân giác góc A D nên M cách hai đáy AB, CD; N giao điểm đường phân giác góc B C nên cách hai đáy AB CD  MN / / AB MN / /CD Xét phép tịnh tiến T : A A MN D  D M Suy □ ADM □ ADN  N □ADN N□DC Do N tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD ADBC AB DC BC AD AB CD MN    c Vậy MN b d a c 2 b d a  KẾT LUẬN Phép biến hình vấn đề tương đối khó với học sinh phổ thông Muốn học tốt sử dụng thành thạo phép biến hình E n cần phải thường xun rèn luyện giải tốn để tích lũy thêm kinh nghiệm, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Để giúp học sinh có hứng thú với việc học sử dụng phép biến hình vào giải tốn hình học, khóa luận em xin trình bày số kiến thức phép dời hình số tập vận dụng phép dời hình phép biến hình Em mong khóa luận đề tài “Phép dời hình ứng dụng En ” tài liệu có ích cho bạn đọc đặc biệt người u thích hình học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình, Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [2] Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [3] Võ Anh Dũng – Trần Đức Hun, Giải tốn hình học 11, NXB Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình không gian, NXB Giáo dục, 2005 [5] Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề, NXB Giáo dục [6] Văn Như Cương – Tạ Mân, Hình học afin hình học ơclit, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 1993 ... hợp Hơn tập hợp phép dời hình có phần tử đơn vị phép dời hình đồng phép dời hình có phép dời hình đảo ngược Nếu gọi f phép dời hình bất kì, f phép dời hình đảo ngược 1 nó, e phép đồng ta ln... Ứng dụng phép dời hình để giải tốn chứng minh hình học……………………………………………………………………10 Ứng dụng phép dời hình để giải tốn quỹ tích hình học… 20 Ứng dụng phép dời hình để giải tốn dựng hình hình học……………………………………………………………………27... hợp phép dời hình lập thành nhóm phép nhân ánh xạ Chứng minh: Do tích phép dời hình phép dời hình Như tập hợp phép dời hình đóng kín với phép toán cho Mặt khác ta thấy tập hợp phép dời hình