Về phép biến đổi wavelet và ứng dụng của nó trong nén ảnh

\ p CHI K H O A H O C O H O G H N K H ĨN Ẳ CN VẢ Ử N í ; d ụ n g ĩ XIX N 2003 (T A NO TR O N ÍỈ N EN ANH ỈÂ' V ã n H ã n ti Da ỉ hoe V in h (ỉitVi tliiộu chung IMìõị) "hiên d o i ic a r c lc t h n ^ p h p h a y r ò n gọi "g iả i tích iv a c c lc t ’ m ộ t t r o n g n h ữ n ^ T n h â m g i ả i q u y ê t t h i ế u s ó t c u a b i ê n dôi K o u r i i T T r o n g g i ã i t í c h ' n v e l e t vi ệ c SIÍ d ụ n n clrìy (ỉu c c CƯ.1 sô cỏ đ i ê u c h i n h t ý lệ ( s c n l ah k * m o d u l a t r d i ml o\ v) (í;ì g\i\\ q u y ế t (lược* vân đế chia tín hiệu t h n h p h ầ n n h ô T r o n t f ph(*Ịi It*n (lõi n a y riíii s ( l ưọe ( l ị r h c h u y ê n (lục t h e o t i n h i ệ u v m i vị t r í t h i p h ố l ại đưọ< i n h S a u tló q i l ã t r i n h n a \ đượ< l ậ p lại n h i ề u l a n với c ứ a so n g a n h n ( h o ặ c (lai h n ) lót Ít i r c n m i l a n l p Kt*t (Ịiia c u ỏ i cun** c h ú n ^ t a c ó t ậ p h ợ p r c t h ê h i ệ n tluM n ế n thni g ia n t n sô r u n t i n h i ệ u V('ỉi m o i f!ộ p h ; ‘m ^iíii t h e o t h ô i g i a n v;i t n so h a r n h i u T r o n g h i ê n itõi w; i wl ( *t c h u n " t a t h i r ò n g k h n g n ó i b i ế u ( l i ê n t h e o m i ê n hcíi Ịĩ i an - t a n s 111.1 c h ũ i ì ^ t a nói l )iỏu d i ễ n t h e o m i ế n t h i u i a i ì * t y lộ T ý lộ (sealt*) ẽ la Iiíĩịch (lào cùíi t a n sỏ bới lẻ t t â n sỏ ( f r e q u c n c y ) d ã d ợ c đ n h (11 cho p h é p biên K o u r i e r S a u (l.iv t ỏi sỏ t r i n h b y n g a n g ọ n v ế lý t h u y ê t w a v e l c t P h é p b i ê n đ ò i YVavHot l i ên t ụ c 2.1 C c ( t in h n g h ĩa P h é p h i ê n đ ỏ i v v a v e l e t l i ê n t ụ c c u a f(t) đ ợ c đ ị n h n g h í a b ằ n g c ô n g t h ứ c : ( 1) l< r o n g ièn (lỏi vvavolet K h i có c c h ệ sỏ wavc*l(*t l ú n g t;ì có t h ỏ k h i p h ụ c lại t i n h i ệ u n h c ô n g t h c s a u : f(t> y / s ĩ \ịi > ĩ (t) ( 2.2) I.k Cnc sỏnt f c o n Uv.-ìvelets) cỉir k' s i n h r a t m ộ t h â m \vnvi»u*t ( i uv n h t v í t ) , va đ ợ c )i w;.v(»let m ẹ (n io th cr irace/ct) b ầ n g p h é p t h a y (lôi t ý lộ v p h é p d ị c h c h u y ể n Lê Vàn Iìâ n ị t - T T r o n g c ò n g t h ứ c ( 3) s t ý lệ co d n c ò n t l h ộ s ố t ị n h t i ế n , c ò n h ệ s ố s ; d ũ n g (lỏ c h u ấ n h o a n n ^ l ợ n g c ủ a s ó n g đơi với t ấ t cò c c t ý lệ co ( l a n k h c n h a u K h i k ’ với h i ế n đổi P o u r i e r c ù n g n h c c b i ế n đôi k h c h m vva ve l e t m k h ô n g p h ả i c h i r a cỏ ( l i nh m c h i n ê u r a n h ữ n g t i n h c h ấ t va d ặ c t í n h cờ b â n í ù w a v e l e t I1U* D i ế ù n y c h o p h é p n g i s d ụ n g t ự t o r a c h o m ì n h n h ú n g v v a ve l e t mị minh mnng muỏn 2.2 C c t ín h c h ấ t c b ả n c ù a u a v e le t T í n h r h ã t q u a n t r o n g n h ấ t r u a \ v a v e l e t đ i ế u k i ệ n c h i n h t c v d i ề u ki ệ c h ấ p n h n ( r o g u l a r i t y a n d a d m i s s i b i l i t ỵ ) Đ i ể u k i ệ n c h a p n h ậ n đ ợ c la đ i ể k i ê n (lược b i ể u ( l i ền n h í í b ấ t (ỉăiìỊí t h ứ c s a u đ y : T í n h chiYt n ã y ( l ũ n g đ ế k h ỏ i p h ụ c t í n h i ệ u m k h ỏ n t f bị ĩVầíYt t h ó n g t i n T cliế k i ệ n n y (a s u y r a: Đ i ế u n y c h n g t ó r ằ n g v v a ve l e t c ủ n g có g i i b ã n j í t ẩ n g i ỏ n g n h p h ô Chun t a s ẽ s ứ i l u n u t i n h c h t Míiy c h o p h é p b i ê n đôi vvavel et T i n h clìiVt hiììiự, k h n g k h i t ầ n s ỏ b Àn g k h n g (2 5) có n g h í a l g i t r i t r u i i b i n h r u a wavi »l r t t r ê n m i ề n t h i g i a n p h i h ằ n g k h ô n g n h Víìy no III m ộ t (lao đ ộ n g Nói r c h k h c đ y l;ỉ m ộ t d n i í s n g N h c h ú n u t a t h â v c ô n g t h ứ c (2.2) Kế t q u a b i ê n dổi wavcl (*t c u a m ộ t h i c h i ề u s ẻ hì h m h a i c h i ể u , c ò n b i ế n đôi vvavck*t h m h a i c h i ê u s è h m bơ1 chiều T í c h ( h di g i a n - đ ộ r ộ n g b n g t ẩ n c ủ a m ộ t w a v e l e t s ẻ b ì n h p h n g c ủ a tổ h i ộ u v o (lo t r o n g p h ầ n l ớn c c ứ n g d ụ n g t h ự c t ê đ a y m ộ t t í n h c h ấ t hoài to; i n k h ỏ n t f moriỊL' m u ô n Do v ậ y c ẩ n p h ả i đ ậ t t h ê m c c đ i ể u k i ệ n l)ò s u n g l ê n híằi vvavvlot (lè c h o ( t a u r a r ủ a p h é p b i ê n đói vvavel et g i â m n h a n h c h ỏ n g k h i hộ sỏ tỳ ỉ > g i â m ĐAy c h í n h Ià d iê u k iệ n c h in h tắ c nỏ l m c h o h m vvavel et có m ộ t m ú trư ( l ụ n ^ kli.il Iiiộm m ntncnt t n r ỉ tu u ịcu n ish iĩiỷ* m om cnts) ỉ h n h r l u i ò i T a y l o r t.;1 i |ỊÌ;i iri ĩ (chu T •() (!('• c h o (Ỉíí:ỉ g i n ) c h ú n g t a co J ) - |(lt + ()(N 1) V y( s , ) - —4=r Vs NVu r h u n n I ;» k h a i t r i r n p h é p l)ic*n đối \v;iv(.*l(‘t (2 2) (2 7) t r o n g (lo t (ỉ' la ( l ạo h â m bi)r p c u a ( v ( N + ) la p h ẩ n (lư c u a k h a i t r i ê n N ê u b y ( l ị n h n g h ĩ a m om cnt c u a w a w l i » t M M k h i đó: Ị t py( t ) ( l t (2 8) Kh i (to c h ú n g l a cổ t h è vi è t l ại c ô n g t h ứ c ( 7) (í ( l n g I-, r ‘2 ’( ( ) ) „ ;ị y(s,0) —H I ỉ(() )Mn s + — ft — M ,Ị ss "“ -♦ — r t i— M,,s i I \ íI •> v’s T ( l i ếu k i ệ n i-híVp n h ậ n (lược t a s u y r a m o m r n t t h M ( 9) - ( ) (io d ó sỏ h n g p ẩ u l i r n h ỏ n v ế p h i lìàn Lê Vãn B ằ n g K Nhưng Kuorier cú a ( x ) = '2 Vj/(x) _J Vị/(2 J x) nên ta kỷ hiệu ý ( M ) (c>) biên đổi thi T c ô n g t h ứ c ( ) v ( 2) t a s u v r a r ằ n g p h ô c ủ a f b ằ n g t ố n g c c p h ố c o đ ộ r ộ n g g i m d ầ n t h e o s ô ụ /ự o ) ự/, (á)) H ìn h T hình ta t h â y r ằ n g p h é p b i ế n đỏi vvavol et c h í n h l m ộ t b ộ lọc t h ô n g Đ ế l ấ y h ế t t ầ n s ô c u a t í n h i ệ u t h ì t a p h i l â y v ô h n c c h ệ s ô Đ ỏ k h ô n g phai lấy vô h n h ệ s ô n g i t a đ a v o h m ( t ) có t í n h c h ấ t l à: B i ể u d i ệ n t ầ n s ố c ủ a n ỏ l ấ p đ ầ y p h n cỏ n lại k h i t a l ấ y đ ế n i h ệ sô vvavelet B iể u d i ễ n t ầ n s ố ’r ủ a (ị) ( t ) đ ợ c m i n h h o t r o n g h ì n h đ n g N ó g i n g n h c i n ú t đ ể n ú t l i ]ồ h ố n g t ầ n s ố d o p h é p b i ế n đối v v a v e l e t đ e l ại H m n y đ ự c s i n h r a t m ộ t h m d u y n h ấ t (ị) ( t ) n h p h é p co d â n v t ị n l ì t i ê n ộ | k (x) - 2 (2'j x - k ) (5 lõ ) C c h m ộ j ( t ) đ ợ c gọi l c c h m t ỳ lộ ( s c a l i n g f u n c t i o n ) N h vẠv p h ầ n t í n h i ẻ u d c b i ê u cỉiền q u a h ầ m t ỷ lê ộ , (t ) l p h ầ n t í n h i ê u c ó t ầ n s t h ấ p , c ò n p h ầ n I, k d ợ c b i ế u d i ễ n q u a c c h m \ v a v e l e t l p h ầ n có t ầ n s ô c a o Đ ê k h a i t r i ể n đ ợ c d ề m g c h ú n g ta xét t í n h c h t sau: Đ in h ly: I» L \;1 Gọi V II rà k h i cỏ đ ìn h n K h ỉ do: w n ccic k h ổ n g g ia n s in h bời cac h àm ^ ^ ộ n k i '( Ị \'ê Ị ì h c p b i ế n (lõi u a r e l c t rà ứĩìịi ( l u n g c ủ a v II * w T ro n g đỏ © - Vn n k x h iệ u tỉ ch trự c tiè p cu a h a i k h ô n g g ia n P h a n c h n i : m i n h co t h ê t h a m k h a o t r o n g ( ị (»iâi t h u ậ t n o n n h d ự a v o p h é p b i ế n đ ô i \ v a v e l e t P h n ti c h rnôt t i n h i è u sô Từ két c ù a ( l ị n h lý t r ê n t a c ó sơ đ s a u đ â y ( H ì n h 3); (ỊU H ► r = ~ r = © II' lỉtn h © II M inh h u cáu trúc cùa k h n ự ia n 'ỉ \ rì i n h đ ợ c b i è u t l i ổ n b a n g m ộ t m n g h a i c h i ể u , n ê n d ỏ I>iẽtì đơi n h t a c n l n i '1 r c h b i ê n (lôi ỉ m h i ệ u lììột c h i r u T a c ầ n l u ỷ m ộ t r n g b â y g i t a ( i a n £ s d ụ n ^ wa v t * l e t V.IO m ộ t (liclì n ó n t í n h i ệ u c h ứ k h ô n g p h a i k h o s i t ú i h i ệ u Vì t h ê ích p h n t í c h t í n h i ệ u ( l ầ n v o c u a c h ú n g t a c ù n g m a n g V n g h í a (tỏ N g h ĩ a t a đ a n g t i m c a r h l u d y t i n h i ệ u s ô s a o c h o n ó c ó d u n g l ợ n g r ấ t n h ó IIKIC (lu k h i k h ỏ i p h ụ c 11«> c ỏ m ã t m ộ t Ít t h n g t i n có t h e c h ấ p n h ậ n đ ượ c G i s c h o t í n h i ê n s ố í c • n.IV t;ì k h n g b i ê u d i ễ n h ã m kh ô n g gian (• (1 c ! l úc q u a c c h a m vvavelet m t a t o m ột h ã m t r o n g t n g ữ n g với h m n y (ló l h a m : f(x) n e (x - n) ( 1) n - ũ c u a nõ kh t n r n t h e o s ỡ c u a k h i ì Ị í l ỉ i a n V ! I xi n ( t u T h ; U v ậ y t a d ã taiỏt 1‘ô n t ĩ t h ứ c : | \ , , r = Pv,f + Q J M.o s a u (lo s ứ đụiiL' (Ỉ X1 cỉể t í n h ( l ược c ^ “ * * I • i T r o n ị ỉ vi ciụ t r ô n v i ệ c k h ỏ i p h ụ c c h i la g i ã i c c h ệ p h n g t r i n h t u y ê n t í n h h a i â n sơ N ê n (ìn h s ù c ỉu t iịỉ p h é p b iê n (tô i ỉv a r e lc t C ũ n g n h t t (•;» r;u* p h é p n ó n i i n h s ứ ( l ụ n 14 p h é p h i ê n dũ i kl ì «k\ N é n ; i n h s • l ụnt f w a v e k * i (lược c h i u t h a n h c c c ò n g đ o n t h í n h s a u đ y : • B i ê n dôi ả n h s d ụ n g w a v e l e t (tề c ó b ả n g c c h ệ s - M ht bar i ị ỉ h ộ s ô t h u đ ợ c T a sĩ* l ẩ n l ượt x ó t t n t f c n g ( l o n m ộ t B i ê n (tôi n h s ứ duììi* ỉ v a v e lv t T a g i t h i ê t n h ( l ược c h o bcii m ộ t m a t r ậ n s ố h a i c h i ế u , c ó k í c h t h ứ c b a n g n h a u v l u ỹ t h a c u a h a i Đ ê p d ụ n ^ b i ế n đ ố i w a v e l e t v o n h t h ì t a l ẩ n l ượt p ( l ụ n g c h o t n g h n g , s a u (ló p d ụ n g c h o t n g c ộ t l ì i n h clưới L ê Văn B â n g 10 LL HI LH HH Theo Anh ban dầu cơt H ìn h S a u k h i p d ụ n g p h é p b i ế n dổi ( m ộ t l ầ n ) t h ì c c h n g s ẽ c h i a t h n h h a i n a : p h ầ n đ ầ u có t ầ n s t h ấ p t a gọi L ( L o w ) , p h ầ n s a u cỏ t ầ n s ố c a o t a gọi H ( H e i g h t ) ( x e m H ì n h 4) T i ế p ( h e o k h i t a b i ế n đ ổ i cột , t h ì c c c ộ t l i đ ợ c c h i a t h n h h a i p h ẩ n , n a t r ê n l t ầ n sô" t h ấ p , n a d i l t ầ n s ô ca o K ế t q u ả s a u m ộ t l ợ t m ả n g ch ia t h n h bôn p h ầ n T i ế p t ụ c t a p d ụ n g p h é p b i ê n đ ôi n h u t r ê n c h o p h ầ n L L c ò n c c p h ầ n k h c đ e n g u y ê n , c h o đ ế n k h i p h ầ n L L đ i ể m Và kêt q u ả ta t h u đ ợ c m ột m a t r ậ n sô th ự c M hoa b n g hệ sò sa u biến đ ỏ i S a u p h é p b i ê n đổi vva ve l e t t a có b ả n g h ệ s ố c ủ n g có k í c h t h c n h k í c h t h c n h , n h n g với c c s ô t h ự c c h ứ k h ô n g p h ả i c c sô" n g u y ê n t m b i t N h v ậ y n ế u t a k h ô n g m ẫ h o b ả n g h ệ s n y t h ì d u n g l ợ n g c ủ a ả n h s ẽ t ă n g l ê n b ô n l ầ n v vi ệ c l m c ủ a t a k h ô n g n h ữ n g vơ í c h m c ị n có h i V i ệ c m ả h o b ả n g h ệ s ô n y m ộ t c ô n g v i ệ c p h ứ c t p , v ề m ặ t t h ự c h i ệ n n ó c ò n p h ứ c t p h n c h í n h p h é p b i ế n đối vvavelcĩt r ấ t n h i ề u D o v ậ y có n h i ề u t h u ậ t t o n đ ợ c đ a r a t r o n g đ ó có h a i t h u ậ t t o n nối t i ê n g n h ấ t l t h u ậ t t o n E Z W ( E m b e d đ e d Z e r o t r r e e W a v e l e t e n c o đ e r ) t h u ậ t t o n S P I H T ( S e t P a r t i t i o n i n g I n H i e r a r c h i c a l Treo) Tôi đ ã d a t h u ậ t t o n E Z W v o m y v c h o c h y K ế t q u ả t a có h ệ s n é n k h i d ù n g t ý sô n é n c a o g ầ n t n g đ n g với a n h JPEG M h o E Z W [2] d ự a t r ê n c s m ả h o t i ế n b ộ ( P r o g r e s s i v e c o d i n g ) , n ỏ b i ê n ả n h t h n h d y c c b i t với đ ộ c h í n h x c t n g d ầ n Đ i ề u n y có n g h í a k h i t h ê m m ộ t b i t v o d ã y b i t t h ì c h ấ t l ợ n g c ủ a ả n h p h ụ c h i s ẻ t ả n g t h o m , n ỏ c ù n g t n g t ự n h k h i t a b i ế u d i ễ n s ố 71, c ứ t h è m c h ữ s ố s a u p h ầ n t h ậ p p h n độ c h í n h xác c n g cao K ế t q u ả t h ự c n g h i ệ m v n h ậ n x é t N é n n h s d ụ n g p h é p b i ế n đối v v a v e l e t l m ộ t l ĩ n h v ự c m i l ại đ a d n g C h ấ t lượng ả n h độ n é n p h ụ th uộc r ấ t n h i ề u vào cách c h ọ n \vavelet Có r ấ t n h iề u l oạ i w a v e l o t k h c n h a u , v t r o n g m ộ t k i ê u w a v e l o t t h i c ủ n g có n h i ề u l o i k h c I ì h a u Vi v ậ y với h i ể u b i ế t h i ệ n t h i k h ó đ n h g i m ứ c đ ộ h n t h u a g i ữ a v v a v e l e t v p h é p b i ê n doi c o s i n T u y v ậ y d ự a v o c ấ u t r ú c c ủ a b ả n g h ệ sỏ* c ủ n g n h p h ầ n m ề m n é n a n h s s ụ n g w a v e i e t đ h o n t h n h , t ó i có m ộ t s ố n h ậ n x é t s a u d â y : \ VỊ)ỈH'Ị) Vi p h o p l ì ẽ n a n h s i l ui i ỉ ^ \ v ; i w k ' t c ô t i n h t o n r ụ c m ‘*n n ỏ p h ù l ụ í p Ví í CMC’ 1) anh hi r n d ũi ỉỉ (ti c l r t l ừĩiịi (Ìỉttìịị c ù a r o ! VĨI a n h c ũ / V h * m r n > / w a V r l c t > : W M V «411 •t s h ĩ i n I (' V a l r n s , E Z W u n c o đ i n g , h t l p ; / | > r r s n \ v ; m ; ỉ ( l o u Ỉ r/]M>| \ V.I Ị r i i s V l r i n r i i s / r / v v / í v u - 1) 111)1 'A S u b h a s i s S a h a Im age C o m p re ssío n ■fro m D C T to W avelcts: A Iỉevictv, h I I [>: K n s t i a n S a n d b e r g T h i’ H c irr icave ìvt tra n s fo rm , hllỊ) w \ \ \ \ I i r i u o r i ; I 11 > - > r o , ị < i '•>;! h ; u mi;< ot11 ! il ; h I m I T lỉ 11ì ì 1111 r Ì u r ; n l < M‘(li) ; i ] > ] i m / c o t u >i >/ L; i l > s / l l m r l l i i r lì f111Ị Knor mvi ml i ' ! * W nurlets • An cle m e n ta ry trccítm t o f theory and a p p liv a t io n VVorlí’ S c i e n t i f i c 1995 () D a u b e r h i r s , Ten le ctu re s ttn Iư d ie lcỉ, P h i l a đ e l p h i í i : S I A M , 9 w K n o r x ( ' a r c v Sl ) t ‘il a qu;ìlíti/ation ỉor s wavelrt l l e m a n i I V t e r N l ỉ r l l r r S m o o t h m * s s i ni ỉ i ực c o m p r e s s i o n p n x v s s in iỉ Vol N o 12 Ih*r«*mber 1999 IE E E ( 'onst raincd tra n s a c tio n s on im a g i' 12 s Lê Ván B ằ n g K o b e r t w l ỉ u c c i ^ r o s s i K e r o p S i m o n c e l l i , I m a g e c o m p r o s s i o n v i a j o i n t s t a s t i c a l c h a r ; » u >r r / ; i t i o n in t h e w a v e l e t d o m a i n , I E E E t r a n s a c t i o n s on im a g c P r o c e s s i n g , Vol No 12 D e c e m b e r 1999 VVavelet a n d a p p l i c ỉ ì t i o n s P ro cee d in g o f I n te rn a tio n a l conferen.ee, M a rs e ilỉe , Franc