Ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

Trong khuôn khổ một khóa luận và thời gian nghiên cứu nên tôi chỉ tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh ” 2.. Tìm hiểu về phép chiếu xuyên

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thế mạnh của môn học là giúp chúng ta giải quyết các bài toán

về tính đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng ) một cách tổng quát.Với niềm đam mê Toán học và đặc biệt là niềm yêu thích môn Hình học, tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề liên quan đến hình học

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng các khái niệm, định lý về ánh xạ xạ ảnh và biến đổi ánh xạ rất quan trọng khi giải bài tập và tư duy hình học

Dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy tôi đã phần nào làm được điều đó Trong khuôn khổ một khóa luận và thời gian nghiên cứu nên tôi chỉ tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu

xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh ”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh cùng các tính chất của nó

3 Đối tượng nghiên cứu

Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

Tìm hiểu về phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ

Định hướng cách giải một số bài toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh

và phép chiếu xuyên tâm

6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh” giúp em hiểu thêm về hình học xạ ảnh và biết cách áp dụng giải bài tập

và có cái nhìn đúng đắn hơn về môn học này

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

 

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán       Page 3 

 

Chương 1 ÁNH XẠ XẠ ẢNH 1.1 Định nghĩa

Cho các K- không gian xạ ảnh (P,p, V) và (P', p', V')

Một ánh xạ f : P → P' được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính φ : V → V', sao cho nếu véc tơ x V là đại diện cho điểm

X P thì véc tơ φ (x) V' là đại diện cho điểm f (X) P' nói cách

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính φ là đơn cấu

Thật vậy, nếu có véc tơ x V \ {0 } là đại diện cho điểm X P, thì véc tơ φ( x) đại diện cho điểm f (X) nên φ( x) V' \{0}

 

Ker  0

  

1.2.2 Ánh xạ f là ánh xạ đơn ánh

Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P mà f (A) = f (B) Khi

đó, nếu gọi a và b là các véc tơ đại diện của A và B thì φ( a) và φ(b)

cùng đại diện cho một điểm f (A) = f (B) nên φ( a) = kφ(b), k ≠ 0

Vì φ đơn cấu nên suy ra a = kb, tức là A và B trùng nhau

1.2.3 Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính của hệ véc tơ)

Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m - phẳng, số chiều

của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và

1.2.5 Mỗi đơn cấu tuyến tính φ : V → V' là đại diện cho một ánh xạ xạ

ảnh duy nhất f : P → P' Hai đơn cấu tuyến tính φ : V → V' và φ' : V →

V' cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P → P' khi và chỉ khi có số

k K \ {0 } sao cho φ = kφ'

1.3 Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh

1.3.1 Định lý: Cho trong Pn mục tiêu xạ ảnh R=S U i, n i0 và trong P n

mục tiêu RS U i , n i0 Khi đó có và duy nhất ánh xạ xạ ảnh f:P n → P n

+) Gọi ε,ε’ là các cơ sở đại diện của R và R’

Khi đó có và duy nhất ánh xạ tuyến tính F : Vn+1 → V’n+1 sao cho

( )i i, ( , )

F e e i o n

Gọi f là ánh xạ xạ ảnh xác định bởi F thì ( )f S i S i và do :

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Dễ thấy rằng ánh xạ xạ ảnh f : P → P' là một song ánh khi và chỉ khi

P và P' có cùng số chiều Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, và hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu

Nếu trong không gian xạ ảnh P n cho hai mục tiêu xạ ảnh { S i ,E} và { ,S E i  }, thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f của P n , biến các điểm S i

thành các điểm S  i (i = 0,1, , n) và biến E thành E'

1.5 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh

Cho f : Pn → Pn là phép biến đổi xạ ảnh của K - không gian xạ ảnh

Pn, liên kết với không gian véc tơ Vn+1 Ta hãy chọn mục tiêu xạ ảnh nào

đó {Si, E} Với mỗi điểm X bất kì, gọi (x0 : x 1 : : x n ) là tọa độ của nó

và (x0:x1 : :x  ) là tọa độ của X' = f (X) Ta hãy tìm sự liên kết giữa n

i

x và x i

Gọi (e e 0, , ,1 en) là cơ sở trong Vn+1 đại diện cho mục tiêu {Si, E} và φ: Vn+1 → Vn+1 là biến đổi tuyến tính của Vn+1 đại diện cho biến đổi xạ

ảnh f Giả sử đối với cơ sở đó, có biểu thức tọa độ:

ij 0

trận A chính là ma trận chuyển từ cơ sở (e ) sang cơ sở ảnh của nó qua i

phép φ

Để ý đến mối quan hệ giữa tọa độ xạ ảnh của một điểm với tọa độ

của véc tơ đại diện nó, ta suy ra biểu thức liên hệ giữa tọa độ của X và X'

là:

ij 0

(tức là có định thức khác không), nó được gọi là ma trận của phép biến

đổi xạ ảnh f với mục tiêu {Si; E}

Các cột của A là các cột tọa độ của các điểm f (Si), nhưng phải chọn

là tọa độ của điểm f (E)

Biểu thức (0 0 1 ) có thể viết dưới dạng ma trận: k.x' =Ax , trong đó

x và x' là ma trận cột tọa độ của điểm X và điểm X'

1.6 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu S E i; , gọi W là siêu

phẳng có phương trình x0  Xét phép biến đổi xạ ảnh f : P0 n → Pn sao

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Khi đó bằng cách chuyển từ tọa độ xạ ảnh của một điểm trong trong

An thành tọa độ A fin của nó (đối với mục tiêu A fin sinh bởi mục tiêu

xạ ảnh) ta tìm thấy biểu thức tọa độ của f':

đổi xạ ảnh f

Như vậy, ta đã chứng minh rằng, mỗi phép biến đổi xạ ảnh f : Pn →

Pn sinh ra một phép biến đổi Afin f' : An → An nếu f (W) = W

Ngược lại: Mọi phép biến đổi Afin đều được sinh ra bởi một phép

biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà f (W) = W (ta nói rằng f biến điểm vô tận)

Chương 2 PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 2.1 Định nghĩa

Trong không gian xạ ảnh P ncho 2 siêu phẳng α và β và điểm

- Phép chiếu xuyên tâm hoàn

toàn xác định bởi cặp siêu

phẳng α , β và tâm chiếu C

- Phép chiếu xuyên tâm biến

những điểm giao của hai siêu

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thật vậy: nếu { , , A1 An1, An'}phụ thuộc xạ ảnh

Thì An'    An'   (vô lý ) (DoA1, , An1 độc lập xạ ảnh trong ) Gọi e i là véc tơ đại diện của Ai   i 1, n

1 1

Ta sẽ chứng minh X   có vectơ đại diện x  thì sẽ có p X c( ) X'véc tơ đại diện là  ( ) x  x '

Lấy X   có véc tơ đại diện x suy ra: p Xc( )  X '  

đại diện thẳng hàng, tức ( )x đại diện cho một điểm nào đó thuộc đường thẳng CX

Mặt khác:  ( )x  W n và C X    X '

Dẫn đến:  ( )  x là vectơ đại diện của X’

Vậy ta đã chứng minh p cđược cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính  sao cho X   có vectơ đại diện xthì sẽ có p Xc( )  X '   vectơ đại diện là ( )  x   x ' Do đó pc là một đẳng cấu xạ ảnh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

phép chiếu xuyên tâm

Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A1, A2, …An-1,An, E} với A1, A2,

…, An-1 thuộc Pn-2, ta có An, E không thuộc Pn-2 , gọi A’n = f(An) và

Gọi f’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền là α và β với tâm chiếu là C

Ta có: f’(Ai) = Ai với i = 1, 2,…, n-1 do Ai với i = 1, 2,…, n-1 nằm trên

Pn-2 và f’(An) = A’n và f’(E) = E’ Do sự xác định duy nhất của phép biến

đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n,

Chứng minh:

+) Xét trường hợp   ' và trong    ' có một p - phẳng mà mọi

điểm  của đều tự ứng đối với f  0    p n 2 

Vì f không phải là phép chiếu xuyên tâm nên     '

Lấy một điểm A   nhưng A   ', điểm I  , điểm B trên đường thẳng IA mà không trùng với I, A

Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I

Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó

Lấy một siêu phẳng  chứa β và A nhưng không chứa A’ thì chứa cả B 1Gọi g1: ' 1 là phép chiếu xuyên tâm bởi tâm C

Nếu g1 f không phải là phếp chiếu xuyên tâm ( tức là

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Do đó h là một phép chiếu xuyên tâm

Suy ra f  g11   g q1 h là tích của q + 1 phép chiếu xuyên tâm

Vì q  p   n 2nên q       1 n p 1 n 1.

+) Xét trường hợp    ' và trong    ' không có điểm nào tự ứng

đối với f Lấy một điểm C   , đặt C’=f(C) rồi lấy một siêu phẳng  ''

đi qua C, không đi qua C’ mà  ''   Gọi s : '    '' là phép chiếu

xuyên tâm bởi tâm là một điểm U CC  ', thì s f  :    '' là một

ánh xạ xạ ảnh có điểm C     '' tự ứng Áp dụng trường hợp trên

suy ra là tích của một số   n 1 phép chiếu xuyên tâm Do đó f là tích

của một số  n phép chiếu xuyên tâm

+) Cuối cùng xét trường hợp    ' Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên

tâm r :    ''' nào đó thì r f : ''' là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào

một trong hai trường hợp trên Suy ra f là tích của một số   n 1 phép

chiếu xuyên tâm

2.3 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm:

Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì

phép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối

Tập các siêu phẳng đi qua A được gọi là bó siêu phẳng tâm A

Gọi B là bó siêu phẳng tâm A , B’ là bó siêu phẳng tâm A’

và pα : B B’

 

sao cho    

Khi đó pđược gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ A lên A’

với cơ sở  và 2 tâm A, A’

n = 2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếu xuyên trục

2.3.2 Một số định lý:

Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải tự ứng

Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ ảnh đều có thể phân tích thành không quá n + 1 phép chiếu xuyên siêu phẳng

2.4 Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P 2 :

2.4.1 Định nghĩa :

a) Định nghĩa 1:

Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi

là phép chiếu xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâm phối cảnh

ối ngẫu của

ng tương ứ

ợc gọi là tr

à đủ để mhiếu xuyên

a định lý 1

à đủ để mộphép chiếu

’

TỐT NGHIỆP

K35G Sư phạ

một ánh xạyên trục (phứng luôn nằrục phối cả

một ánh xạ

n tâm là gi

:

ột ánh xạ xxuyên trụ

P ĐẠI HỌC

ạm Toán         

xạ ảnh giữhép phối c

ằm trên mộảnh

àng điểm

iá tự ứng,

ùm đường

ối S và S’

2.5 Một số áp dụng:

Áp dụng 1 : Chứng minh định lý Papus bằng phép chiếu xuyên tâm

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 2 đường thẳng phân biệt d1, d2 cắt nhau tại

O Trên d1 cho 3 điểm phân biệt A B C O, ,  Trên d2 cho 3 điểm phân biệt A’, B’, C’ khác O Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của BC’ và B’C, CA’ và AC’, AB’ và A’B Khi đó D, E, F thẳng hàng

chiếu xuyên tâm từ AB’ đến B’C

Ngoài ra, f lần lượt biến A,F,N lần lượt thành M,D,C

Vì vậy, AM AC' ,DF, NC  A C'  đồng quy tại tâm chiếu của f

chỉ khi AA’,BB’,CC’ đồng quy

Chứng minh:

Chiều thuận:

Gọi M CC 'A B N CC' ',  'DF P CC,  'AB

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

phép chiếu xuyên tâm

(Do là tích của các phép chiếu

xuyên tâm và f giữ bất động

' '

Do đó: AA’, BB’,MPCC' phải

đồng quy tại tâm chiếu O của f

Suy ra: AA’, BB’, CC’ đồng quy

Chiều đảo:

Xét hai tam đỉnh DBB’ và FCC’ có A = DB ∩ FC, A’ = DB’∩ FC’, O = BB’∩CC’ do O, A, A’ thẳng hàng (do AA’, BB’, CC’ đồng qui tại O) nên áp dụng chiều thuận của định lý Desargues thứ I thì BC, B’C’, DF đồng quy tại E, tức D, E, F thẳng hàng

Chương 3 : THẤU XẠ XẠ ẢNH 3.1 Định nghĩa

Trong Pn cho r - phẳng U và (n – r – 1) - phẳng V không có điểm chung Khi đó, cặp (U, V) sẽ gọi là một r - cặp Cố nhiên, theo định nghĩa đó (U, V) là một (n – r – 1) - cặp

Bây giờ cho r - cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pnsao cho mọi điểm nằm trên U và V đều bất động Khi đó f được gọi là phép thấu xạ r - cặp với cơ sở là r - cặp (U, V)

3.2 Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ

Giả sử f là phép thấu xạ r - cặp với cơ sở là r - cặp (U, V)

Vì dim U = r nên có thể chọn trên U một hệ r + 1 điểm độc lập

S0, S1, , Sr Vì dim V = n - r - 1 nên có thể chọn trên V một hệ n - r điểm độc lập Sr+1, Sr + 2, , Sn Chọn thêm một điểm E không nằm trên

U và V thì ta được một mục tiêu xạ ảnh {Si, E} trong Pn

Đối với mục tiêu đó, r - phẳng U có phương trình

Còn ( n – r – 1) - phẳng V có phương trình: x0  x1   x r  0

Vì các điểm của U và V đều bất động nên dễ dàng thấy rằng biểu

thức tọa độ của f đối với mục tiêu đó có dạng :

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

q q

x x

Nhận xét : Thấu xạ xác định nếu cho cơ sở và tỷ số k

3.4 Thấu xạ đơn

3.4.1 Định nghĩa : Phép biến đổi xạ ảnh f P : n  Pn được gọi là phép thấu xạ đơn nếu có một siêu phẳng V mà mọi đểm của nó đều là điểm bất động

Siêu phẳng V được gọi là siêu phẳng cơ sở của thấu xạ đơn f

3.4.2 Định lý : Nếu f là một thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy

nhất một điểm bất động O sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất

động Điểm O như thế gọi là tâm của phép thấu xạ đơn f

Chứng minh:

Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất, và có siêu phẳng cơ sở V Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Si,E} sao cho các đỉnh S1, S2, , Sn nằm trên V Vì các đỉnh đó bất động ngoài ra điểm Eo = (0: 1: 1: : 1) cũng bất động, nên dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ của f:

u xạ nào gthấu xạ đặc

ạ trong kh

n P2 : nền là ( Oường thẳng

hàng

TỐT NGHIỆP

K35G Sư phạ

1 : : an.xX’ cũng nằm

m trên cơ sở

ặp với 0 - cphẳng V th

u phẳng th

và P 3 :

đường thẳnf(M) thì ản

+) Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên d 3.5.2 Trong không gian P3 :

- Thấu xạ 0 – cặp nền là ( O, P ) với O là một điểm, P là mặt phẳng không qua O Với M P và M O đường thẳng OM cắt P tại A và M’ = f(M) được xác định:

+) M, M’, O, A thẳng hàng

+) ( OAMM’ ) = k ( với k là một số cho trước )

- Thấu xạ 1 – cặp nền là ( d, d’ ) với

d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau

Phép thấu xạ trên được gọi là phép

thấu xạ song trục với trục là d và d’

Ảnh M’ của điểm M không thuộc d

và d’ được xác định:

+) Đường thẳng MM’ cắt d và

d’ tại hai điểm A và B

+) (ABMM’) = k ( với k là một số cho trước )

- Thấu xạ đơn đặc biệt tâm O và có nền là mặt phẳng P chứa điểm

O Nếu biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của điểm N được xác định :

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

 

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán       Page 23 

 

+) O, N, N’ thẳng hàng

+) Đường thẳng MN cắt M’N’ tại một điểm nằm trên P

3.6 Các phép biến đổi a fin sinh ra bởi các phép thấu xạ :

Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận W của Pn và đều sinh ra một phép biến đổi a fin trong không gian a fin

An = Pn \W Sau đây, ta xét một vài trường hợp khi f là một phép thấu xạ nào đó

3.6.1 Giả sử f là phép thấu xạ 0 - cặp với cơ sở là 0 - cặp ( O, V ) và tỉ

số thấu xạ là k Với mỗi điểm M không là điểm bất động (

+) Nếu chọn siêu phẳng W nào đó đi qua O làm siêu phẳng vô tận thì O

là điểm vô tận nên: AMM '  OAMM' k Ngoài ra các đường thẳng

MM’ luôn song song với một đường thẳng phương l ( phương l của

chúng được xác định bằng phương của điểm vô tận O )

Vậy f sinh ra trên An = Pn \W một phép thấu xạ afin có cơ sở là V,

phương thấu xạ là l, tỷ số thấu xạ là k

3.6.2 Giả sử f là phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O nằm trên nền V

Nếu lấy hai cặp điểm M, M’ = f(M) và N, N’ = f(N) thì MM’ và NN’ đều

qua O và MN giao với M’N’ tại một điểm thuộc V Nếu lấy V là siêu phẳng vô tận thì trong An = Pn \V ta có: MN song song M’N’ và MM’

song song với NN’, suy ra: MMNN

Vậy f sinh ra trong An một phép tịnh tiến