Ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư Phạm nước Mục đích môn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số toán thuộc chương trình phổ thông Thế mạnh môn học giúp giải toán tính đồng quy thẳng hàng (đặc biệt hình học phẳng ) cách tổng quát.Với niềm đam mê Toán học đặc biệt niềm yêu thích môn Hình học, mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu vấn đề liên quan đến hình học Trong trình học tập nghiên cứu nhận thấy khái niệm, định lý ánh xạ xạ ảnh biến đổi ánh xạ quan trọng giải tập tư hình học Dưới hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy phần làm điều Trong khuôn khổ khóa luận thời gian nghiên cứu nên tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh ” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh tính chất Đối tượng nghiên cứu Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 1    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất ánh xạ xạ ảnh Tìm hiểu phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ Định hướng cách giải số toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh” giúp em hiểu thêm hình học xạ ảnh biết cách áp dụng giải tập có nhìn đắn môn học Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 2    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Chương ÁNH XẠ XẠ ẢNH 1.1 Định nghĩa Cho K- không gian xạ ảnh (P,p, V) (P', p', V') Một ánh xạ f : P → P' gọi ánh xạ xạ ảnh có ánh xạ  tuyến tính φ : V → V', cho véc tơ x V đại diện cho điểm X P véc tơ φ (x) khác, p(  x V' đại diện cho điểm f (X) P' nói cách ) = X thì:  p  ( x)  f ( X )   Khi ta nói ánh xạ tuyến tính φ đại diện ánh xạ xạ ảnh f 1.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh Cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P', có đại diện ánh xạ tuyến tính φ: V → V' Khi đó: 1.2.1 Ánh xạ tuyến tính φ đơn cấu  Thật vậy, có véc tơ x V \ {0 } đại diện cho điểm X P,    V' \{ } véc tơ φ( x ) đại diện cho điểm f (X) nên φ( x )   Ker   1.2.2 Ánh xạ f ánh xạ đơn ánh Thật vậy, giả sử A B hai điểm P mà f (A) = f (B) Khi     đó, gọi a b véc tơ đại diện A B φ( a ) φ( b )   đại diện cho điểm f (A) = f (B) nên φ( a ) = kφ( b ), k ≠   Vì φ đơn cấu nên suy a = k b , tức A B trùng 1.2.3 Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập tính phụ thuộc hệ điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn độc lập tuyến tính hệ véc tơ) Từ suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn khái niệm: m - phẳng, số chiều Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 3    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   phẳng, giao tổng phẳng, tỉ số kép hàng bốn điểm chùm bốn siêu phẳng 1.2.4 Ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỷ số kép    C  1 A  1 B Nếu    D  1 A  1 B    F (C )  1F ( A)  1F ( B)    F ( D)  1F ( A)  1F ( B)  C  1 A  1B hay  D  2 A  2 B  ( ABCD )  ( ABC D) 1.2.5 Mỗi đơn cấu tuyến tính φ : V → V' đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P' Hai đơn cấu tuyến tính φ : V → V' φ' : V → V' đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P' có số k K \ {0 } cho φ = kφ' 1.3 Định lí xác định phép ánh xạ xạ ảnh 1.3.1 Định lý: Cho Pn mục tiêu xạ ảnh R= Si ,U i 0 Pn n mục tiêu R  Si,U i 0 Khi có ánh xạ xạ ảnh f:Pn → Pn n cho f ( Si )  Si(i  0, n) f (U )  U  Chứng minh +) Gọi ε,ε’ sở đại diện R R’ Khi có ánh xạ tuyến tính F : Vn+1 → V’n+1 cho   F ( ei )  ei, (i  o , n ) Gọi f ánh xạ xạ ảnh xác định F f ( Si )  Si : Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 4    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   n  n n   F (  ei )   F (ei )   ei nên F(U) = U’ (i  o , n ) i 0 0 +) Nếu có ánh xạ xạ ảnh g: Pn →P’n mà g ( S i )  S i, g (U )  U (i  0, n ) Gọi G ánh xạ đại diện g n  n     G ( ei )  k i ei (i  0, n )  G (  ei )  k (  ei) 0 n  n n n  n    Do G ( ei )   G (ei )   ki ei  k ( ei)   k ei i 0 i 0 i 0 0     ( k  ki).ei  n i 0 k  ki i  0, n    Vậy G ( ei )  k ei  k F ( ei ) i  0, n     G ( x )  k F ( x )  x  V n 1 hay G=k.F suy g = f 1.4 Đẳng cấu xạ ảnh Hình học xạ ảnh Dễ thấy ánh xạ xạ ảnh f : P → P' song ánh P P' có số chiều Khi đó, f gọi đẳng cấu xạ ảnh, hai không gian P P' gọi đẳng cấu Nếu không gian xạ ảnh Pn cho hai mục tiêu xạ ảnh { S i ,E} { Si , E }, có phép biến đổi xạ ảnh f Pn, biến điểm Si thành điểm S i (i = 0,1, , n) biến E thành E' 1.5 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh Cho f : Pn → Pn phép biến đổi xạ ảnh K - không gian xạ ảnh Pn, liên kết với không gian véc tơ Vn+1 Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Si, E} Với điểm X bất kì, gọi (x0 : x1 : : xn) tọa độ ( x0 : x1 : : xn ) tọa độ X' = f (X) Ta tìm liên kết xi xi Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 5    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC      Gọi ( e0 , e1 , , en ) sở Vn+1 đại diện cho mục tiêu {Si, E} φ: Vn+1 → Vn+1 biến đổi tuyến tính Vn+1 đại diện cho biến đổi xạ ảnh f Giả sử sở đó, có biểu thức tọa độ: n kxi   aij x j , i  0,1,2, , n k≠0 (0.0.1) j 0 Trong đó, ma trận A = ( aij ) có hạng n+1, tức det A ≠ Ma trận A ma trận chuyển từ sở ( ei ) sang sở ảnh qua phép φ Để ý đến mối quan hệ tọa độ xạ ảnh điểm với tọa độ véc tơ đại diện nó, ta suy biểu thức liên hệ tọa độ X X' là: n kxi   aij x j , i  0,1,2, , n; k  j 0 Trong đó, ma trận A = ( aij ) ; i, j = ,1 , , , n có hạng n + (tức có định thức khác không), gọi ma trận phép biến đổi xạ ảnh f với mục tiêu {Si; E} Các cột A cột tọa độ điểm f (Si), phải chọn cho: n n n j 0 j 0 j 0 ( a0 j :  a1 j : :  anj ) tọa độ điểm f (E) Biểu thức (0 ) viết dạng ma trận: k.x' =Ax , x x' ma trận cột tọa độ điểm X điểm X' 1.6 Liên hệ biến đổi xạ ảnh biến đổi Afin Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu S i ; E , gọi W siêu phẳng có phương trình x0  Xét phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pn Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 6    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   cho f (W) = W Ta gọi thường lệ, An = Pn \ W không gian Afin Vì f (W) = W nên f (An) = An nên ta có ánh xạ hạn chế : f' = f | An : An → An Khi cách chuyển từ tọa độ xạ ảnh điểm trong An thành tọa độ A fin (đối với mục tiêu A fin sinh mục tiêu xạ ảnh) ta tìm thấy biểu thức tọa độ f': n X i   aij X i  ai0 , i  1, 2, , n j 0 Trong : aij  aij a00  i, j  1, 2, , n  Như nói, ma trận A' = ( aij ); i, j = , , , n có hạng n Do đó, ma trận A" = ( aij ); i, j = , , , n có hạng n Từ suy f' phép biến đổi Afin An, ta gọi phép biến đổi Afin sinh phép biến đổi xạ ảnh f Như vậy, ta chứng minh rằng, phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pn sinh phép biến đổi Afin f' : An → An f (W) = W Ngược lại: Mọi phép biến đổi Afin sinh phép biến đổi xạ ảnh f mà f (W) = W (ta nói f biến điểm vô tận) Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 7    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Chương PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 2.1 Định nghĩa Trong không gian xạ ảnh P n cho siêu phẳng α β điểm C  P n \ {   } p c :    cho X   thành pc ( X )  X  cho CX    X ' Khi pc gọi phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm chiếu C Nhận xét: - Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn xác định cặp siêu phẳng α , β tâm chiếu C - Phép chiếu xuyên tâm biến điểm giao hai siêu phẳng α β thành 2.2 Một số định lý 2.2.1.Định lý : Nếu coi siêu phẳng α β không gian xạ ảnh (n – 1) - chiều phép chiếu xuyên tâm đẳng cấu xạ ảnh Chứng minh: n Gọi W W 'n không gian vectơ α β Đặt      (n – 2) - phẳng Cho { A1 , , An 1 , An } hệ điểm độc lập xạ ảnh α Trong đó: Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 8    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Ai   i  1, n  An   \  Ta có: An  p c ( An ) ' ' Hệ {A1 , , An1 , An } độc lập xạ ảnh ' Thật vậy: { A1 , , An 1 , An } phụ thuộc xạ ảnh Thì An    An   (vô lý ) (Do A1 , , An 1 độc lập xạ ảnh  ) ' '  Gọi ei véc tơ đại diện Ai i  1, n  en véc tơ đại diện An'  e véc tơ đại diện C ' Ta có: C, A n , A n thẳng hàng Suy ra:    en  aen  be Nếu:    a   e n  b e  An'  C    b   e n  a e n  An'  An     Vậy a, b  chọn a =1 suy ra: en  en  be  Đặt      {e1 , , en1 , en }     sở W n W 'n    {e1 , , en1 , en } Do d im W  :W n  d im W  n suy tồn đẳng cấu tuyến tính  W ' n cho      ( e i )  e i  i  1, n   ( e n )  e n n Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 9    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC    Ta chứng minh X   có vectơ đại diện x có pc ( X )  X '   véc tơ đại diện  ( x )  x '  Lấy X   có véc tơ đại diện x suy ra: p c ( X )  X '   Do     X    x  x e  x1 e   x n e n       ( x )  x 0 e  x1 e   x n e n     ' '   ( x )  x e  x1 e1   x n e n'      '   ( x )  x e  x1 e1'   x n e n  b e        ( x )  x e  x1 e   x n e n  x n b e    (c  xn b )   ( x)  x  ce    Suy ra:  ( x ), x , e phụ thuộc tuyến tính nên ba điểm mà  ( x ), x , e            đại diện thẳng hàng, tức  ( x ) đại diện cho điểm thuộc đường thẳng CX  Mặt khác:  ( x )  W  n C X    X '  Dẫn đến:  ( x ) vectơ đại diện X’ Vậy ta chứng minh p c cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính cho X   có vectơ đại diện    x có pc ( X )  X '   vectơ đại diện  ( x )  x ' Do pc đẳng cấu xạ ảnh 2.2.2 Định lý 2: n n 1 Cho siêu phẳng  ,  ' P [V ] ánh xạ xạ ảnh f :    ' phép chiếu xuyên tâm phần tử    ' tự ứng Tức  M     ', f ( M )  M Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 10    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   k 0 M  0 0    0    x '0  k x0 Biểu thức f là:   x '1  x1 ,    x '  x  b) Lấy A = (1: 0: -1) , B = (1: 1: -2) D = B - A = (0: 1: -1) thuộc đường thẳng d Lấy X = E + D = (1: 2: 0) X’ = f(X) X’ thuộc đường thẳng ED tức X’ = a.E + b.D = (a : a + b : a – b) Lúc đó: m  e0  e2 véc tơ đại diện cho A; n  e0  e1  2e2 véc tơ đại diện cho B; p  e1  e2 véc tơ đại diện cho D; x  e0  2e1 véc tơ đại diện cho X, x’ = (a + b)e1 + (a - b)e2 véc tơ đại diện cho X’ Do f phép thấu xạ tâm với tỷ số k nên: [EDXX’] = k 1 Ta có: k  a ab b a :  :  a 1  a b ab Chọn b = a = k , lúc đó: X’ = (k : k + 1: k – 1) Ta có: f(A) = A, f(B) = B, f(E) = E, f(X) = X’ suy ra: Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 35    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC           (e0 )  (e2 )  l0 e0  e2 e0  e2  l0 e0  e2               e0  e1  2e2  l1 e0  e1  2e2  (e0 )  (e1)  2(e2 )  l1 e0  e1  2e2               e   e0  e1  e2  l2 e0  e1  e2 (e0 )  (e1)  (e2 )  l2 e0  e1  e2     l2  l1   l2  l1   l2  2l1         ( ) e l e e l 0  .e2   3         l  2l   l  2l   l  4l    (e1)    l0 .e0  e1    l0 .e2        l2  l1  l2  l1  l2  2l1  e0  e1  e2 (e2 )  3       (x)  l.x '  e0  2e1  l.k.e0  (k 1).e1  (k 1).e2  Cho l =1, ta có:   l2  2l1   l2  2l1    l e1  .e0          l l l l l l   2      l0 .e0  e1    l0 .e2  2.     3 l l      2   l0 .e2            k.e0  (k 1).e1  (k 1).e2         l2  l1  l0  e0   l2  l1  e1   l2  2l1  l0  e2  k.e0  (k 1).e1  (k 1).e2                           l2  l1  l0  k  l0    Ta có: l2  l1  k   l1   l  2l  l  k   l  k 2 2 Lúc đó: Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 36      KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC      k    k    k     (e0 )    e0  e1    e2         k    k    k    e1    (e1 )    e0   e2 3        k   k   k   e0  e1  e2  (e2 )  3  Biểu thức f là: k2 k 1 k 1   x '0  x0  x1  x2  k 1 k 2 k 1  x0  x1  x2  x '1  3  k 1 k 1 k2  ' x2 x x x      3    x '0  4.x0  x1  x2 Thay k = ta có:  x '1  x0  x1  x2 ,    x '  x  x  x  c Ta có: E = (1: 1: 1) E’ = f(E) = (2: 1: 2), tâm S = (1: 0: 1) Xét S0 = (1: 0: 0) S0 không thuộc () : x0  x1  x2  S0 không thuộc đường thẳng EE’ tọa độ đường thẳng EE’ là:  a1   b1 a2 a2 : b2 b2 a0 a0 : b0 b0 a1 b1  1 1 1 1 : :    1: : 1 2 2    Tọa độ đường thẳng ES0  :1 :   , gọi A giao điểm ES0 với  suy ra: A=(0: 1: 1) Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 37    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Tọa độ đường thẳng SS0 là:  :1 :  Tọa độ đường thẳng AE’ (1: : -2) Gọi S’0 = f(S0) S’0 giao điểm SS0 với AE’ suy S’0 = (2: 0:1) Lấy B = (1: 1: 2) C = (1: -1: 0) thuộc , ta có: f(B) = B, f(C) = C, f(E) = E’, f(S0) = S’0 Ta có :        e0  e1  2e2  l1 e0  e1  2e2        e0  e1  l0 e0  e1         e0  e1  e2  l2 2e0  e1  2e2                   e l l l e l l l e l l e ( ) ( ) ( ) (4 ) 0 2 2  2         (e1 )  (l0  l1  4l2 ).e0  (l0  l1  2l2 ).e1  (4l2  2l1 ).e2        (e2 )  (l1  2l2 ).e0  (l1  l2 ).e1  (2l1  2l2 ).e2      e0  l 2e0  e2 cho l  ta có :                      1  l l l e l l l e l l e e (   )  (    )  (4  )  2 0 2 2  e2 2 l0  l1  4l2  l0     l0  l1  2l2   l1  4l  2l  l  1  2 Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 38    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC       (e0 )  2.e0  e2      Ta có:  (e1 )  e0  e1  e2 Vậy biểu thức f là:    e e  ( )     x '0  x0  x1  x2  ,   x1  x '1   x '  x  x  Bài 2: Trong P2 cho phép biến đổi xạ ảnh f có phương trình: x2  x3  kx1 '    x3  kx2 '  x1  kx '  x  x  x  Chứng minh f phép thấu xạ Xác định tâm phép thấu xạ Giải: Phương trình tìm điểm kép f: x2  x3  kx1    kx1  x2  x3     x3   x1  kx2  x3   kx2  x1  kx  x  x  x  x  x  (3  k ) x  3   Xét k 1 k 2  k (*)    k  3k  3k    ( k  1)3  Do k = giá trị riêng bội ba Thay k = vào (*) giải hệ tương ứng ta được:   x1  x2  x3    x1  x2  x3   x1  x2  x3    x1  x2  x3  Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 39    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Như vậy, d: x1  x2  x3  đường thẳng chứa tất điểm kép f, tức f (X) = X , x  d Do đó, f phép thấu xạ với thấu xạ d (đpcm) Hơn nữa, tâm O f phải thuộc d Nên f thấu xạ đặc biệt Ta tìm tọa độ tâm O Lấy M  P \ d (tùy ý) Khi OM đường thẳng bất biến f ( M )  M '  OM Suy O = MM '  d Chọn M = ( 0: 0: ) Thay vào phương trình f ta : f(M) = M’ = ( 1: -1 : -3 ) Phương trình đường thẳng MM’: x1 + x2 =  1 1 1 1  : : Khi đó: O = MM '  d =    (1:1: 2)  0 1  Bài 3: Trong P2 cho đường thẳng d hai điểm phân biệt M, M’ không thuộc d Chứng minh rằng: a Có phép thấu xạ đặc biệt f P2 nhận d làm thấu xạ biến M thành M’ Hãy dựng ảnh điểm N qua f b Cho tùy ý số k khác Chứng minh có phép thấu xạ tâm f P2 nhận d làm thấu xạ, k số thấu xạ biến thành M thành M’ Hãy dựng ảnh điểm N qua f Giải : a) Gọi S  MM ' d Ta xây dựng phép biến đổi xạ ảnh sau : Lấy X  P , X  d , X  {M , M '} X  MX  d Xét: Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 40    KHÓ ÓA LUẬN TỐT T NGHIỆP P ĐẠI HỌC   f : P2  P2 M  M'= = f (M) d  f (d)) = d X  f ( X )  SX  X M ' + f phép biiến đổi xạ ảnh giữ bấất động đườ ờng thẳng d + Mặt M khác, X  P , X  d : X, f(X), S thẳẳng hàng hhay f giữ bấất biến mọọi đường th hẳng qua S S Suyy f phhép thấu xạạ đặc biệt ttâm S, đường tthẳng d * Sự S nhấất : F xây dựng n làà nhấtt khôngg phụ thuộ ộc vào điểểm X; tức với điểểm X k choo ta m kết quuả xây dựn ng Điểm S  MM ' d làà xác định Vậy tồn t nhấất phép thhấu xạ đặc biệt f nhậận d làm n biếến M thành h M’ * Dựng D ảnh c N qua f: f  Cách dựnng: S  MM ' d X  MN  d f ( N )  N '  SN  X M ' Ta N’ điểm cầnn dựng Ngư ười thực hiệnn: PHAN AN NH SƠN K K35G Sư phạ ạm Toán                                    Page 41  P KHÓ ÓA LUẬN TỐT T NGHIỆP P ĐẠI HỌC    Chứng C minnh: Ta có: X  d  f ( X )  X Do M, N, X0 thẳng hang h nên M’, M f (N), X0 thẳng hhang ( Do f bảo toàn điểm thẳẳng hàng ) Do f giữ bất b biến mọọi đường thhẳng qua S nên N, f ((N), S thẳnng hàng Vậy f ( N )  N '  SN N  X M ' điểm cầần dựng b) Ta xây dựn ng tương tự câu a * Dựng ảnh N qua f: S  MM ' d Dựng A xác x định d cho (ASM MM’) = k X  MN N d f ( N )  N '  AN  X M ' Bà ài 4: Trongg P1 cho thhấu xạ cặp f với sở s (P,Q) cóó ma trận biểu diễn a b mụục tiêu nàoo   Hãy tính hệ số thấu xạ k c d   Giải: a b  E} mục tiêu t P1 mà ma trậnn f  Gọọi {A0,A1,E  c d   Gọọi P  x p : y p  , Q  xq : yq  ta có: f  P    ax p  by p : cx p  dy p  , f  Q    axq  byq : cxq  dyq  P , Q bất độnng nên ta có: c axx p  by p xp Đặặt    xp yp c p  dy p axq  byq cxq  dyq cx ;  yp xq yq ;  xq yq ta được: đ Ngư ười thực hiệnn: PHAN AN NH SƠN K K35G Sư phạ ạm Toán                                    Page 42  P KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   ab ab    c  d  c.  (d  a ).  b   c  d  c.  (d  a).  b  Do P Q phân biệt nên α ≠ β Vậy α β hai nghiệm phương trình c.x  ( d  a ).x  b   xp Gọi A’0 = f(A0) = (a:c) P Q phân biệt nên   xq yp  0 yq  hệ số thấu xạ : k   PQA0 A '0   a c xp yp xq yq Đặt M    ; N    : xp yp xq yq a c a  y p cx p  ay p c  a   c    : a a  yq cxq  ayq c  a  c c a N  2 k c M u  a ad a a  d  2  M  N       c c c c  Ta có:  2  MN    a  M  N   a  b  a  a  d   a  ad  bc    c c2 c c  c  c2 c2 Ta có:  k k     a  d      2 c N M N  M ( M  N )2      a  2bc  d        k  ad  bc k M N MN MN ad  bc  c  Vậy k  a  2bc  d  nghiệm phương trình X    X 1 k  ad bc   Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 43    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm cho kiến thức ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận nghiên cứu cách khái quát định nghĩa ánh xạ xạ ảnh, phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Bên cạnh tập áp dụng Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm đến môn hình học xạ ảnh nói riêng hình học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Sinh viên Phan Anh Sơn       Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 44    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp tập II, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Văn Như Cương (1999), Giáo trình hình học xạ ảnh, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phạm Bình Đô (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội   Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 45    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận em giúp đỡ nhiệt tình thầy cô, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ hình học, thầy cô khoa toán, thầy cô trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên, đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy – Người tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng song thời gian hạn chế khả thân nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận quan tâm, góp ý, bảo thầy, cô giáo bạn để khóa luận em hoàn thiện Một lần em xin gửi lời cảm ơn kính chúc sức khỏe tới thầy cô! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Anh Sơn Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 46    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán: Khóa luận “Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh” viết, kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy, trích dẫn khóa luận trung thực Khóa luận không trùng với khóa luận tác giả khác Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Anh Sơn Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 47    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Mức độ phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Chương 1: Ánh xạ xạ ảnh 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh 1.3 Định lý xác định phép ánh xạ xạ ảnh 1.4 Đẳng cấu xạ ảnh Hình học xạ ảnh 1.5 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh 1.6 Liên hệ biến đổi xạ ảnh biến đổi afin Chương 2: Phép chiếu xuyên tâm 2.1 Định nghĩa 2.2 Một số định lý 2.3 Đối ngẫu phép chiếu xuyên tâm 13 2.4 Phép chiếu xuyên tâm đối ngẫu P2 14 2.5 Một số ứng dụng 16 Chương 3: Phép thấu xạ xạ ảnh 18 3.1 Định nghĩa 18 3.2 Biểu thức tọa độ phép thấu xạ 18 3.3 Tính chất phép thấu xạ 19 Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 48    KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   3.4 Phép thấu xạ đơn 20 3.5 Các phép thấu xạ không gian xạ ảnh P2 P3 21 3.6 Các phép biến đổi a fin sinh phép thấu xạ 23 Bài tập vận dụng hướng dẫn giải 25 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 49    [...]... đường nối hai tâm phải tự ứng Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ ảnh đều có thể phân tích thành không quá n + 1 phép chiếu xuyên siêu phẳng 2.4 Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P2: 2.4.1 Định nghĩa : a) Định nghĩa 1: Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép chiếu xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các điểm tương... ĐẠI HỌC   và pα : B B’    sao cho       Khi đó p được gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ A lên A’ với cơ sở  và 2 tâm A, A’ n = 2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếu xuyên trục 2.3.2 Một số định lý: Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải... - Nếu N tâm thhấu xạ O không k nằm m trên cơ sở ở thấu xạ V thì phép p thấu xạ đơn n f chính làà phép thấu u xạ 0 - cặặp với 0 - cặp c cơ sở làà (O,V) - Nếu N tâm thhấu xạ O thhuộc siêu phẳng p V thhì f ko phhải là thấu xạ cặp,ta gọii nó là phép thấu xạ đơn đ đặc biệt Nh hận xét: g bất độnng một siêuu phẳng th hì hoặc đó Vậy một phép thấuu xạ nào giữ t xạ tâm m hoặc là thấu t xạ đặcc biệt là thấu 3.5... : σ → σ’’ là một ánh xạ xạ ảnh σ ∩ σ’’ Áp dụng trường hợp trên suy ra s ° f là tích của một số ≤ n – 1 phép chiếu xuyên tâm Do đó f là tích của một số ≤ n phép chiếu xuyên tâm Cuối cùng xét trường hợp σ = σ’ Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên tâm r : σ’ → σ’’’ nào đó thì r ° f là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào một trong hai trường hợp trên Suy ra f là tích của một số ≤ n+1 phép chiếu xuyên tâm Bài 3 : Trong... một ánh xạ xạ ảnh có điểm C     '' tự ứng Áp dụng trường hợp trên suy ra là tích của một số  n 1 phép chiếu xuyên tâm Do đó f là tích của một số  n phép chiếu xuyên tâm +) Cuối cùng xét trường hợp    ' Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên tâm r :    ''' nào đó thì r  f :    ''' là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào một trong hai trường hợp trên Suy ra f là tích của một số  n  1 phép chiếu xuyên. ..   Chương 3: Thấu xạ xạ ảnh Bài 1: Trong P2 cho mục tiêu S 0 , S 1 , S 2 , E  Viết biểu thức tọa độ của phép thấu xạ f : P2 → P2 trong các trường hợp sau: a f là thấu xạ tâm, có tâm là điểm S0 = (1: 0: 0), trục thấu xạ là đường thẳng S1S2 , tỷ số thấu xạ k b f là thấu xạ tâm, có tâm là điểm E = (1: 1: 1), trục là đường thẳng ( d ) : x0  x1  x2  0 tỷ số thấu xạ là k = 2 c f là thấu xạ đặc biệt,... trrục phối c ảnh 4.2.Định lýý: 2.4 a) Định Đ lý 1: Điều kiện k cần và đủ để m một ánh xạ xạ ảnh f ggiữa hai hàng điểm m} và {m’} là phép chhiếu xuyênn tâm là giao điểm O của hai giiá tự ứng, {m tứcc f(O) = O b) Định lý đốối ngẫu củaa định lý 1: Điều kiện k cần và đủ để mộột ánh xạ xạ x ảnh f giữ ữa hai chùùm đường thẳẳng {S} và {S’} là phép p chiếu xuyên trụục là đườngg thẳng nốối S và S’ tự ứng,... phẳng xạ ảnh tạo bởi hai đường thẳng AnE và A’nE’ gọi C là giao điểm của AnA’n và EE’ Gọi f’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền là α và β với tâm chiếu là C Ta có: f’(Ai) = Ai với i = 1, 2,…, n-1 do Ai với i = 1, 2,…, n-1 nằm trên Pn-2 và f’(An) = A’n và f’(E) = E’ Do sự xác định duy nhất của phép biến đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n, E’} nên f ≡ f’ Vậy f là phép chiếu. .. chiếu xuyên tâm 2.3 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm: Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì phép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối ngẫu 2.3.1 Định nghĩa: n Trong không gian xạ ảnh P cho 2 điểm A và A’ và siêu phẳng   P n \ AA Tập các siêu phẳng đi qua A được gọi là bó siêu phẳng tâm A Gọi B là bó siêu phẳng tâm A , B’ là bó siêu phẳng tâm A’... chùùm tâm trêên α, β và tập hợp các đường thẳẳng GG’ cũũng là một chùm tâm m trên α, β ài 2 : Trong g Pn với n ≥ 2 cho haai siêu phẳnng σ và σ’ Giả sử f : σ →σ’ Bà là một m ánh xạ xạ ảnh, không k phảii là phép chiếu c xuyênn tâm Chứ ứng minh rằnng có thể phân tích f thành t của m phép chhiếu xuyên tâm với m ≤ n+1 Chứng miinh cụ thể trong P2 : nếu σ ≠ σ’ thì f làà tích của hai phép chiiếu xuyên tâm, ... hiểu tổng quan Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất ánh xạ xạ ảnh Tìm hiểu phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ Định hướng... toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh giúp em hiểu thêm hình học xạ ảnh biết cách áp... xạ ảnh Định lý 2: Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên siêu phẳng đường nối hai tâm phải tự ứng Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên xạ ảnh phân tích thành không n + phép