Nghiên cứu chuyển động trong trường xuyên tâm

Đối tượng nghiên cứu Chuyển động của các hạt trong trường xuyên tâm theo quan điểm cổ điển và lượng tử.. Bài toỏn hai vật và chuyển động trong trường xuyờn tõm Bài toán hai vật là bài

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáo trong

khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, những người tận tình dạy

dỗ, giúp đỡ em trong bốn năm học vừa qua cũng như tạo điều kiện cho em

trong quá trình hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Khắc

Quynh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý

báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010

Người cam đoan Sinh viên

Cao Sỹ Khiêm

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô

giáo trong khoa VËt lý, đặc biệt là sự hướng dẫn của thầy giáo Lê Khắc Quynh

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả đề tài “nghiên cứu chuyển động trong trường xuyên tâm” không có sự trùng lặp cũng như sao chép của các đề tài

Mục lục

Phần 1: Mở đầu

trang 1 Lý do chọn đề tài……….4

2 Đối tượng nghiờn cứu……… 4

3 Mục đớch nghiờn cứu……… 4

4 Phạm vi nghiờn cứu……….4

5 Phương phỏp nghiờn cứu……….4

Phần 2: Nội dung A Chuyển động trong trường xuyờn tõm theo quan điểm cổ điển 1 Bài toỏn hai vật và chuyển động trong trường xuyờn tõm……5

2 Bài toỏn Kepler………12

3 Chuyển động của vệ tinh nhõn tạo……… 18

4 Va chạm đàn hồi……… 22

5 Sự tán xạ đàn hồi của các hạt………25

B Chuyển động trong trường xuyờn tõm theo quan điểm lượng tử 1 Trường xuyờn tõm………30

2 Cỏc hạt khụng tương tỏc và phương phỏp tỏch biến…………34

3 Cỏc hạt tương tỏc lẫn nhau……… 35

4 Chuyển động của hạt mang điện trong trường Caulomb…… 38

5 Nguyờn tử Hiđrụ……… 41

6 Rotator……… 42

Phần 3: Kết luận

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm được nghiên cứu xuyên suốt trong toàn bộ quá trình học từ cơ học  cơ lí thuyết cơ học lượng tử Trong vật lý có rất nhiều mô hình áp dụng chuyển động trong trường xuyên tâm, và các bài tập chuyển động trong trường xuyên tâm là dạng bài toán khó Vì vậy, hệ thống hóa một cách có khoa học tôi đã lựa chọn đề tài: “Nghiên cứu chuyển động trong trường xuyên tâm”

2 Đối tượng nghiên cứu

Chuyển động của các hạt trong trường xuyên tâm theo quan điểm cổ điển và lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, áp dụng phương pháp giải tích, vật lý lý thuyết, cơ học lượng tử …

NỘI DUNG

Một số khái niệm

Tr-ờng lực: là khoảng không gian vật lý mà chất điểm đặt tại mỗi điểm của nó chịu tác dụng của lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm ấy

1 Bài toỏn hai vật và chuyển động trong trường xuyờn tõm

Bài toán hai vật là bài toán về chuyển động của một hệ kín gồm hai chất điểm với thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tương đối giữa hai chất điểm

đó Một bài toán như vậy gọi là bài toán xuyên tâm

Bây giờ ta nghiên cứu chuyển động của một hệ kín gồm hai chất điểm M1 và M2 đối với hệ quy chiếu quán tính K Khối lượng của hai chất điểm M1 và M2 ký hiệu

là m1 và m2 Gọi r r 1, 2

là bán kính vectơ xác định vị trí tương đối giữa hai chất điểm Đại lượng

 2 1  

U r r U r

 1.1

Biết vị trí và vận tốc ban đầu của các chất điểm

M1 và M2 tương ứng và biết dạng U(r)

01 02

01 02

, ,

 

  Cần xác định phương trình chuyển động và vận tốc

của hai chất điểm ở thời điểm bất kỳ đối với hệ quy

chiếu quán tính K

Vì hệ hai vật là hệ kín cho nên khối tâm C

chuyển động thẳng đều với hệ quy chiếu quán tính K

là vận tốc của khối tâm với hệ quy chiếu K

Hệ K’ có gốc gắn với khối tâm C cða hệ kín cũng

là hệ quy chiếu quán tính

quán tính K’

Và ,r v i i

là bán kính xác định vị trí và vận tốc của chất điểm Mi đối với hệ quy chiếu quán tính K

Vị trí và vận tốc của chất điểm Mi đối với hệ

quy chiếu K’ và K liên hệ với nhau bằng biểu thức:

' '

điểm đối với hệ khối tâm K’, thì chuyển động toàn

bộ của hệ sẽ đ-ợc loại trừ và chỉ còn lại chuyển

động t-ơng đối của hai chất điểm đối với nhau Vì vậy để đơn giản ta khảo sát chuyển động của hệ hai chất điểm với hệ quy chiếu khối tâm K’, sau đó dùng phép biến đổi toạ độ và vận tốc (1.3) ta sẽ thu

đ-ợc kết quả nghiên cứu trong hệ quán tính K

Từ (1.3) ta có:

' '

r   r r r r (1.4) Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức (1.4) theo thời gian, ta thu đ-ợc:

r qua r

Là vị trí khối tâm C của hệ đối với hệ quy

chiếu K’ Vì ta chọn gốc cða hệ quy chiếu K’ trùng

với khối tâm của hệ nên rC 0 và do đó ta có:

'

2 1

1 1 2 2 0

m r m r 

Ph-ơng trình  1.4 đ-ợc khảo sát nh- một ph-ơng

trình chuyển động của một chất điểm có khối l-ợng

 d-ới tác dụng của tr-ờng lực ngoài có tâm của

Từ  1.4 , 1.7 và  1.8 ta thấy rằng bài toán hai vật

đ-ợc đ-a về bài toán của một chất điểm có khối

l-ợng  chuyển động trong tr-ờng xuyên tâm với tâm

của tr-ờng lực đặt ở khối tâm C của hệ

Ta tiếp tục tìm ph-ơng trình chuyển động và

ph-ơng trình quỹ đạo của chất điểm chuyển động

trong tr-ờng xuyên tâm với thế năng chỉ phụ thuộc

vào khoảng cách r từ chất điểm đến khối tâm C là

Tác dụng lên chất điểm  có độ lớn chỉ phụ thuộc vào r và đ-ờng tác

dụng luôn đi qua khối tâm C của tr-ờng lực Mômen của lực đối với khối tâm C luôn luôn bằng 0 và do

đó mômen xung l-ợng của chất điểm  đối với khối tâm C là đại l-ợng đ-ơc bảo toàn, hay là:

và đi qua khối tâm C

Khái niệm mômen xung l-ơng của chất điểm 

liên hệ với khái niệm vận tốc diện tích 1 

2 r v

bằng biểu thức:

Lrv2 1.21 

Từ (1.20) và (1.21) ta thấy rằng với chất điểm

 chuyển động trong tr-ờng xuyên tâm thì vectơ vận tốc diện tích của nó là đại l-ợng đ-ợc bảo toàn (ĐL

II Keple)

Độ lớn của các vectơ L có giá trị luôn không

đổi bằng:

 2

Chất điểm  chuyển động trong tr-ờng lực thế

cho nên cơ năng của nó là đại l-ợng đ-ợc bảo toàn

Với V(r) gọi là thế năng hiệu dụng

Lấy dấu: + ứng với quá trình r(t) tăng

- ứng với quá trình r(t) giảm Phân li biến số r, t và tích phân hai vế (1.26)

Từ (1.22) ta có:

 

2

Ldt d

Ldr r

r  từ (25) ta thấy chuyển động của chất

điểm trong tr-ờng xuyên tâm chỉ có thể xảy ra khi:

Xác định các điểm giới hạn của miền chuyển động

theo khoảng cách từ tâm của tr-ờng lực Các điểm

này gọi là các điểm lùi của qũy đạo, hàm r(t) biến

thiên tăng đến giảm hay ng-ợc lại chứ không phải chất điểm  đứng yên bởi vì khi đó 0

Nếu biến thiên của t chỉ bị giới hạn bởi một

điều kiện r rminthì chuyển động của chất điểm  là vô hạn Qũy đạo của nó từ vô cùng đến điểm r rminrồi lại đi xa vô cùng

Nếu rmin  r r maxthì chuyển động của chất điểm  là hữu hạn.Qũy đạo của nó là đ-ờng cong nằm trên hình vành khăn giới hạn bởi 2 đ-ờng tròn đồng tâm có bán kính rr max, rrmin Điều đó cũng có nghĩa là qũy đạo của chất điểm  là đ-ờng cong kín

Ta đi tìm điều kiện để qũy đạo của chất điểm 

là đ-ờng cong kín

Giả sử  là khoảng thời gian để hàm r(t) thay

đổi từ giá trị rmax  rmin rồi lại đạt giá trị rmax

tiếp theo Trong khoảng thời gian  này, bán kính vectơ r

xác định vị trí của chất điểm  quét đ-ợc một góc  Nếu n1 và n2 là những số nguyên mà

n  n  thì sau một khoảng thời gian bằng n1 chất

điểm  sẽ trở về vị trí ban đầu và nh- vậy qũy đạo của nó là đ-ờng cong kín

Giá trị của  tuỳ thuộc vào dạng của thế năng U(r) Ta hãy chỉ ra điều đó Trong quá trình hàm r(t) giảm từ giá trị rmax  rmin thì r < 0 Do đó

ta có:

 

1

2

dr dt

  Chuyển động hữu hạn của chất

điểm trong tr-ờng xuyên tâm với thế năng U(r) tỉ lệ

1/r hay tỉ lệ với r2 thì qũy đạo của nó là đ-ờng

cong kín

2 Bài toán Képler

a Định nghĩa

Là bài toán chuyển động của chất điểm trong

tr-ờng xuyên tâm với thế năng có dạng:

0 ta có bài toán hai vật hút nhau

0 ta có bài toán hai vật đẩy nhau

Đối với tr-ờng hấp dẫn thì:  Gm m1 2 0

Đối với tr-ờng tĩnh điện thì: = - k.q1.q2

+ khi q1, q2 trái dấu   0 + khi q1, q2 cùng dấu   0

b Nội dung

Ta xét tr-ờng hợp hai vật hút nhau: Bài toán

chuyển đông của các hành tinh Chuyển động của

êlectrôn trong tr-ờng Coulomb của hạt nhân nguyên

tử theo quan điểm cơ học cổ điển

Ta tìm ph-ơng trình qũy đạo của chất điểm 

Đặt (2.2) vào (1.30) ta đ-ợc:

2 2

2

2

2 2

Ldr r L E

số p

+ Khi E0 thì e1 Qũy đạo của chất điểm 

là Hyperbol và chuyển động của nó là vô hạn

+ Khi E = 0 thì e = 1 Qũy đạo của chất

điểm  là Parabol và chuyển động của nó là vô hạn

+ Khi (V)min  E  0 thì e  1 Qũy đạo của

chất điểm  là ellip và chuyển động của nó là giới

Bây giờ ta xét chuyển động của chất điểm theo

qũy đạo ellip

Bán trục của ellip đ-ợc xác định

T là chu kì chuyển động của chất điểm  theo

qũy đạo ellip

Từ (2.9) và (2.11) suy ra:

Nếu chọn  thế nào để khi  tăng  t tăng với

điều kiện ban đầu: r0 a1 e rmin, t = 0 khi  = 0

Suy ra ph-ơng trình chuyển động của chất điểm

theo qũy đạo ellip

ứng với chuyển động của hệ hai sao kép

Liên hệ giữa chu kì chuyển động của chất điểm

M1 và M2 theo qũy đạo ellip với a1 và a2 của chúng

Chu kì chuyển động của chất điểm  theo qũy

đạo ellip

1 1

Khi E0 thì e1 qũy đạo của chất điểm  là

đ-ờng hypebol bao quanh tâm của tr-ờng lực Khoảng cách từ tâm của tr-ờng lực đến điểm gần nhất bằng:

p a

Khi E = 0 thì e = 1 qũy đạo của chất điểm  là

đ-ờng parabol với





   (2.25)

Từ (2.26) và (2.28) ta thấy rằng năng l-ợng của chất điểm  luôn d-ơng và qũy đạo của nó là đ-ờng

cong hyperbol với: min  1

Nếu chọn trục cực d-ơng từ tâm của tr-ờng lực

đến điểm gần nhất của qũy đạo thì 0 0 Khi đó ph-ơng trình (2.28) có dạng:

p r



c Hệ quả

Hệ quả lớn nhất của bài toán képler chính

là ba định luật képler với nội dung:

Định luật 1: Mỗi hành tinh đều chuyển

động theo quỹ đạo ellip và mặt trời là một trong

các tiêu điểm của chúng

Định luật 2: Vận tốc diện tích của mỗi

hành tinh với mặt trời là một đại l-ợng không đổi

Định luật 3: Tỉ số giữa bình ph-ơng chu

kì quay của các hành tinh và lập ph-ơng bán trục lớn của các quỹ đạo ellip là một đại l-ợng không

đổi với mọi hành tinh đều có giá trị giống nhau

3 Chuyển động của vệ tinh nhân tạo

y

Hai chất điểm m và M t-ơng ứng với

chuyển động của vệ tinh và trái đất và ta có:

Thế năng hấp dẫn giữa hai chất điểm m và M có dạng:

Tr-ờng hợp 4:  V min  E 0 thì m sẽ chuyển động theo quỹ đạo ellip với  V min  E 0 ta đ-ợc

2 2 0

Ta thấy tr-ờng hợp vật m chuyển động với quỹ

đạo tròn (tr-ờng hợp 1) và chuyển động với quỹ đạo

parapol (tr-ờng hợp 2) vận tốc v0 t-ơng ứng trong

hai tr-ờng hợp đó gọi là vận tốc vũ trụ cấp 1 và

Giả sử r   thì lực hút của trái đất lên vật m

rất yếu Khi vận tốc của vật = 0 thì nó sẽ bị hút

về phía mặt trời Để vật m chuyển động theo quỹ đạo

parabol đối với mặt trời thì tại r =  vận tốc của

m với trái đất là: v  0

2  02 2

0

1 12

Tại r =  vật m chuyển động t-ơng đối với trái

đất với vận tốc v 

và cùng với trái đất chuyển động



 

D

V V  v (3.12) Hay:

V V D v  khi v 

vµVD

cïng chiÒu (3.13)

V V D v  khi v 

vµ VDng-îc chiÒu (3.14)

Va chạm gọi là đàn hồi nếu trong quá

trình va chạm nội năng của các hạt tham gia không

Hệ K’ gắn với khối tâm C cũng là hệ quy chiếu

là xung l-ợng của M1 , M2 tr-ớc

và sau khi va chạm trong hệ quy chiếu quán tính K’

p10' m v1 10' , p20' m v2 20'

p1' m v1 1' , p2' m v2 2' (4.3) Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

' 1

VËn tèc cña h¹t sau va ch¹m trong hÖ K lµ:

va ch¹m





' 20

v 

' 10

2

v 

2 2

Nếu m1 m2 ta có: v10 ,  v2 v0  v,2 0 2(4.18)

2

r

r

L dr r

rmin O A' là nghiệm của ph-ơng trình E – Vmin= 0

áp dụng trong tr-ờng hợp hạt  (He) bay đến hạt

nhân nguyên tử Trong thực tế ng-ời ta coi rằng thế

năng U thỏa mãn điều kiện  r U   0

2 0

2

r

L dr r

0

21

dr r U

Gọi dN là số hạt bay qua diện tích vành khăn giới hạn bởi hai đ-ờng tròn đồng tâm có bán kính 

và +d và đặt vuông góc với chùm tới trong một đơn

n là số hạt bay tới trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với chùm tới,ta có: dN 2 d n

d dN 2 d

n

     (5.6)

d: tiết diện tán xạ hiệu dụng

  0 với tr-ờng culumb hút

 0 với tr-ờng culumb đẩy

Đặt U

r



  vào (5.4) ta đ-ợc:

min

2 0

2 0

2 0

cot

2

g v

2

2

3 0

cos2sin2

2

sin2

d d

4 12

4

sin

2

d d

ThÕ n¨ng U lµ mét hµm chØ phô thuéc vµo b¸n kÝnh r, kh«ng phô thuéc vµo  vµ , nªn

ba chiÒu ®-îc viÕt nh- sau:

Vì ˆL2 chỉ phụ thuộc vào  và , không phụ thuộc

vào r, nên nó sẽ giao hoán với tất cả các toán tử

chỉ phụ thuộc vào r Do đó:

2 2

Tóm lại, khi hàm thế năng không phụ thuộc vào 

không phụ thuộc vào r Vì vậy nếu nhân chúng với

một hàm bất kì của r thì nó vẫn là hàm của ˆL2 Do

đó:

Hàm sóng  của hạt chuyển động trong tr-ờng

xuyên tâm hay tr-ờng đối xứng cầu là một hàm tích

Kết hợp (1.16) (1.17) ta đ-ợc:

   

2 2

2

12

Nguyên tử hydrô là một hệ gồm hai hạt t-ơng

tác lẫn nhau, để chuẩn bị cho việc giải bài toán

nguyên tử hydrô , chúng ta khảo sát một hệ đơn giản

Với Hˆ1 chỉ phụ thuộc vào

Bởi vì Hˆ1 chỉ phụ thuộc vào tọa độ và động

 và E Nh- vậy chúng ta có thể biến bài toán hai

hạt thành bài toán một hạt, nếu hai hạt không t-ơng

Kết quả trên cũng có thể áp dụng cho hệ nhiều

hạt không t-ơng tác lẫn nhau Đối với hệ chứa nhiều

3 Các hạt t-ơng tác lẫn nhau

Để có thể áp dụng lý thuyết cơ học l-ợng tử vào

nguyên tử hidrô, chúng ta cần tìm toán tử Hamilton

và ph-ơng trình Schrodinger cho phù hợp Đối với hệ

gồm hai hạt 1 và 2 với tọa độ t-ơng ứng là

vectơ r

r   r2 r1 ix jykz (3.2)

Trọng tâm khối l-ợng của hai chất điểm là C

Nếu chúng ta giới hạn hệ đang khảo sát có thế

năng U là hàm chỉ phụ thuộc vào vị trí t-ơng đối r

thì theo cơ học cổ điển, hàm Hamilton là :

Khi đó xem pR và pr là động l-ợng của hạt có

khối l-ợng M và của hạt có khối l-ợng  t-ơng ứng

Nh- vậy, hàm Hamilton trở thành:

 

2 2

M

r

p p

do sự chuyển động tịnh tiến toàn bộ hệ và động năng

do sự chuyển động t-ơng đối của hai hạt Ph-ơng

trình (3.10) có thể xem nh- là hàm Hamilton của hệ

gồm một hạt chuyển động tự do với khối l-ợng M và

một hạt có khối l-ợng  chuyển động trong tr-ờng

thế năng U(r) , và hai hạt này không t-ơng tác lẫn

nhau Từ kết quả của bài toán hai hạt không t-ơng

E đ-ợc xác định từ ph-ơng trình: