Một số phương trình trong thang các không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TRONG THANG CÁC KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Hàm biến đổi chậm trường hợp riêng hàm phân quy có nhiều ứng dụng xác xuất thống kê Một ứng dụng lý thuyết giá trị cực trị Sự liên hệ chúng đề cập nhà toán học Feller (1971), Sidney (1987), Bingham et al (1989), De Haan Ferreira (2006), Hơn nữa, việc nghiên cứu nhớ dài (hay phụ thuộc tầm xa) trình ngẫu nhiên thơng qua mơ hình hố hàm biến đổi chậm lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Ngồi chúng cịn có ứng dụng định thuỷ học, tài hay mơ hình viễn thơng 646 Khơng gian hàm p-khả tích Lp (Ω) Ta nhớ lại khơng gian hàm p-khả tích độ đo Lebesgue n chiều Định nghĩa Cho A ⊂ Rn tập đo Lebesgue p ∈ [1, ∞], Lp (A) := {f : A → R : f đo Lebesgue ∥f ∥Lp < +∞} ∥f ∥Lp Z 1/p   p |f (x)| dx = ∥f ∥Lp (A) := A   ≤ p ≤ ∞ inf{M > : |f (x)| ≤ M, x ∈ A} p = ∞ Số ∥f ∥Lp gọi chuẩn Lp f A Định lý (Fisher - Riesz) (Lp (A), ∥.∥Lp ) không gian Banach ≤ p ≤ ∞ Hơn L2 (A) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Z (f, g)L2 := f g dx f, g ∈ L2 (A) A Theo kết định lý Riesz - Fisher ta thu kết hữu ích Định lý Cho Ω ⊂ Rn tập mở, (fh )h ⊂ Lp (Ω) f ∈ Lp (Ω) với ≤ p ≤ ∞ Giả sử lim ∥fh − f ∥Lp (Ω) = h→∞ Khi đó, tồn dãy (fhk )k hàm g ∈ Lp (Ω) thỏa mãn (i) fhk (x) → f (x) hầu khắp nơi x ∈ Ω (ii) |fhk (x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω, ∀k Nhận xét Nó khơng cịn giữ ý nghĩa (MC) ⇒ fh (x) → f (x) hầu khắp nơi x ∈ Ω Nhận xét Chú ý C0 ⊂ Lp (Ω) với p ∈ [1, ∞], với Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn, không quan hệ bao hàm khơng giữ giữ quan hệ bao hàm C0c (Ω) ⊂ Lp (Ω) với p ∈ [1, ∞] tập mở Ω, C0c (Ω) := {f ∈ C0 (Ω) : spt(f ) compact chứa Ω} spt(f ) := Bao đóng{x ∈ Ω : f (x) ̸= 0} Hơn nhớ lại C0 (Ω, ∥.∥L2 ) không gian tuyến tính định chuẩn, khơng phải khơng gian Banach Tính compact (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) Trong mục thảo luận kết compact không gian Lp Chúng ta nêu kết không chứng minh Cho f : Rn → R v ∈ Rn , ta định nghĩa τv f : Rn → R hàm v -dịch chuyển f định nghĩa (τv f )(x) := f (x + v) Định lý (M.Riesz - Fréchét - Kolmogorov) Cho F tập bị chặn (Lp (Rn ), ∥.∥Lp ) với ≤ p < ∞ Giả sử lim ∥τv f − f ∥Lp = v→0 với f ∈ F , nghĩa ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > : ∥τv f − f ∥Lp < ϵ, ∀v ∈ Rn với |v| < δ, ∀f ∈ F (N EF ) Khi F|Ω := {f |Ω : f ∈ F} compact tương đối (Lp (Ω), ∥.∥Lp ), nghĩa bao đóng compact (Lp (Ω), ∥.∥Lp ), với tập mở Ω ⊂ Rn với độ đo Lebesgue hữu hạn Từ định lý 38 ta suy điều kiện compact (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) Nếu f : Ω → R, ta ký hiệu fe : Rn → R hàm định nghĩa ( f (x) x ∈ Ω fe(x) := x ∈ /Ω Hệ Cho Ω ⊂ Rn tập mở với độ đo hữu hạn, cho F ⊂ Lp (Ω) cho Fe := {fe : f ∈ F} Giả sử (i) F bị chặn (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) với ≤ p < ∞; (ii) lim ∥τv f − f ∥Lp = với f ∈ F , nghĩa Fe thỏa mãn (ENF ) v→0 Khi F compact tương đối (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) Chứng minh Từ định lý 38, Fe tập compact tương đối Lưu ý Fe compact dãy tương đối (Lp (Rn ), ∥.∥Lp ) F compact dãy tương đối (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) Do đặc tính tập compact khơng gian metric (Định lý 7) có điều phải chứng minh Cuối cùng, nhớ lại đặc tính compact (Lp (Rn ), ∥.∥Lp ) Định lý Cho F ⊂ Lp (Rn ) với ≤ p < ∞ Khi F compact tương đối (Lp (Rn ), ∥.∥Lp ) (i) F bị chặn (Lp (Rn ), ∥.∥Lp ); (ii) với ϵ > 0, tồn rϵ > thỏa mãn ∥f ∥Lp (Rn \B(0,rϵ )) < ϵ ∀f ∈ F; (iii) lim ∥τv f − f ∥Lp = f ∈ F v→∞ Nhận xét (i) Giả thiết (ENF ) cần thiết định lý 38 Thật vậy, xét họ F := {fh : h ∈ N} fh : R → R định nghĩa   ≤ x ≤ h fh (x) := h 0 ngược lại Ω := (0, 1) Khi dễ thấy ∥f ∥L1 R = với h ∈ N F|Ω không compact tương đối (L1 (Ω), ∥.∥L1 ), khơng có dãy (fh )h hội tụ L1 (Ω) Mặt khác, v > 0, với h > 1/v Z Z v ∥τv fh − fh ∥L1 (R) ≥ fh (x + v) dx = −∞ fh (x) = Do đó, (ENF ) khơng cịn cho F (ii) Nếu Ω khơng có độ đo hữu hạn, kết định lý 38 khơng cịn Thật vậy, xét họ F := {fh : h ∈ N} fh : R → R định nghĩa fh (x) := f (x + h) f ∈ Lip(R) với spt(f ) = [−a, a], a > 0, f không triệt tiêu Khi ∥f ∥L1 (R) = ∥f ∥L1 (R) > ∀h (1) Hơn F thỏa mãn (ENF ), |τv f − f (x)| = |f (x + v)f (x)| ≤ L|v|X [−a−1,a+1] (x) ∀x ∈ R, v ∈ [−1, 1] ∥τc fh − fh ∥L1 (R) = ∥τv f − f ∥L1 (R) ∀h L := Lip(f ) Cho Ω := R quan sát F = F|Ω không compact tương đối (L1 (R), ∥.∥L1 ) Ngược lại mâu thuẫn nảy sinh (59), từ fh (x) → với x ∈ R Tính tách (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) Nhận xét Cho Ω ⊂ tập bị chặn, quan hệ bao hàm C0 (Ω) ⊂ L∞ (Ω) chặt Hơn nữa, với f ∈ C0 (Ω) ∥f ∥∞,Ω = ∥f ∥L∞ (Ω) (∗) Thật ∥f ∥L∞ (Ω) := inf{M > : |f (x)| ≤ M, x ∈ Ω} ≤ sup |f (x)| := ∥f ∥∞,Ω x∈Ω Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, ta quan sát, N ⊂ Ω tập không đáng kể với mối quan hệ đến L, Ω \ N ⊇ Ω Vì thế, theo tính liên tục f , tồn M > cho |f (x)| < M, x ∈ Ω ⇒ |f (x)| ≤ M ∀x ∈ Ω Đặc biệt, từ (∗), C0 (Ω) hóa đóng (L∞ (Ω), ∥.∥L∞ (Ω) ) Khơng gian đối ngẫu Lp (Ω) Định lý (Định lý biểu diễn Riesz) Cho ≤ p < ∞ ký hiệu   p < p < ∞ ′ p := p − (số mũ của) p ∞ p = ′ Khi ánh xạ T : Lp (Ω) → (Lp (Ω))′ , định nghĩa Z uf dx, ∀f ∈ Lp (Ω), ⟨T (u), f ⟩(Lp (Ω))×Lp (Ω) := Ω đẳng cấu metric có đặc trưng xác định ′ Lp (Ω) ≡ (Lp (Ω))′ ≤ p < ∞ Chứng minh Ta chia chứng minh thành ba bước Bước 1: Ta chứng minh T phép đẳng cự, nghĩa ′ ∥T (u)∥(Lp (Ω))′ = ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp (Ω) (2) Theo bất đẳng thức Holder, suy bất đẳng thức ′ ∥T (u)∥(Lp (Ω))′ ≤ ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp (Ω) (3) Ta bất thức ngược lại Đầu tiên, giả sử < p < ∞, điều có nghĩa < p′ < ∞ Nếu ∥u∥Lp′ (Ω) = 0, đó, u = hầu khắp nơi Ω bất đẳng thức rõ ràng Giả sử < ∥u∥Lp′ (Ω) < ∞, ta cần giả sử < |u(x)| < ∞ hầu khắp nơi x ∈ Ω Định nghĩa ′ fu (x) := |u(x)|p −2 u(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω Quan sát fn ∈ Lp (Ω), từ ′ 1/p−1 |fu (x)|p = |u(x)|p hầu khắp nơi x ∈ Ω ⇒ ∥fu ∥Lp (Ω) = ∥u∥Lp′ (Ω) Vì Z ⟨T (u), fu ⟩(Lp (Ω))×Lp (Ω) = Ω ′ ′ u|u|p −2 udx = ∥u∥pLp′ (Ω) (4) Từ (61) (62), suy ′ ∥u∥pLp′ (Ω) = ⟨T (u), fu ⟩(Lp (Ω))′ ×Lp (Ω) ≤ ∥T (u)∥(Lp (Ω))′ ∥fu ∥Lp (Ω) 1/p−1 = ∥T (u)∥(Lp (Ω))′ ∥u∥Lp′ (Ω) Điều có nghĩa ∥T (u)∥(Lp (Ω))′ ≥ ∥u∥Lp′ (Ω) ′ ∀u ∈ Lp (Ω) (5) Vì (61) (63) cho ta (60) Cuối cùng, cho trường hợp p = 1, p′ = ∞, giả sử < M < ∥u(x)∥L∞ (Ω) Khi tập hợp EM := {x ∈ Ω : |u(x)| > M } ∈ M |EM | > Từ không gian đo (Ω, Mn ∩ Ω, Ln ) σ−hữu hạn, tồn tập F ∈ Mn ∩ Ω cho < |EM ∩ F | < ∞ Tập hợp fu (x) := sign(u(x))χEM ∩F (x) hầu khắp nơi x ∈ Ω |EM ∩ F | Khi Z ∥fu ∥L1 (Ω) = |fu (x)|dx = Ω ⟨T (u), fu ⟩(L1 (Ω))′ ×L1 (Ω) = |EM ∩ F | Z |u|dx ≥ M, ∀M ∈ (0, ∥u∥L∞ (Ω) ) (43b) EM ∩F Từ (61) (43b), suy M ≤ ⟨T (u), fu ⟩(L1 (Ω))′ ×L1 (Ω) ≤ ∥T (u)∥(L1 (Ω))′ ∥fu ∥L1 (Ω) = ∥T (u)∥(L1 (Ω))′ , ∀M ∈ (0, ∥u∥L∞ (Ω) ), Từ ∥T (u)∥(L1 (Ω))′ ≥ ∥u∥L∞ (Ω) , ∀u ∈ L∞ (Ω) (24b) Từ (61) (44b), đồng (60) p = Bước 2: Đầu tiên giả sử |Ω| < ∞ ta chứng minh T toàn ánh, ′ nghĩa ∀ϕ ∈ (Lp (Ω))′ , ∃u ∈ Lp (Ω) cho T (u) = ϕ ⇔ ⟨T (u), f ⟩(Lp (Ω))′ ×Lp (Ω) = ϕ(f ), ∀f ∈ Lp (Ω) Bởi |Ω| < ∞, χE ∈ Lp (Ω) với E ∈ M := Mn ∩ Ω, p ∈ [1, ∞) Định nghĩa tập hợp hàm ν : M → R ν(E) := ϕ(χE ), E ∈ M Chỉ ν σ -hữu hạn, độ đo có dấu; (6) ν ≪ Ln M (7) Thật |ν(E)| < ∞ với E ∈ M, ν σ -hữu hạn Giả sử (Eh )h ⊂ M dãy rời nhau, ta chưng minh ν(∪∞ h=1 Eh ) = ∞ X ν(Eh ) Tập hợp E := ∪∞ h=1 Eh Với số nguyên m h=1 37 Từ Mệnh đề ?? ta có hệ sau Hệ Cho H nhóm nhóm G Nếu Pr(H, G) = Pr(G) Pr(H) = Pr(G) Mệnh đề sau cho ta điều kiện đủ để không xảy đẳng thức Mệnh đề ?? Mệnh đề 22 Cho H nhóm nhóm G Nếu H khơng chuẩn tắc G Pr(G) < Pr(H, G) < Pr(H) Chứng minh Giả sử H không chuẩn tắc G Trước tiên ta chứng minh tồn x ∈ H cho G ̸= HCG (x) Thật vậy, giả sử trái lại G = HCG (x) với x ∈ H Lấy g ∈ G x ∈ H Khi g −1 ∈ G = HCG (x) Giả sử g −1 = với h ∈ H, a ∈ CG (x) Khi ta có g −1 xg = (ha)x(ha)−1 = haxa−1 h−1 = hxaa−1 h−1 = hxh−1 ∈ H Điều chứng tỏ H ◁ G, trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Do đó, theo Bổ đề ?? ta có Pr(H, G) ̸= Pr(H) Pr(H, G) ̸= Pr(G) Kết hợp điều với Mệnh đề ?? ta có bất đẳng thức cần chứng minh Một số kiến thức nhóm Một nhóm (G, ·) tập hợp G ̸= ∅ trang bị phép tốn hai ngơi · thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) a · (b · c) = (a · b) · c với a, b, c ∈ G, (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho a · e = a = e · a với a ∈ G, (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a′ ∈ G cho a · a′ = a′ · a = e Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b Phần tử e xác định (ii) nhất, gọi phần tử đơn vị nhóm G, thường ký hiệu Với a ∈ G, phần tử a′ xác định (iii) nhất, gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 Một nhóm G gọi giao hốn (hay abel ) ab = ba với a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữu 38 hạn phần tử ta gọi G nhóm hữu hạn, gọi số phần tử G cấp nhóm G, ký hiệu |G| Cho G nhóm, H tập G Ta gọi H nhóm G, ký hiệu H ⩽ G, điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán G hạn chế lên H cảm sinh phép toán H , (ii) H nhóm với phép tốn cảm sinh Cho G nhóm, H tập G ta ký hiệu ⟨S⟩ nhóm bé G chứa S , gọi S tập sinh ⟨S⟩ Đặc biệt, nhóm có tập sinh gồm phần tử gọi nhóm xiclíc Mệnh đề 23 (Định lý Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn, H nhóm G Khi |H| ước |G| Với G nhóm hữu hạn, H ⩽ G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|, gọi số nhóm H G Mệnh đề 24 Cho G nhóm, A, B hai nhóm hữu hạn G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi |AB| = |A||B| |A ∩ B| Cho G nhóm, a phần tử G Với u phần tử G, liên hợp u a, ký hiệu ua , định nghĩa ua = a−1 ua Với H nhóm G, ta gọi H nhóm chuẩn tắc G, ký hiệu H ◁ G, ∈ H với a ∈ G, h ∈ H Cho N nhóm chuẩn tắc G Ký hiệu G/N = {aN | a ∈ G} Khi G/N nhóm với phép toán xác định sau Với a, b ∈ G (aN )(bN ) = abN Nhóm G/N gọi nhóm thương G N Với S tập G, tâm hóa S G, ký hiệu CG (S), định nghĩa CG (S) = {a ∈ G | ua = u với u ∈ S} Trong trường hợp S = {x}, ta dùng ký hiệu CG (x) thay cho CG (S) Tâm nhóm G, ký hiệu Z(G), định nghĩa Z(G) = CG (G) 39 Mệnh đề 25 Cho G nhóm khơng giao hốn Khi đó, nhóm thương G/Z(G) khơng nhóm xiclíc Cho G nhóm Với x y hai phần tử G, giao hoán tử x y , ký hiệu [x, y], định nghĩa [x, y] = x−1 y −1 xy Nhóm giao hoán tử G, ký hiệu G′ , định nghĩa nhóm sinh tập tất giao hoán tử {[x, y] | x, y ∈ G} Cho hai nhóm G H Một ánh xạ f : G → H gọi đồng cấu nhóm với a, b ∈ G f (ab) = f (a)f (b) Nếu đồng cấu f đơn ánh (tương ứng, toán ánh, song ánh) ta gọi f đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệu Aut(G) nhóm tất tự đẳng cấu G Cho N H hai nhóm bất kỳ, cho θ : H → Aut(N ) đồng cấu nhóm Khi đó, tập hợp G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H} nhóm với phép toán xác định sau Với (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈ G, (x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ) Nhóm G xác định gọi tích nửa trực tiếp N H ứng với tác động θ, ký hiệu G = N ×θ H Trong trường hợp đặc biệt θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp tích trực tiếp Sau số kiến thức p-nhóm nhóm abel hữu hạn Cho p số nguyên tố Một nhóm G gọi p-nhóm |G| môt lũy thừa p Ta thấy nhóm con, nhóm thương p-nhóm p-nhóm Mệnh đề 26 Cho p số nguyên tố Khi 40 (i) Mọi nhóm có cấp p nhóm xiclíc (ii) Mọi nhóm có cấp p2 nhóm abel Mệnh đề 27 Mọi nhóm abel hữu hạn G biểu diễn cách thành tích trực tiếp nhóm xiclíc G∼ = Cn1 × Cn2 × · · · × Cnk ni ⩾ 2, i = 1, 2, k , n1 | n2 | · · · | nk Sau số kiến thức nhóm đối xứng nhóm thay phiên Cho X tập hợp Một song ánh từ tập X đến gọi phép tập X Ký hiệu S(X) tập tất phép tập X Khi S(X) nhóm với phép tốn hợp thành ánh xạ Ta gọi S(X) nhóm đối xứng tập X Ta dùng ký hiệu Sn để nhóm đối xứng tập X = {1, 2, , n} gọi Sn nhóm đối xứng bậc n Định lý 11 Mọi phép π ∈ Sn với n ⩾ phân tích thành tích xích rời Phân tích khơng kể đến thứ tự nhân tử Cho π ∈ Sn với n ⩾ Khi đó, theo Định lý ??, ta có phân tích π thành tích xích rời π = (a11 a12 · · · a1k1 )(a21 a22 · · · a2k2 ) · · · (as1 as2 · · · asks ) ta giả thiết k1 ⩾ k2 ⩾ · · · ⩾ ks Ta gọi (k1 , k2 , , ks ) kiểu phép π Mệnh đề 28 Hai phép nhóm đối xứng Sn với n ⩾ liên hợp với chúng có kiểu Cho σ ∈ Sn với n ⩾ Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) nghịch σ i < j σ(i) > σ(j) Dấu phép σ, ký hiệu sign(σ), xác định công thức sign(σ) = (−1)t t số nghịch σ Nếu sign(σ) = ta gọi σ phép chẵn, sign(σ) = −1 ta gọi σ phép lẻ 41 Mệnh đề 29 Cho σ, τ ∈ Sn với n ⩾ Khi (i) sign(στ ) = sign(σ)sign(τ ) (ii) Nếu σ xích độ dài k sign(σ) = (−1)k+1 Với n ⩾ ta ký hiệu An tập phép chẵn bậc n Khi An nhóm chuẩn tắc số Sn Ta gọi An nhóm thay phiên bậc n Cuối mục kết độ giao hoán nhóm Định nghĩa Cho G nhóm Ký hiệu C = {(x, y) ∈ G × G | xy = yx} Độ giao hoán G, ký hiệu Pr(G), định nghĩa sau Pr(G) = |C| |G|2 Mệnh đề 30 Nếu G nhóm khơng giao hốn Pr(G) ⩽ 10 Các tính chất tổng quát ∆U -vành Ta biết + J(R) ⊆ U (R) Vành R gọi U J -vành U (R) ⊆ + J(R), nghĩa + J(R) = U (R) Lưu ý R U J -vành ∆(R) = J(R) Một vành R gọi ∆U -vành + ∆(R) = U (R) Mệnh đề 31 Một vành R ∆U -vành U (R)+U (R) ⊆ ∆(R) (khi U (R) + U (R) = ∆(R)) Chứng minh Giả sử R ∆U -vành, lấy u, v ∈ U (R), ta có + u ∈ ∆(R) − v ∈ ∆(R), u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R) hay U (R) + U (R) ⊆ ∆(R) Ngược lại, giả sử U (R) + U (R) ⊆ ∆(R), suy U (R) + U (R) = ∆(R) (vì ∆(R) ⊂ U (R) + U (R)) hay + ∆(R) = U (R) Vậy R ∆U -vành Mệnh đề sau trình bày số tính chất ∆U -vành 42 Mệnh đề 32 Cho R ∆U -vành Khi (1) ∈ ∆(R); (2) Nếu R thể, R ∼ = F2 ; (3) Nếu x2 ∈ ∆(R) x ∈ ∆(R) (do N (R) ⊆ ∆(R)); (4) R hữu hạn Dedekind; (5) Cho I ⊆ J(R) iđêan R Khi R ∆U -vành R/I ∆U -vành; Y Ri ∆U vành Ri ∆U , với i ∈ I (6) Vành i∈I (7) Nếu T vành R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T , T ∆U -vành Cụ thể áp dụng cho Z = Z(R) tâm R Chứng minh (1) Từ Mệnh đề 30 ta dễ dàng suy ∈ ∆(R) (2) Nếu R thể ∆(R) = Vì R U J -vành nên ta suy R∼ = F2 (3) Giả sử x2 ∈ ∆(R) Khi (1+x)(1−x) = (1−x)(1+x) = 1−x2 ∈ U (R) tức 1+x ∈ U (R) Vì R ∆U -vành nên 1+x ∈ 1+∆(R), x ∈ ∆(R) (4) Giả sử a, b ∈ R với ab = Khi phần tử − ba lũy đẳng R, [b(1 − ba)]2 = = [(1 − ba)a]2 ∈ ∆(R) Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy − ba = (1 − ba)2 = [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆(R) Từ đó, ba ∈ U (R) ba = (5) Nếu I ⊆ J(R) iđêan, ∆(R/I) = ∆(R)/I theo Mệnh đề ?? Giả sử R ∆U -vành Khi đó, u + I ∈ U (R/I), ta có u ∈ U (R) u ∈ + ∆(R) Suy u + I ∈ + ∆(R)/I = + ∆(R/I) Do R/I ∆U -vành Ngược lại, giả sử R/I ∆U -vành Lấy u ∈ U (R) tùy ý Khi u + I ∈ + ∆(R)/I Ta kiểm tra u ∈ + ∆(R) Do đó, R ∆U -vành (6) Hiển nhiên 43 (7) Từ giả thiết U (T ) = U (R) ∩ T suy ∆(R) ∩ T ⊆ ∆(T ) Bây U (R) = + ∆(R) cho + ∆(T ) ⊆ U (T ) = U (R) ∩ T = (1 + ∆(R)) ∩ T = + (∆(R) ∩ T ) ⊆ + ∆(T ) suy + ∆(T ) ⊆ U (T ) hay T ∆U -vành Định lý 12 Vành ma trận Mn (R) ∆U -vành n = R ∆U -vành Chứng minh (⇐:) Hiển nhiên (:⇒) Giả sử Mn (R) ∆U -vành n > Đầu tiên ta chứng minh R thể, tức phần  tử khác không  khả nghịch Lấy bất 0 − a     0 0    kỳ a ∈ R, a = ̸ 0, ta có X =      ∈ Mn (R) X =    0 Do M n (R) ∆U -vành,ta lấy X ∈ ∆(Mn (R)) Lấy phần  tử khả nghịch  0 1 0 0 0  0           0  0 U =  ∈ Mn (R) Khi In −U X =               0 0 0 a khả nghịch Mn (R), hay a ∈ U (R) Do đó, R thể ∼ Tiếp  minh R = F2 Lấy a ∈ R, a ̸= a ̸= Lấy  theo, ta chứng a 0 0 a 0      0 X=  ∈ Mn (R) Khi X khả nghịch Vì Mn (R)       0 a 44   1−a 0  − a        ∆U -vành nên ta có In − X =   ∈ ∆(Mn (R))       0 − a Vì − a khả nghịch nên In − X khả nghịch, mâu thuẫn Do R∼ = F2     1 X1 Cuối cùng, ta n = Lấy X1 = X = ∈ 0 In−2 Mn (R) Khi X khả nghịch Mn (R) Bởi giả thuyết,  ta có X2 In − X ∈ ∆(Mn (R)) Mặt khác, ta có In − X = In−2   X2 = Suy In − X khả nghịch, mâu thuẫn Do đó, n = 1 R ∼ = M1 (R) ∆U -vành Mệnh đề 33 Giả sử R ∆U -vành e phần tử lũy đẳng R Khi eRe ∆U -vành Chứng minh Lấy u ∈ U (eRe) Khi u + − e ∈ U (R) Vì R ∆U -vành nên ta có u − e ∈ ∆(R) Ta chứng minh u − e ∈ ∆(eRe) Lấy tùy ý v khả nghịch eRe Rõ ràng v + − e ∈ U (R) Vì u − e ∈ ∆(R) nên u−e+v+1−e ∈ U (R) theo định nghĩa ∆, đặt u−e+v+1−e = t ∈ U (R) Ta kiểm tra et = te = ete = u − e + v , ete ∈ U (eRe) Suy u − e + U (eRe) ⊆ U (eRe), u − e ∈ ∆(eRe) Vì vậy, u ∈ e + ∆(eRe) hay eRe ∆U -vành Cho R vành M song môđun vành R Một mở rộng tầm thường R M T (R, M ) = {(r, m) : r ∈ R m ∈ M }, với phép cộng theo thành phần phép nhân định nghĩa (r, m)(s, n) = (rs, rn + ms) 45  r m r  : r ∈ R m ∈ M Mở rộng tầm thường T (R, M ) đẳng cấu với vành   R M vành ma trận × Hơn nữa, kiểm tra R T (R, R) ∼ = R[x]/(x2 ) Theo Mệnh đề 29, có tập phần tử khả nghịch mở rộng tầm thường T (R, M ) T (U (R), M ), ∆(T (R, M )) = T (∆(R), M )   Morita context gồm thành phần A M N B A, B vành, B NA song mơđun, tồn tích context M ×N → A  A M N × M → B với (ω, z) = ωz (z, ω) = zω , thỏa mãn vành A MB N B kết hợp với phép  toán trên ma trận A M Morita context gọi tầm thường tích context N B tầm thường, nghĩa M N = N M = (xem [?], trang 1993) Ta có   A M N B A M N B  ∼ = T (A × B, M ⊕ N )  Morita context tầm thường theo [?] Định lý 13 Cho M (R, R) song môđun Vành R ∆U -vành T (R, M ) ∆U -vành   u m Chứng minh (:⇒) Lấy u¯ = ∈ U (T (R, M )) = T (U (R), M ), u u ∈ U (R) m ∈ M Ta u¯ − ∈ ∆(T (R, M )) Rõ ràng, u ∈ U (R) u = + a ∈ + ∆(R) với a thuộc ∆(R) Suy  a ¯= 0   + a m a  ∈ T (∆(R), M ) = ∆(T (R, M )) Vì T (R, M ) ∆U -vành (⇐:) Điều ngược lại dễ thấy  46 Hệ 10 Giả sử  M là(R, S) song mơđun Khi vành ma trận R M tam giác dạng ∆U -vành R S S ∆U -vành Hệ 11 R ∆U -vành vành ma trận tam giác Tn (R) ∆U -vành, n ≥ 11 Không gian hàm liên tục C0 (Ω) Định nghĩa (i) Cho tập A ⊂ Rn , C0 (A) := {f : A → R, f liên tục x ∈ A} (ii) Cho K ⊂ Rn tập compact cho f ∈ C0 (K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ số thực không âm xác định ∥f ∥∞ = ∥f ∥∞,K = sup |f (x)| x∈K ∥.∥∞ gọi chuẩn (hay chuẩn vô cùng) Định lý 14 Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn Khi (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) khơng gian Banach vơ hạn chiều Chứng minh Ta giới hạn n = Ω = (a, b) ta phải chứng minh (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian định chuẩn vô hạn chiều R Ta chứng minh khơng gian Banach Nghĩa phải dãy Cauchy (fh )h ⊂ (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) hội tụ (tại phần tử thuộc không gian) Giả sử (fh )h dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho ∥fh − fk ∥∞ = sup |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k x∈Ω Điều có nghĩa ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k, ∀x ∈ Ω (20) Từ (1), (fh (x))h ⊂ R dãy Cauchy Do dó: ∃f (x) := lim fh (x), h→∞ ∀x ∈ Ω (21) 47 Từ (2), lấy qua giới hạn (1), cho k → ∞ ta ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − f (x)| ≤ ϵ ∀h ≥ k, x ∈ Ω, theo định nghĩa fh → f Ω Do dó f ∈ C0 (Ω) Tính compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Bây tìm hiểu đặc trưng tập compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Đầu tiên ta nhớ lại số khái niệm kết quan trọng liên quan đến chủ đề compact không gian metric Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric ký hiệu B(x, r) hình cầu mở X , tâm x bán kính r > với x ∈ X (i) Điểm x0 ∈ X gọi điểm giới hạn tập A ⊂ X A ∩ (B(x0 , r)\{x0 }) ̸= ∅, ∀r > (ii) Tập A ⊂ X gọi bị chặn tồn R0 > cho d(x, y) ≤ R0 với x, y ∈ A (iii) Tập A ∩ X gọi bị chặn hoàn toàn với ϵ > 0, A phủ họ hữu hạn hình cầu B(x1 , ϵ), B(x2 , ϵ), , B(xN , ϵ), nghĩa A ⊂ ∪N i=1 B(xi , ϵ) (iv) Họ A ⊂ X gọi compact dãy dãy A có dãy hội tụ điểm thuộc A (v) Tập A ⊂ X gọi có tính chất Bolzano-Weierstrass (BW) tập vơ hạn A có điểm giới hạn thuộc A Nhận xét Dễ thấy tập bị chặn hoàn toàn tập bị chặn, điều ngược lại không không gian topo (X, τ ) tập hợp compact tập hợp compact dãy có tính chất (BW) Các tính chất khơng cịn giữ trường hợp tổng quát Định lý 15 (Các tiên đề chuẩn tập compact không gian metric) Nếu A tập khơng gian metric (X, d), ta có điều sau tương đương: 48 (i) A compact; (ii) A compact dãy; (iii) (A, d) đầy đủ bị chặn hồn tồn; (iv) A có tính chất BW Nhận xét Nếu (X, d) đầy đủ, A ⊆ X đóng (A, d) đầy đủ Hệ 12 Cho A ⊂ Rn Khi đó: A compact ⇔ A đóng bị chặn Định lý 16 (Riesz) Cho (E, ∥.∥) không gian định chuẩn ta ký hiệu BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} Khi BE compact dimR E < ∞ Nhận xét Định lý cho tập A bị chặn không gian định chuẩn vô hạn chiều (E, ∥.∥) khơng thiết phải bị chặn hồn tồn Ví dụ A = BE Định nghĩa Cho A ⊂ Rn Một họ tập F ⊂ C0 (A) gọi tựa liên tục với ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho f ∈ F, |f (x) − f (y)| < ϵ với x, y ∈ A thỏa |x − y| < δ Ta thêm tiên đề chuẩn tập compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) K ⊂ Rn compact Định lý 17 (Arzelà - Ascoli) Cho K ⊂ Rn compact giả sử F ⊂ C0 (K) Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) F là: (i) đóng (C0 (K), ∥.∥∞ ); (ii) bị chặn (C0 (K), ∥.∥∞ ); (iii) liên tục Hệ 13 Cho K ⊂ Rn compact cho F ⊂ C0 (K) Giả sử F bị chặn liên tục Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) Cụ thể hệ cho ta kết đặc biệt sau 49 Hệ 14 Cho fh : [a, b] → R, (h = 1, 2, ) dãy hàm liên tục Giả sử rằng: (i) ∃M > cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h (ii) (fh )h liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho |fh (x) − fh (y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h Khi ta có dãy (fhk )k hàm f ∈ C0 ([a, b]) thỏa mãn fhk → f [a, b] Định lý 18 Giả sử M > số cho trước F = {f ∈ C1 ([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M } Khi F tập compact tương đối (C0 ([a, b]), ∥.∥∞ ); Chứng minh định lý Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) (iii) ta F compact Theo tính chất tập compact định lý ta F compact dãy Vì dãy (fh )h ∈ F có dãy (fhk )k hội tụ hàm f ∈ F , nghĩa là, ∥fhk − f ∥∞ → k → ∞ Nhớ K compact tách Giả sử D := {xi : i ∈ N} đếm trù mật K F bị chặn nghĩa tồn M1 > thỏa mãn ∥f − g∥∞ ≤ M1 , ∀f, g ∈ F Cụ thể ta thay f0 ∈ F , đó: ∥f0 − fh ∥∞ ≤ M1 , ∀h ∈ N Hơn ∥fh ∥∞ = ∥(fh − f0 ) + f0 ∥∞ ≤ ∥fh − f0 ∥∞ + ∥f0 ∥∞ ≤ M1 + ∥f0 ∥∞ := M2 Do ta có số M2 > thỏa mãn |fh (x)| ≤ M2 , ∀x ∈ K, ∀h Bây ta xây dựng dãy hội tụ theo trình chéo Cantor 50 Bước 1: (fh (x1 ))h dãy số thực [−M2 , M2 ] Suy dãy có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ R; Bước 2: Xét dãy (fh(1) (x2 ))h ⊂ [−M2 , M2 ] Do dãy (fh(2) (x2 ))h hội tụ Chú ý dãy (fh(2) (x1 ))h hội tụ có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ Tiếp tục trình ta Bước k: Một dãy (fh(k) )h (fh(k−1) )h thỏa mãn (fhk (xj ))h hội tụ với j = 1, k Ta có tình sau đây: Định nghĩa: gk := fkk : K → R Lưu ý rằng, i = 1, 2, , dãy (gk )k≥i dãy (fki )k≥i Cụ thể, dãy (gk )k dãy (fh )h theo cách xây dựng ∀x ∈ D (22) (gk )k hội tụ (C0 (K), ∥.∥∞ ) (23) (gk (x))k hội tụ R Tiếp tục trình ta Sử dụng giả thiết F liên tục đều, tức ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > : x, y ∈ K |x−y| < δ ⇒ |f (x)−f (y)| < ϵ, ∀f ∈ F (24) Với ϵ > thay đổi tùy ý, δ thay đổi Bởi K bị chặn hồn tồn, σ > có họ hữu hạn hình cầu B(x1 , σ), , B(xN , σ) Rn thỏa mãn N = N (σ), xi ∈ K với i = 1, , N K⊂ n [ B(xi , σ) i=1 Do tính trù mật D K , tồn yi ∈ D ∩ B(xi , σ) với i = 1, , N Cụ thể n \ K⊂ B(yi , 2σ) i=1 51 Vì ta chọn σ = δ/2 Khi tồn N = N (σ) = N (δ) = N (ϵ) D′ := {y1 , , yn } ⊂ D thỏa mãn K⊂ N [ (25) B(yi , δ) i=1 Từ (3) dãy (gk (y1 ))k , , (gk (yN ))k , ¯ hội tụ, có số nguyên k¯ = k(ϵ) với |gk (yi ) − gr (yi )|, ϵ ¯ ∀i = 1, , N ∀k, r > k, Theo (6) (5) ∀x ∈ K, ∃yi ∈ D′ thỏa |x − yi | < δ ⇒ |gk (x) − gk (yi )| < ϵ, ∀k ∈ N Từ ta có |gk (x)−gr (x)| ≤ |gk (x)−gk (yi )|+|gk (yi )−gr (yi )|+|gr (yi )−gr (x)| ≤ ϵ+ϵ+ϵ = 3ϵ ∀x ∈ K ¯ với k, r ≥ k¯ Điều có nghĩa ϵ > tồn k¯ = k(ϵ) thỏa ∥gk − gr ∥∞ ≤ 3ϵ ¯ ∀k, r > k Nghĩa (gk )k dãy Cauchy (C0 (K), ∥.∥∞ ) Từ (C0 (K), ∥.∥∞ ) đầy đủ F đóng, suy tồn f ∈ F thỏa mãn lim ∥gk − f ∥∞ = k→∞ Từ (gk )k dãy dãy (fh )h , phải F compact dãy Sự cần thiết: Cần rằng, F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) ta có (i), (ii) (iii) Giả sử F compact không gian metric (C0 (K), ∥.∥∞ ), đó, theo tính chất tập compact khơng gian metric, F đóng bị chặn hồn tồn bị chặn Chỉ F liên tục đều, nghĩa ta phải chứng minh (5) Theo phản chứng, giả sử ∃ϵ0 > : ∀ > 0, ∃fδ ∈ F, xδ , yδ ∈ K với |xδ −yδ | < δ |fδ (xδ )−fδ (yδ )| ≥ ϵ0 Chọn δ = 1/h ký hiệu fh := f1/h , xh := x1/h yh := y1/h Khi ta xây dựng ba dãy (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K |xh − yh | < 1/h, |fh (xh ) − f (yh )| ≥ ϵ > 0, ∀h (26)