Lặp picacrd cho hàm tăng mạnh và lipsit giả co mạnh trong không gian banach tùy ý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH TÙY Ý LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trong nhiều thập kỉ qua, lí thuyết tốn tử đơn điệu nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác có ảnh hưởng định đến ngành khác toán học, chẳng hạn phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, lí thuyết xác suất, lí thuyết tối ưu lĩnh vực khác khoa học kinh tế, kỹ thuật, khoa học quản lí khoa học ứng dụng khác Việc tìm hiểu lí thuyết tốn tử đơn điệu có nhiều điều thú vị, xét ý nghĩa khoa học thực tiễn 448 2 Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm aben với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép tốn nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz, với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử khơng) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= Định nghĩa Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép tốn A) Định nghĩa Iđêan trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa iđêan trái, vừa iđêan phải gọi iđêan vành R Cho I iđêan vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I, với x, y ∈ R Định nghĩa Tập thương R/I với hai phép toán xác định lập thành vành gọi vành thương R theo I Định nghĩa Cho R vành có đơn vị 1R Một R-môđun phải M bao gồm (M, +) nhóm aben tốn tử · : M × R → M thỏa mãn (1) (x + y) · r = x · r + y · r, (2) x · (r + s) = x · r + x · s, (3) (xr) · s = x · (rs), (4) x · 1R = x, r, s ∈ R x, y phần tử tùy ý M Lúc R gọi vành sở, M R-môđun phải ta thường ký hiệu MR Tương tự ta đinh nghĩa R-môđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S -bên trái (ký hiệu S MR ) a) M R-môđun phải M S -mơđun trái b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ) Định nghĩa Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân hạn chế A Định nghĩa (1) Môđun MR gọi đơn M ̸= với A ≤ M A = A = M , nghĩa M ̸= M có hai mơđun M (2) Vành R gọi đơn R ̸= với A ≤R RR A = A = 0, nghĩa R ̸= R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A ̸= với B ≤ M thỏa mãn B < A B = (4) Tương tự, môđun A ≤ M gọi môđun cực đại A ̸= M với B ≤ M thỏa mãn B > A B = M Bổ đề MR đơn M ̸= ∀m ∈ M, m ̸= M = mR Cho MR N ≤ MR Vì N nhóm nhóm cộng aben M nên nhóm thương M/N nhóm aben (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử M/N lớp ghép x + N N M phép toán cộng (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta cần xây dựng phép nhân môđun để M/N trở thành môđun phải Định lý Cho MR N ≤ M (i) Quy tắc M/N × R → M/N cho (m + N, r) → (m + N )r = mr + N phép nhân mơđun (ii) Nhóm aben M/N với phép tốn nhân mơđun trở thành R-mơđun phải Định nghĩa M/N xác định Định lý 44 gọi môđun thương môđun M mơđun N Nhóm đối xứng Trong mục chúng tơi tính tốn độ giao hốn tương đối nhóm thay phiên An nhóm đối xứng Sn Định nghĩa Cho n số nguyên dương Một phân hoạch n dãy không tăng số nguyên dương (k1 , k2 , , ks ) cho k1 + k2 + · · · + ks = n Từ Mệnh đề 21 ta có kết sau Mệnh đề Với n ⩾ Pr(An , Sn ) = 2c(n) n! c(n) số lớp liên hợp Sn nằm An Để tính c(n) ta cần kết sau Mệnh đề Cho n số nguyên, n ⩾ 2, (k1 , k2 , , ks ) phân hoạch n Giả sử π ∈ Sn có kiểu (k1 , k2 , , ks ) Khi π ∈ An s + k X i=1 ki số chẵn Chứng minh Vì phép π có kiểu (k1 , k2 , , ks ) cho nên, theo Mệnh đề 44, ta có s P (ki +1) sign(π) = (−1)i=1 s+ = (−1) s P i=1 ki Từ suy điều phải chứng minh Trong ví dụ sau chúng tơi tính tốn giá trị Pr(An , Sn ) với ⩽ n ⩽ cách áp dụng Mệnh đề 46 Với n ⩾ 2, ta liệt kê tất phân hoạch n ứng với kiểu phép An Từ ta đếm c(n) tính Pr(An , Sn ) Ví dụ (i) Với n = ta có phân hoạch (1, 1) Do c(2) = Cho nên Pr(A2 , S2 ) = 2c(2) = 2! (ii) Với n = ta có phân hoạch (3), (1, 1, 1) Do c(3) = Cho nên Pr(A3 , S3 ) = 2c(3) = 3! (iii) Với n = ta có phân hoạch (3, 1), (2, 2), (1, 1, 1, 1) Do c(4) = Cho nên Pr(A4 , S4 ) = 2c(4) = 4! (iv) Với n = ta có phân hoạch (5), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 1, 1, 1, 1) Do c(5) = Cho nên Pr(A5 , S5 ) = 2c(5) = 5! 15 (v) Với n = ta có phân hoạch (5, 1), (4, 2), (3, 3), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1) Do c(6) = Cho nên Pr(A6 , S6 ) = 2c(6) = 6! 60 (vi) Với n = ta có phân hoạch (7), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2), (3, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Do c(7) = Cho nên Pr(A7 , S7 ) = 2c(7) = 7! 315 Mở rộng toán tử ∆ cho vành khơng có đơn vị Bây ta thay đổi định nghĩa ∆ để làm việc vành không chứa đơn vị Cụ thể, xét tập ∆◦ (R) = {r ∈ R|r + U◦ (R) ⊆ U◦ (R)} Khi R vành có đơn vị ∆◦ (R) = ∆(R) Với vành R bất kỳ, không thiết phải có đơn vị Ta ký hiệu R1 vành bao gồm R đơn vị Z Khi đó, U◦ (Z) = Ta dễ dàng kiểm tra bổ đề sau Bổ đề Cho R vành, khơng thiết phải có đơn vị, ta có ∆◦ (R) = ∆◦ (R1 ) = ∆(R1 ) Bổ đề rằng, ta mở rộng định nghĩa ∆ cho tất vành, không thiết phải có đơn vị khẳng định Định lý 52 tương đương với vành tùy ý Hơn nữa, điều kiện tương đương đúng, ∆(∆(R)) = ∆(R) Ta biết kết cổ điển Jacobsson J(R) vành J(eRe) = eJ(R)e, với e lũy đẳng R Ta dấu khơng cịn trường hợp tổng qt ∆(R) Tuy nhiên quan hệ bao hàm e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) giữ với giả thiết e∆(R)e ⊆ ∆(R) Trong Hệ 11 ta thêm vào giả thiết ∈ U (R) Cho R vành có đơn vị Phần tử a ∈ R gọi quy (tương ứng, quy đơn vị) R a = aua với u ∈ R (tương ứng, u ∈ U (R)) Nếu phần tử vành R quy (tương ứng, quy đơn vị) R gọi vành quy (tương ứng, vành quy đơn vị) Mệnh đề Cho R vành bất kỳ, ta có (1) Cho e2 = e thỏa mãn e∆(R)e ⊆ ∆(R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) (2) ∆(R) khơng chứa phần tử lũy đẳng khác không (3) ∆(R) không chứa phần tử quy đơn vị khác khơng Chứng minh (1) Nếu y ∈ U (eRe), y1 = y + (1 − e) ∈ U (R) thỏa mãn y = ey1 e Ta lấy r ∈ e∆(R)e ⊆ ∆(R) ta phần tử khả nghịch y ∈ U (eRe) ta có e − yr ∈ U (eRe) Như trên, lấy y1 = y+1−e ∈ U (R) Từ r ∈ e∆(R)e ⊆ ∆(R), ta 1−y1 r ∈ U (R) Do tồn phần tử b ∈ R thỏa mãn b(1 − y1 r) = e = eb(1 − y1 r)e = eb(e − y1 re)e = eb(e − (y + − e)re) = eb(e − yre) + eb(1 − e)re = ebe(e − yre), dấu cuối r ∈ eRe Điều cho thấy e − yre = e − yr phần tử khả nghịch trái eRe Từ − y1 r ∈ U (R) ta có (1 − y1 r)b = = (1 − (y + − e)r)b = (1 − yr)b Nhân hai vế với e ta e = e(1 − yr)be = (e − yr)be = (e − yr)ebe Điều có nghĩa ebe phần tử khả nghịch phải trái e − yr (2) Nếu e2 = e ∈ ∆(R), − e = e + (1 − 2e) ∈ U (R), − 2e khả nghịch, e = (3) Nếu a ∈ ∆(R) phần tử quy đơn vị, tồn phần tử khả nghịch u ∈ U (R) thỏa mãn au lũy đẳng Theo điều kiện (2) ta suy a phải không Hệ Cho R vành quy đơn vị, ∆(R) = Hệ Giả sử ∈ U (R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) với e phần tử lũy đẳng R Dưới số ví dụ mà ∆(R) ̸= J(R) Ví dụ (1) Ở Định lý 52, ta nhận thấy A vành vành R thỏa mãn U (R) = U (A), J(A) ⊆ ∆(R) Cụ thể chọn A miền giao hoán với J(A) ̸= R = A[x], ta = J(R) ⊂ J(A) ⊆ ∆(R) (xem [?], Bài tập 4.24) (2) ([?], Ví dụ 2.5) Cho R = F2 < x, y > / < x2 > Khi J(R) = U (R) = + F2 x + xRx Cụ thể, F2 x + xRx chứa ∆(R) J(R) = (3) Cho S vành tùy ý thỏa mãn J(S) = ∆(S) ̸= cho R = M2 (S) Khi đó, theo Định lý 30 (1), ∆(R) = J(R) = 0, đó, e = e11 ∈ R, e∆(R)e = eJ(R)e = J(eRe) = ∆(eRe) ≃ ∆(S) ̸= Điều quan hệ bao hàm e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) Mệnh đề 16 nghiêm ngặt trường hợp tổng quát (4) Cho A miền giao hoán với J(A) ̸= S = A[x] Khi đó, theo (1), ̸= J(A) ⊆ ∆(S) rõ ràng J(S) = R = M2 (S), A miền giao hốn địa phương Theo Định lý 30, ∆(R) = J(R) = Lưu ý, tâm Z = Z(R) R = M2 (S) đẳng cấu với S U (Z) = U (R) ∩ Z Do đó, = ∆(R) ∩ Z ⊆ ∆(Z) ≃ J(A) ̸= Do đó, quan hệ bao hàm Hệ 15 nghiêm ngặt J(R) = = J(Z(R)) Một vành R gọi 2-nguyên thủy tập phần tử lũy linh N (R) trùng với nguyên tố B(R), tức R/B(R) vành rút gọn Mệnh đề Giả sử R vành 2-nguyên thủy Khi ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) Chứng minh Trước tiên ta giả sử R vành rút gọn Khi theo Hệ ?? ta có U (R[x]) = U (R) Do đó, theo định nghĩa ∆(R[x]), ta có ∆(R) ⊆ ∆(R[x]) Lấy a + a0 ∈ ∆(R[x]) a ∈ R[x]x a0 ∈ R Khi đó, u ∈ U (R), a + a0 + u ∈ U (R) Ta có a0 + u ∈ U (R) a = ∆(R) = ∆(R[x]) Bây ta giả sử R vành 2-nguyên thủy Rõ ràng B(R[x]) = B(R)[x] ⊆ J(R[x]) R vành 2-nguyên thủy R/B(R) vành rút gọn J(R[x]) = B(R[x]) = B(R)[x] Áp dụng phần đầu chứng minh cho X X X χEh ϕ(χEh ) = ϕ(χE ) − ϕ ν(Eh ) = ϕ(χE ) − ν(E) −