M ỤC LỤC
1.2.2. đo phi compact
1.2.2.1. Định nghĩa
Cho không gian Banach (X,‖.‖) và ℒ là họ tất cả các tập con bị chặn của X. Khi đó độ đo phi compact (độ đo Kuratowski) α:ℒ → ℝxác định như sau
α(B) = inf�d > 0:𝐵 ⊂ �Mi
m i=1
, diamMi ≤d�
trong đó diamMi là đường kính của tập Mi xác định như sau
diamMi = sup{‖x−y‖: x, y ∈Mi}
1.2.2.2. Tính chất
Cho α:ℒ → ℝ như trong định nghĩa. Khi đó ∀ B, B1, B2 ∈ ℒ ta có: i) α(B) = 0 ⟺ �α�KB� là tập compact�
1(0)� ≤ 2
Trong đó K�1(0): hình cầu đơn vị đóng.
ii) α là nửa chuẩn, tức là
� α(λB) = |λ|α(B) α(B1+ B2) ≤ α(B1) +α(B2) iii) �B1 ⊂B2 ⟹ α(B1) ≤ α(B2) α(B1∪B2) = max{α(B1),α(B2)} iv) α(B) = α(B�) v) α(convB) = α(B) 1.2.2.3. Mệnh đề
Cho không gian Banach X và {An}n là dãy các tập con đóng của X thỏa
A1 ⊃A2 ⊃ ⋯và α(An)→ 0 khi n→ ∞. Khi đó
A =�An n≥1
≠ ∅ và A compact
Chứng minh
Chọn xn ∈ An với mỗi n ≥1. Vì {An}n là dãy giảm, ta có
α({xn: n≥1}) = α({xn: n ≥k})≤ α(Ak)⟶0 khi k → ∞
Do đó α({xn: n≥1}) là compact tương đối, vì vậy không mất tính tổng quát, ta cho xn → x, x ∈X. Vì Ak đóng, nên x∈ Ak với mọi k, và vì vậy x ∈A.
Cuối cùng α(A)≤ α(Ak)→ 0 khi k → ∞ nên A� compact. Mặt khác
A =�An
n≥1
, {An}n là dãy các tập con đóng của X ⟹A đóng
Suy ra A� = A. Vậy A compact.
Mệnh đề 1.2.2.3.đã được chứng minh xong.
1.2.2.4. Ánh xạ 𝐤- cô đặc
Cho không gian Banach X, K ⊂X. Ánh xạ liên tục T: K →K được gọi là k- cô đặc nếu tồn tại k ∈[0,1) sao cho α�T(B)� ≤kα(B), với mọi B⊂K, B bị chặn.
1.2.2.5. Định lí điểm bất động của ánh xạ 𝐤- cô đặc
Cho không gian Banach X, K ⊂X lồi, đóng và bị chặn. Ánh xạ T: K → K là
k- cô đặc thì Tcó điểm bất động.
Chứng minh
Đặt A1 = conv T(K)������������� và An = conv T(A�����������������n−1) với mọi n≥2
Dễ thấy {An}n là dãy các tập con lồi đóng của X. Vì vậy
C =�An
n≥1
là tập lồi đóng. Vì
α(An) = α�conv T(A������������������ n−1) =α�conv T(An−1)� (do iv)
=α�T(An−1)� (do v) ≤kα(An−1)≤ ⋯ ≤ knα(K) → 0 khi k→ ∞
Theo Mệnh đề 1.2.2.3., C compact. Hơn nữa T: C→ C liên tục
Theo định lí SchauderTcó điểm bất động x ∈ C⊂K.
Định lí 1.2.2.5. đã được chứng minh xong.