MỘT SỐ ỨNG DỤNG
5.2.2. Định nghĩa.
Ta viết u∈C I2( ,A( )Ω ) nếu u∈C2(I E, λ)với λ>0tuỳ ý.
5.2.3. Định lý.
Giả sử các giả thiết (H1),(H2) thoả mãn và u u0, 1∈ A( )Ω . Khi đĩ, tồn tại T'≤T sao cho bài tốn Cauchy cho phương trình Kirchhoff mở rộng (5.4)-(5.5) cĩ một nghiệm u∈C2( 0, ' ,[ T ] A( )Ω )
Chứng minh.
Xét thang (Eλ, .λ),λ∈( , )a b , trong đĩ Eλ được định nghĩa trong mục 3.1 và b<c được chọn sao cho u u0, 1∈Eb. Bài tốn Cauchy (5.4)-(5.5) cĩ dạng (3.11)-(3.12) với tốn tử B được định nghĩa ở bổ đề 2 và
( , )= Δ.
A u v u v. Do bổ đề 1,2 thoả các giả thiết của định lý 3.2 nên bài tốn (5.4)-(5.5) cĩ một nghiêïm.
Từ đánh giá min , 4 λ = ⎧ −λ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ b T T
MLe cho sự tồn tại nghiệm trong định lý 2, ta cĩ các kết luận sau
1) Nếu hàm f đủ nhỏ (tức là nếu số K trong giả thiết (H2 nhỏ) thì
λ =
T T bởi vì hằng số L nhỏ. Do đĩ, phương trình Kirchhoff (5.4)- (5.5) cĩ một nghiệm tổng quát.
2) Nếu f t x u( , , )=εg t x u( , , ) và g thoả (H2) với ( , , )t x u ∈ +× Ω× +
thì L=o( )ε . Do đĩ, với sự tồn tại T' trong định lý 3, ta thu được đánh giá 1 2 1 ' ε ⎛ ⎞ ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ T m .
KẾT LUẬN
Nhu cầu của khoa học ngày càng cao, địi hỏi người nghiên cứu Tốn học nĩi chung và Phương trình Vi phân nĩi riêng, khơng ngừng tìm tịi những kết quả mới để kịp thời đưa vào ứng dụng nhằm đáp ứng nhu cầu ấy. Qua đĩ, người ta khai thác được cái hay, cái đa dạng của Phương trình Vi phân.
Chúng tơi thiết nghĩ, quyển luận văn nhỏ này chưa phải là bảng tĩm tắt hồn hảo để độc giả thấy hết được cái hay cái đa dạng nĩi trên. Song, nĩ cũng phần nào chỉ ra được sự đa dạng riêng cho bài tốn Cauchy cấp hai trong thang các khơng gian Banach. Nĩ giúp bản thân tơi cảm nhận được hiệu quả của mỗi phương pháp nghiên cứu dùng cho mỗi lớp Phương trình Vi phân, mỗi điều kiện khác nhau của bài tốn khi khảo sát sự tồn tại và đánh giá nghiệm của nĩ.
Chắc rằng sự đa dạng của bài tốn Cauchy cấp hai khơng dừng lại tại đây. Mệnh đề ở chương 4, cĩ khả năng thay đổi một ít ở giả thiết và được cách chứng gọn hơn giá như định lý 3.1 vẫn cịn đúng khi thay
[ ]
{ }
=sup ( ) :b ∈ 0,
c u t t T bởi c=∫0tu( )τ bdτ .
Hy vọng rằng bản thân cĩ đủ điều kiện cả khách quan lẫn chủ quan, những ý nghỉ này được triển khai và tìm đến một vài kết quả khác cho bài tốn Cauchy cấp hai.
Bước đầu làm quen cơng việc nghiên cứu trong thời gian cĩ hạn, kiến thức bản thân cĩn nhiều bất cập, chắc nội dung luận văn khơng tránh khỏi sai sĩt. Rất mong được quý thầy cơ, đồng nghiệp chỉ bảo và lượng thứ.