Tiêu chuẩn 2.1.2. (Kitai - Gethner - Shapiro, xem ([9]) )
Cho X1,X2 là các tập con trù mật của không gian Banach tách được X và một toán tử tuyến tínhS (có thể không liên tục) trên X2 thỏa mãn:
(i)Tnx→0với mọix∈X1, (ii)Snx→0với mọix∈X2, (iii) T Slà đồng nhất trênX2. Khi đóT là hypercyclic (Xem[9]).
Dễ chỉ ra tính hypercyclic kéo theo tính bắc cầu. Đảo lại, ta chứng minh tính bắc cầu kéo theo tính hypercyclic. Thật vậy, gọi HC(T) là tập hợp các véctơ hypercyclic tương ứng vớiT. Khi đó
HC(T) = \ y∈Y \ k∈N [ n∈N x∈X :kTnx−yk< 1 k , (2.1.1)
vớiY là tập con trù mật đếm được củaX (xem [14] Ch.7). KhiT là bắc cầu, hợp đếm được trù mật trong(2.1.1)là tập con mở trù mật củaX. Theo định lý Baire HC(T)khác rỗng. Do đóT là chaotic nếu và chỉ nếuT là hypercyclic trênX và Per(T) là trù mật trongX.
Tổng quát, ta chưa thể biết γT là chaotic trên X với γ ∈C, ngay cả khi T là chaotic trên X. Trong [2] tác giả đã chỉ ra, T là hypercyclic trên X nếu và chỉ nếuTn là hypercyclic với mỗin>1. TừPer(Tn) =Per(T), T là chaotic nếu và
chỉ nếuTncũng là chaotic. Do đó nếu T là chaotic thìωnT cũng là chaotic, với ωn là căn bậcncủa 1.
Nếu T cố định điều kiện của tiêu chuẩn hypercyclic,eiθT cũng cố định điều kiện đó với mọi eiθ ∈∂D. Tuy nhiên nếu eiθ là phép quay vô tỷ thì không thể khẳng địnhPer(eiθT) trù mật hay không trù mật.
Xét sự tác động của |γ| với γT cũng là chaotic. Tính hypercyclic đòi hỏi chuẩn của toán tử lớn hơn1. Thực vậy, mọi quỹ đạo của toán tử có chuẩn không lớn hơn1chứa bởi hình cầu đóng, có tâm tại0, bán kính là chuẩn của điểm khởi đầu. Do vậy ta giả thiết |γ|> kTk−1. Tương tự nếul = inf{kT xk:kxk =1} , thì ta giả thiết|γ|<l−1. NếuT là khả nghịch, ta có thể giả thiết|γ|<T−1, dễ chứng minhT là hypercyclic khi và chỉ khiT−1 là hypercyclic. Áp dụng trường hợp này, nếu|γ|<T−1thì γ−1T−1 không là hypercyclic và do vậyγT cũng không là hypercyclic.
Mục đích chính của chương là nghiên cứu sự mở rộng vô hướng các toán tử hợp thành là chaotic trên không gian HardyH2(D).