Về phổ của toán tử tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN HƯNG VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN HƯNG VỀ PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phan Viết Thư Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương Các khái niệm sở giải tích hàm 1.1 Các không gian vectơ họ tôpô 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các không gian không gian thương 12 1.1.3 Các tính chất không gian Hillbert 14 1.2 Toán tử tuyến tính phiếm hàm 20 1.2.1 Định lý Hahn - Banach 21 1.2.2 Tính đối ngẫu 22 1.3 Các định lý 27 1.3.1 Định lý ánh xạ mở 27 1.3.2 Nguyên lý bị chặn 29 1.3.3 Định lý miền giá trị đóng 31 ∗ 1.4 Tôpô yếu tôpô yếu 32 1.4.1 Tôpô yếu 32 ∗ 1.4.2 Tôpô yếu 35 Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng 39 2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt 39 2.2 Toán tử compact 41 2.3 Định lý phổ toán tử compact tự liên hợp 44 2.4 Phổ toán tử compact tổng quát 48 2.5 Giới thiệu định lý phổ tổng quát 52 2.5.1 Phổ giải thức đại số Banach 52 2.5.2 Định lý phổ toán tử tự liên hợp bị chặn không gian Hilbert 56 Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 60 3.1 Giới thiệu 60 3.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên 61 3.3 Toán tử chiếu ngẫu nhiên 65 3.4 Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 70 Chương Khái niệm vết tốn tử khơng gian Lp cho lớp toán tử compact 75 4.1 Định nghĩa vết 76 4.2 Lớp toán tử vết lớp toán tử Hilbert-Schmidt 77 4.3 Một dạng cụ thể lớp toán tử Hilbert - Schmidt 82 4.4 Khơng gian Lp lớp tốn tử compact 86 Kết luận 87 Tài liệu tham khảo 88 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy: PGS.TS Phan Viết Thư, người tận tình hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể Thầy cô giáo, nhà khoa học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn Trong q trình viết luận văn, đạo ân cần chu đáo Thầy cô giáo thân cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì vậy, tác giả mong góp ý, giúp đỡ Thầy cô, bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng LỜI NÓI ĐẦU Mục đích lý thuyết phổ phân lớp tốn tử tuyến tính khơng gian Banach mà ta hạn chế xét không gian Hilbert chúng đại diện đặc biệt không gian Banach Chúng có liên hệ gần gũi với hình học Euclide Ta nghĩ đến nhiều cách khác để phân loại tốn tử tuyến tính Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý hai tốn tử tuyến tính T1 , T2 : H1 → H2 liên hệ công thức T2 ◦ U1 = U2 ◦ T1 , (1) với toán tử khả nghịch Ui : Hi → Hi T1 , T2 có chung nhiều tính chất Ta coi chúng lớp Trong trường hợp hữu hạn chiều, Ui tương ứng với đổi sở Hi , chúng không làm thay đổi chất bên tốn tử Cách giải thích nói chung khơng cịn trường hợp vơ hạn chiều khơng có khái niệm tốt sở, cách định nghĩa có ý nghĩa đáng quan tâm ta thử mơ tả tất toán tử từ H1 vào H2 quan hệ Để làm đơn giản ý tưởng, ta chọn H1 = H2 = H coi hai toán tử T1 , T2 : H → H lớp tồn toán tử khả nghịch U : H → H cho T2 ◦ U = U ◦ T1 tức T2 = U T1 U −1 (2) Trong đại số tuyến tính, tốn phân lớp giải thành cơng lý thuyết giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng tối thiểu (minimal) dẫn đến “dạng tắc” Cho tốn tử tuyến tính từ Cn → Cn với n ≥ Khi H có số chiều vơ hạn, ta khơng có định lý tổng qt Nhưng xuất khả nhiều toán tử quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trường hợp số chiều hữu hạn có mơ tả chí đơn giản Chúng thuộc lớp đặc biệt tốn tử khơng gian Hilbert như: toán tử lấy liên hợp T → T ∗ , toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita Đối với lớp này, dim H = n ln có sở trực chuẩn (e1 , , en ) vectơ riêng T với giá trị riêng λ1 , , λn sở ta viết T( αi ei ) = i αi λi ei (3) i (Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo) Trong trường hợp vơ hạn chiều, nói chung ta viết cách rõ ràng Tuy nhiên có cách giải thích biểu diễn cho tuân theo tổng quát Xét ánh xạ tuyến tính U : H → Cn ei −→ (0, , 0, 1, 0, , 0) với vị trí thứ i Ánh xạ song ánh đẳng cự, định nghĩa sở trực chuẩn, Cn tích tiêu chuẩn ta định nghĩa T1 : Cn → Cn αi −→ (αi λi ) Thì (3) trở thành T1 ◦ U = U ◦ T (4) Rõ ràng ta giải nghĩa điều theo cách (nó cho ta cách nhìn khác tốn phân lớp): Với không gian Hilbert hữu hạn chiều H tốn tử chuẩn T ta nhận khơng gian toán tử “mẫu” (Cn , T1 ) cho (H, T ) tương đương với (Cn , T1 ) (Thực unitary tương đương U đẳng cự) Định lý phổ mà chúng tơi trình bày luận văn tổng quát hóa loại đưa “dạng tắc” Điều thành cơng khơng gian tốn tử “mẫu” hồn tồn đơn giản: chúng loại L2 (X, µ) với khơng gian có độ đo (X, µ) (Trường hợp Cn tương ứng với X = {1, 2, , n} với độ đo đếm) Và toán tử “mẫu” toán tử nhân (phép nhân): Tg : f −→ gf với hàm g : X → C thích hợp Toán tử nhân cho ta “mẫu” cho tốn tử (chuẩn) khơng gian Hilbert Giả sử (X, µ) khơng gian có độ đo hữu hạn (tức µ(X) < +∞) Giả sử g ∈ L∞ (X, µ) hàm bị chặn ta có ánh xạ tuyến tính liên tục: Mg : L2 (X, µ) → L2 (X, µ) f −→ gf |g(x)f (x)|2 dµ(x) ≤ g ∞ · f , X nên Mg định nghĩa tốt liên tục với chuẩn Mg ≤ g ∞ Chú ý thêm g(x)f1 (x)f2 (x)dµ(x) < Mg (f1 ), f2 > = X =< f1 , Mg (f2 ) > với f1 , f2 ∈ L2 (X, µ) Do tốn tử liên hợp Mg cho Mg = Mg , dẫn đến Mg tự liên hợp g tự liên hợp (hầu khắp nơi) Với g1 , g2 ∈ L∞ (X, µ), ta có Mg1 (Mg2 (f )) = g1 (g2 (f )) = g2 (g1 (f )) = Mg2 (Mg1 (f )) Do tốn tử Mg với g ∈ L∞ (X, µ) giao hốn Suy chúng chuẩn tắc Nếu X ⊂ C tập đo độ đo Lebesgue µ trường hợp g(x) = x đặc biệt quan trọng Bổ đề sau cho biết ta xây dựng nhiều toán tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn Bổ đề Giả sử (X, µ) khơng gian có độ đo hữu hạn giả sử g hàm đo X → C Nếu ϕ −→ gϕ ánh xạ L2 (X, µ) vào L2 (X, µ) khơng thiết liên tục, g ∈ L∞ (X, µ) Trở lại câu hỏi động thúc đẩy đến định lý phổ, ta muốn phân lớp tốn tử khơng gian Hilbert ? Động đến từ nguồn chung giống giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải phương trình tuyến tính T (v) = w không gian Banach, đặc biệt khơng gian Hilbert Vì mục đích có phân lớp cụ thể (dạng hiện) với mơ hình mẫu đơn giản có ích Nếu ta có quan hệ (1) ta có T1 (v) = w ⇔ T2 (v1 ) = w1 với v1 = U1 (v), w1 = U2 (w) Như ta hiểu toán tử “mẫu” T2 ánh xạ khả nghịch U1 , U2 , ta chuyển lời giải phương trình tuyến tính liên quan đến T1 thành lời giải tương ứng liên quan tới T2 Tương tự (2) hay (4) Bây ta nhận thấy với mẫu toán tử nhân T2 = Mg L2 (X, µ), lời giải phương trình Mg (f ) = h thỏa mãn trực tiếp (ít mặt g Điều tương ứng cách trực giác đến chéo hóa hệ h phương trình tuyến tính, tất nhiên địi hỏi nhiều thận trọng hình thức) f = hàm g có nghiệm tỷ số h/g khơng thuộc L2 (X, µ) Trường hợp đặc biệt, cịn hình thức, ý làm biến đổi Fourier với (6) gợi ý mạnh mẽ thử giải phương trình liên quan đến tốn tử Laplace ∆f = g cách “chuyển sang giới Fourier” Thực tế ý tưởng hiệu quả, tất nhiên địi hỏi nhiều thận trọng tốn tử liên quan khơng liên tục Hiểu ý nghĩa khả ứng dụng to lớn lý thuyết phổ toán tử, tác giả chọn đề tài luận văn “ Về phổ tốn tử tuyến tính” Để tiếp tục tìm hiểu sâu vấn đề này: Luận văn chia làm bốn chương: Chương Các khái niệm sở giải tích hàm tốn tử tuyến tính Chương giới thiệu khái niệm không gian Banach, khơng gian Hilbert khái niệm tốn tử tuyến tính khơng gian tính chất chúng Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng Chương giới thiệu định lý phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ giải thức đại số Banach cuối định lý phổ toán tử tự liên hợp bị chặn không gian Hilbert Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát Chương giới thiệu độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý bổ sung độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát Chương Khái niệm vết tốn tử khơng gian Lp cho lớp tốn tử compact Chương giới thiệu khái niệm vết tốn tử cách sử dụng chúng với vai trị tích phân hàm tốn tử để xây dựng khơng gian Lp cho đại số tốn tử, ký hiệu Bf (H), chẳng hạn B1 (H) với chuẩn T = tr (H) lớp toán tử vết có vai trị khơng gian hàm khả tích B (H) lớp tốn tử Hilbert-Schmidt có dạng L2 khơng gian Hilbert Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng Định lý độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát (C, B, H) có bổ sung độ đo phổ ngẫu nhiên Định lý 3.20 Giả sử E độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát (C, B, H) Khi tồn độ đo ngẫu nhiên U (ω) (C, B, H) cho với x ∈ H, M ∈ B E(M )x(ω) = U (ω)(M )x 74 hầu chắn Chương Khái niệm vết tốn tử khơng gian Lp cho lớp toán tử compact Phần chúng tơi định nghĩa vết tính bất biến nó, xây dựng lớp tốn tử vết lớp tốn tử Hilbert-Schmidt Với tích phân tốn tử compact vết tốn tử, từ hình thành khơng gian khả tích cấp p (1 ≤ p < ∞) Để tìm tương tự lý thuyết hàm lý thuyết toán tử khơng gian Hilbert phức H: • Bf (H) tương ứng hàm liên tục có giá compact • B0 (H) tương ứng hàm liên tục triệt tiêu vô • Lớp B(H) thể hai vai trị: B(H) tương tự tập tất hàm liên tục bị chặn B(H) tác động L∞ Cách tác động thứ hai giả thiết tồn tương tự từ H vào độ đo Lebesgue 75 4.1 Định nghĩa vết Định nghĩa 4.1 Cho {ej |j ∈ J} sở trực chuẩn không gian Hilbert phức H Với toán tử dương T thuộc B(H), ta định nghĩa vết T , ký hiệu tr(T ), bởi: tr(T ) = < T ej , ej > có giá trị [0, +∞] Nhận xét 4.2 Với T ∈ B(H), ta có tr(T ∗ T ) = tr(T T ∗ ) Chứng minh Với i, j ta có < T ei , ej >< ej , T ei >=< T ∗ ej , ei >< ei , T ∗ ej > có giá trị lớn Lấy tổng vế trái theo j vế phải theo i, ta có ej , T ei >=< T ei , T ei >=< T ∗ T ei , ei > j ei , T ∗ ej >=< T ∗ ej , T ∗ ej >=< T T ∗ ej , ej > i Với hạng tử dương, hai tổng không phụ thuộc vào thứ tự hạng tử Do tr(T ∗ T ) = < T ∗ T ei , ei >= i < T T ∗ ej , ej >= tr(T T ∗ ) j Nhận xét 4.3 Nếu U unita T ≥ tr(U T U ∗ ) = tr(T ) Đặc biệt định nghĩa vết không phụ thuộc vào việc chọn sở Do ||T || ≤ tr(T ) Nhận xét 4.4 Nếu T ∈ B(H) thỏa mãn tr(|T |p ) < ∞ với p > đó, T compact Chứng minh Cho {ej |j ∈ J} sở trực chuẩn H ε > 0, có < |T |p ej , ej > < ε Đặt Pλ phép chiếu tập hữu hạn λ J thỏa mãn j ∈λ / từ H lên span {ej |j ∈ λ} = { j∈λ cj ej |cj ∈ C} Ta có |||T |p/2 (I − Pλ )||2 = ||(I − Pλ )|T |p (I − Pλ )|| ≤ tr((I − Pλ )|T |p (I − Pλ )) < ε 76 Do ε nhỏ tùy ý nên |||T |p/2 (I − Pλ )|| = Theo định lý Atkinson, ta có |T |p/2 ∈ B0 (H) Với sở trực chuẩn phù hợp (ta ký hiệu {ej |j ∈ J}) Ta có |T |p/2 = λj ej ej {λj } triệt tiêu vô Do p nguyên nên |T | = 2/p λj ej ej Từ |T | ∈ B0 (H) Từ phép phân tích cực T = U |T |, ta có T ∈ B0 (H) hay T compact 4.2 Lớp toán tử vết lớp toán tử HilbertSchmidt Định nghĩa 4.5 Ta định nghĩa lớp toán tử vết B (H) = span {T ∈ B0 (H)|T ≥ 0, tr(T ) < ∞} lớp toán tử Hilbert -Schmidt B (H) = {T ∈ B0 (H)|tr(T ∗ T ) < ∞} Ta có tr(T1 + T2 ) = tr(T1 ) + tr(T2 ) tr(αT ) = αtr(T ) với toán tử dương T1 T2 với α ≥ Với T thuộc B (H), ta có T = ik Tk , k=0 Tk ≥ Do tr(T ) = ik Tk thác triển hàm vết thành phiếm hàm tuyến k=0 tính B (H) Từ ta sử dụng hàm vết vào toán tử tập B(H) + B (H) (với α + ∞ = ∞ với α ∈ C) Cũng vectơ H, ta có quy tắc hình bình hành toán tử B(H) sau (S + T )∗ (S + T ) + (S − T )∗ (S − T ) = 2(S ∗ S + T ∗ T ) (*) Từ suy (S + T )∗ (S + T ) ≤ 2(S ∗ S + T ∗ S) (**) Bằng tính tốn đơn giản, ta có đẳng thức phân cực cho tốn tử không gian Hilbert phức ∗ ik (S + ik T )∗ (S + ik T ) 4T S = k=0 77 (***) Mệnh đề 4.6 Các lớp B (H) B (H) ideal tự liên hợp B(H) Bf (H) ⊂ B (H) ⊂ B (H) ⊂ B0 (H) Chứng minh Ta chứng minh B (H) ideal tự liên hợp Nếu T ≥ với tr(T ) < ∞ S ∈ B(H), ta có 4T S = 4T 1/2 T 1/2 ik (S + ik I)∗ T (S + ik I) S= k=0 Với V = S + ik I, ta có tr(V ∗ T V ) = tr(V ∗ T 1/2 T 1/2 V ) = tr(T 1/2 V V ∗ T 1/2 ) ≤ ||V V ∗ || · tr(T ) Do T S ∈ B (H) Do B (H) ideal phải tự liên hợp Tương tự ta có B (H) ideal hai phía Với B (H) = span {T ∈ B0 (H)|T ≥ 0, tr(T ) < ∞} Ta B (H) = {T ∈ B(H)|tr(|T |) < ∞} Thực vậy, |T | ∈ B (H), từ phân tích cực T = U |T | theo chứng minh ta có T ∈ B (H) Ngược lại T ∈ B(H), |T | = U ∗ T |T | ∈ B (H) Ta chứng minh B (H) ideal tự liên hợp Ta có B (H) khơng gian tuyến tính B0 (H) Từ nhận xét 4.2, ta có B (H) tự liên hợp Do B (H) ideal B(H), theo định nghĩa B (H) ta có B (H) ideal Ta cần chứng minh Bf (H) ⊂ B (H) ⊂ B (H) ⊂ B0 (H) Nếu T ∈ Bf (H) |T | tốn tử chéo hóa có hạng hữu hạn Do T ∈ B (H) |T | ∈ B (H) Vậy Bf (H) ⊂ B (H) Nếu T ∈ B (H) T ∗ T = |T |2 = T 1/2 |T ||T |1/2 ≤ ||T |||T | Suy tr(T ∗ T ) < ∞ hay T ∈ B (H) Vậy B (H) ⊂ B (H) Định lý 4.7 Ideal B (H) toán tử Hilbert - Schmidt có dạng khơng gian Hilbert với tích < S, T >tr = tr(T ∗ S), 78 S, T ∈ B (H) Chứng minh Với S, T ∈ B (H) T ∗ S ∈ B (H) hay < S, T >tr < ∞ Do dạng nửa song tuyến tính tr định nghĩa đúng, tự liên hợp dương Hơn nữa, tr đưa tích B (H) chuẩn - liên kết thỏa mãn ||T ||22 = tr(T ∗ T ) ≥ ||T ∗ T || = ||T ||2 Kéo theo dãy Cauchy {Tn } thuộc B (H) với chuẩn || · ||2 hội tụ theo chuẩn tới toán tử T ∈ B0 (H) Ta cần chứng minh Tn → T theo chuẩn - Với phép chiếu P lên không gian hữu hạn chiều H, ta có ||P (T − Tn )||22 = tr((T − Tn )∗ P (T − Tn )) = tr(P (T − Tn )(T − Tn )∗ P ) = lim tr(P (Tm − Tn )(Tm − Tn )∗ P ) m = lim tr((Tm − Tn )∗ P (Tm − Tn )) m ≤ lim sup tr((Tm − Tn )∗ (Tm − Tn )) = lim sup ||Tm − Tn ||22 m m Suy ||P (T − Tn )||2 ≤ lim sup ||Tm − Tn ||2 m Do P phép chiếu tùy ý nên ||T − Tn ||2 ≤ lim sup ||Tm − Tn ||2 m Do T ∈ B (H) Tn → T theo chuẩn - Bổ đề 4.8 Nếu T ∈ B (H) S ∈ B(H) |tr(ST )| ≤ ||S||tr(|T |) Chứng minh Đặt T = U |T | phân tích cực T Vì |T |1/2 ∈ B (H) nên (SU |T |1/2 )∗ ∈ B (H) Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt vết tr ta có |tr(ST )|2 = |tr(SU |T |1/2 |T |1/2 )|2 = |((|T |1/2 )|(SU |T |1/2 )∗ )tr |2 ≤ |||T |1/2 ||22 · ||(SU |T |1/2 )∗ ||22 = tr(|T |) · tr(|T |1/2 U ∗ S ∗ SU |T |1/2 ) ≤ tr(|T |) · tr(||U ∗ S ∗ SU |||T |) ≤ ||S||2 · (tr(|T |))2 79 Bổ đề 4.9 Nếu S T thuộc B (H) tr(ST ) = tr(T S) Công thức S ∈ B(H) T ∈ B (H) Chứng minh Nếu S, T ∈ B (H) ta có 4tr(T ∗ S) = ik tr((S + ik T )∗ (S + ik T )) = ik tr((S ∗ + i−k T ∗ )∗ (S ∗ + i−k T ∗ )) = ik tr((T ∗ + ik S ∗ )∗ (T ∗ + ik S ∗ )) = 4tr(ST ∗ ) Do tr(ST ) = tr(T S) Giả sử S ∈ B(H) T ∈ B (H) Từ T ≥ chứng minh ta có tr(ST ) = tr((ST 1/2 )T 1/2 ) = tr(T 1/2 (ST 1/2 )) = tr((T 1/2 S)T 1/2 ) = tr(T 1/2 (T 1/2 S)) = tr(T S) Định lý 4.10 Ideal B (H) lớp toán tử vết đại số Banach với chuẩn ||T ||1 = tr(|T |), T ∈ B (H) Chứng minh Rõ ràng || · ||1 hàm B (H) định nghĩa (vì || · ||1 ≥ || · ||) Để chứng minh tính nửa cộng tính B (H) ta lấy S T thuộc B (H) với phân tích cực S+T = W |S+T | |S+T | = W ∗ (S+T ) Theo bổ đề 4.8 ta có ||S + T ||1 = tr(|S + T |) = tr(W ∗ (S + T )) ≤ |tr(W ∗ S)| + |tr(W ∗ T )| ≤ ||W ∗ ||(tr(|S|) + tr(|T |)) ≤ ||S||1 + ||T ||1 Tương ứng bất đẳng thức với phép phân tích cực ST = V |ST |, ta có ||ST ||1 = tr(V ∗ ST ) ≤ ||V ∗ S||tr(|T |) ≤ |||S|||tr(|T |) ≤ tr(|S|)tr(|T |) = ||S||1 ||T ||1 Cuối ta cần chứng minh B (H) không gian Banach Cho {Tn } dãy Cauchy B (H) với chuẩn - Rõ ràng dãy hội tụ theo chuẩn tới 80 phần tử T ∈ B0 (H) Với phân tích cực T − Tn = U |T − Tn | phép chiếu P hữu hạn chiều lên H ta có : tr(P |T − Tn |) = tr|P U ∗ (T − Tn )| = lim tr(P U ∗ (Tm − Tn )) m ≤ lim sup ||Tm − Tn ||1 m Do P nên với p = ta có ||T − Tn ||1 ≤ lim sup ||Tm − Tn ||1 → m Rõ ràng T ∈ B (H) Tn → T theo chuẩn - Vậy B (H) khơng gian Banach Định lý 4.11 Dạng song tuyến tính < S, T >= tr(ST ) thể đầy đủ tính đối ngẫu cặp khơng gian Banach B0 (H) B (H), cặp không gian B (H) B(H) Tức (B0 (H))∗ = B (H) (B (H))∗ = B(H) Chứng minh (i) Trước hết, ta chứng minh không gian B0 (H) B (H) đối ngẫu Với T thuộc B1 (H) xét phiếm hàm tuyến tính bị chặn B0 (H) ϕT =< ·, T > Theo bổ đề 4.9 ta có ||ϕT || ≤ ||T ||1 hay ϕT ∈ (B0 (H))∗ Ngược lại ϕ ∈ (B0 (H))∗ , S ∈ B (H) |ϕ(S)| ≤ ||ϕ||||S|| ≤ ||ϕ||||S||2 Do B (H) khơng gian Hilbert nên có phần tử T ∈ B (H) thỏa mãn ϕ(S) = tr(T S) = tr(ST ) với S ∈ B (H) Hơn với phép chiếu P H có hạng hữu hạn với phép phân cực T = U |T |, ta có |tr(P |T |)| = |tr(P U ∗ T )| = |ϕ(P U ∗ )| ≤ ||ϕ|| 81 Do P nên T ∈ B (H) với ||T ||1 ≤ ||ϕ|| Rõ ràng tương ứng ϕ ↔ T song ánh đẳng cự Từ (B0 (H))∗ = B (H) (ii) Bây ta chứng minh (B (H))∗ = B(H) Với S ∈ B(H), xác định phiếm hàm tuyến tính bị chặn ψS =< S, · > B (H) Theo bổ đề 4.9 ta có ||ψS || ≤ ||S|| hay ψS ∈ (B (H))∗ Ngược lại, ψ ∈ (B (H))∗ , ta định nghĩa dạng nửa song tuyến tính U H U (x, y) = ψ(x x y), x, y ∈ H, y toán tử hạng Ta có |x y| = ((x y)∗ (x = (||x||2 y y))1/2 = ((y x)(x y)1/2 = ||x||||y||(||y||−1 y y))1/2 ||y||−1 y) U bị chặn |U (x, y)| ≤ ||ψ||||x y||1 = ||ψ|||tr(|x y|)| = ||ψ||||x||||y|| Do có tốn tử S thuộc B(H) thỏa mãn ||S|| ≤ ||ψ|| ψ(x y) = U (x, y) =< Sx, y > Với toán tử tự liên hợp T thuộc B (H), có dạng chéo hóa T = λ j ej ej {ej |j ∈ J} sở trực chuẩn đó, λj giá trị riêng thực ứng với vectơ riêng ej ψ(T ) = λj (ej ej ) = λj (Sej |λj | = ||T ||1 Do ej ) = < ST ej , ej >= tr(ST ) Từ B (H) tự liên hợp, công thức ψT = tr(ST ) với T thuộc B (H) Vậy ta lại có song ánh đẳng cự ψ ↔ S Do (B (H))∗ = B(H) 4.3 Một dạng cụ thể lớp toán tử Hilbert Schmidt Nhận xét 4.12 Với sở trực chuẩn {ej |j ∈ J} H {ei ej |(i, j) ∈ J } 82 tập toán tử hạng tạo thành sở trực chuẩn B (H) Chứng minh Từ (ei ej )∗ = (ej ràng toán tử {ei ej } có dạng tập trực giao B (H) Hơn ei ) (ei ej )(ek el ) = δjk (ei el ), rõ T ∈ B (H) < T, ei ej >tr = tr((ej ei )T ) = tr(ej T ∗ ei ) < el , T ∗ ei >< ej , el >=< T ej , ei > = l Từ phần tử trực giao với bao tuyến tính ei {ei ej {0} hay ej } sở trực chuẩn B (H) Sau giới thiệu trường hợp đặc biệt lớp toán tử Hilbert - Schmidt không gian B (L2 (X)), với không gian Hilbert tương ứng L2 (X) Ở X không gian Hausdorff compact địa phương L2 (X) khơng gian hàm khả tích cấp với tích phân Radon phân Radon X Ta biết tích phiếm hàm tuyến tính : Cc (X) → R dương, tức f ≥ kéo theo Nếu f ≥ ⊗ tích phân Radon X, có tích phân Radon x x y X thỏa mãn : ⊗ x f ⊗g = y f x g , f ∈ Cc (X), g ∈ Cc (X), y f ⊗ g(x, y) = f(x) g(y) tích tenxơ hàm f g Ta xét không gian Hilbert L2 (X ) khơng gian hàm khả tích cấp X Gọi {ej |j ∈ J} sở trực chuẩn L2 (X) tập hàm ei ⊗ ej (x, y) = ei (x) · ej (y) X sở trực chuẩn L2 (X ) Do tồn phép đẳng cự U từ L2 (X ) lên B (L2 (X)) xác định U (ei ⊗ ej ) = ei ej Để nghiên cứu định lý sau, giới thiệu định lý Fubini Một hàm Borel f không gian tôpô X hàm nhận giá trị thực f : X → R thỏa mãn: {f > t} tập Borel X với t ∈ R (hay f hàm liên tục) 83 Định lý 4.13 (Định lý Fubini) Cho x tích phân Radon không gian Hausdorff compact y địa phương X Y Nếu h hàm Borel X × Y h khả tích với tích phân x ⊗ y , hàm Borel y −→ f (x, y) thuộc L1 (Y ) với hầu hết x ∈ X Trên hầu hết x ∈ X, hàm x −→ y x y h(x, ·) ∈ L1 (X) với ⊗ h= h x y Do h ∈ L1 (X × Y ), tích phân tồn nhau: ⊗ h= x y x h= h y y x Định lý 4.14 Với k ∈ L2 (X ), toán tử tích phân Tk xác định Tk f (x) = f ∈ L2 (X) k(x, y)f (y), y toán tử Hilbert - Schmidt L2 (X) Ánh xạ k → Tk đẳng cấu từ L2 (X ) lên B (L2 (X )) với chuẩn - Với k ∗ (x, y) = k(y, x), ta có Tk∗ = Tk∗ Do Tk tự liên hợp ker Tk (tức k) đối xứng liên hợp Ở ta hiểu dạng nửa song tuyến tính b không gian Hilbert H gọi đối xứng liên hợp (conjugate - symmetric) b(y, x) = b(x, y) với x y thuộc H Chứng minh Nếu k ∈ L2 (X ), ta chứng minh Tk toán tử Hilbert - Schmidt Với cặp f, g ∈ L2 (X) ta có |k(x, y)f (y)g(x)| = x y ⊗ x |k||f ⊗ g| < ∞ y Từ định lý Fubini, toán tử Tk giả thiết thuộc B(L2 (X)) với ||Tk || ≤ ||k||2 Ánh xạ k → Tk phép đẳng cự từ L2 (X ) lên B (L2 (x)) Vì {ej |j ∈ J} sở trực chuẩn L2 (X) {ei ej |(i, j) ∈ J } sở trực chuẩn B (L2 (X)) {ei ⊗ ej |(i, j) ∈ J } sở trực chuẩn L2 (X ) Do k ∈ L2 (X ) nên k = cij ei ⊗ ej , cij ∈ C, tổng hữu hạn Do Tk f = cij < f, ej > ei = ( 84 cij ei ej )f = (U (k))f với U (ei ⊗ ej ) = ei ej Do tính liên tục ta có Tk = U (k) với k ∈ L2 (X ) Từ ánh xạ U : k → Tk phép đẳng cự Đẳng thức Tk∗ = Tk∗ dễ dàng chứng minh từ k = αij ei ⊗ ej Nhận xét 4.15 Cho phương trình tích phân Fredholm: k(x, y)f (y) − λf (x) = g(y), y g ∈ L2 (X), k hàm đối xứng liên hợp L2 (X ) số λ cho trước Theo định lý ??, tìm sở trực chuẩn {ej |j ∈ J} L2 (X) cho Tk = λ j ej ej với λj ∈ R |λj |2 = ||k||22 (Đẳng thức Paseval) Nếu λ = λj với j, nghiệm phương trình tích phân cho f= (λj − λ)−1 < g, ej > ej Nhận xét 4.16 Một ứng dụng lớp toán tử Hilbert - Schmidt toán Sturm - Liouville Sau đề cập (không chứng minh) kết tốn Trên đoạn V = [a, b], p, q, h hàm giá trị thực liên tục, p > λ ∈ R, ta có phương trình (pf ) + qf = (4.1) (qf ) + qf = λf (4.2) (qf ) + qf = λf + h (4.3) Phương trình (4.1) có khơng gian nghiệm hai chiều tổ hợp tuyến tính bởi, chẳng hạn u v với u v thỏa mãn điều kiện biên αu(a) + βp(a)u (a) = γv(b) + δp(b)v (b) = với số α, β, γ, δ cho trước Hơn p(uv − u v) = c với c cố định khác Ta định nghĩa hàm Green  c−1 u(x)v(y) g(x, y) = c−1 u(y)v(x) 85 với a ≤ x ≤ y ≤ b với a ≤ y ≤ x ≤ b, với Tg toán tử Hilbert - Schmidt L2 (V ) xác định định lý 4.14 Với h ∈ L2 (V ), hàm f = Tg h nghiệm (4.3) Khi λ = 0, hàm f = Tg h thỏa mãn điều kiện biên (E): αf (a) + βp(a)f (a) = γf (b) + δp(b)f (b) = Theo định lý 4.14 với g ∗ (x, y) = g(y, x) ta có Tg∗ = Tg∗ Lại k đối xứng liên hợp nên g(y, x) = g(x, y) với x, y ∈ V Vậy g ∗ = g V hay Tg = Tg∗ Theo định lý ??, có sở trực chuẩn {en |n ∈ N} L2 (V ) cho : Tg = {λn } ⊂ R − {0}, λn en en |λn |2 = ||g||22 Do nghiệm (4.2) thỏa mãn điều kiện biên (E) tồn λ = λ−1 n với n Khi nghiệm (4.2) en Với λ = λ−1 n (n đó), nghiệm (4.3) thỏa mãn (E) dương h ⊥ en Còn với λ = λn với n, nghiệm (4.3) thỏa mãn điều kiện (E) ln dương Trong hai trường hợp trên, nghiệm (4.3) f= 4.4 λn (1 − λλn )−1 < h, en > en Không gian Lp lớp toán tử compact Với p thỏa mãn ≤ p < ∞, ta đặt B p (H) = {T ∈ B0 (H)|tr(|T |p ) < ∞} B p (H) không gian Banach với p - chuẩn ||T ||p = (tr(|T |p ))1/p , T ∈ B p (H) Do có tương tự lý thuyết hàm lý thuyết toán tử không gian Hilbert phức H: B0 (H) tương ứng với hàm liên tục triệt tiêu vô cùng, vết B0 (H) tương ứng với phiếm hàm tuyến tính dương khơng gian hàm liên tục triệt tiêu vô cùng; nên không gian B p (H), ≤ p < ∞, thể tương tự khơng gian hàm khả tích cấp p, với vết tốn tử compact tích phân 86 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày phổ tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert không gian vectơ tôpô Dựa sở giải tích hàm, lý thuyết độ đo khơng gian tơpơ compact Trong định lý phổ trình bày dạng tốn tử khơng gian Hilbert dạng đại số Banach Tiếp theo giới thiệu vài ứng dụng định lý Phổ cho toán tử chuẩn, tự liên hợp , Định lý phổ tốn tử ngẫu nhiên khơng gian Hilbert H Xây dựng khơng gian Lp cho lớp tốn tử compact không gian Hilbert Mặc dù vậy, khả thời gian hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận hướng dẫn, bảo tận tình Thầy cô, hợp tác bạn để luận văn hoàn thiện 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập II, NXB Giáo Dục [2] Trịnh Minh Nam (2007), Toán tử đo được, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN [3] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ( 2006), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG HN [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Đặng Hùng Thắng (2007), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Phạm Thị Phương Thúy (2007), Phiếm hàm tuyến tính độ đo, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [7] Edward Nelson (1974), Notes on Non – commutative integration, Journal of functional anylysic [8] Dang Hung Thang, Nguyen Thinh and Tran Xuan Quy (2014), Generalized Random Spectral Measures, Journal of Theoretical Probability, Volum 27, Number 2, Springer – Verlag New York Inc [9] R.V.Kadison, J.R.Ringrose ( 1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, Volum I, II [10] Pederson (1989), Anlysis now, Springer – Verlag New York Inc 88 ... khái niệm tốn tử tuyến tính khơng gian tính chất chúng Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng Chương giới thiệu định lý phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng... tách khơng có sở Schauder 1.2 Tốn tử tuyến tính phiếm hàm B(X, Y ) ký hiệu tập toán tử tuyến tính bị chặn hai khơng gian tuyến tính định chuẩn Một tốn tử tuyến tính bị chặn bị chặn hình cầu; bị... thuyết phổ toán tử, tác giả chọn đề tài luận văn “ Về phổ tốn tử tuyến tính? ?? Để tiếp tục tìm hiểu sâu vấn đề này: Luận văn chia làm bốn chương: Chương Các khái niệm sở giải tích hàm tốn tử tuyến tính