TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Phước Tồn TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Phước Tồn TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trước hết qua luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, người thầy tận tình hướng dẫn giúp em tích lũy kiến thức bổ ích để hoàn thành luận văn Trong suốt trình học tập, em nhận kiến thức quý báu từ thầy cô khoa Toán -Tin trường Đại học Sư Phạm Tp HCM trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, qua luận văn em xin đồng kính gửi đến thầy cô lòng tri ân thành kính Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô làm việc phòng KHCN-SĐH giúp em nhiều trình học tập thực luận văn ***************** Lê Phước Toàn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào đầu kỷ XX, lý thuyết khơng gian trừu tượng: khơng gian metric, khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian tơpơ tuyến tính tơpơ hình thành Tiếp đó, lý thuyết tốn tử tuyến tính xuất tìm ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết số lĩnh vực kỹ thuật Lý thuyết phương trình tốn tử khơng gian có thứ tự đời từ năm 1950 hồn thiện ngày Tính chất phổ nghiên cứu cho nhiều lớp tốn tử tuyến tính dương phương pháp khác nhau, nhà tốn học từ nhiều nước Việc tập hợp kết lại trình bày chúng theo hệ thống hồn chỉnh việc làm cần thiết Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương để nghiên cứu tồn giá trị riêng  tương ứng với vectơ riêng x0 tốn tổng qt sau: “Cho C tập hợp khơng gian E,u tốn tử tuyến tính dương từ C vào X với điều kiện C,X u để khẳng định tồn vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng  cho u x0 =  x0” Luận văn chủ yếu trình bày ứng dụng khơng gian vectơ tơpơ thứ tự để nghiên cứu tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương, compắc, tốn tử u0- bị chặn, tốn tử tuyến tính khơng phân tích Chúng ta giả sử biết vấn đề đại số tốn tử khơng gian Banach; Chương I liệt kê số chi tiết cần việc trình bày Chương II dành cho bắt tay vào nghiên cứu vấn đề phổ tốn tử tuyến tính dương Chương III dành cho nghiên cứu phổ tốn tử u0 – bị chặn Cuối chương IV dành riêng cho vấn đề phổ tốn tử tuyến tính khơng phân tích Chương 1: PHỔ CỦA ÁNH XẠ - KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ 1.1 Các tính chất giải thức Giả sử (E, ) khơng gian Banach phức ký hiệu L(E) đại số Banach ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thơng thường u  u =sup{ u(x) : x  1}.Nếu u  L(E) phổ  (u) phần bù C tập mở lớn  (u) mà  (  e-u)-1 tồn hàm giải tích địa phương Ở phần e ký hiệu cho ánh xạ đồng L(E) Cho    (u), đặt (  e-u)-1 = R(  );  R(  ) gọi giải thức,  (u) gọi tập giải thức u Giả sử E {0}  (u) tập Compact khơng rỗng C bán kính r(u) đường tròn nhỏ tâm O C chứa  (u) gọi bán kính phổ u; tập {   C:|  |= r(u)}, gọi đường tròn phổ u Hơn nữa,    (u)    (u) có phương trình giải thức: R(  )-R(  )= - (  -  )R(  ).R(  ) (1) Ở ký hiệu hợp u0v u,v  L (E) uv Theo định lý ánh xạ ngược Banach, phổ  (u) định nghĩa tập hợp   C để  e-u khơng song ánh Từ xem xét có kết sau: Định lý: Giả sử u  L (E) với E khơng gian Banach phức giả sử {  n:n  N} dãy  (u) hội tụ tới   C,    (u), limn R(  n) = +  Chứng minh (=>) Giả sử  n      (u)  e – u khơng khả nghịch n  L (E) Suy lim R(n )   n  (  )Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử tồn dãy {  n} dãy {  n} cho {R(  n):n  N} bị chặn, (1) ta có: với m > n R(  n)- R(  m) = - (  n-  m) R(  n) R(  m) m,n  N R( n )  R( m )  lim n   Suy lim n  n  Từ suy {R(  n):n  N } dãy Cauchy L (E) hội tụ tới  ,  L (E) Điều nghĩa lim R( n )( n e - u)   ( e - u) = e n  tương tự ta có (  e-u)  =e , suy ( e-u) khả nghịch L (E) Do :    (u) điều mâu thuẩn R(n )   Vậy lim n  Tập hợp  (u) nơi mà đó(  e-u) khơng đơn ánh gọi phổ điểm (u) u Một phần tử 0  (u) gọi giá trị riêng u, khơng gian hạch (hạt nhân) ( 0e - u) gọi khơng gian riêng tương ứng ký hiệu N( 0) Số chiều N( 0) gọi số bội (hình học) 0 phần tử khác khơng N( 0) gọi vectơ riêng u tương ứng với giá trị riêng 0 , vectơ riêng x nghiệm phương trình ux = 0x Phổ điểm u bao gồm tất cực giải thức R Giả sử 0  cực R R( ) =  ak(  - 0 )k (a-n  0) (2) k  n khai triển Laurent R lân cận 0 Số ngun n (n  1) bậc cực 0, tổng riêng phần (2) kéo dài từ k = - n tới k = -1 gọi phần khai triển; a-n gọi hệ số đầu tiên, a-1 gọi thặng dư R  = 0 Nhân (2) với (  e-u) = ( 0 e-u)+ (  - 0) e so sánh hệ số đồng thức nhận (theo định lý cho hàm giải tích), có được: a-n ( 0 e-u)= ( 0 e-u) a-n = a-n = a-1(u- 0 e)n-1 hiển nhiên hệ số ak giao hốn với u Những mối quan hệ cho ta thấy 0 thuộc  (u); cụ thể hơn, hệ số a-1 phép chiếu E lên khơng gian hạch ( 0 e-u)n khơng gian chứa N( 0) Ngồi cho nhớ lại u Compact giải thức R hàm chỉnh hình hình cầu Riemann bị đâm thủng (một cách xác định tổng qt, R()=0) u compact  (u) tập hợp đếm với điểm tụ nhất, số khác khơng    (u) giá trị riêng u có số bội hữu hạn Cuối cùng, u  L (E) | |  r (u) giải thức u cho R( ) =    -(n+1) un (3) n 0 (uo=e); (3) khai triển R  gọi chuỗi C-Newmann Theo tiêu chuẩn Cauchy cho hội tụ chuỗi luỹ thừa ta suy ra: r (u) = lim sup un 1/n cách xác r(u) = limn un 1/n Trong trường hợp r (u) = 0, u gọi lũy linh tơpơ đại số Banach L (E); hiển nhiên u lũy linh tơpơ  (u) ={0} tương đương, giải thức R (với R()=0) hàm số ngun  -1 Nếu E khơng gian Banach u  L (E), phổ thực  R(u) xác định tập hợp R nơi mà (  e-u) khơng song ánh; cách tương tự, xác định giải thức thực u hàm số   (  e-u)-1 với miền xác định R\  R(u) (có thể xảy  R(u) trống ví dụ phép quay quanh gốc mặt phẳng Euclidean R2 ) Chúng ta xét q trình phức hóa khơng gian Banach thực sau: Giả sử (E, ) khơng gian Banach R Sự phức hóa E1 E khơng gian định chuẩn đầy đủ C Nếu muốn có chuẩn E1 cho phép nhúng E E1 phép đẳng cự ta định nghĩa: x + iy = sup (cos )x + (sin )y 0  2 Mọi u  L (E) có mở rộng phức u  L (E1) xác định u (x+iy) = u(x) + iu(y) với x,y  E Trong trường hợp E khơng gian Banach thực u  L (E) xác định phổ, giải thức, bán kính phổ u đối tượng tương ứng cho u xác định Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng u với mở rộng phức u Dễ dàng nhận thấy với u  L (E), có  R(u) =  (u)  với   \  R(u) giải thức thực u thu hẹp giải thức u E (được xem khơng gian thực E1) bán kính phổ r (u) số thực nhỏ   cho với |  |  ,   chuỗi (3) hội tụ L (E) 1.2 Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.2.1.1 1) Tập K khơng gian Banach thực X gọi nón i) K tập đóng ii) K + K  K,  K  K,    iii) K  (-K) = {  } 2) Nếu K nón thứ tự X sinh K định xy  y–xK Mỗi x  K\ {  } gọi dương Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “” thứ tự sinh nón Khi đó: 1) x  y  x+ z  y+ z ;  x   y  z  X,    2) (xn  yn (n  N*), lim xn = x, lim yn = y)  x  y 3) Nếu { xn } dãy tăng, hội tụ x xn  x ( n  N*) Chứng minh 2) Suy từ tính chất đóng K 3) Cho m   bất đẳng thức xn  xn+m 1.2.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.2.1: nón K gọi nón chuẩn nếu:  N>0:  x y x N y Mệnh đề 1.2.2.2: Giả sử “” thứ tự sinh nón chuẩn 1) Nếu u  v đoạn := {x  X: u  xv } bị chặn theo chuẩn 2) Nếu xn  yn  zn (n  N*) lim xn =a, lim zn =a lim yn =a 3) Nếu { xn } đơn điệu, có dãy hội tụ a lim xn =a, Chứng minh 1)  x     x-u  v-u   x-u  N u-v x  u + N u-v 2)   yn - xn  zn - xn  yn - x n N zn - xn xn = a 3) Coi { xn } tăng lim k  k Vì xn  x n k (n cố định, k đủ lớn) nên xn  a  n  N* cho nón dương L(E) chuẩn tắc Bây giả sử   L (F) thỏa mãn  1 xác định u  L(E) u(x)=  x0+  (y) (x  E) hay u=P +  0(e-p) p ký hiệu phép chiếu x  x0 E lên G Bởi  1, ta có u(C)  C u dương (thật vậy: với x  C ta có x=  x0+y,   y   nên  (y)   y  y   đó: u(x)=  x0+  (y)  C.Suy ra: u(C)  C hiển nhiên u dương, C dương); hiển nhiên r (u)=1  (u) ={1}   (  ),  (  ) ký hiệu cho phổ   L(F) Chọn E cho F đẳng cấu với khơng gian Banach thích hợp lựa chọn thích hợp   L (F), ta có  (u) tập đóng gán trước {  :|  |=1} chứa Định lý 4.1.3: Một tự đồng cấu dương liên tục u0 dàn Banach bất khả quy khơng có khơng gian liên tục, đóng khác {0} E bất biến u Chứng minh (  ) Giả sử u bất khả quy giả sử F{0} khơng gian liên tục, đóng bất biến u (Ta chứng minh F=E) Nếu 0x  F  C với  > r (u) thích hợp, y=uR(  )x điểm tựa C u bất khả quy y chứa F u(F)  F Do F=E (  )Đảo lại, u khơng có khơng gian riêng liên tục, đóng {0}của E bất biến u(x)>0 cho x>0; Nếu u (x0)=0 với x0 >0 suy u có khơng gian đóng, liên tục; Gọi G khơng gian liên tục, đóng, sinh x0 , ta có G{0} u(G)  G Suy G bất biến qua u Vậy: G=E ta suy u=0 điều mâu thuẫn với giả thiết Vì x>0 y=u R(  )x >0, (  >r (u) tuỳ ý) Mặt khác x  E, E bất biến qua u nên u(x)  x  u2(x)   u(x) Suy : un+1(x)   un(x) Do u(y) =    -n un+1(x)   n 1    -n un(x) =  y ta suy khơng n 1 gian liên tục, đóng F sinh y bất biến qua u Do : F=E , y điểm tựa E Suy u bất khả quy 4.2 Tính chất phổ tốn tử khơng phân tích Bổ đề 4.2.1: Giả sử E khơng gian Banach có thứ tự với nón dương C P  L(E) phép chiếu dương Nếu x  P(C) tựa C x tựa P(C) P(E) Chứng minh: Đặt C1= P(C) E1= P(E), thấy P phép chiếu dương nên C1  (x- C1)=[0,x]1 =[0,x]  E1=P([0,x]) Do bao tuyến tính [0,x] trù mật E nên bao tuyến tính [0,x]1 trù mật khơng gian E1, tính chất liên tục P Định nghĩa 4.2.2: Một dạng tuyến tính f khơng gian vectơ có thứ tự E R gọi dương ngặt x>0 kéo theo f(x)>0 Định lý 4.2.3: Giả sử E khơng gian Banach thực có thức tự với nón dương C giả sử u tự đồng cấu dương bất khả quy có bán kính phổ r cực giải thức Khi i) r >0 r cực có cấp ii) Tồn vectơ riêng dương u u’ tương ứng với r Mỗi vectơ riêng dương r tựa với C, vectơ riêng dương u’ cho r dạng tuyến tính dương ngặt iii) Mỗi giả thiết sau kéo theo số bội d(r ) r a) C có phần khơng rỗng b) d(r ) hữu hạn c) E dàn Banach Chứng minh Giả sử P ký hiệu hệ số phần giải thức  = r giả sử q thặng dư r P dương P=q(u- r e)k-1 với k cấp cực, q liên hợp q’ phép chiếu cho q(E), q’(E’) nhân (r e-u)k, (r e’-u’)k tương ứng ii) Do C C’ tập hợp tồn phần E E’  nên tồn vectơ riêng (tương ứng với r ) u C u’ C’ Giả sử x0,x’0 vectơ riêng Ta có u(x0)= r x0 u2(x0)= u(r x0)= r u(x0)= r x0  un(x0)= r n x0  R(  ) =  n 0 u  n uR(  ) = n 1 Nên : u R(  )x0 =  n 1 n  u n   n0  u  n+1 =     x0 =  r  n 1 u n n n  n 1   n x0 (  >r) Từ cơng thức ta suy  >0 x0 tựa C Ta lại có = = Suy ra: = = Do = = Nên   n 1    n =    n < x, r x’0> n n 1 =< x, x’0>   n 1  r n     n Mặt khác    n n = n 1 =     < n 1 u n ( x) n < u R(  )x,x’0> , x’0> (  >r) n 1 n   Vậy:  ( r ) =    n =  (  >r )  n 1  n 1 n 1 ta suy >0 với 0x C x’0 nhận giá trị lớn điểm tựa u R(  )x C i) Ở ta chứng minh r >0 Vậy ta phải chứng minh cực có bậc Thật vậy, giả sử x  C để cho x0 =P(x) khác giả sử x’  C’ vectơ riêng u’ cho r Vì P=q(u- r e)k-1 q’(x’0)= x’0 Chúng ta có 0|==< q(u- r e)k-1 x,x’0> = = < x,(u’-re’) k-1 x’0> Điều đưa tới k=1 iii) Từ  = r cực đơn giải thức, có:k=1 nên p=q(u-r e) 0=q P phép chiếu dương (ii) phân tử khác khơng P(C) tựa C Vì vậy, theo bổ đề 4.2.1, o x  P(C) tựa tới P(C) P(E) Trong trường hợp (a), C có điểm trong, P(C) có điểm P(E).Do P(C) nón tắc đóng P(E), ta suy P(E) có số chiều d(r )=1 Trường hợp (b) d(r ) hữu hạn, điểm tựa P(C) P(E) điểm P(C) ta có kết luận trước Còn phải chứng minh d(r )=1, E dàn Banach Nếu x vectơ riêng u đơi với r từ r x=u(x) ta suy r |x|= |u(x)|  u(|x|) u dương Nếu x’0  C’ vectơ riêng u’ cho r , có r =< |u(x) |,x’0> < u(|x|),x’0>= r điều có nghĩa r |x|= u(|x|), r >0 x’0 dạng tuyến tính dương ngặt theo (ii) Bây x=x+-x- |x|=x++x- ; x+,x- phần tử dương khơng gian riêng u tương ứng với r Do x+x- ánh xạ y  y+, y  y- liên tục E, chúng khơng thể đồng thời điểm tựa C Vì có x+ = x - =0 Do x vectơ riêng u cho r có x C x  -C Do khơng gian riêng thứ tự tồn phần Do thứ tự Archimedean, ta suy d(r )=1 Định lý 4.2.3 chứng minh 4.3 Tốn tử tuyến tính khơng phân tích khơng gian CR(X) Kết ánh xạ dương bất khả quy có liên quan với dàn Banach E dạng CR(X), X khơng gian Compact Chúng ta ký hiệu hàm số – t  X Định nghĩa 4.3.1: Một tự đồng cấu dương u CR(X) với bán kính phổ r gọi có phổ điểm ngoại vi tuần hồn r  f =u(f), |  |=1 từ f= |f|g  Cc(X) ,suy r  n|f|gn = u(|f|gn) cho tất số ngun (n  Z) Ở u đồng với mở rộng tới Cc(X) (Cc(X) phức hóa CR(X)), |f| ký hiệu giá trị tuyệt đối thơng thường f  Cc(X) fg ký hiệu cho hàm số tf(t)g(t) (phép nhân theo điểm) Bổ đề 4.3.2: Giả sử  tự đồng cấu dương CR(X) cho n n n  (1)=1 Nếu  g=  (g) |  |=1 |g|=1, g  Cc(X)  g =  (g ),  n  Z Chứng minh Với s  x, ánh xạ f  (f)(s) dạng tuyến tính dương liên tục CR(X), có độ đo Radon dương  s X; Từ  (1)=1chúng ta kết luận s sup s ( f ) s(1) 1 f 1 Vì  g=  (g) với s  x  g(s)=  (g)(s) =  g (t )d  s(t) x từ |g|=1 ta suy : |  g (t )d  s(t)|= |  g(s)|=|  ||g(s)| = x nên g(t) số giá  s với  g(s) Vì n n  g (s)= g n (t )d  s(t) (s  X, n  Z) x suy :  (gn)(s)=  s (gn)=  g n (t )d  s(t) =  ngn(s) x Do  (gn) =  ngn Bổ đề chứng minh Định lý 4.3.3: Cho X khơng gian compact giả sử u tự đồng cấu dương bất khả quy CR(X) Thì có khẳng định sau (i) Bán kính phổ r u >0 điều kiện u = r tương đương với u(1)= r (ii) Phổ điểm ngoại vi u tuần hồn (iii) Mỗi giá trị riêng r  , |  |=1, u có số bội hàm số riêng tương ứng 0 hầu khắp nơi,  (u) bất biến qua phép quay quanh  với  =expi  (iv) Nếu phổ điểm ngoại vi chứa điểm lập dạng r H, H nhóm bậc n với n (v) Nếu phổ điểm ngoại vi chứa cực giả thức u tất điểm cực có bậc giải thức (vi) Chỉ r giá trị riêng u tương ứng với hàm số riêng 0; Nếu X liên thơng phổ điểm ngoại vi khơng thể chứa điểm r  cho  , khác Chú ý: xảy khả phổ điểm ngoại vi u rỗng, mặt khác X liên thơng phổ điểm ngoại vi trù mật đường tròn phổ (xem ví dụ bên dưới) Trong trường hợp sau, có dạng r G, với G nhóm nhóm đường tròn Chứng minh Bởi hệ (2.3.7) tồn độ đo Radon dương  X cho r  =u’(  0) Vì {f:  0(|f|)=0} khơng gian liên tục CR(X) bất biến qua u, nên  dương ngặt, điều tương đương với khẳng định giá S0  X Chúng ta tiếp tục chứng minh mệnh đề định lý theo thứ tự liệt kê i) Giả sử r =0 ta có: u’(  0)=0 (do u’(  0)= r  0) Do  u(1)d  0=0 Từ S0 =X (  dương ngặt) ta suy u(1)=0 u=o, điều mâu thuẫn Vì r >0 Hiển nhiên, u(1) = r u =r Giả sử trái lại, u = r , u(1)  |u(1)|  u Và < r 1-u(1),  0>=< r 1,  > - = r  (1)- = r = r  (1)- = Từ S0 =X (  0) kết luận r 1-u(1)=0 hay u(1) = r ii) Giả sử r  f=u(f), với f 0 |  |=1 có r |f|= r |  f|= |u(f)| u(|f|) u dương Từ u’(  0) = r  ta có < u(|f|) – r |f|,  > = < u(|f|),  > - < r |f|,  > = - r =< |f|, r  > - r=0 Tương tự trên, ta kết luận r |f|=u(|f|) Điều đưa đến f(s)0  s  X Thật trường hợp ngược lại, khơng gian đóng CR(x) sinh đoạn có thứ tự[0, |f|] dàn đóng liên tục, khơng {0} mà khơng tồn khơng gian, hiển nhiên bất biến u, điều mâu thuẫn với (4.1.3) Bây giả sử f=|f|g xác định tự đồng cấu dương  CR(x) -1 -1  (h)(s) = r |f(s)| u(|f|h)(s) (s  X) Ta có  (1)= r -1|f|-1u(|f|)= r-1|f|-1 r |f| =1 mở rộng phức hóa  (lại ký hiệu  ) thoả mãn -1 -1 -1 -1  (g)= r |f| u(|f|g)= r |f| u(f) = r -1|f|-1 r  f=  |f|-1|f|g =  g nên từ bổ đề 4.3.2 ta suy  ngn=  (gn)= n  Suy r  n|f|gn= r |f|  (gn)= r |f|r -1|f|-1 u(|f| gn) = u(|f| gn) điều hiển nhiên bao gồm cho khẳng định iii) Giả sử r  ,  =expi  giá trị riêng u Như chứng minh (ii) hàm số riêng f tương ứng với r  là hầu khắp nơi, f0=|f| hàm số riêng tương ứng với r Nếu h hàm số riêng khác cho r , giả thiết h hàm thực Đặt c=sup{h(t)/ f0(t):tX} Hàm số cf0-h thuộc khơng gian riêng N(r ) c=sup{h(t)/ f0(t):tX} nên tồn tX cho c=h(t)/ f0(t) Suy cf0-h triệt tiêu tX , X compact Do nên cf0-h=0, điều có nghĩa số bội r Ký hiệu w tự đồng cấu CC(X) xác định h gh g (với |g|=1) hàm số f/|f| xét Chúng ta xác định   =  -1w-1uw tự đồng cấu liên tục CC(X),   (h)(s)=  h(t)d s(t) (sX) cho :  s độ đo Radon phức xác định X Tương tự, ta có u(h)(s) =  h(t)d  s(t) (sX); Do |g|=1,chúng ta được: |  h(t)d s (t)|=|g(s)-1 u(gh)(s)| 1.u(|gh|)(s) = u(|h|)(s) nên : |  h(t)d s (t)| s =  |h(t) |d  s(t) với sX  s+ i  s phân tích  s qua độ đo Radon thực, ta suy  s  s  s Mặt khác,  (f0)=r f0 u(f0)=r (f0) nên u(f0) =  (f0) từ suy  (f0)d(  s -  s) =0 với sX Từ f0(t)0 hầu khắp nơi, ta suy  s=  s  s =0 với s  =u; nói cách khác: u=  -1w-1uw (*) Từ hiển nhiên  (u)=  (  u),  (u) bất biến phép quay góc  (  =expi  ) Cơng thức (*) cho thấy có nhiều phần tử phổ điểm ngoại vi số bội chung chúng (bằng với r ) iv) Giả sử r  ,  =expi  1, phần tử lập phổ điểm ngoại vi u Theo (*) ta suy r phần tử Do đó, tồn giá trị riêng r expi  (0 <  11 (lại (ii)) số rexp(im  1) (m=0,1,….,n-1) tất giá trị riêng Bây giả sử rexpi  giá trị riêng |  |=r ký hiệu k số ngun nhỏ >0 cho  +k    Đặt  =  +k  1; rexp ik  giá trị riêng u, theo (*) áp dụng cho  =expi  , ta suy rexpi  giá trị riêng u Bây có  > 2 có  < 2+  , điều mâu thuẫn với định nghĩa  Vì  +k  = 2  =(n-k)  1; điều cho thấy phổ điểm ngoại vi u tập hợp r H , H ký hiệu cho nhóm bậc n (v) Nếu phổ điểm ngoại vi chứa cực giải thức u hiển nhiên áp dụng phần trước, từ (*) ta suy phần tử r H cực có bậc, nên bậc chung (4.2.3) (vi) Giả sử  f=u(f), với 0f0; từ   f , 0   f , 0  ===r >0 ta suy  =r Giả sử r  ,  ngun tố bậc n 1, giá trị riêng u với hàm số riêng f=|f|g; Nếu  ánh xạ hr -1|f|-1u(|f|h) -1 -1 -1 -1 -1 -1  (g) = r |f| u(|f|g)= r |f| u(f) = r |f| r  |f|g =  g  thoả mãn giả thiết bổ đề 4.3.2 Chúng ta định nghĩa Mk=g-1(  k) (k=0,1…) khơng tính tổng qt giả sử M0  g(t)=1 với tX (Khi  t= g-1(1) X nên M0=g-1(  0)  ) Như chứng minh bổ đề 4.3.2,chúng ta viết  (h)(s)=  h(t)d s (t) (sX) từ  g=  (g),|g|=1 kết luận với sMk giá  s chứa Mk+1 Do k  k’ (mod n) kéo theo Mk = Mk’ (các tập hợp với số khơng đồng dư mod n rời nhau) nên ánh xạ  cảm sinh hốn vị tuần hồn Mk Mk-1(k mod n) Từ điều ta suy dàn đóng, liên tục F  CR(X) n 1 hàm triệt tiêu M= U Mk bất biến  u; theo (4.1.3), F={0} hoặc, tương đương X=M, M đóng Vì g(X) nhóm tuần hồn sinh  Mặt khác g(X) liên thơng, X liên thơng g liên tục Điều có nghĩa  =1 Điều hồn thành chứng minh (4.3.3) Một ví dụ tốn tử dương bất khả quy với phổ điểm rỗng tự đồng cấu u CR[0,1] xác định s uf(s) = s f(s)+  f(t)dt +  (1-t)2f(t)dt cho s[0,1] Ta có u bất khả quy khơng khó để thử lại u khơng có giá trị riêng Hoặc ví dụ sau đây, giả sử X đường tròn đơn vị {z:|z|=1} Giả sử  phần tử cố định X khơng 1, giả sử u tự đồng cấu CR(X) xác định u(f)(z)=f(  z) u dương bất khả quy tập hợp {  n:n  }là trù mật X.Dễ dàng nhận nhóm H={  n:n  } thuộc phổ điểm u Định nghĩa: Giả sử E dàn Banach khơng gian Banach E1 phức hóa E, nói giá trị tuyệt đối x->|x|của E mở rộng tới E1 với cặp (x,y)ExE, sup{|xcos  +ysin  |: 0  |x|tới E1 tồn tại, thoải mãn mối quan hệ |z1+z2| |z1|+|z2|, |  z|=|  ||z| (z1,z2 ,z E1;   C) |u(z)| u(|z|), với u (sự mở rộng tới E1 của) tự đồng cấu dương E Định lý 4.3.4 : Cho E dàn Banach mà giá trị tuyệt đối mở rộng tới phức hố E1 E giả sử u tự đồng cấu dương E, với bán kính phổ r Giả sử tồn dạng tuyến tính dương ngặt x’0 thoả mãn u’(x’0)  r x’0 Nếu phổ điểm ngoại vi u chứa đựng r  ,|  |=1, chứa r H H nhóm cyclic sinh  Chứng minh Chúng ta giả thiết r >0 để thuận tiện ta giả sử r =1 u’(x’0)  x’0 Giả sử  x=u(x) 0x= x1+ix2 E1(x1,x2 E) |  |=1; ta suy |x|=|  x|=|u(x) | u(|x|) Bây giả thiết u’(x’0)  x’0 nên  =  Do = từ ta suy |x|= u(|x|) x’0 dương ngặt  Đặt x0 = |x | xét dàn liên tục F=U n[-x0 ,x0] E Từ E đầy đủ đoạn có thứ tự [-x0 ,x0] đóng, dãy dương kiểu l1 F có tổng phần tử F, x0 phần tử đơn vị theo thứ tự F Do F đầy đủ tơpơ thứ tự Hơn (F,P) (AM) khơng gian với đơn vị x0 P hàm cỡ [-x0 ,x0] Do tồn phép đẳng cấu  (F,P) lên CR(X) (X compact) mở rộng tới phép đẳng cấu phức hóa F1 F lên CC(X) Hơn nữa, F1 coi khơng gian E1 Hiển nhiên F F1 bất biến u, thu hẹp u0 u tới F cảm sinh tự đồng cấu dương  CR(X) (một cách xác  = u0. -1 ).Từ  (x0)=1 (hàm số X) có  (1)=1 từ u(x0)= x0 Hơn nữa, có xF1 g= (x) cho g CR(X) thỏa mãn  g=  (g), |g| =1  bảo tồn giá trị tuyệt đối Bây khẳng định suy từ bổ đề 4.3.2 chứng minh hồn tất KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, tơi nghiên cứu chọn đề tài: Tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương Được đồng ý khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm TP HCM, tơi tiến hành nghiên cứu, tham khảo tài liệu (có ghi phần tài liệu tham khảo) bên cạnh tận tình dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy góp ý, dẫn sau đọc thảo Nội dung luận văn xoay quanh tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương, phổ tốn tử u0 – bị chặn, phổ tốn tử tuyến tính khơng phân tích Các tính chất phổ tốn tử tuyến tính dương khám phá vào khoảng xung quanh kỷ 20 Các tốn tử dương khơng gian vectơ tơpơ thứ tự lớp quan tâm từ cách nhìn phổ điểm; ngồi ra, người ta ý đến lý thuyết phổ tốn tử bị ảnh hưởng sâu rộng định lý bậc Trong nghiên cứu phổ tốn tử dương, xác định khơng gian Banach có thứ tự, đường khác phương pháp tuỳ thuộc vào loại vấn đề mà ta xem xét Từ kết phổ ánh xạ tuyến tính dương có ứng dụng nhiều lý thuyết: phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, vật lý lý thuyết, lý thuyết điều khiển tối ưu Một hướng nghiên cứu khác mà tơi quan tâm mở rộng kết cho ánh xạ tuyến tính đa trị Những điều trình bày luận văn rút từ phẩn tự nghiên cứu tài liệu hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Bích Huy Tuy vậy, tính chủ quan nhận thức cá nhân hạn chế nên hẳn thiếu sót; chúng tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy để luận văn hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Cấp (2008),”Giáo trình Giải tích Hàm”- Tài liệu lưu hành nội Khoa Tốn-Tin học trường ĐHSP TP HCM, trang 122-141 Nguyễn Bích Huy (2000) ”Phép tính tích phân” Nxb Đại học quốc gia TP.HCM, trang 87-106 Nguyễn Xn Liêm (1997)”Giải tích hàm” Nxb Giáo dục; trang 27-32; trang 122-135 Tiếng Anh M.AKrasnosel’ skii-Positive solutions of operator Equations M.G.Krein, M.A.Rutman, Linear Operators leaving invariant a cone in a Banach space, YMH,1948 H.H.Schaefer.Topological Vector Spacs, Springer-Verlag,1971 K.Deimling,Nonlinear Functional Analysis,Springer-Verlag,1985 E.Zeidler Nonlinear Functional Analysis and its Applications T1,SpringerVerlag,1985 PHỤ LỤC  C nón tắc: C nón chuẩn  E (B)- khơng gian phức: E khơng gian Banach phức  L (E) đại số Banach Cho E khơng gian định chuẩn trường K Ký hiệu L(E)= L (E,E) khơng gian định chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục từ E E Ngồi cấu trúc tuyến tính L(E) có phép nhân (phép hợp thành ánh xạ) Phép nhân có tính kết hợp tính phân phối phép cộng (nhưng khơng giao hốn) Khơng gian L(E) với phép nhân đại số Đại số L (E) đại số định chuẩn chuẩn L(E) thoả mãn điều kiện f g  f g Nếu E Banach đại số L(E) đại số Banach [...]...   A( x)   hay A (K)  K Nếu A là tuyến tính dương thì nó cũng có tính đơn điệu x  y  A(x)  A(y) 2.2 Định lý Pringsheim’s Giả sử E là một không gian Banach được sắp thứ tự trên C sao cho nón dương C là chuẩn... số tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương Định lý 2.3.1: Giả sử E là một không gian Banach phức có thứ tự khác {0} với nón dương C sao cho C là chuẩn và E=C-C Với bất kỳ sự đồng cấu dương u của E, bán kính phổ r (u) là một phần tử của  (u) Chứng minh Do C là chuẩn và E=C-C nên tự đồng cấu dương u của E là liên tục Nón H của những tự đồng cấu dương của E là chuẩn trong L (E) với tôpô chuẩn của. .. 0p x  (t0  0p +  )u0 mâu thuẫn với tính cực đại của t0  Chứng minh  0x  A(x), Giả sử  0x A(x), x  K\{  }, x  tu0 Gọi t0 >0 là số cực đại mà u0  t0x Ta có P   > 0,  p  * : A (u0- t0x)   u0 P  (  0p -  )u0  t0 A (x)  t0  0p x mâu thuẫn tính cực đại của t0 Chương 4: TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG PHÂN TÍCH ĐƯỢC 4.1 Toán tử tuyến tính không phân tích được Định nghĩa... của định lý 2.3.7 là tôpô của đối ngẫu mạnh E’ Do đó số r (u’) là một giá trị riêng của u, là bán kính phổ của u’ trong E’ và vì vậy bằng r (u) Chương 3: TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ u0 – BỊ CHẶN Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K 3.1 Toán tử uo - bị chặn: Cho A:X  X là ánh xạ tuyến tính dương và phần tử uo  K\ {  } 1) A gọi là uo - bị chặn dưới (uo - bị chặn trên) nếu với mỗi x  K\... E1=P([0,x]) Do bao tuyến tính của [0,x] là trù mật trong E nên bao tuyến tính của [0,x]1 là trù mật trong không gian con E1, bởi tính chất liên tục của P Định nghĩa 4.2.2: Một dạng tuyến tính f trên một không gian vectơ có thứ tự E trên R được gọi là dương ngặt nếu x>0 kéo theo f(x)>0 Định lý 4.2.3: Giả sử E là một không gian Banach thực có thức tự với nón dương C và giả sử rằng u là một tự đồng cấu dương bất... thứ tự với nón dương C{0} Một tự đồng cấu dương liên tục u của E được gọi là bất khả qui nếu có số  > r (u) sao cho với mỗi phần tử 0  x  C, phần tử uR (  )x =    -n un (x) là một điểm tựa trong của C n 1 2 Điểm y  E gọi là tựa trong của C nếu đoạn có thứ tự [0,y] là một tập hợp con toàn vẹn của E (hay bao tuyến tính của [0,y] trừ mật trong E) Sự tồn tại của một tự đồng cấu dương bất khả quy... một tự đồng cấu dương bất khả quy có bán kính phổ r là một cực của giải thức Khi đó i) r >0 và r là một cực có cấp là 1 ii) Tồn tại các vectơ riêng dương của u và u’ tương ứng với r Mỗi một vectơ riêng dương của r là tựa trong với C, và mỗi một vectơ riêng dương của u’ cho r là một dạng tuyến tính dương ngặt iii) Mỗi một giả thiết sau kéo theo số bội d(r ) của r là 1 a) C có phần trong không rỗng b)... (a,b)  T, (a,b)(0,0) c 3.4 Phương trình tuyến tính không thuần nhất: Cho A: X  X là ánh xạ tuyến tính dương và   , y X Ta muốn tìm nghiệm x  K của phương trình  x= A(x) + y (*) Định lý 3.4.1: Cho A là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục,có bán kính phổ r(A)>0 Khi đó nếu  >r(A) và y  K thì (*) có duy nhất nghiệm trong K Chứng minh Vì  >r(A) nên tồn tại phần tử k  A ( y ) và x thoả (*) (y):=  k... thứ tự E kéo theo nón dương C của E là toàn phần (do C chứa những điểm tựa trong) Vì vậy nón đối ngẫu C’  E’ là một nón thực sự đóng trong E’  Định nghĩa 4.1.2: Giả sử u là 1 tự đồng cấu dương liên tục của 1 không gian Banach có thứ tự E Gọi đường tròn phổ {  :|  |= r (u)}là phổ ngoại vi Tập hợp con của  (u) thuộc đường tròn phổ và giao của nó với  (u) là phổ điểm ngoại vi của u Ví dụ: Giả sử... u là một tự đồng cấu dương liên tục của E mà giải thức của u có một cực trên đường tròn phổ |  |= r (u) Khi đó r (u)   (u) và nếu r (u) là một cực của giải thức thì nó có bậc lớn nhất trên đường tròn phổ Chứng minh Do C là nón thực sự, đóng, toàn phần trong E, nón đối ngẫu của nó C’ có những tính chất tương tự đối với  (E’,E) và do đó G =C’-C’ là một không gian con trù mật của đối ngẫu yếu E’ 