Tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương

Tiếp đó, lý thuyết toán tử tuyến tính xuất hiện và đã tìm ngay được những ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Lê Phước Toàn

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Lê Phước Toàn

TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

LỜI CẢM ƠN

Trước hết qua luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp em tích lũy những kiến thức bổ ích để hoàn thành luận văn

Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thức quý báu từ các thầy cô trong khoa Toán -Tin trường Đại học Sư Phạm Tp HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, cũng qua luận văn này em xin được đồng kính gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này

*****************

Lê Phước Toàn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào nữa đầu thế kỷ XX, lý thuyết các không gian trừu tượng: không gian metric, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tôpô và tuyến tính tôpô

đã được hình thành Tiếp đó, lý thuyết toán tử tuyến tính xuất hiện và đã tìm ngay được những ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết và cả trong một số lĩnh vực kỹ thuật Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ nhưng năm 1950 và được hoàn thiện cho tới ngày nay Tính chất phổ được nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử tuyến tính dương bằng các phương pháp khác nhau, bởi các nhà toán học từ nhiều nước Việc tập hợp các kết quả này lại và trình bày chúng theo một hệ thống hoàn chỉnh

là việc làm cần thiết

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự và tính chất phổ của các toán tử tuyến

tính dương để nghiên cứu sự tồn tại giá trị riêng  tương ứng với vectơ riêng

x0 của bài toán tổng quát sau:

“Cho C là một tập hợp con của một không gian E,u là một toán tử tuyến tính dương từ C vào X với những điều kiện nào trên C,X và u để có thể khẳng định sự tồn tại của một vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng  sao cho

u x0 =  x0”

Luận văn này chủ yếu là trình bày những ứng dụng trên không gian vectơ tôpô được sắp thứ tự để nghiên cứu về tính chất phổ của các toán tử tuyến tính dương, compắc, toán tử u0- bị chặn, toán tử tuyến tính không phân tích được

Chúng ta giả sử rằng đã biết các vấn đề cơ bản nhất về đại số của các toán tử trên một không gian Banach; Chương I liệt kê một số chi tiết những gì cần trong việc trình bày tiếp theo Chương II được dành cho sự bắt tay vào nghiên cứu vấn đề phổ của toán tử tuyến tính dương Chương III dành cho nghiên cứu về phổ của toán tử u0 – bị chặn Cuối cùng chương IV dành riêng cho vấn đề phổ của toán tử tuyến tính không phân tích được

Chương 1: PHỔ CỦA ÁNH XẠ - KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

1.1 Các tính chất cơ bản của giải thức

Giả sử (E, ) là một không gian Banach phức và ký hiệu L(E) là đại số Banach những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thông thường

u u =sup{ u(x) : x 1}.Nếu u L(E) thì phổ (u) là phần bù trong C của tập mở lớn nhất (u) mà trong đó (e-u)-1 tồn tại và là hàm giải tích địa phương Ở đây và trong các phần tiếp theo e là ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất của L(E) Cho  (u), chúng ta đặt (e-u)-1 = R();R() gọi là giải thức,(u) gọi là tập giải thức của u

Giả sử rằng E {0} khi đó  (u) là tập con Compact không rỗng của C bán kính r(u) của đường tròn nhỏ nhất tâm O trong C chứa  (u) được gọi là bán kính phổ của u; tập { C:| |= r(u)}, được gọi là đường tròn phổ của u Hơn nữa, nếu  (u) và  (u) thì có phương trình giải thức:

R()-R()= - (-)R().R() (1)

Ở đây chúng ta ký hiệu hợp u0v của u,v  L (E) bằng uv

Theo định lý về ánh xạ ngược của Banach, phổ  (u) có thể định nghĩa là tập hợp của những C để e-u không là song ánh Từ xem xét này chúng ta

có kết quả như sau:

Định lý: Giả sử u  L (E) với E là một không gian Banach phức và giả

sử rằng {n:nN} là một dãy con trong(u) hội tụ tới  C, thì    (u), khi và chỉ khi limn R(n) = + 

Chứng minh

(=>) Giả sử n

n và    (u) khi đó e – u không khả nghịch trong L (E)

Suy ra lim R( )n

   ()Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử rằng tồn tại một dãy con {n} của dãy {n} sao cho {R(n):nN} là bị chặn, do (1) ở trên ta có: với

m > n

R(n)- R(m) = - (n- m) R(n) R(m) m,n N

Suy ra lim R( ) R(n m) 0

   do lim n

 

Từ đó suy ra {R(n):n N } là dãy Cauchy trong L (E) và do đó hội tụ tới  nào đó ,   L (E)

Điều đó nghĩa là lim R( )( e - u)n n ( e - u) = e

và tương tự ta có (e-u) =e , suy ra (e-u) khả nghịch trong L (E)

Do đó : (u) điều này mâu thuẩn

Vậy lim R( )n

   Tập hợp con của  (u) nơi mà trong đó(e-u) không là đơn ánh được gọi

là phổ điểm (u) của u Một phần tử 0 (u) được gọi là một giá trị riêng của u, không gian hạch (hạt nhân) của (0e - u) gọi là không gian riêng tương ứng ký hiệu N(0) Số chiều của N(0) được gọi là số bội (hình học) của0 và các phần tử khác không của N(0) gọi là vectơ riêng của u tương ứng với giá trị riêng 0 , mỗi vectơ riêng x này là 1 nghiệm của phương trình ux = 0x Phổ điểm của u bao gồm tất cả các cực của giải thức R Giả sử 0 là một cực của R và R() =

k n





 ak( - 0 )k (a-n  0) (2)

là khai triển Laurent của R ở lân cận của 0. Số nguyên n (n  1) là bậc của cực 0, tổng riêng phần của (2) kéo dài từ k = - n tới k = -1 gọi là phần chính của khai triển; a-n gọi là hệ số đầu tiên, và a-1 gọi là thặng dư của R tại

 = 0

Nhân (2) với (e-u) = (0 e-u)+ ( - 0) e và so sánh các hệ số trong đồng nhất thức nhận được (theo định lý duy nhất cho các hàm giải tích), chúng ta có được:

a-n (0 e-u)= (0 e-u) a-n = 0 và a-n = a-1(u-0 e)n-1

hiển nhiên hệ số ak giao hoán với u Những mối quan hệ này cho ta thấy rằng 0 thuộc (u); cụ thể hơn, hệ số a-1 là 1 phép chiếu của E lên trên không gian hạch của (0 e-u)n không gian này chứa N(0) Ngoài ra cho chúng ta nhớ lại rằng nếu u Compact thì giải thức R là 1 hàm chỉnh hình trên hình cầu Riemann bị đâm thủng tại 0 (một cách xác định tổng quát, R()=0) vì vậy nếu

u compact thì (u) là một tập hợp đếm được với 0 có thể là điểm tụ duy nhất,

và mỗi một số khác không  (u) là một giá trị riêng của u có số bội hữu hạn

Cuối cùng, nếu u L (E) và ||  r (u) giải thức của u được cho bởi

R() =

0

n





  -(n+1) un (3)

(uo=e); (3) là khai triển của R tại  và được gọi là chuỗi C-Newmann Theo tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa ta suy ra:

r (u) = lim sup un 1/n một cách chính xác hơn r(u) = limn un 1/n

Trong trường hợp r (u) = 0, u được gọi là lũy linh tôpô của đại số

Banach L (E); hiển nhiên u là một lũy linh tôpô nếu và chỉ nếu  (u) ={0} hoặc tương đương, nếu và chỉ nếu giải thức R (với R()=0) là một hàm số nguyên của  -1

Nếu E là một không gian Banach trên và u  L (E), phổ thực  R(u) được xác định như tập hợp con của R nơi mà trong đó (e-u) không là song ánh; một cách tương tự, chúng ta có thể xác định giải thức thực của u như là hàm số  (e-u)-1 với miền xác định R\ R(u) (có thể xảy ra R(u) là

trống như ví dụ một phép quay quanh gốc của mặt phẳng Euclidean R2 )

Chúng ta sẽ xét quá trình phức hóa không gian Banach thực như sau:

Giả sử (E, ) là một không gian Banach trên R Sự phức hóa E1 của E

là một không gian định chuẩn đầy đủ trên C Nếu chúng ta muốn có một chuẩn trên E1 sao cho phép nhúng của E và trong E1 là một phép đẳng cự ta định nghĩa:

1

0 2

x + iy = sup ( os )x + (sin )yc

 

 

Mọi uL (E) có một sự mở rộng phức duy nhất u L (E 1) được xác định bởi u (x+iy) = u(x) + iu(y) với mọi x,yE Trong trường hợp E là một không gian Banach thực và u L (E) chúng ta xác định phổ, giải thức, bán kính phổ của u là những đối tượng tương ứng cho u như đã xác định ở trên Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng nhất u với sự mở rộng phức của nó u

Dễ dàng nhận thấy rằng với u L (E), chúng ta có R(u) = (u) và với  \R(u) giải thức thực của u là sự thu hẹp của giải thức của u trên E (được xem như là một không gian con thực của E1) và bán kính phổ r (u) là số

thực nhỏ nhất  0 sao cho với ||  ,  chuỗi (3) hội tụ trong L (E)

1.2 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 1.2.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón

Định nghĩa 1.2.1.1

1) Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu i) K là tập đóng

ii) K + K  K, K  K,    0 iii) K  (-K) = {}

2) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi

x  y  y – x  K

Mỗi xK\ {} gọi là dương

Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón Khi đó:

1) x  y  x+ z  y+ z ; x   y  z  X,   0 2) (xn  yn (n  N*), lim xn = x, lim yn = y)  x  y 3) Nếu { xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x ( n  N*)

Chứng minh

2) Suy từ tính chất đóng của K 3) Cho m  trong bất đẳng thức xn  xn+m

1.2.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.2.1: nón K gọi là nón chuẩn nếu:

 N > 0 :    x y x  N y

Mệnh đề 1.2.2.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn khi đó 1) Nếu u  v thì đoạn <u,v> := {xX: u  xv } bị chặn theo chuẩn 2) Nếu xn  yn  zn (n N*) và lim xn =a, lim zn =a thì lim yn =a 3) Nếu { xn } đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn =a,

Chứng minh

1)  x  <u,v>    x-u  v-u  x-u  N u-v  x  u + N u-v

2)   yn - xn  zn - xn  yn - xn  N zn - xn 3) Coi { xn } tăng và lim x = an

k

k

Vì xn  xn k (n cố định, k đủ lớn) nên xn  a  n  N*