Một số vấn đề trong bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phước Long MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phước Long MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN Chuyên ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH CƠNG DIỆU Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Với kính trọng lịng biết ơn sâu sắc, chân thành cảm ơn TS Trịnh Cơng Diệu - Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình hướng dẫn giúp đỡ thầy q trình thực luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin Phòng Sau Đại Học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy, cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn Huỳnh Phước Long MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1 Bài toán tối ưu mục tiêu 1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 1.3 “Trọng số” ưu tiên toán tối ưu đa mục tiêu Chương TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 11 2.1 Nón quan hệ thứ tự 11 2.2 Tối ưu Pareto 14 2.2.1 Nghiệm tối ưu Pareto 14 2.2.2 Nghiệm tối ưu Pareto yếu ngặt 15 2.2.3 Nghiệm tối ưu Pareto thường 23 2.2.4 Tối ưu Pareto trường hợp toán tối ưu mục tiêu 28 2.3 Một số khái niệm tối ưu đa mục tiêu khác 30 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 39 3.1 Phương pháp tổng trọng số 39 3.2 Phương pháp trọng số Lp -mêtric 42 3.3 Phương pháp ràng buộc ( ε − constraint method ) 46 3.4 Phương pháp Normal-Boundary Intersection (NBI) 50 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 BẢNG KÝ HIỆU  tập số tự nhiên  đường thẳng thực + tập số thực không âm n không gian Euclide n − chiều  n+ tập véc tơ không âm  n ∅ tập rỗng M ×N tích Đề-các hai tập M N x≥0 x ∈  n+ x = n ∑x i =1 i chuẩn Euclide x A bao đóng A coA bao lồi A coneA nón sinh A TA ( y ) nón tiếp xúc A y f : X →Y ánh xạ từ X vào Y MỞ ĐẦU Trong thực tiễn sống, thường gặp phải vấn đề đòi hỏi cần đưa định đắn nhất, tốt cho vấn đề Chẳng hạn ta muốn mua viết vấn đề đặt nên mua thương hiệu để có chất lượng tốt nhất? Hoặc du lịch nên lựa chọn khách sạn nghỉ ngơi để tiết kiệm nhiều chi phí nhất? Giải vấn đề có nghĩa đặt mục tiêu cụ thể để tìm giá trị lớn hay nhỏ thơng qua việc thu thập phân tích thơng tin Nói cách khác, tìm giá trị lớn hay nhỏ mục tiêu giải toán tối ưu mục tiêu Do nhu cầu phát triển kinh tế kỹ thuật, ngày nhiều mục tiêu hướng đến với mong muốn thực lúc khiến cho tốn tối ưu mục tiêu đáp ứng Từ tốn tối ưu đa mục tiêu hình thành nhằm phục vụ cho nhu cầu hoạt động kinh tế, kỹ thuật Ví dụ cơng ty muốn tìm đường vận chuyển hàng hóa, đường bộ, đường thủy đường hàng không cho thời gian nhanh lại tiết kiệm nhiều chi phí Các mục tiêu toán tối ưu đa mục tiêu thường độc lập với đối kháng Nghĩa phương án tốt cho mục tiêu khơng tốt mục tiêu khác nên phương án tốt cho tất mục tiêu khó xảy Do giải tốn tối ưu đa mục tiêu có nghĩa tìm phương án tốt theo nghĩa Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu ban đầu đưa Edgeworth từ năm 1881 Pareto từ năm 1906 Cơ sở toán học lý thuyết khơng gian có thứ tự đưa Cantor năm 1897, Hausdorff năm 1906 ánh xạ đơn trị đa trị có giá trị khơng gian có thứ tự thỏa mãn tính chất Từ năm 1950, sau cơng trình điều kiện cần đủ cho tối ưu Kuhn-Tucker năm 1951 tối ưu Pareto Deubreu năm 1954, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu thực cơng nhận ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Bên cạnh đó, tối ưu đa mục tiêu phi tuyến phận quan trọng tối ưu đa mục tiêu Ngày có nhiều nhà nghiên cứu quan tâm đến lĩnh vực với mục tiêu xây dựng hệ thống phương pháp hoàn thiện nhằm áp dụng cho tất toán kinh tế, sản xuất nói riêng lĩnh vực khác nói chung Nội dung luận văn tìm hiểu trình bày số kết toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến tài liệu tham khảo [2] [4] Kết việc làm trình bày thành ba chương Chương 1: trình bày số ví dụ thực tế với mơ hình tốn học cụ thể tốn tối ưu mục tiêu toán tối ưu đa mục tiêu Đồng thời phát biểu dạng tổng quát hai dạng toán tối ưu giới thiệu “trọng số” ưu tiên toán tối ưu đa mục tiêu Chương 2: trình bày khái niệm nón vấn đề liên quan đến quan hệ thứ nói đến tối ưu phải có so sánh Sau giới thiệu số khái niệm nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu yếu, ngặt nghiệm tối ưu thường theo định nghĩa Pareto, Geoffrion, Borwein, Benson, Kuhn-Tucker số định lý thể mối liên hệ chúng Bên cạnh giới thiệu số dạng toán tối ưu đa mục tiêu khác trường hợp đặc biệt nghiệm tối ưu Pareto toán tối ưu mục tiêu Chương 3: trình bày số phương pháp để giải toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến với sở lí luận thuật tốn ví dụ cụ thể Chương GIỚI THIỆU BÀI TỐN 1.1 Bài tốn tối ưu mục tiêu Các ví dụ tốn tối ưu mục tiêu xuất nhiều thực tế Ở tơi nêu vài ví dụ mà mơ hình tốn học xem xét ví dụ việc áp dụng lý thuyết tốn học để giải Mơ hình tổng qt tốn “trọng số” ưu tiên trình bày chương tìm thấy [1], [4], [5] Ví dụ 1: Một nhà máy dự định sản xuất loại thùng hình trụ có chiều cao h > , bán kính đáy r > Biết chi phí sản xuất cho thùng xác định theo công thức:= C 5π r + 60π rh Hãy xác định r cho thùng tích mong muốn 1125 ( cm3 ) với chi phí sản xuất thấp nhất? Mơ hình tốn học: Ta có r bán kính đáy ( r > ) , h chiều cao thùng ( h > ) Thùng tích mong muốn 1125 ( cm3 ) nghĩa V= π r 2= h 1125 ⇒ = h chi phí sản xuất cho thùng C= ( r ) 5π r + 1125 Khi π r2 67500 Vậy tốn phát r biểu hình thức tốn tối ưu sau: C= ( r ) 5π r + 67500 với điều kiện r > r Ví dụ 2: Một nhà đầu tư có tỉ đồng muốn đầu tư vào ba lĩnh vực chứng khoán, gửi tiết kiệm, bất động sản với lãi suất sau: Lĩnh vực đầu tư Lãi suất / năm Chứng khoán 20% Gửi tiết kiệm 12% Bất động sản 18% Để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho khơng nên đầu tư vào chứng khốn bất động sản 50% tổng số vốn Gửi tiết kiệm 30% tổng số vốn cho an tồn đầu tư vào bất động sản nhiều tỉ đồng Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn đầu tư cho tiền lãi thu sau năm lớn Mơ hình tốn học: Gọi x1 số tiền đầu tư vào chứng khoán ( ≤ x1 ) (đồng), x2 số tiền gửi tiết kiệm (1500000000 ≤ x2 ≤ 5000000000 ) (đồng), x3 số tiền đầu tư vào bất động sản ( ≤ x3 ≤ 2000000000 ) (đồng), đảm bảo x1 + x3 ≤ 2500000000 Tiền lãi sau năm f ( x1 , x2 , x3 ) = 20% x1 + 12% x2 + 18% x3 Vậy tốn phát biểu hình thức tốn tối ưu sau: max f ( x1 , x2 , x3 ) = 20% x1 + 12% x2 + 18% x3 với điều kiện: x1 + x3 ≤ 2500000000  1500000000 ≤ x ≤ 5000000000   ≤ x ≤ 2000000000   ≤ x1 Ví dụ 3: Một xí nghiệp sản xuất giấy có số lượng bột gỗ chất hồ keo tương ứng 5580 m3 90 Xí nghiệp sản xuất loại giấy A, B, C Nguyên liệu cần để sản xuất loại giấy cho bảng sau: Nguyên liệu A B C Bột gỗ ( m3 ) 1,5 1,8 1,6 Chất hồ keo (kg) 20 30 24 Biết lợi nhuận sản xuất giấy A, B, C 2,7; 3,6; (triệu đồng) Lập kế hoạch sản xuất để lợi nhuận lớn nhất? Mô hình tốn học: Gọi x1 số giấy loại A ( x1 ≥ ), x2 số giấy loại B ( x2 ≥ ), x3 số giấy loại C ( x3 ≥ ) Nguyên liệu bột gỗ thỏa: 1,5 x1 + 1,8 x2 + 1,6 x3 ≤ 5580 ( m3 ) Nguyên liệu chất hồ keo thỏa: 20 x1 + 30 x2 + 24 x3 ≤ 90000 (kg) Lợi nhuận đạt f ( x1 , x2 , x3 ) = 2,7 x1 + 3,6 x2 + x3 Vậy tốn phát biểu hình thức toán tối ưu sau: max f ( x1 , x2 , x3 ) = 2,7 x1 + 3,6 x2 + x3 với điều kiện: 1,5 x1 + 1,8 x2 + 1,6 x3 ≤ 5580  20 x1 + 30 x2 + 24 x3 ≤ 90000  x1 ; x2 ; x3 ≥  Các ví dụ phần nói lên dạng tổng quát tốn tối ưu mục tiêu, tốn tìm x = ( x1 , x2 , , xn ) cho: (1) • = f ( x) n ∑a x i =1 • i i → min(max)  ≥  n cij xi  ≤  b j ; j = 1, , k ∑ i =1  =    Hàm mục tiêu (2) Ràng buộc biến (Ràng buộc chính) 41 f (X ) f2 f (X ) f2 f1 λ1 f1 + λ2 f λ1 f1 + λ2 f f1 Hình 3.1 Bài tốn lồi khơng lồi  Áp dụng thuật tốn giải ví dụ 12 Ý nghĩa cách làm: Từ toán hai mục tiêu ban đầu, ta chọn λ = ( λ1 , λ2 ) chuyển toán mục tiêu Mỗi trọng số gắn với mục tiêu thỏa λ1 + λ2 = thể tầm quan trọng mục tiêu Giải tốn mục tiêu để tìm nghiệm Áp dụng thuật toán: ( ) ( ) λ = ( λ1 , λ2 ) f1 x1 , x ≈ f x1 , x ≈ (1;0) (0,9;0,1) 0,006173 4,888889 (0,8;0,2) 0,03125 4,75 (0,7;0,3) 0,091837 4,571429 (0,6;0,4) 0,222222 4,333333 42 (0,5;0,5) 0,5 (0,4;0,6) 1,125 3,5 (0,3;0,7) 2,361111 2,833333 (0,2;0,8) (0,1;0,9) 10 (0;1) 10 3.2 Phương pháp trọng số Lp -mêtric Ta xét toán phụ sau: p p  Q  ∑ wi ( f i ( x ) − yi0 )  với ≤ p < ∞ x∈X  i =1  (N ) max wi ( fi ( x ) − yi0 ) (N ) Trong đó: wi ≥ với i ∈ {1, , Q} với p = ∞ x∈X i =1, ,Q Q ∑w i =1 i w p w ∞ = 1, y điểm lí tưởng toán ( f1 ( x ) , , f Q ( x ) ) x∈X  Cơ sở lí luận: Định lý 3.2 Nghiệm x* toán N pw với ≤ p < ∞ nghiệm tối ưu Pareto điều kiện sau thỏa mãn: a x* nghiệm b wi > với i = 1, , Q Chứng minh: Giả sử x* nghiệm toán N pw x* ∉ X Par 43 a Với x ∈ X thỏa fi ( x ) ≤ fi ( x* ) , i = 1, , Q f k ( x ) < f k ( x* ) với vài k x nghiệm tốn N pw , x ≠ x* (Mâu thuẫn với x* nghiệm nhất) ( ( ( ) ) ) b Với wi > , ta có ≤ wi fi ( x ) − yi0 ≤ wi f i x* − yi0 với i = 1, , Q lớn hẳn với vài k p p   Suy  ∑ wi ( fi ( x ) − yi0 )  <  ∑ wi fi ( x* ) − yi0 =  i 1=  i1 Q ( Q ) p p    Điều mâu thuẫn với x* nghiệm toán N pw Mệnh đề 3.3 Cho w  Khi a Nếu x* nghiệm tốn N ∞w x* ∈ X w− Par b Nếu N ∞w bị chặn X Par ≠ ∅ tốn có nghiệm tối ưu Pareto Chứng minh: a) Giả sử x* nghiệm toán N ∞w x* ∉ X w− Par Với x ∈ X thỏa ) ( ( ) ( ) f i ( x ) < f i ( x* ) , i = 1, , Q ta có ≤ fi ( x ) − yi0 < fi x* − yi0 ∀i =1, , Q ( ( ) ) Suy max w ( f ( x ) − y ) < max w ( f ( x ) − y ) ( ) Suy ≤ wi fi ( x ) − yi0 < wi f i x* − yi0 ∀i =1, , Q (do w  ) x∈X i i i * x∈X i i i Mâu thuẫn với tính cực tiểu x* b) Giả sử x* nghiệm toán N pw x* ∉ X Par Do X Par ≠ ∅ nên tồn x ∈ X Par thỏa f ( x ) < f ( x* ) ( ) ( ( ) ) Khi đó: ≤ wi fi ( x ) − yi0 ≤ wi f i x* − yi0 ∀i =1, , Q Nghĩa x nghiệm toán N pw Định lý 3.4 x* ∈ X nghiệm tối ưu Pareto yếu tồn véc tơ trọng số 44 w  cho x* nghiệm toán max wi ( fi ( x ) − yi00 ) với y 00 điểm không tưởng x∈X i =1, ,Q Chứng minh: ⇒) Đặt wi = fi ( x ) − y * 00 i  (do fi ( x ) > yi00= ∀i 1, , Q, ∀x ∈ X ) ( ) Giả sử x* khơng nghiệm tốn max wi fi ( x ) − yi00 x∈X i =1, ,Q Khi ∃x ∈ X : max w ( f ( x ) − y ) < max w ( f ( x ) − y ) =1 00 i i i =i 1, , = Q i 1, ,Q * i i 00 i Suy wi ( fi ( x ) − yi00 ) < ∀i =1, , Q Suy fi ( x ) − yi00 < fi ( x* ) − yi00 ∀i =1, , Q Dẫn đến fi ( x ) < fi ( x* ) ∀i =1, , Q Điều mâu thuẫn với x* ∈ X w− Par ⇐) Giả sử x* ∉ X w− Par Với x ∈ X thỏa ) Suy ≤ w ( f ( x ) − y ) < w ( f ( x ) − y ) ∀i =1, , Q Suy max w ( f ( x ) − y ) < max w ( f ( x ) − y ) f i ( x ) < f i ( x* ) , i = 1, , Q ta có ( ≤ ( fi ( x ) − yi00 ) < fi ( x* ) − yi00 ∀i =1, , Q i x∈X 00 i i i i 00 i * i 00 i i * x∈X i i (do w  ) 00 i Mâu thuẫn với tính cực tiểu x* Nhận xét: + Cách lựa chọn p w tác động đáng kể đến nghiệm tìm + Nghiệm tối ưu Pareto tìm thấy tốn phụ N ∞w với véc tơ trọng số dương điểm kiểm tra điểm không tưởng vài nghiệm nghiệm tối ưu Pareto yếu  Thuật tốn: 45 Bước 1: Xác định điểm lí tưởng y Bước 2: Chọn chọn tùy ý wi thỏa Q ∑w i =1 i = chọn p Bước 3: Giải toán phụ với wi p chọn để tìm nghiệm f2 f (X ) y* y0 f1 Hình 3.2 Bài tốn phụ N 2w  Áp dụng thuật tốn giải ví dụ 12 Ý nghĩa cách làm: Đầu tiên ta phải xác định điểm lí tưởng y Ta tìm điểm khơng gian mục tiêu cho khoảng cách từ đến y nhỏ Từ toán hai chọn số p mục tiêu ban đầu, ta chọn w = ( w1 , w2 ) thỏa w1 + w2 = chuyển toán mục tiêu Giải tốn mục tiêu để tìm nghiệm Áp dụng thuật tốn: Ta giải ví dụ với w = ( 0,5;0,5 ) w = ( 0,3;0,7 ) Với w = ( 0,5;0,5 ) , điểm lí tưởng y = ( 0,1) , ta có bảng kết sau: p w = ( w1 , w2 ) (0,5;0,5) x≈ (-1,5;0,5) f1 ( x ) ≈ 0,5 f2 ( x ) ≈ 46 (0,5;0,5) (-1,83512;0,164878) 1,394859 3,329755 10 (0,5;0,5) (-1,97536;0,024642) 1,902647 3,049284 50 (0,5;0,5) (-1,99532;0,004681) 1,981325 3,009359 100 (0,5;0,5) (-1,99767;0,002325) 1,99071 3,00465 Với w = ( 0,3;0,7 ) , điểm lí tưởng y = ( 0,1) , ta có bảng kết sau: f1 ( x ) ≈ f2 ( x ) ≈ (-2;-0,16667) 2,361111 2,833333 (0,3;0,7) (-2;-0,06222) 2,128315 2,937778 10 (0,3;0,7) (-2;-0,01063) 2,021365 2,989374 50 (0,3;0,7) (-2;-0,00207) 2,004142 2,997931 100 (0,3;0,7) (-2;-0,00103) 2,002063 2,998969 p w = ( w1 , w2 ) (0,3;0,7) x≈ 3.3 Phương pháp ràng buộc ( ε − constraint method ) Ta xét toán phụ sau: f j ( x ) với j ∈ {1, , Q} , x∈( X ∩C ) C= {x ∈  n Pj ( ε ) : f k ( x ) ≤ ε k ∀k ∈ {1, , Q} , k ≠ j}  Cơ sở lí luận: Mệnh đề 3.5 Giả sử x* nghiệm tối ưu toán Pj ( ε ) với vài j Khi x* nghiệm tối ưu Pareto yếu Chứng minh: Giả sử ngược lại x* ∉ X w− Par Khi tồn x ∈ X cho f k ( x ) < f k ( x* ) với ( ( )) k = 1, , Q hay f j ( x ) < f j x* Mặt khác x* nghiệm tối ưu toán Pj ( ε ) nên f k ( x ) < f k ( x* ) ≤ ε k , j ≠ k 47 Suy f j ( x ) < f j ( x* ) mâu thuẫn với tính cực tiểu x* Mệnh đề 3.6 Giả sử x* nghiệm tối ưu toán Pj ( ε ) với vài j Khi x* nghiệm tối ưu Pareto Chứng minh: Giả sử tồn x ∈ X : f k ( x ) ≤ f k ( x* ) ≤ ε k ∀k ≠ j Ta có x* nghiệm tối ưu toán Pj ( ε ) Suy f j ( x ) ≤ f j ( x* ) f j ( x ) = f j ( x* ) Suy x nghiệm tối ưu Pj ( ε ) Suy x* ∈ X Par Định lý 3.7 Nghiệm x* ∈ X nghiệm tối ưu Pareto tồn ε * ∈  Q cho x* nghiệm toán Pj ( ε * ) với j = 1, , Q Chứng minh: ⇒) Giả sử ε * = f ( x* ) x* không cực tiểu toán Pj ( ε * ) với vài j Khi tồn x ∈ X với f j ( x ) < f j ( x* ) f k ( x ) ≤ ε k* = f k ( x* ) với k ≠ j Suy x* ∉ X Par ⇐) Giả sử x* ∉ X Par Khi tồn số q ∈ {1, , Q} x ∈ X : f q ( x ) < f q ( x* ) , f k ( x ) ≤ f k ( x* ) q ≠ k Giả sử x* nghiệm tốn Pq ( ε * ) Ta có f k ( x ) ≤ f k ( x* ) ≤ ε k ∀k ≠ q Suy x nghiệm Pq ( ε * ) x ∈ X : f q ( x ) < f q ( x* ) (Mâu thuẫn với tính cực tiểu x* ) Vậy x* ∈ X Par Định lý 3.8 (Chankong and Haimes 1983) 48 Q Giả sử x* nghiệm tối ưu toán ∑ λi fi ( x ) Nếu λk > tồn ε * x∈X i =1 cho x* nghiệm toán Pk ( ε * ) Giả sử X tập lồi fi :  n →  hàm lồi Nếu x* nghiệm tối ưu toán Pk ( ε * ) với vài k tồn λ ∈  Q+ \ {0} cho x* nghiệm tối Q ưu toán ∑ λi fi ( x ) x∈X i =1 Chứng minh: Q Ta có x* nghiệm tối ưu toán ∑ λi fi ( x ) x∈X Khi i =1 ∑ λ ( f ( x ) − f ( x ) ) ≥ 0, ∀x ∈ X Q * i =1 i i i Giả sử x* khơng nghiệm tốn Pk ( ε * ) Đặt ε * = f ( x* ) Khi tồn x ∈ X cho f k ( x ) < f k ( x* ) fi ( x ) ≤ fi ( x* ) = ε i* i ≠ k ( ) ( ) Suy λk f k ( x ) − f k ( x* ) + ∑ λi fi ( x ) − fi ( x* ) < λk > i≠k Điều mâu thuẫn Giả sử x* nghiệm toán Pk ( ε * ) Khi khơng tồn x ∈ X cho f k ( x ) < f k ( x* ) fi ( x ) ≤ fi ( x* ) = ε i* i≠k Do X lồi, f hàm lồi theo Định lý 2.20 ta có: ( ) ∃λ ∈  Q+ \ {0} : ∑ λi fi ( x ) − fi ( x* ) ≥ với x ∈ X Q i =1 49 Mặt khác λ ∈  Q+ \ {0} ta có ∑ λi fi ( x ) ≥∑ λi fi ( x* ) với x ∈ X λ Q Q =i =i véc tơ trọng số cần tìm Nhận xét: + Khó khăn phương pháp tìm khoảng biến thiên giao độ giá trị mức ε k cho hợp lý Nếu ε k chọn nhỏ thường tạo tốn khơng tìm nghiệm phù hợp Nếu ε k chọn lớn khơng cịn đóng vai trị ràng buộc toán Trong trường hợp cụ thể, giá trị ε k chọn nằm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm mục tiêu  Thuật toán: Bước 1: Chọn hàm mục tiêu f j để chuyển tốn ban đầu toán mục tiêu Bước 2: Chọn ε k cho C = {x ∈  n : f k ( x ) ≤ ε k ∀k ∈ {1, , Q} , k ≠ j} Bước 3: Giải tốn phụ để tìm nghiệm f (X ) f2 ε2 y* f ( X C) Hình 3.3 Nghiệm toán phụ P1 ( ε ) f1 50  Áp dụng thuật tốn giải ví dụ 12 Ý nghĩa cách làm: Từ toán hai mục tiêu ban đầu, ta chọn hàm mục tiêu xem quan trọng để chuyển toán mục tiêu Với hàm mục tiêu lại, ta xem ràng buộc ( ≤ ε ) với ε ta chọn Áp dụng thuật toán: Ta xét toán phụ: −2≤ x1 , x2 ≤ ( ) f1 ( x1 , x2 ) với f x1 , x = x1 + x2 + ≤ ε Với giá trị ε , ta có bảng kết sau: ε ( x1 , x2 ) ≈ = x f1 ( x1 , x2 ) ≈ -5 Khơng có -3 Khơng có Khơng có (-2;-2) 10 1,5 (-2;-1,5) 7,25 2,2 (-2;-0,8) 4,24 2,8 (-2,-0,2) 2,44 3,6 (-1,7;0,3) 0,98 (-1;1) (-1;1) 3.4 Phương pháp Normal-Boundary Intersection (NBI) Ta xét toán phụ sau: -t x∈X t∈ thỏa mãn Φβ − t.Φe =f ( x ) Trong đó: Φ ma trận vng Q × Q , Φβ điểm xuất phát CHIM, ( NBI ) 51 e = (1,1 ,1) ma trận Q × T  Cơ sở lí luận: Định nghĩa 3.9 (Convex Hull of Individual Minima (CHIM)) Giả sử xi∗ nghiệm tối ưu hàm mục tiêu fi ( x ) , i = {1, , Q} với x ∈ X Đặt Fi * = f ( xi* ) ( Fi * −= f* f* gọi (f * Φ ma trận vng Q×Q mà cột thứ i ) * * f i ( xi* ) Khi ta gọi (CHIM) tập hợp điểm , , f= Q ) , fi T Q   Q  mà tổ hợp lồi Fi , nghĩa Φβ : β ∈  , ∑ β i =1, β i ≥  i =1   * Q Cấu trúc Φ : * * Cột thứ i Φ là: F (:, i ) =F= với f * i − f f , , f ) , f (= * * T Q * i f i ( xi* ) Φ ( j , i ) ≥ 0, j ≠ i Nhận xét: + Trong toán tối ưu hai mục tiêu, với nghiệm tối ưu Pareto x* tồn tốn phụ NBI mà x* nghiệm Đối với toán hai mục tiêu trở lên khẳng định khơng cịn (Xem [3]) + Trong toán tối ưu đa mục tiêu mà tập ảnh f ( X ) không lồi nghiệm tốn phụ NBI khơng thiết điểm tối ưu Pareto  Thuật toán: Bước 1: Tìm nghiệm tối ưu hàm mục tiêu Bước 2: Xác định Φ Bước 3: Chọn β ∈  Q thỏa Q β ∑= i =1 i 1, β i ≥ Bước 4: Giải toán phụ để tìm nghiệm  Áp dụng thuật tốn giải ví dụ 12 52 Ý nghĩa cách làm: Từ toán hai mục tiêu ban đầu, ta xác định nghiệm tối ưu hàm mục tiêu để từ ta tìm CHIM Từ điểm Φβ CHIM, ta dựng tia vng góc với CHIM điểm hướng chiều âm Giao điểm tia vừa dựng biên f ( X ) nghiệm tối ưu Pareto f (X ) f2 A B C b D c d E f1 Hình 3.4 Nghiệm tốn phụ NBI với f ( X ) lồi f2 f (X ) A C c B f1 Hình 3.5 Nghiệm tốn phụ NBI với f ( X ) không lồi 53 Áp dụng thuật tốn: Ta có x1∗ = ( −1,1) nghiệm tối ưu hàm mục tiêu f1 x2∗ =( −2, −2 ) nghiệm tối ưu hàm mục tiêu f 0   10  0  10  F1* =   ; F2* =   ; f * =   ; Φ =  1         Bài toán NBI : − t , t∈  10  10   f1 ( x1 , x2 )  − β   4   t =      f ( x1 , x2 )  54 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại kết tài liệu [2], [4] Luận văn gồm ba chương Chương trình bày cách khái quát mơ hình tốn học tốn tối ưu nhiều mục tiêu thực tế Chương trình bày khái niệm tối ưu Pareto giới thiệu số khái niệm tối ưu đa mục tiêu khác Chương trình bày số phương pháp giải toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến nghiệm tìm hiểu theo nghĩa tối ưu Pareto Trong trình giải vấn đề trên, tơi nhận thấy phương pháp nêu có áp dụng cho toán tối ưu từ điển, tối ưu max-thứ tự tối ưu từ điển maxthứ tự hay khơng? Nếu có điều kiện tơi tìm hiểu vấn đề Do hiểu biết thân cịn hạn hẹp nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý bảo q thầy hội đồng để luận văn hoàn thiện 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Thế Tâm Trần Vũ Thiệu (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, Nhà xuất Giao thơng vận tải Hà Nội Tiếng Anh [2] Claus Hillermeler (2001), Nonlinear Multiobjective Optimization, Springer Basel AG [3] I Das and J.E Dennis (1998), Normal-boundary intersection: A new method for generating the Paretosurface in nonlinear multicriteria optimization problems, SIAM Journal of Optimization, 8(3):631-657 [4] Matthias Ehrgott (2005), Multicriteria Optimization, Springer Science & Business Media, Berlin [5] Thomas L Saaty (2000), Fundamentals of the Analytic Hierarchy Process, RWS Publications ... MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1 Bài toán tối ưu mục tiêu 1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 1.3 “Trọng số? ?? ưu tiên toán tối ưu đa mục. .. giới thiệu số dạng toán tối ưu đa mục tiêu khác trường hợp đặc biệt nghiệm tối ưu Pareto tốn tối ưu mục tiêu Chương 3: trình bày số phương pháp để giải toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến với sở... “Trọng số? ?? ưu tiên toán tối ưu đa mục tiêu Một hướng giải toán tối ưu đa mục tiêu sử dụng “trọng số? ?? “Trọng số? ?? có nghĩa mức độ ưu tiên hay tầm quan trọng mục tiêu mà dựa vào ta đưa toán ban đầu toán