Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Oanh TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Oanh TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH CƠNG DIỆU Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy Trịnh Công Diệu Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Nguyễn Thị Thu Oanh Lời cảm ơn Lời luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Trịnh Cơng Diệu - Khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tận tình giúp đỡ dẫn em để hồn thành luận văn suốt thời gian qua Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy giảng dạy em suốt q trình học cao học quý thầy cô hội đồng khoa học dành thời gian đọc luận văn em Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy làm việc phịng SĐH giúp đỡ em nhiều trình học tập thực luận văn Trong trình thực luận văn, sai sót điều khó tránh khỏi, em mong nhận ý kiến đóng góp từ quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu Danh mục bảng Danh mục hình vẽ, đồ thị MỞ ĐẦU Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán thực tế 1.2 Mơ hình tổng qt tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 1.3 Một số khái niệm toán học cần dùng Chương PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU PARETO 12 2.1 Phương án tối ưu Pareto 12 2.2 Phương án tối ưu Pareto 18 2.3 Phương án tối ưu Pareto cho trường hợp toán tối ưu mục tiêu 24 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 26 3.1 Phương pháp tổng trọng số 26 3.2 Phương pháp ε − ràng buộc 30 3.3 Phương pháp Benson 33 3.4 Phương pháp đơn hình 36 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Danh mục kí hiệu + tập số thực không âm x = ( x1 , x2 , , xn ) vecto biến định f ( x) = ( f1 ( x), f ( x), , fQ ( x) ) vecto hàm mục tiêu  f ( x) vecto gradient hàm f x Ty (Y ) nón tiếp xúc Y y cone(Y ) bao nón Y cl (Y ) bao đóng Y int (Y ) phần Y bd (Y ) biên Y X ⊆Y X trùng với Y ( x* ,  * ) vecto gồm biến x* biến * λ,ω vecto trọng số 〈λ , y〉 tích vô hướng λ y At ma trận chuyển vị ma trận A A−1 ma trận nghịch đảo ma trận A rank A hạng ma trận A I ma trận đơn vị id ánh xạ đồng arg số phần tử LB tập ma trận sở LPX tập điểm cực tối ưu Pareto LPU tập tia cực Danh mục bảng Bảng 1.1 Giá thành, tuổi thọ, sản lượng trứng loại gà Bảng 1.2 Một số thứ tự  n Bảng 3.1 Đơn giá, số lao động, vốn ví dụ 3.2 54 Bảng 3.2 Các tập số ví dụ 1.2 63 Bảng 3.3 Các tập số ví dụ 3.2 64 Danh mục hình vẽ, đồ thị Hình 2.1 Biểu diễn giá thành, sản lượng ví dụ 1.1 hệ trục tọa độ 13 Hình 3.1 Minh họa cho quy tắc hình chữ nhật 40 Hình 3.2 Cấu trúc liên hợp sở điểm cực tương ứng ví dụ 1.2 53 Hình 3.3 Cấu trúc liên hợp sở điểm cực tương ứng ví dụ 3.2 60 Hình 3.4 Tập phương án tối ưu Pareto ví dụ 1.2 63 Hình 3.5 Tập phương án tối ưu Pareto ví dụ 3.2 65 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong sống hàng ngày, nhiều lĩnh vực, thường đối mặt với tình có nhiều lựa chọn, nhiều hướng giải Khi ấy, phải thu thập liệu tính tốn tìm phương án giải cho đạt hiệu tốt Chính điều đó, "tối ưu hóa" ngày phát triển, trở thành ngành quan trọng Toán học ngày có nhiều ứng dụng rộng rãi hiệu lĩnh vực đời sống như: kĩ thuật, công nghệ, kiến trúc, tài chính,… Trên thực tế, có nhiều trường hợp buộc ta phải lựa chọn phương án "tốt nhất", lựa chọn đáp ứng nhiều mục tiêu khác mục tiêu lại xung đột với Do đó, vấn đề đặt cần tìm phương án lí tưởng thỏa mãn tất mục tiêu, điều khơng dễ dàng Những vấn đề với nhiều ràng buộc mục tiêu thường mơ hình hóa dạng tốn tối ưu đa mục tiêu nói chung tối ưu đa mục tiêu tuyến tính nói riêng Vì vậy, việc giải tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính công cụ hữu hiệu giúp ta giải vấn đề hóc búa Pareto người đặt tảng hình thành lĩnh vực vào cuối kỉ thứ XIX, đặc biệt ba thập kỉ cuối Ngày nay, có nhiều phương pháp hệ thống phần mềm giúp đỡ ta giải vấn đề nêu trên, tảng cho phương pháp, hệ thống lí thuyết tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chính vậy, việc nghiên cứu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ý nghĩa lí thuyết lẫn thực tiễn 2 Mục đích nghiên cứu Vì lí trên, luận văn khảo sát tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính số phương pháp giải tiêu biểu Đối tượng nghiên cứu Bài tốn đa mục tiêu tuyến tính f ( x) x∈ X Trong đó: f = ( f1 , , fQ ) fi :  n →  hàm tuyến tính, i = 1, Q X tập lồi đa diện Phương pháp nghiên cứu • Đọc tài liệu để tìm hiểu kết có tương ứng với tốn • Nêu vài ví dụ minh họa cho việc vân dụng lí thuyết vào thực tế Ý nghĩa thực tiễn Việc xem xét toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính nhằm cung cấp phương pháp toán học để giải vấn đề tối ưu thực tế 54 Hộ gia đình cần bán cho thu lợi nhuận cao nhất, tốn số lao động, số vốn Biết rằng: - Mặt hàng A cần chuyến xe vận chuyển/ đơn vị sản phẩm - Mặt hàng B cần chuyến xe vận chuyển/ đơn vị sản phẩm - Mặt hàng C cần chuyến xe vận chuyển/ đơn vị sản phẩm Và tổng số chuyến không vượt 52 chuyến - Mặt hàng A có tối đa 10 sản phẩm - Tổng số mặt hàng A, B, C bán khơng q 29 sản phẩm Ta có mơ hình tốn học vấn đề sau: 20 x1 + 30 x2 + 60 x3 x1 +2 x2 + x3 10 x1 +15 x2 +35 x3 → max → → với ràng buộc: x1 +2 x2 + 3x3 ≤ 52 ≤ 10 x1 x1 + x2 + x3 ≤ 29 x1 , x2 , x3 ≥ Hay ta viết lại toán dạng sau đây: 55 −20 x1 − x1 10 x1 x1 + x1 x1 + 30 x2 − 60 x3 +2 x2 + x3 +15 x2 + 35 x3 x2 + x3 x2 + x3 → → → ≤ 52 ≤ 10 ≤ 29 x1 , x2 , x3 ≥ Trong đó:  52   −20 −30 −60 0  1 0        b =  10  C = 0  , A = 1 0  ,  10 1 1 0   29  15 35 0       Bước 1: Lấy x = (0, 0, 0) điểm cực chấp nhận Bước 2: a) Giải toán (D) với x = : 52u1 + 10u2 + 29u3 1   −20 −30 −60     t   + Is = −u 1 0  − ω  1 1   10 15  35     e ω − Iz = u , s, z ≥ t Ta ω * = (1;1;1,9) c) Giải toán LP(ω * ) : ω *t Cx Ax = b x ≥ Biểu diễn dạng bảng: 56 x1 = (0, 0, 0) LB := {(4,5, 6)} , LPX =: {= x1 (0, 0, 0)} Bước 3: a) Chọn B = (4,5, 6) LB := ∅ b) Các biến phi sở x1 , x2 , x3 Giải toán (SP) cho biến x1 : x1 biến hiệu suất Kiểm tra biến phi sở x2 : 57 x2 không biến hiệu suất Kiểm tra biến phi sở x3 : x3 không biến hiệu suất Nếu x1 vào sở x5 ra, thu sở liên hợp (1,4,6) LPX := {x1 , x } LB := {(1, 4, 6)} Bước 3: a) ⦿Chọn B:=(1,4,6), biến phi sở x2 , x3 , x5 Tương tự trên, ta giải toán (SP) để kiểm tra biến phi sở ta được: • x2 biến hiệu suất • x3 khơng biến hiệu suất • x5 biến hiệu suất 58 Nếu x2 vào sở x6 ra, cho ta sở liên hợp (1,2,4) Nếu x5 vào sở x1 ra, quay lại sở (4,5,6) LPX := {x1 , x , x } LB := {(1, 2, 4)} Bước 3: a) Chọn B := (1, 2, 4) , biến phi sở x3 , x5 , x6 Giải toán (SP) để kiểm tra biến phi sở ta được: • x3 biến hiệu suất • x5 biến hiệu suất • x6 biến hiệu suất Nếu x3 vào sở x4 ra, cho ta sở liên hợp (1,2,3) Nếu x5 vào sở x4 ra, cho ta sở liên hợp (1,2,5) Nếu x6 vào sở x2 ra, quay trở lại sở (1,4,6) 59 LPX := {x1 , x , x , x , x } LB := {(1, 2,3), (1, 2,5)} Bước 3: a) ⦿Chọn B:=(1,2,3), biến phi sở x_4,x_5,x_6 Giải toán (SP) để kiểm tra biến phi sở ta được: • x4 biến hiệu suất • x5 biến hiệu suất • x6 biến hiệu suất Nếu x4 vào sở x3 ra, quay trở lại sở (1,2,4) Nếu x5 vào sở x3 ra, quay trở lại sở (1,2,5) Nếu x6 vào sở x2 ra, cho ta sở liên hợp (1,3,6) LPX := {x1 , x , x , x , x , x } LB := {(1,3, 6)} Bước 3: a) 60 ⦿Chọn B := (1,3, 6) biến phi sở x2 , x4 , x5 Giải toán (SP) để kiểm tra biến phi sở ta được: • x2 biến hiệu suất • x4 khơng biến hiệu suất • x5 không biến hiệu suất Nếu x2 vào sở x6 quay trở lại sở (1,2,3) Thuật tốn kết thúc Ta tìm điểm cực tối ưu Pareto Cấu trúc liên hợp biểu diễn Hình 3.3 3.4.5 Khía cạnh hình học tập phương án tối ưu Pareto Trong phần này, ta trình bày ngắn gọn khía cạnh hình học tốn đa mục tiêu tuyến tính dựa kết thu [5] [6] Cho F ⊂ X mặt X F gọi mặt hiệu suất F ⊂ X Par F gọi mặt hiệu suất cực đại không tồn mặt hiệu suất F' có số chiều lớn F F ⊂ F ′ Bổ đề 3.26 Nếu tồn λ ∈ int  Q+ cho λ T Cx = γ X Par = X Hay nói cách khác khơng đổi với x ∈ X 61 T X Par ⊂  Ft t =1 với {Ft : t = 1, , T } tập tất mặt thực X T số mặt thật X Chứng minh Chi tiết chứng minh xem Bổ đề 7.17 [5] „ Do đó, để mơ tả cách hoàn thiện tập nghiệm X Par , ta xác định tất mặt hiệu suất cực đại X Định lí 3.27 Một mặt F ⊂ X mặt hiệu suất tồi xˆ ∈ X Par phần tương đối Chứng minh Chi tiết chứng minh xem Định lí 7.20 [5] „ Từ bổ đề 3.26 định lí 3.27 ta có nhận xét: X Par hợp mặt hiệu suất cực đại, với mặt tập tất kết tối ưu toán LP(λ ), λ ∈ int  Q+ Cho B sở hiệu suất Gọi N f ⊂ N tập biến phi sở, mà vị trí thực được thủ tục xoay J ⊂ N f gọi là tập cực đại biến phi sở hiệu suất không tồn J ′ ⊂ N f cho J ⊂ J ′ tốn (SP) ứng với J' có nghiệm Giả sử Bt ,t = 1, , t sở hiệu suất = J t , r ,t 1, , = t ; r 1, , r tất tập số cực đại biến phi sở hiệu suất sở hiệu suất Bτ = ν (= Bτ , d ν ),ν 1, ,υ cạnh hiệu suất không bị chặn với d ν tia cực X , , Định nghĩa Qτρττρ bao gồm sở liên hợp với Bτ bao lồi =: B ∪ J , Khi Qτρ điểm cực tương ứng với tất sở tìm thấy Qτρ, với bao nón tất cạnh khơng bị chặn tương ứng với sở tạo nên mặt hiệu suất Với mục đích xác định mặt hiệu suất cực đại, ta chọn số tối thiểu tập số đại diện cho tất Qτρ, , nghĩa là, chọn tập số U , ,U o thỏa mãn tính chất sau đây: 62 Với Qτρ, có tập U s cho Qτρ, ⊂ U s Với U s , có tập Qτρ, cho U s = Qτρ, Khơng có hai tập U s ,U s′ với s ≠ s′ mà U s ⊂ U s′ Bây giờ, xác định điểm cực cạnh không bị chặn tương ứng với sở tập U s Với s ∈ {1, , o} , đặt { } { } I bs := t ∈ {1, , t}: Bt ⊂ U s , ν ∈ {1, ,u}: Bτ ⊂ U s , I us := đặt   = 1, α ≥ 0, µν ≥  Xs = x ∈ X : x = ∑s ατ xτ + ∑s µν dν , ∑s αττ τ ∈I b ν ∈I u τ ∈I b   Ta có hai kết quan trọng sau đây: Định lí 3.28 (Isermann 1977) X s ⊂ X Par , s = 1, , o Chứng minh Chi tiết chứng minh xem Định lí 7.28 [5], Định lí [6] „ Định lí 3.29 (Isermann 1977) Nếu x ∈ X Par tồn s ∈ {1, , o} cho x ∈ X s Chứng minh Chi tiết chứng minh xem Định lí 7.29 [5], Định lí [6] „ Dựa vào định lí 3.28 định lí 3.29, ta thấy tập X s mặt X hiệu suất, nữa, tập mặt hiệu suất cực đại (MCLP) không suy biến Như vậy, hợp tập X s , s ∈ {1, , o} tập X Par Cuối cùng, ta dùng kết nhận xét để xác định tập X s để từ thu tập X Par hai ví dụ: ví dụ 1.2 ví dụ 3.2 ⦿Xác định tập X Par Ví dụ 1.2 Các tập số tính bảng 3.2 63 Bảng 3.2 Các tập số Ví dụ 1.2 = U {2,3, = 4}, U {1, 2, 4} I b1 = {1, 2} , I b2 = {2,3} Vì tốn khơng có tia cực nên ta tính được: { } ( ) { } ( ) X = x = α1 x1 + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x1 , x X = x = α1 x + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x , x X Par = X1 ∪ X Như tập nghiệm tối ưu Pareto hợp hai đường nối x1 , x x , x3 Biểu diễn dạng hình học: đường in đậm X Par (xem Hình 3.4.) 64 ⦿Xác định tập X_Par Ví dụ 3.2 Các tập số tính bảng 3.3 = U {1, = 4,5, 6}, U {1, = 2, 4, 6}, U {1, = 2,3, 4}, U {1, = 2, 4,5}, U {1, = 2,3,5}, U {1, 2,3, 6} I b1 = {1,= 2} , I b2 {2,3}, = I b3 {3, = 4}, I b4 {3,5}, = I b6 {4, 6} 65 Vì tốn khơng có tia cực nên ta tính được: { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) X = x = α1 x1 + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x1 , x X = x = α1 x + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x , x X = x = α1 x + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x , x X = x = α1 x + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x , x X = x = α1 x + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x , x X = x = α1 x + α x : α1 + α = 1, α i ≥ = conv x , x X Par = X ∪ X ∪ X ∪ X ∪ X ∪ X Biểu diễn dạng hình học sau (đường nối điểm cực X Par ) (xem Hình 3.5) Như vậy, phương pháp đơn hình ta tìm tập tất phương án tối ưu Pareto toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Dựa vào kết thu được, ta chọn phương án phương án tối ưu Pareto để đảm bảo hiệu tốt 66 Tuy nhiên, thực tế, tốn có nhiều mục tiêu nhiều ràng buộc giải tốn phương pháp đơn hình thực khó khăn, số điểm cực tối ưu Pareto tăng lên nhanh xác định mặt hiệu suất nhiều thời gian Thời gian gần đây, nhiều phương pháp đưa dựa phương pháp đơn hình trình bày, nhằm khắc phục nhược điểm trên, thời gian không cho phép nên luận văn xin phép dừng 67 KẾT LUẬN Thông qua luận văn, số nội dung liên quan đến "Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" trình bày Đây lớp tốn tối ưu điển hình thường nghiên cứu có ứng dụng nhiều thực tế Luận văn trình bày nội dung sau: • Giới thiệu số khái niệm toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính: phương án tối ưu Pareto, phương án tối ưu Pareto yếu, phương án tối ưu Pareto chặt, phương án tối ưu Pareto Ví dụ để làm rõ loại tối ưu Tham chiếu số khái niệm qua toán tối ưu mục tiêu tuyến tính • Đưa số phương pháp để giải tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính như: tổng trọng số, \epsilon-ràng buộc, Benson, phương pháp đơn hình mở rộng Ví dụ thực tế giải phương pháp Từ đó, rút kết luận thực tế Có thể xem luận văn bước khởi đầu tìm hiểu tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ứng dụng số phương pháp để giải tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính "Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" chủ đề thú vị, tơi hi vọng có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ưu việt nghiên cứu thêm tối ưu đa mục tiêu phi tuyến 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1.Nguyễn Hải Thanh (2005), Toán ứng dụng, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội 2.Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thông vận tải, Hà Nội Tiếng Anh Deshpande V (1981), Investigations in multiple objective linear programing theory and application, State University of New York at Buffalo, USA Edwin P.C., Stanislaw H.Z (2001), An introduction to Optimization, Second edition, Wiley, USA Ehrgott M (2005), Multicriteria Optimization, Springer, Berlin Isermann H (1977), "The enumeration of the set of all efficient solutions for a linear multiple objective program", Operational Research Quarterly 28, pp 711725 ... niệm tối ưu tổng quát tối ưu Pareto toán nghiên cứu tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 1.2 Mơ hình tổng qt tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Ta có mơ hình tổng quát toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. .. cho tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Trong phần có nhắc lại phương pháp đơn hình cho tốn tối ưu mục tiêu tuyến tính, sau trình bày thuật tốn đơn hình cho tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính xét... mục tiêu thường mơ hình hóa dạng tốn tối ưu đa mục tiêu nói chung tối ưu đa mục tiêu tuyến tính nói riêng Vì vậy, việc giải tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính công cụ hữu hiệu giúp ta giải vấn