Trong Mửc 1.3 chúng tổi s³ ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) vợi h m phi tuyáng(x, y, z, t) l h m cõ ở tông a thực theo bián t. é Ơy, chúng tổi  sỷ dửng phữỡng phĂp bián phƠn v Ăp dửng cĂc ành lỵ giĂ trà tợi hÔn trong [8] º chựng minh tỗn tÔi nghiằm yáu.
ành nghắa 1.3.1. H m u ∈ S1,02 (Ω) ữủc gồi l nghiằm yáu cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) náu ¯ng thực
Z
Ω
(Oxu,Oxϕ) + (Oyu,Oyϕ) + (|x|2α|y|2βOzu,Ozϕ)
dxdydz
+ Z
Ω
(C(x, y, z)uϕ−g(x, y, z, u)ϕ)dxdydz = 0 thọa mÂn vợi mồi ϕ∈ C0∞(Ω).
Chúng ta i tẳm nghiằm yáu cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) nhữ l iºm dứng cừa mởt phiám h m phi tuyán. Trữợc tiản chúng ta ành nghắa phiám h m Φ trong khổng gian S1,02 (Ω) nhữ sau
Φ(u) = 1 2
Z
Ω
(|Oxu|2 +|Oyu|2 +||x|α|y|βOzu|2)dxdydz
+1 2
Z
Ω
C(x, y, z)u2dxdydz
− Z
Ω
G(x, y, z, u)dxdydz. (1.19)
°t
Φ1(u) = 1 2
Z
Ω
(|Oxu|2 +|Oyu|2 + ||x|α|y|βOzu|2)dxdydz,
Φ2(u) = 1 2
Z
Ω
C(x, y, z)u2dxdydz,
Φ3(u) = Z
Ω
G(x, y, z, u)dxdydz.
Tứ ành nghắa cừa h mΦ1(u),Φ2(u)chúng ta suy ra ữủcΦ1(u),Φ2(u) l khÊ vi trong S1,02 (Ω) v vợi u ∈ S1,02 (Ω) chúng ta cõ
Φ01(u)(v) = Z
Ω
(Oxu,Oxv) + (Oyu,Oyv) + |x|α|y|β(Ozu,Ozv)
dxdydz,
Φ02(u)(v) = Z
Ω
C(x, y, z)uvdxdydz,
vợi mội v ∈ S1,02 (Ω).
ành lỵ 1.3.2. GiÊ sỷ 1 < p < ∞. Náu g(x, y, z, t) ∈ C( ¯Ω ìR) thọa mÂn iãu kiằn
|g(x, y, z, t)| ≤a(x, y, z) +b|t|p−1, vợi a(x, y, z) ∈ Lp−1p (Ω), b ∈ R+,
thẳ
Φ3 : u(x, y, z) → Z
Ω
u(x,y,z)
Z
0
g(x, y, z, ξ)dξdxdydz
l h m khÊ vi liản tửc (khổng tuyán tẵnh) trongLp(Ω). Hỡn nỳa, vợi mội u cố ành, u ∈ Lp(Ω), vợi mồi v ∈ Lp(Ω)
Φ03(u)(v) = Z
Ω
g(x, y, z, u(x, y, z))v(x, y, z)dxdydz.
Chúng ta kỵ hiằu ΩuM
R
= n
(x, y, z) ∈ Ω : |u(x, y, z)| ≤ M R
o , CΩuM
R
= Ω\ΩuM R
.
º chựng minh ành lỵ 1.3.2 trữợc tiản chúng ta i chựng minh bờ
ã sau.
Bờ ã 1.3.3. GiÊ sỷ 1 ≤ p < ∞ v 0 < s ≤ p, Ω l bà ch°n trong RN1+N2+N3, náu g(x, y, z, t) ∈ C(ΩìR) thọa mÂn iãu kiằn
|g(x, y, z, t)| ≤ a(x, y, z) +b|t|s, vợi a(x, y, z) ∈ Lps(Ω), b ∈ R+, thẳ
ϕ : u(x, y, z) 7→g(x, y, z, u(x, y, z))
l Ănh xÔ liản tửc ( khổng tuyán tẵnh) tứ Lp(Ω) v o Lps(Ω).
Chựng minh. Vợi mội phƯn tỷ u1 ∈ Lp(Ω), tứ giÊ thiát cừa h m g(x, y, z, t) ta câ
|ϕ(u1)|ps = |g(x, y, z, u1)|ps ≤ (|a(x, y, z)|+b|u1|s)ps
≤ 2p−ss (|a(x, y, z)|ps + b|u1|p).
Vẳ vêy ϕ(u1) ∈ Lps(Ω).
Vợi mội số ε > 0, tỗn tÔi số δ1 sao cho Ω1 ⊂ Ω v vol(Ω1) ≤ δ1, thẳ
||a(x, y, z)||Lps(Ω
1) ≤ ε
4.3sp.
Tứ ành lỵ Lebesgue's chúng ta tẳm ữủc mởt sốM0 ừ nhọ sao cho
||u1||Lp(CΩuM1
0) ≤ ε1s 21−2s31p
v ||u1||Lp(Ω)
(2δ1)1p
≤M0.
H m g(x, y, z, t) ∈ C(ΩìR) thẳ tỗn tÔi số δ2 sao cho
|g(x, y, z, t1)−g(x, y, z, t2)| ≤ ε (16vol(Ω))sp vợi mồi (x, y, z) ∈ Ω v |t1|,|t2| ≤2M0,|t1 −t2| ≤ δ2. BƠy giớ vợi δ >0, chúng ta lĐy u2 ∈ Lp(Ω) sao cho
||u1 −u2||Lp(Ω) ≤ δ.
Ta suy ra
||u2||Lp(CΩu2M2
0) ≤ 2||u2 −u1||Lp(Ω) + ||u1||Lp(CΩuM1
0) ≤2δ + ε1s 21−2s.31p
,
||u2||Lp(CΩu2M1
0) ≤ ||u2||Lp(CΩuM1
0) ≤ ||u2 −u1||Lp(Ω) +||u1||Lp(CΩuM1
0)
≤ δ+ ε1s 21−2s31p
,
||u1||Lp(CΩu4M2
0) ≤ ||u2 −u1||Lp(Ω) +||u2||Lp(CΩu2M2
0) ≤ 3δ + ε1s 21−2s31p
. Vêy
||ϕ(u2)−ϕ(u1)||
p s
Lps(Ω) = ||g(x, y, z, u2)−g(x, y, z, u1)||
p s
Lps(Ω)
≤ 2p−ss Z
CΩu2M2
0
(|g(x, y, z, u1)|ps +|g(x, y, z, u2)|ps)dxdydz
+2p−ss Z
CΩu2M1
0
(|g(x, y, z, u1)|ps +|g(x, y, z, u2)|ps)dxdydz
+ Z
Ωu2M1
0∩Ωu2M2
0
|g(x, y, z, u1)−g(x, y, z, u2)|psdxdydz.
Chóng ta °t I1 = 2p−ss
Z
CΩu2M2
0
(|g(x, y, z, u1)|ps +|g(x, y, z, u2)|ps)dxdydz,
I2 = 2p−ss Z
CΩu2M1
0
(|g(x, y, z, u1)|ps +|g(x, y, z, u2)|ps)dxdydz,
I3 = Z
Ωu2M1
0∩Ωu2M2
0
|g(x, y, z, u1)−g(x, y, z, u2)|psdxdydz.
Ưu tiản chúng ta Ănh giĂ I1. Náu
δp ≤ 2δ1M0p− ||u1||pLp(Ω), thẳ
vol(CΩu2M1
0), vol(CΩu2M2
0) ≤ δ1. Do â
I1 ≤ 22(p−s)s Z
CΩu2M2
0
(2|a(x, y, z)|ps +|u1|p+|u2|p)dxdydz
= 22p−ss ||a(x, y, z)||
p s
Lps(CΩu2M2
0)+ 22(p−s)s
||u1||p
Lp(CΩu2M2
0)+||u2||p
Lp(CΩu2M2
0)
≤ εps
6 + 22p−ss
3δ + ε1s 21−2s31p
p
≤ εps 3 . Tiáp theo ta Ănh giĂ I2. Vợi δ ≤ ε1s
21−2s.31+1p
, ta câ
I2 ≤ 22(p−s)s Z
CΩu2M1
0
(2|a(x, y, z)|ps +|u1|p+|u2|p)dxdydz
= 22p−ss ||a(x, y, z)||
p s
Lps(CΩu2M1
0)+ 22(p−s)s
||u1||pLp(CΩu1
2M0)+||u2||pLp(CΩu1 2M0)
≤ εps
6 + 22p−ss (δ + ε1s
21−2s31p)p ≤ εps 3 .
Cuèi còng ta ¡nh gi¡ I3. Náu δp ≤ δ1.δp2, thẳ vol(Ωuδ2−u1
2 ) ≤δ1. Do â I3 =
Z
K
|g(x, y, z, u1)−g(x, y, z, u2)|psdxdydz
+22(p−s)s Z
K
((2|a(x, y, z)|ps +|u1|p+|u2|p)dxdydz)
≤ εps
12 + εps
6 +vol(CΩuδ2−u1
2 )M0p
≤ εps
4 + 2p−1+2psδpM0p
δ2p ≤ εps 3 , ð ¥y K = Ωu2M1
0 ∩ Ωu2M2
0 ∩Ωuδ2−u1
2 , v δ ≤ δ2ε1s
21+1p+2s31pM0
. Chồn
δ ≤ max n
(2δ1M0p− ||u1||pLp(Ω))1p, δ
1 p
1δ2, ε1s 21−2s31+1p
, δ ≤ δ2ε1s 21+1p+2s31pM0
o , vợi cĂc kát quÊ Ănh giĂ cừa I1, I2, I3 ð trản chúng ta suy ra
||ϕ(u1)−ϕ(u2)||Lps(Ω) ≤ ε
hay ϕ l Ănh xÔ nhúng tứ Lp(Ω) v o Lps(Ω). Vêy bờ ã ữủc chựng minh.
B¥y gií chóng ta bt ¦u chùng minh ành lþ 1.3.2.
1. Trữợc hát vợi cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ ta chựng minh
ϕ : u(x, y, z) →
u(x,y,z)
Z
0
g(x, y, z, ξ)dξ
l khÊ vi liản tửc trong Lp(Ω). Ta °t
G(x, y, z, t) =
t
Z
0
g(x, y, z, ξ)dξ.
Khi õ chúng ta ành nghắa toĂn tỷ ϕ
ϕ : u(x, y, z) →G(x, y, z, u(x, y, z)).
Ta câ
|G(x, y, z, t)| ≤
|t|
Z
0
|g(x, y, z, ξ)|dξ ≤
|t|
Z
0
(|a(x, y, z)|+b|ξ|)p−1dξ
≤ |a(x, y, z)||t|+ b|t|p
p ≤ p−1
p |a(x, y, z)|p−1p + (b+ 1)|t|p p := a1(x, y, z) + (b+ 1)
p |t|p, vợi a1 = p−1
p |a(x, y, z)|p−1p . Dạ thĐy
a1(x, y, z) ∈ Lp−1p (Ω).
Vẳ vêy, Ăp dửng Bờ ã 1.3.3 thẳ ϕ l nhúng liản tửc tứ Lp(Ω) v o L1(Ω). Tiáp theo vợi mội u ∈ Lp(Ω) v vợi mội v 6= 0, v ∈ Lp(Ω), chóng ta câ
k∆ϕkL1(Ω) =
ϕ(u+tv)−ϕ(u)
t −h(u).v
L1(Ω)
= v
1
Z
0
(g(x, y, z, u+ξtv)−g(x, y, z, u))dξ L1(Ω)
≤ kvkLp(Ω)
1
Z
0
||(g(x, y, z, u+ξtv)−g(x, y, z, u))||L1(Ω)dξ, vợi
h : u(x, y, z) →g(x, y, z, u(x, y, z)).
Tứ Bờ ã 1.3.3, vợi mội > 0 thẳ tỗn tÔi số δ sao cho kg(x, y, z, w)ưg(x, y, z, u)kL1(Ω) ≤ vợi ||wưu||
L
p
p−1(Ω) ≤ δ.
Do vêy
k∆ϕkL1(Ω) ≤ ,
vợi
|t| ≤ 1
δ||wưu||
L
p p−1(Ω)
.
Hỡn nỳa, toĂn tỷ tuyán tẵnh eg(u) ∈ L(Lp(Ω), L1(Ω)), vợi eg(u) : v → g(x, y, z, u)v,
l ¤o h m cõa to¡n tû ϕ t¤i iºm u.
Tứ õ chúng ta Ôt ữủc
keg(u)kL(Lp(Ω),L1(Ω)) = kg(x, y, z, u)k
L
p p−1(Ω)). Nhữ vêy, Ănh xÔ
T : Lp(Ω) →L(Lp(Ω), L1(Ω)), hay
T : u 7→ eg(u)
l liản tửc. Suy ra ϕ l khÊ vi liản tửc trong Lp(Ω).
2. Cuối cũng º chựng minh Φ3 l h m khÊ vi liản tửc trongLp(Ω), ta coi Φ3 l hủp cừa toĂn tỷ ϕ : Lp(Ω)→ L1(Ω) v toĂn tỷ
L1(Ω) → R u 7→
Z
Ω
u(x, y, z)dxdydz.
Vêy ành lỵ ữủc chựng minh.
Hằ quÊ 1.3.4. GiÊ sỷ C(x, y, z) ∈ C( ¯Ω) v g(x, y, z, t) ∈ C( ¯ΩìR) thọa mÂn iãu kiằn
|g(x, y, z, t)| ≤ a(x, y, z) +b|t|p, khi
a(x, y, z) ∈ Lp−1p (Ω),1 < p < Nα,β + 2
Nα,β −2, b ∈ R+.
H m u l nghiằm yáu cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) náu v ch¿ náu u l iºm tợi hÔn cừa phiám h m Φ ữủc ành nghắa bði (1.19).
Chựng minh. Vợi 1< p < Nα,β + 2
Nα,β −2, Ăp dửng ành lỵ 1.2.6, ta cõS1,0p (Ω) nhúng trong Lp(Ω). Tứ õ Ăp dửng ành lỵ 1.3.2 suy ra phiám h mΦ3 khÊ vi liản tửc trong Lp(Ω). Tứ ành nghắa cừa h m Φ chúng ta suy ra u l nghiằm yáu cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) khi v ch¿ khiu l iºm tợi hÔn cừa phiám h m Φ. Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh.
BƠy giớ chúng ta s³ ữa ra cĂc giÊ thiát cừa g(x, y, z, t) (g)1 g(x, y, z, t) ∈ C( ¯Ω×R) v g(x, y, z,0) = 0.
(g)2 |g(x, y, z, t)| ≤ C(1 +|t|p) vợi 1 < p < Nα,β + 2
Nα,β −2, C ∈ R+. (g)3 g(x, y, z, t) = ¯o(t)¯ khi t →0 vợi mồi (x, y, z) ∈ Ω.¯
(g)4 lim
t→+∞
g(x, y, z, t)
t = ∞ ho°c lim
t→−∞
g(x, y, z, t)
t = ∞
vợi mồi (x, y, z) ∈ Ω.¯
(g)5 náu |t| ≥A, vợi mởt số A n o õ, thẳ G(x, y, z, t) ≤ àg(x, y, z, t)t khi à ∈ [0,1
2).
(g)6 g(x, y, z, t) l h m l´ ối vợi t.
º ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu chẵnh l iºm dứng cừa phiám h mΦ, chúng tổi s³ chựng minh h mΦ(x, y, z, u) thọa mÂn iãu kiằn(I)1−(I)6, rỗi Ăp dửng cĂc ành lỵ vã iºm tợi hÔn trong cổng trẳnh cừa Ambrosetti A., Rabinowitz P. [8]. Vẳ vêy, bƠy giớ chúng tổi trẳnh b y lÔi mởt số vĐn
ã liản quan án luên Ăn trong [8].
ành nghắa 1.3.5. [8] Gồi E l khổng gian Banach vổ hÔn chiãu trản R, kỵ hiằu
Br = {u ∈ E : ||u|| < r} v Sr = ∂Br;I ∈ C1(E,R).
Gi£ sû I tho£ m¢n I(0) = 0 :
Ta nõi phiám h m I thọa mÂn iãu kiằn (I)1 náu tỗn tÔi ρ >0 sao cho I > 0 trong Bρ\ {0} v I ≥ α > 0 trong Sρ.
Ta nõi phiám h m I thọa mÂn iãu kiằn (I)2 náu tỗn tÔi e ∈ E, e 6= 0, m I(e) = 0.
Ta nõi phiám h mI thọa mÂn iãu kiằn(I)3 náu(um) ⊂ Evợi0< I(um), I(um) bà ch°n trản v I0(um) → 0, thẳ (um) cõ mởt dÂy con hởi tử.
Ta nõi phiám h m I thọa mÂn iãu kiằn (I)4 náu I(u) =I(−u) vợi mồi u ∈ E.
Ta nõi phiám h m I thọa mÂn iãu kiằn (I)5 náu E˜ cõ chiãu hỳu hÔn, thẳ E˜ ⊂ E, E˜ ∩Aˆ0 l bà ch°n vợi Aˆ0 = {u ∈ E :I(u) ≥0}.
Ta nõi phiám h mI thọa mÂn iãu kiằn (I)6 náu tỗn tÔi mởt khổng gian conE˜ cõ chiãu hỳu hÔn l l cừaE vợi phƯn bũ Ôi số v tổ pổ cừa khổng gian con trüc giao E˜⊥ sao cho I > 0 trong (Bρ\ {0})∩E˜⊥ v I ≥α > 0 trong (Sρ)∩E˜⊥.
Bờ ã 1.3.6. [8] GiÊ sỷ A, B ∈ Σ(E).
(1) Náu tỗn tÔi mởt h m l´ Φ ∈ C(A, B), thẳ γ(A) ≤ γ(B); (2) Náu A ⊂ B, thẳ γ(A) ≤ γ(B);
(3) Náu tỗn tÔi mởt ỗng phổi l´ h ∈ C(A, B), thẳ γ(A) =γ(B) = γ(h(A));
(4) Náu γ(B) < ∞, thẳ γ(A−B) ≥ γ(A)−γ(B);
(5) Náu A l compact, thẳ γ(A) < ∞ v tỗn tÔi mởt lƠn cên Nδ(A) cừa A sao cho γ(Nδ(A)) = γ(A);
(6) Náu A l mởt ỗng phổi sinh bði mởt ỗng phổi l´ tợi biản cừa mởt lên cên bà ch°n ối xựng cừa 0 trong Rm, thẳ γ(A) =m.
(7) GiÊ sỷ A ∈ Σ(A), V l khổng gian con k chiãu cừa E, V⊥ l khổng gian con bũ Ôi số v tổpổ. Náu γ(A) > k, thẳ A∩V⊥ 6= ∅.
Bờ ã 1.3.7. [8] GiÊ sỷ E l khổng gian Banach, I ∈ C1(E,R) thọa mÂn iãu kiằn (P − S): BĐt ký dÂy {um} m |I(um)| l bà ch°n v I0(um) →0 cõ mởt dÂy con hởi tử. Vợi c ∈ R v N l lƠn cên bĐt ký cừa Kc = {u ∈ E|I(u) = c, I0(u) = 0}. Khi õ tỗn tÔi ηt(t, x) = ηt(x)
∈ C([0,1]ìE, E) v cĂc hơng số d1 > e > 0 sao cho
(1) η0(x) = x vợi mồi x ∈ E;
(2) ηt(x) =x vợi x∈I−1[c−d1, c+d1,] vợi mồi t∈ [0,1]; (3) ηt l ỗng phổi tứ E v o E vợi mồi t ∈ [0,1];
(4) I(ηt(x)) ≤ I(x) vợi mồi x ∈ E, t∈ [0,1]; (5) η1(Ac+d−N) ⊂ Ac−d;
(6) Náu Kc = φ, thẳ η1(Ac+d) ⊂ Ac−d; (7) Náu I l chđn, thẳ ηt l l´ vợi x;
Trong â Ac+d = {u ∈ E|I(u) ≤ c+ d}, Ac−d = {u ∈ E|I(u) ≤c−d}.
ành lỵ 1.3.8. [8] GiÊ sỷ I thọa mÂn (I)1 −(I)3. Khi õ b = inf
g∈Γ max
y∈[0,1]I(g(y))
l mởt giĂ trà tợi hÔn cừa I vợi < α ≤ b < +∞, trong õ Γ ={g ∈ C([0,1], E)|g(0) = 0, g(1) = e}.
Chựng minh. Tứ giÊ thiát (I)1−(I)2 suy raSρ tĂch 0 v e. Hỡn nỳa vợi bĐt ký g ∈ Γ do tẵnh liản thổng cừa g([0,1]) suy ra g([0,1])∩Sρ 6= ∅. Vẳ thá
y∈[0,1]max I(g(y)) ≥α.
Do â b ≥α.
BƠy giớ ta chựng minh b l mởt giĂ trà tợi hÔn cừa I bơng phữỡng phĂp phÊn chựng. GiÊ sỷ b khổng l giĂ trà tợi hÔn cừa I, khi õ Ăp dửng (6) cừa Bờ ã 1.3.7 thẳ tỗn tÔi ∈ (0, α) v η1 ∈ C(E, E) sao cho η1(Ab+) ⊂ Ab−. Chúng ta chồn g ∈ Γ sao cho
max
y∈[0,1]I(g(y)) ≤b+.
Vẳη1(g(0)) = 0,η1(g(1)) = ebði(2) trong Bờ ã 1.3.7,η1◦g ∈ Γ. Những
y∈[0,1]max I(η1(g(y))) ≤ b−
mƠu thuăn vợi ành nghắa cừa b. Nản suy ra iãu phÊi chựng minh.
ành lỵ 1.3.9. [8] GiÊ sỷ I thọa mÂn (I)1 −(I)3. Khi õ c = sup
h∈Γe∗
u∈Sinf I(h(u))
l mởt giĂ trà tợi hÔn cừa I vợi < α ≤ c ≤b < +∞, trong õ
Γ∗ = {h ∈ C(E, E)|h(0) = 0, h ỗng phổi tứ E v o E v h(B) ⊂ Ab0}, Γe∗ = {h ∈ Γ∗|h(S) t¡ch 0 v e}.
Chùng minh. h(u) = ρu ∈ Γe∗, do â α ≤ c. M°t kh¡c, do h(S) t¡ch 0 v e vợi mồi h ∈ Γe∗ v g([0,1]) l liản thổng vợi mội g ∈ Γ, thẳ tỗn tÔi w ∈ g([0,1])∩h(S). Do vêy
u∈Sinf I(h(u)) ≤ I(w) ≤ max
y∈[0,1]I(g(y)).
Tứ õ suy ra c ≤ b.
Tiáp theo chúng ta chựng minhcl giĂ trà tợi hÔn cừaI. Thêt vêy, giÊ
sỷ c khổng phÊi giĂ trà tợi hÔn cừaI, Ăp dửng Bờ ã 1.3.7 vợi (3) v (6), thẳ tỗn tÔi ∈ (0, α) v ỗng phổiη1 tứE v o E sao choη1(Abc−) ⊂Abc+. Tứ (2) cừa Bờ ã 1.3.7 suy ra η1(0) = 0 v η1 ◦h l ỗng phổi tứ E v o E.
Tứ (4) cừa Bờ ã 1.3.7, suy ra η : Ab0 →Ab0 v do õ η1 ◦h :B → Ab0. º chùng minh η1 ◦h ∈ Γe∗, ch¿ c¦n chùng minh η1 ◦ h(x) = e suy ra x∈B. Nh÷ng η1(e) = e hay h(x) =e v x∈B. Suy ra η1 ◦h ∈ Γe∗, m
u∈Sinf I(η1(h(u))) ≥ c+ .
iãu n y mƠu thuăn vợi ành nghắac. Vêy ành lỵ ữủc chựng minh.
ành lỵ 1.3.10. • Náu h m g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)2 v (g)3, thẳ Φ thọa mÂn (I)1.
• Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)4 thẳ Φ thọa mÂn (I)2.
• Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)4 v (g)6 thẳ Φ thọa mÂn (I)5.
• Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)2 v (g)5 thẳ Φ thọa mÂn (I)3.
Chựng minh. Chúng ta chựng minh h mΦ thọa mÂn (I)1. Vợi giÊ thiát cừa h m C(x, y, z) chúng ta cõ chuân
||u||2∗ = Z
Ω
XN1
i=1
∂u
∂xi
2
+
N2
X
j=1
∂u
∂yj
2
+
N3
X
l=1
|x|α|y|β
∂u
∂zl
2
+Cu2
dxdydz
tữỡng ữỡng vợi chuân trong S1,02 (Ω). Vẳ vêy ch¿ cƯn chựng minh Φ3 = 0(||u||2∗) khi u → 0. Tứ giÊ thiát (g)3 vợi mội > 0 chúng ta tẳm ữủc mởt số δ >0 sao cho
|G(x, y, z, t) ≤ εt2
2 vợi |t| ≤ δ.
Tứ (g)2 ta suy ra
|G(x, y, z, t)| ≤ C(δ)tp+1 vợi |t| ≥δ.
Do â
|Φ3(u)| ≤ Z
Ω
εu2
2 +C(δ)|u|p+1
dxdydz ≤ ε||u||2∗
2 +C(δ)||u||p+1∗ . Chồn ||u||∗ ≤ ε
2C(δ) p−11
, chúng ta ữủc |Φ3(u)| ≤ ε||u||2∗. Vêy Φ thọa mÂn (I)1.
Tiáp theo chúng ta chựng minh h mΦ thọa mÂn (I)2. Gi£ sû lim
t→+∞
g(x, y, z, t)
t = ∞. LĐy mởt h m u ∈ S1,02 (Ω) sao cho
||u||∗ = 1, u > 0 trong Ω v ||u||L2(Ω) 6= 0, thẳ Φ(Ru) = 1
2R2 −Φ3(Ru).
Tứ (g)4 tỗn tÔi mởt số M > 0 sao cho g(x, y, z, t) ≥ 4t
||u||2L2(Ω)
vợi t≥ M. Chóng ta °t
M1 = max
(x,y,z,t)∈Ω×[0,M]¯
|g(x, y, z, t)|.
Tứ õ dạ d ng suy ra G(x, y, z, t) ≥ −
M
Z
0
|g(x, y, z, s)|ds ≥ −M M1 vợi 0≤ t ≤M,
G(x, y, z, t) ≥ −
M
Z
0
|g(x, y, z, s)|ds+ 4
||u||2L2(Ω) t
Z
M
sds
≥ 2t2
||u||2L2(Ω)
− 2M2
||u||2L2(Ω)
−M M1 vợi M ≤ t.
Tứ iãu kiằn 0 ≤ Ru ≤ M trong ΩuM R
, chóng ta câ Φ3(Ru) =
Z
ΩuM
R
G(x, y, z, Ru(x, y, z))dxdydz
+ Z
CΩuM
R
G(x, y, z, Ru(x, y, z))dxdydz
≥ Z
CΩuM
R
2R2u2
||u||2L2(Ω)
dxdydz −2
M M1 + 2M2
||u||2L2(Ω)
vol(Ω),
Theo ành lỵ cừa Lebesgue, thẳ tỗn tÔi mởt sốR0 sao cho Z
CΩuM
R
u2dzdydz ≥ ||u||2L2(Ω)
2 . Do õ, náu R ≥R0,
thẳ
Φ3(Ru) ≥R2 −2
M M1 + 2M2
||u||2L2(Ω)
vol(Ω).
Vẳ vêy, náu
R >max n
s 4
M M1 + 2M2
||u||2L2(Ω)
vol(Ω), R0
o , thẳ
Φ(Ru) ≤ 2
M M1 + 2M2
||u||2L2(Ω)
vol(Ω)− R2 2 < 0.
Vêy Φ thọa mÂn (I)2. Trữớng hủp lim
t→−∞
g(x, y, z, t)
t = ∞ chựng minh tữỡng tỹ nhữ trản chúng ta cụng suy ra ữủc h m Φ thọa mÂn (I)2.
BƠy giớ chúng ta chựng minh h mΦ thọa mÂn (I)5. Tứ g(x, y, z, t) = −g(x, y, z,−t), lim
t→∞
g(x, y, z, t)
t = ∞, chóng ta chùng minh Φ thọa mÂn (I)5. GiÊ sỷ Ee l khổng gian con hỳu hÔn chiãu cừa E. Ta ch¿ ra rơng náu u ∈ Ee v ||u|| ≥ R, thẳ Φ(u) < 0 vợi mồi hơng số R >0. Thêt vêy, náu u ∈ Ee, thẳ trong khổng gian hỳu hÔn chiãu cừaEe ta câ ||u||L2(Ω) ≥ R
C1, vợi mồi hơng số C1 > 0. Do Φ thọa mÂn I2 nản tỗn tÔi mởt số M > 0 sao cho
G(x, y, z, t) ≥ −M M1 vợi 0 ≤ t≤ M,
G(x, y, z, t) ≥ 2C12t2 −2C12M2 −M M1 vợi M ≤ t.
Khi õ, náu
||u||L2(Ω) ≥p
2vol(Ω)M, thẳ
Z
CΩuM
|u|2dxdydz ≥ ||u||2L2(Ω)
2 . Do â
Φ3(u) ≥ C12||u||2L2(Ω) −2M(M1 + 2C12M)vol(Ω)
≥ R2 −2M(M1 + 2C12M)vol(Ω).
Vẳ vêy, khi
R >2 q
M(M1 + 2C12M)vol(Ω), ta Ôt ữủc
Φ(Ru) ≤2M(M1 + 2C12M)vol(Ω)− R2 2 < 0.
Do õ Φ thọa mÂn iãu kiằn (I)5.
Cuối cũng chúng ta chựng minh h mΦ thọa mÂn iãu kiằn (I)3.
Thỹc tá chúng ta chựng minh ữủc mởt kát quÊ mÔnh hỡn l náu {um}∞1 ⊂ E vợi Φ(um) ≤ d v Φ0(um) → 0 thẳ {um}∞1 cõ mởt dÂy con hởi tử. Thêt vêy tứ cổng thực (1.19) chúng ta cõ
d ≥ ||u||2∗
2 −Z
ΩC
G(x, y, z, um)dxdydz + Z
ΩC¯
G(x, y, z, um)dxdydz
≥ ||u||2∗
2 −C −θ Z
ΩC¯
G(x, y, z, um)umdxdydz
≥ ||u||2∗
2 −C −θ Z
Ω
G(x, y, z, um)umdxdydz, ð ¥y
ΩC = {(x, y, z) ∈ Ω : |um(x, y, z)| ≤ C}, ΩC¯ = {(x, y, z) ∈ Ω : |um(x, y, z)| > C}.
Tứ Φ0(um) →0, vợi mội ε > 0 tỗn tÔi mởt số M(ε) > 0, sao cho vợi mồi m ≥ M(ε)
|Φ0(um)(v)| =
Z
Ω
XN1
i=1
∂um
∂xi
∂v
∂xi +
N2
X
j=1
∂um
∂yj
∂v
∂yj +
N3
X
l=1
|x|2α|y|2β
×∂um
∂zl
∂v
∂zl +C(x, y, z)umv
−g(x, y, z, um)v
dxdydz
≤ε||v||∗, vợi mồi v ∈ E. Chồn ε = 1, v = um thẳ ta suy ra
d≥ 1 2 −θ
||um||2∗ −C −θ||um||∗.
Do õ, dÂy {um}∞1 l bà ch°n trong E. Tứ ϕ l toĂn tỷ compact, ϕ(um) cõ mởt dÂy con hởi tử. Vẳ Φ0(um) = um −ϕ(um) nản suy ra {um}∞1 cõ mởt dÂy con hởi tử. Bờ ã ữủc chựng minh.
Chúng ta kỵ hiằu
Br = {u ∈ S1,02 (Ω) : ||u||S2
1,0(Ω) < r},
Sr = ∂Br, Ac = {u ∈ S1,02 (Ω) : Φ(u) ≤ c}, Aˆc = {u ∈ S1,02 (Ω) : Φ(u) ≥ c},
Kc = {u ∈ S1,02 (Ω) : Φ(u) =c,Φ0(u) = 0}.
Gi£ sû e 6= 0 v e ∈ S1,02 (Ω) sao cho Φ(e) = 0. °t
Γ = {h ∈ C([0,1], S1,02 (Ω)) :h(0) = 0, h(1) = e}.
Γ∗ = {h ∈ C(S1,02 (Ω), S1,02 (Ω)) :h(0) = 0, h l
ỗng cĐu tứ S1,02 (Ω) v o S1,02 (Ω), v h(B1) ⊂ Aˆ0}.
Γe∗ = {h ∈ Γ∗ : h(S1) t¡ch 0 v e}.
Kỵ hiằu
b = inf
h∈Γ max
t∈[0,1]Φ(h(t)), c = sup
h∈Γe∗ u∈Sinf1
Φ(h(u)). (1.20) ành lỵ 1.3.11. GiÊ sỷ h m g(x, y, z, t) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (g)1 − (g)5. Khi õ vợi b v c ữủc ành nghắa trong (1.20) l giĂ trà tợi hÔn cừa Φ trong (1.19). B i toĂn biản (1.1)-(1.2) cõ nghiằm yáu khổng tƯm thữớng.
Chựng minh. Tứ kát quÊ cừa ành lỵ 1.3.10 suy ra h mg(x, y, z, t) thọa mÂn (I)1 −(I)5. Tứ õ Ăp dửng ành lỵ 1.3.8, ành lỵ 1.3.9 ta suy ra iãu phÊi chựng minh
Bờ ã 1.3.12. [8] GiÊ sỷ I thọa mÂn (I)1,(I)5. Khi õ (1) Γm 6= ∅;
(2) Γm+1 ⊂ Γm;
(3) Náu K ∈ Γm v Y ∈ Σ(E) vợi γ(Y) ≤r < m, thẳ K −Y ⊂Γm−r; (4) Náu Φ l ỗng phổi l´ tứ E v o E v Φ−1(Ab0) ⊂ Ab0, thẳ Φ(k) ∈ Γm
vợi mồi K ∈ Γm;
trong â
Γ∗ = {h ∈ C(E, E)|h(0) = 0, h: E →E l ỗng phổi, h(B) ⊂ Ab0} Γm = {K ⊂ E|K compact, ối xựng qua gốc vợi mồi h ∈ Γ∗,
γ(K ∩ h(S)) ≥ m}.
Chùng minh. 1. Chùng minh (1).
GiÊ sỷ Ee l khổng gian conm chiãu cừa E v giÊ sỷ KR = Ee∩BR. Khi õ KR l compact v ối xựng. Vợi mộiR ừ lợn, tứ (I)5, KR ⊃Ee∩Ab0; Hỡn nỳa, vợi mộih ∈ Γ∗,Ee∩Ab0 ⊃Ee∩h(B) v do õKR ⊃ Ee∩h(B). Do vêy, KR∩h(S) =Ee ∩h(S). Tứ h l ỗng phổi tứ E v o E v h(0) = 0, h(B) l mởt lƠn cên cừa 0 trong E vợi biản chựaEe∩h(S). DoE l ¯ng cĐu vợi Rm, nản tứ (2) v (6) cừa Bờ ã 1.3.6 v ành nghắa vã giống ta
ữủc γ(Ee ∩h(S)) = γ(KR ∩h(S)) = m, suy ra KR ∈ Γm. 2. Chùng minh (2).
Dạ d ng ta suy ra Γm+1 ⊂Γm. 3. Chùng minh (3).
Tứ K ∈ Γm v Y ∈ Σ(E) vợi γ(Y) ≤ r < m, ta cõ K −Y l compact v ối xựng. Hỡn nỳa, vợi mội h ∈ Γ∗, tứ (4) cừa Bờ ã 1.3.6
K −Y ∩h(S) = (K ∩h(S))−Y ≥ γ(K ∩h(S)) −γ(Y) ≥ m−r.
Vêy K −Y ⊂Γm−r. 4. Chùng minh (4).
Ta cõ Φ(K) l compact v ối xựng. Tứ (3) cừa Bờ ã 1.3.6 ta cõ, náu h ∈ Γ∗, thẳ
γ(Φ(K)∩h(S)) = γ(K ∩Φ−1(h(S))).
Vẳ Φ−1(Ab0) ⊂ Ab0 v Φ−1 ◦h l´, Φ−1 ◦h ∈ Γ∗, nản Φ(K) ∈ Γm. Vêy ta
ữủc iãu phÊi chựng minh.
ành lỵ 1.3.13. [8] GiÊ sỷ(I) thọa mÂn (I)1,(I)3−(I)5, vợi mội m ∈ N náu
bm = inf
K∈Γm
maxu∈K I(u)
thẳ 0 < α≤ bm ≤ bm+1 v bm l mởt giĂ trà tợi hÔn cừa I. Hỡn nỳa, náu bm+1 = .... = bm+r = b, thẳ γ(Kb) ≥ r.
Chựng minh. Vẳ h(u) = ρu ∈ Γ∗, K ∩Bρ 6= ∅ vợi mội K ∈ Γm. Do vêy, bm ≥α. Tứ (2) cừa Bờ ã 1.3.12 ta cõbm ≤ bm+1.
Tiáp theo chúng ta chựng minh bm l giĂ trà tợi hÔn cừa I.
Náu γ(Kb) < r, tứ (5) cừa Bờ ã 1.3.6, tỗn tÔi mởt lƠn cênNδ(Kb) vợi γ(Nδ(Kb)) < r.
Tứ (3), (6), (7) cừa Bờ ã 1.3.7 thẳ tỗn tÔi ∈ (0, α) v ph²p ỗng phổi l´ η1 tứ E v o E sao cho η1(Ab+ −Nδ(Kb)) ⊂ Ab−. GiÊ sỷ K ∈ Γm+r sao cho
maxu∈K I(u) ≤ b+.
Do â, K −Nδ(Kb) = K − intNδ(Kb) ≡ Q ∈ Γm+1 bði (2) cõa Bờ ã 1.3.12. Tứ (4) cừa Bờ ã 1.3.12 ta cõ η−11 (Ab0) ⊂ Ab0, suy ra η1(Q) ∈ Γm+1. Nh÷ng
b ≤ max
u∈η1(Q)I(u) ≤b−.
iãu n y mƠu thuăn vợi ành nghắa cừa bm. Vêy bm l mởt giĂ trà tợi h¤n cõa I.
ành lỵ 1.3.14. [8] GiÊ sỷ I thọa mÂn (I)1,(I)3,(I)6. Vợi mội m ∈ N v
cm = sup
h∈Γ∗
inf
u∈S∩Em−1⊥ I(h(u)).
Khi õ, 0 < α ≤ cm ≤ bm < ∞, cm ≤ cm+1 v cm l mởt giĂ trà tợi hÔn cõa I.
Chựng minh. Chựng minh cm ≥α ữủc chựng minh tữỡng tỹ nhữ trong ành lỵ 1.3.9. Chúng ta cõ thº ỗng nhĐt S ∩Em⊥ vợi mởt têp con cừa S ∩ Em−1⊥ , cm ≤ cm+1. Dạ thĐy rơng cm ≤ bm v do õ cm < ∞. Thêt vêy, vợi K ∈ Γm v h ∈ Γ∗, náu K ∩h(S ∩Em−1⊥ ) 6= ∅ vợi mồi K, h theo ành lỵ 1.3.9 suy ra cm ≤ bm. Tứ h(S) l biản cừa mởt lƠn cên cừa 0 trong E, vợi mồi ừ nhọ,
K ∩h(S) = (K −B)∩h(S).
Do â
γ(K −B) ≥ γ((K −B)∩h(S)) ≥ m vợi K ∈ Γm. Tứ (3) cừa Bờ ã 1.3.6,
γ(h−1(K −B)∩S) ≥m, tứ (7) cừa Bờ ã 1.3.6 suy ra
h−1(K −B)∩S ∩Em−1⊥ 6= ∅.
Tữỡng ữỡng vợi
(K −B)∩h(S ∩Em−1⊥ ) 6= ∅.
p dửng ành lỵ 1.3.9 suy ra cm l mởt giĂ trà tợi hÔn cừa I. Gi£ sû
Γ∗ = {h ∈ C(S1,02 (Ω), S1,02 (Ω)) : h(0) = 0, h l ỗng cĐu l´ tứ S1,02 (Ω) tợi S01(Ω); Φ(h(u)) ≥ 0 vợi ||u||S2
1,0(Ω) ≤ 1}, Γm = {K ⊂ S01(Ω) : K l compact, èi xùng qua gèc,
γ(K ∪h(S1)) ≥ m,∀h ∈ Γ∗}.
Trong õ γ(.) l giống cừa mởt têp v S1 l hẳnh cƯu trong S01(Ω). Vợi mội m ∈ Z+ chúng ta kỵ hiằu Em l khổng gian con m chiãu cừa S01(Ω) v Em⊥ l phƯn bũ tổpổ Ôi số cừaEm. Chúng ta kỵ hiằu
bm = inf
K∈Γmmax
u∈K Φ(u), cm = sup
h∈Γ∗
inf
u∈S1∩Em−1⊥
Φ(h(u)). (1.21) ành lỵ 1.3.15. GiÊ sỷ g(x, y, z, t) thọa mÂn iãu kiằn (g)1−(g)6. Khi õ vợi mội m ∈ Z+, giĂ trà bm, cm, ữủc ành nghắa trong (1.21) l giĂ
trà tợi hÔn cừa h m Φ vợi 0 < cm ≤ bm < ∞. Náu bm+1 = ...= bm+r = b, thẳ γ(u ∈ S01(Ω) : Φ(u) = b,Φ0(u) = 0) ≥ r. Do õ b i toĂn (1.1)-(1.2) cõ vổ số nghiằm yáu khổng tƯm thữớng.
Chựng minh. Tứ kát quÊ cừa Bờ ã 1.3.10 suy ra h m g(x, y, z, t) thọa mÂn (I)1 − (I)5. Sau õ Ăp dửng ành lỵ 1.3.13, ành lỵ 1.3.14.
ành lỵ 1.3.15 ữủc chựng minh.
Tiáp theo chúng ta x²t b i toĂn (1.1)-(1.2) khi thảm mởt số hÔng tuyán tẵnh v o vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (1.1). Cử thº ta cõ b i toĂn biản
Pα,βu+d(x, y, z)u+g(x, y, z, u) = 0 trong Ω, (1.22)
u = 0 trản ∂Ω, (1.23)
khi d l h m Ơm v l h m liản tửc. Chúng ta x²t b i toĂn tẳm giĂ trà riảng
Pα,βv(x, y, z) +λd(x, y, z)v(x, y, z) = 0 trong Ω, v = 0 trản ∂Ω.
p dửng cĂc tẵnh chĐt vã giĂ trà riảng cừa toĂn tỷ xĂc ành dữỡng vợi H = L2(Ω), tẵch vổ hữợng
[u, v]H = Z
Ω
−d(x, y, z)u(x, y, z)v(x, y, z)dxdydz,
D(A) =C0∞(Ω), A = Pα,β d(x, y, z).
Khi õ cõ dÂy giĂ trà riảng 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ..., lim
m→∞λm = +∞. Mội giĂ trà riảng λm l hỳu hÔn v λ1 l ỡn. GiÊ sỷ em l h m riảng tữỡng ựng vợi giĂ trà riảng λm. °t
Ψ(u) = Φ1(u) + Φ3(u)− 1 2
Z
Ω
d(x, y, z).u2(x, y, z)dxdydz.
Dạ thĐy Φ(u) ≥ Ψ(u). Trong bờ ã sau h m Ψ cõ tẵnh chĐt tữỡng tỹ nh÷ h m Φ trong ành lþ 1.3.10.
Bờ ã 1.3.16. • Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)4, thẳ Ψ thọa mÂn (I)2.
• Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)2,(g)4,(g)5,(g)6, thẳ Ψ thọa mÂn (I)3.
• Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)4,(g)6, thẳ Ψ thọa mÂn (I)5.
• Náu 1 < λl+1 6= λ1 v g(x, y, z, t) thọa mÂn (g)1,(g)2,(g)3, thẳ Ψ thọa mÂn (I)6 vợi El = {e1, ..., el}.
Chựng minh. 1. Chựng minh h m Ψ thọa mÂn (I)2.
Ta thĐy Φ(u) ≥ ψ(u). Do õ náu g(x, y, z, t) thọa mÂn iãu kiằn (g)4 tứ Bờ ã 1.3.10, ψ thọa mÂn (I)2.
2. Chựng minh h m Ψ thọa mÂn (I)3.
Giống nhữ chựng minh ành lỵ 1.3.10, ch¿ cƯn ch¿ ra vợi mồiM tỗn tÔi mởt số M1 sao cho
G(x, y, z, t) ≥M t2 vợi |t| ≥ M1. GiÊ sỷ sup
(x,y,z)∈Ω
C(x, y, z) =C1.
Do â C(x, y, z)t2
2 ≤ C1
G(x, y, z, t)
M .
Chồn M ừ nhọ sao cho θ
1 + C1G(x, y, z, t) M
< 1 2.
Gi£ sû d ≥ ψ(um) v ψ0(um) → 0, chùng minh t÷ìng tü nh÷ nh÷ trong ành lþ 1.3.10 chóng ta suy ra
d+a2 ≥ 1
2||um||2
−(1 + C1G(x, y, z, t)
M )θ
Z
Ω
G(x, y, z, um(x, y, z))um(x, y, z)dxdydz.
Tứ lim
m→∞ψ0(um) = 0, ta suy ra
||um|| ≥
||um||2 − Z
Ω
(Cu2m +G(x, y, z, um))dxdydz . Vẳ vêy
Z
Ω
G(x, y, z, um)umdxdydz ≤ ||um||+ ||um||2 − Z
Ω
Cu2mdxdydz
≤ ||um||+ ||um||2. Kát hủp hai bĐt ¯ng thực trản ta ữủc
C ≥ 1 2 −
1 + C1G(x, y, z, t) M
θ
||um||2 −
1 + C1G(x, y, z, t) M
θ||um||
Suy ra {um}∞1 bà ch°n. Vêy ψ thọa mÂn (I)3. 3. Chựng minh h m Ψ thọa mÂn (I)5.
Ta thĐyΦ(u) ≥ψ(u). Do õ náug(x, y, z, t)thọa mÂn iãu kiằn(g)4,(g)6 tứ ành lỵ 1.3.10, ψ thọa mÂn (I)5.
4. Chựng minh h m Ψ thọa mÂn (I)6. Vợi u ∈ Ee⊥ chúng ta cõ
||u||
λl+1 ≥ Z
Ω
du2dxdydz,
do â
ψ(u) ≥ 1
2(1− 1
λl+1)||u||2 −h(u).
M h m Φ thọa mÂn iãu kiằn (I1) nản ta suy ra iãu phÊi chựng minh.
Chú ỵ rơng náu l = 0 thẳ h m Ψ thọa mÂn iãu kiằn (I)1.
ành lỵ 1.3.17. [8] GiÊ sỷ I thọa mÂn (I)3 −(I)6 v vợi mội m > l bm = inf
K∈Λm
maxu∈K I(u).
Khi õ, 0 < α ≤ bm ≤ bm+1, v bm l giĂ trà tợi hÔn cừa I. Hỡn nỳa, náu bm+1 = ... = bm+r thẳ γ(Kb) ≥r.
ành lỵ 1.3.18. [8] GiÊ sỷ I thọa mÂn (I)3 −(I)6 v vợi mội m > l cm = sup
h∈Λ∗
inf
u∈S∩Em−1⊥
I(h(u)).
Khi õ, 0 < α ≤ cm ≤ bm < ∞, v cm ≤ cm+1 v cm l giĂ trà tợi hÔn cõa I.
Ð ¥y
Λ∗ = {h ∈ C(E, E)|h l ỗng phổi l´ vợi h(B) ⊂Ab0 ⊂ Bρ} Λm = {K ∈ E|K compact, èi xùng v γ(K ∩h(S)) ≥ m ∀h ∈ Λ∗} ành lỵ 1.3.19. Náu g(x, y, z, t) thọa mÂn iãu kiằn (g)1 − (g)6 v λl ≤ 1 < λl+1, thẳ vợi mồi m > l giĂ trà bm, cm, ữủc ành nghắa bði cổng thực (1.21), l giĂ trà tợi hÔn cừa h m Ψ vợi 0 < cm ≤ bm. Náu bm+1 = ... = bm+r = b, thẳ γ(Kb) ≥ r. B i toĂn (1.22)-(1.23) cõ vổ số nghiằm yáu khổng tƯm thữớng.
Chựng minh. Theo giÊ thiát cừa ành lỵ h m g(x, y, z, t) thọa mÂn iãu kiằn (g)1−(g)6, Ăp dửng Bờ ã 1.3.16 ta suy ra h mg(x, y, z) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (I)1−(I)6. Khi õ Ăp ành lỵ 1.3.17, ành lỵ 1.3.18 ta cõ iãu phÊi chựng minh.