Trong mửc n y, chúng tổi ữa ra mởt số vẵ dử minh hồa vã iãu kiằn khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng v tỗn tÔi nghiằm yáu cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) trong nhỳng trữớng hủp cử thº.
Vẵ dử 1.4.1. Trong cổng trẳnh [2], chúng tổi  x²t b i toĂn (1.1)-(1.2) trong trữớng hủp
Lα,βu = ∆xu+|x|2α∆yu+|x|2β∆zu, α+ β ≥0, α, β ≥ 0, g(x, y, z, t) =λt+|t|γt, λ ≤ 0.
iãu kiằn khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn trong trữớng hủp n y l γ ≥ 4
N −2 v Lα,β l hẳnh sao, trong õ N = N1 +N2(α+ 1) +N3(β + 1).
Trong trữớng hủp °c biằt N1 = N2 = 1, N3 = 0 thẳ Lα,0 = ∂2u
∂x2 + |x|2α∂2u
∂y2 Â ữủc x²t trong [35], iãu kiằn khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng l γ ≥ 4
α v Ω l Lα,0 - hẳnh sao. BƠy giớ
chúng ta s³ minh hồa Lα,0- hẳnh sao trong cĂc trữớng hủp sau:
GiÊ sỷ Ω ∈ R2, A(a,0),(a > 0). iãu kiằn Lα,0- l hẳnh sao ối vợi Ω l να,0 = x(x−a) + (1 +α)−(1 +α)(x−a)2 > 0
hƯu khưp nỡi trản ∂Ω. X²t phữỡng trẳnh
x(x−a) + (1 +α)−(1 +α)(x−a)2 = 0, hay
−αx2 + (1 + 2α)ax+ (1 +α)(1−a2) = 0 t¤i
x1 = 2αa+a−√
a2 + 4α + 4α2
2α , x2 = 2αa+a+√
a2 + 4α + 4α2
2α .
−αx2 + (1 + 2α)ax+ (1 + α)(1−a2) l d÷ìng khi x1 < x < x2 v ¥m khi x < x1 ho°c x > x2. Nhữ vêy
Náu a < 1 thẳ x < a−1< a+ 1 < x2, do õ να,0 > 0 trản ∂Ω. iãu kiằn Lα,0- hẳnh sao thọa mÂn. Khi õ b i toĂn
∂2u
∂x2 +|x|2α∂2u
∂y2 +|u|γu = 0 trong Ω u = 0 trản ∂Ω
khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng khiγ ≥ 4 α.
Náu a = 1 thẳ 0 = x1 = a − 1 < a + 1 < x2 thẳ να,0 > 0 trản
∂Ω \ {0}. iãu kiằn Lα,0- l hẳnh sao thọa mÂn. B i toĂn trản cụng khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng khiγ ≥ 4
α.
Náu a > 1 thẳ a−1 < x1 < a + 1 < x2, thẳ να,0 < 0 vợi (x, y) thọa mÂn a − 1 < x < x1 v να,0 > 0 vợi (x, y) thọa mÂn x1 < x < x2. Lα,0- khổng l hẳnh sao nỳa, nản γ ≥ 4
α b i toĂn cõ nghiằm khổng tƯm th÷íng.
Vẵ dử 1.4.2. X²t b i toĂn (1.1)-(1.2) vợi N1 = N2 = N3 = 1 α = β = 1, miãn Ω =B1(a,0,0), g(x, y, z, t) = |t|γt khi (a,0) ∈ R2+.
Ta câ
να,β = x(x−a) +y2 + 3(1−y2 −(x−a)2).
X²t phữỡng trẳnh
x(x−a) +y2 + 3(1−y2 −(x−a)2) = 0 hay
x2 − 5
2ax+y2 − 3
2(1−a2) = 0.
Kỵ hiằu
(C1) l (x− 5
4a)2 +y2 = a2 16 + 3
2, (C1) giao vợi Ox l x01 v x02 (x01 < x02)
a = 1 thẳ a−1 = x01 < x < x02 < a+ 1 do õ να,β > 0 trản ∂Ω\ {0}
nản P1,1 l hẳnh sao v b i toĂn khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng khi γ > 4
3.
a < 1 thẳ a−1 < x01 < x02 < a+ 1 do vêy να,β > 0 trản ∂Ω nản P1,1 l hẳnh sao vợi γ > 4
3 b i toĂn khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng.
a > 1 thẳ a−1 < x01 < a+ 1 < x02. Khi õ, náu a−1 < x < a2 −1 a , thẳ να,β < 0, Náu x > a2 −1
a , thẳ να,β > 0 do õ b i toĂn cõ nghiằm khổng tƯm thữớng khi γ ≥ 4
3.
Vẵ dử 1.4.3. X²t b i toĂn (1.1)-(1.2) vợi N1 = N2 = N3 = 1, miãn Ω = B1(a1, b1,0), g(x, y, z, t) = |t|γt khi (a1, b1) ∈ R2+, γ > 0. Chóng ta s³ ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) ởc lêp vợi a1, b1, γ.
°t
ν(a,b,c)α,β = (x−a)ν1 + (y −b)ν2 + (α +β + 1)(z−c)ν3. Chúng ta giÊ sỷ b1 = 0, trản hẳnh cƯu S1(a1,0,0)
ν(0,0,0)α,β =
x− a1(2α+ 2β + 1) 2(α+β)
2
+y2 − a21 + 4(α+β)(α+β + 1) 4(α+β)2
:=
x− a1(2α+ 2β + 1) 2(α+β)
2
+y2 −R2.
Náu 0 ≤ a1 < 1, thẳ vα,β(0,0,0) > 0 trong S1(a1,0,0). Vẳ vêy B1(a1,0,0) l Pα,β- hẳnh sao. B i toĂn (1.1)-(1.2) khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng náu γ > 4
α+β + 1.
Náu a1 = 1 thẳ ν(0,0,0)α,β > 0 trản S1(a1,0,0)\ {0}. Vẳ vêy B1(a1,0,0) văn l Pα,β- hẳnh sao. B i toĂn văn khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng náu γ > 4
α+ β+ 1.
Náu a1 > 1 thẳ ν(0,0,0)α,β l dữỡng phẵa ngo i hẳnh cƯu S1(a1,0,0) v Ơm phẵa trong hẳnh cƯu S1(a1,0,0). Vẳ vêy B1(a1,0,0) khổng l Pα,β− hẳnh sao. B i toĂn (1.1)-(1.2) cõ nghiằm khổng tƯm thữớng.
Trong trữớng hủp phữỡng trẳnh (1.1) ch¿ cõ thº suy bián theo biány tứ hẳnh cƯu khổng giao vợi m°t x = 0, giống nhữ trong [40] náu γ ≥ 4
β+ 1 thẳ b i toĂn khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng, náuγ < 4
β + 1 thẳ b i toĂn cõ nghiằm khổng tƯm thữớng.
BƠy giớ x²t vợi a1 = 2 v náu b1 ≤ 1 hẳnh cƯu văn giao vợi m°t y = 0. Vẳ vêy b i toĂn khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng náuγ < 4
β + 1. Khi a1 = 2 v b1 > 1, náu γ < 4, nhữ trong [8], [35] thẳ b i toĂn cõ nghiằm khổng tƯm thữớng, náu γ ≥ 4, thẳ b i toĂn khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng.
Vẵ dử 1.4.4. X²t sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa b i toĂn
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 +x2y2∂2u
∂z2 + |u|u = 0 trong Ω u = 0 trản ∂Ω,
trong õ Ω giợi nởi trong R3, biản ∂Ω trỡn, p= 2, NNα,βα,β+2−2 = 7 3.
Trong b i to¡n n y h m g(u) = |u|u, ta i x²t h mg(u) = |u|u, qua cĂc iãu kiằn (g)1 −(g)6.
Ta câ
g(u) ∈ C(Ω×R), g(u) = |u|u = 0 khi v ch¿ khi u = 0.
Vêy h m g(u) thọa mÂn iãu kiằn (g)1.
Vẳ g(u) = |u|u ≤ 1(1 + |u2|), vợi p = 2 ∈ (1;73), c = 1 ∈ R+. Nản h m
g(u) thọa mÂn iãu kiằn (g)2. Vẳ lim
u→0
|u|u
u = 0, do õ h m g(u) thọa mÂn iãu kiằn (g)3. Vẳ
u→±∞lim
|u|u
u = ∞, nản h m g(u) thọa mÂn iãu kiằn (g)4. Náu |u| ≥0, thẳ
G(u) = |u|3 3 ≤ 1
3|u|u2.
Do õ h m g(u) thọa mÂn iãu kiằn (g)5, vợi A= 0.
Ta cõ g(−u) =−g(u) nản g(u) l h m l´. Vêy h m g(u) thọa mÂn iãu kiằn (g)6.
Do õ g(u) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (g)1 − (g)6. Do vêy Ăp dửng ành lỵ 1.3.13 b i toĂn luổn tỗn tÔi nghiằm yáu l iºm dứng cừa phiám h m
Φ = 1 2
Z
Ω
∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 + |x|2|y|2∂2u
∂z2
dxdydz
− Z
Ω
|u|3
3 dxdydz.
Kát luên Chữỡng 1.
Trong Chữỡng 1 chúng tổi  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau
• Thiát lêp ữủc ỗng nhĐt thực kiºu Pohozaev tữỡng ựng vợi toĂn tỷ suy bián Pα,β tứ õ suy ra iãu kiằn khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) khi miãn thọa mÂn iãu kiằn hẳnh hồc phũ hủp.
• XƠy dỹng ữủc khổng gian Sobolev cõ trồng tữỡng thẵch vợi toĂn tỷ Pα,β v thiát lêp ữủc cĂc ành lỵ nhúng kiºu Sobolev tữỡng ựng.
• Sỷ dửng cĂc ành lỵ nhúng Sobolev vứa xƠy dỹng v phữỡng phĂp bián phƠn chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa b i toĂn (1.1)-(1.2) ối vợi mởt lợp số hÔng phi tuyán phũ hủp.
• ữa ra ữủc vẵ dử minh hồa vã iãu kiằn tỗn tÔi nghiằm v khổng tỗn tÔi nghiằm khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn (1.1)-(1.2).
Nhữ vêy cĂc kát quÊ cừa Chữỡng 1 mð rởng v phĂt triºn cĂc kát quÊ
tữỡng ựng cừa b i toĂn biản elliptic ối vợi toĂn tỷ khổng suy bián trong cĂc cổng trẳnh kinh iºn cừa Pohozaev [35], Ambrosetti v Rabinowitz [8] v toĂn tỷ suy bián kiºu Grushin trong cổng trẳnh trữợc Ơy cừa Nguyạn Thà Câm Thúy v Nguyạn Minh Trẵ [41].
Phữỡng phĂp ữủc sỷ dửng ð Ơy l cĂc phữỡng phĂp kinh iºn cừa lỵ thuyát b i toĂn biản elliptic phi tuyán ữủc giợi thiằu trong cĂc cổng trẳnh kº trản vợi sỹ iãu ch¿nh phũ hủp cho lợp toĂn tỷ suy biánPα,β. Nởi dung cừa Chữỡng 1 ữủc viát dỹa trản cĂc b i bĂo [1, 2, 3] trong danh mửc cổng trẳnh khoa hồc cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn.
Ch֓ng 2
DĂng iằu nghiằm khi thới gian tián ra vổ cũng cừa phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh cõ chựa toĂn tỷ
elliptic suy bián mÔnh
Trong chữỡng n y chúng tổi i x²t b i toĂn biản giĂ trà ban Ưu sau
∂u
∂t −Pα,βu+f(x, y, z, u) = 0, vợi (x, y, z) ∈ Ω, t > 0, (2.1) u(x, y, z, t) = 0, vợi (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, (2.2) u(x, y, z,0) = u0(x, y, z), vợi (x, y, z) ∈ Ω, (2.3) trong õ Ω l miãn giợi nởi trong RN1+N2+N3, ∂Ω l biản trỡn cừa miãn Ω,
(x, y, z) = (x1, ..., xN1, y1, ..., yN2, z1, ..., zN3) ∈ Ω ⊂RN1+N2+N3. Pα,β l toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh, f ∈ C(Ω ì R;R). °t F(x, y, z, u) =
u
R
0
f(x, y, z, τ)dτ. Chúng tổi s³ i nghiản cựu dĂng iằu nghiằm, tỗn tÔi têp hút to n cửc cừa nỷa nhõm liản tửc S(t) sinh bði b i toĂn (2.1)-(2.3) tĂc ởng trongS01(Ω)ho°c trongL2(Ω). é Ơy chúng tổi s³ tĂch ra trữớng hủp khiS(t) l mởt hằ gradient v khi S(t) khổng l hằ gradient.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn74
Footer Page 80 of 126.