Một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc 2.PDF

Một số tính chất của liên phân số……….19 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI... Trang 3 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn

Trang 1

MỤC LỤC Trang Lời cam đoan ………3 Lời mở đầu ………4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Thặng dư bậc hai…….……… 6 1.2 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng của các bình phương 14 1.2.1 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng hai số chính phương……14 1.2.2 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng bốn số chính phương 16 1.3 Một số tính chất của liên phân số……….19

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI

2.6 Phương trình dạng 2

0

x  py n ……… 43

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI Ở PHỔ THÔNG 3.1 Phương pháp phân tích……….45

3.2 Phương pháp sử dụng tính chất chia hết và chia có dư………48

3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức………49

3.4 Phương pháp xuống thang (lùi vô hạn)………51

3.5 Phương pháp tham số……… 53

3.6 Phương pháp quy nạp ….……….54

Bài tập đề nghị ………57

Hướng dẫn hoặc đáp số ……… 58

KẾT LUẬN ……… 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO………63

Trang 3

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn

Công Minh, luận văn chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài:“ Một

số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc hai ” được hoàn thành bởi sự nhận

thức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luân văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Tác giả

Hoàng Văn Năng

đã đưa đến sự ra đời của liên phân số, lý thuyết đường cong eliptic, lý thuyết xấp xỉ Diophant, thặng dư bậc hai…

Trong các kì thi học sinh giỏi Tỉnh, Quốc gia, Quốc tế, phương trình nghiệm nguyên vẫn thường xuyên xuất hiện dưới các hình thức khác nhau và luôn được đánh giá là khó do tính không mẫu mực của nó

Mục đích chính của luận văn là nêu ra một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc hai và cách giải cho từng dạng Bên cạnh đó luận văn cũng đưa ra một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ở phổ thông

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc hai

Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ở

phổ thông

Trang 5

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS Nguyễn Công Minh – Trường Đại học sư phạm Hà Nội Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tôi xin cảm ơn Sở Nội Vụ, Sở giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang, Trường THPT Phương Sơn, tổ Toán Tin trường THPT Phương Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này

Tôi xin gửi tới các thầy cô khoa Toán Tin, Phòng Sau Đại học & Quản

lí Khoa học Trường Đại học Thăng Long, cũng như các thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2014 – 2016 lời cảm ơn sâu sắc về công lao dạy dỗ trong quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường

Đồng thời tôi xin cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán CTM3-BG Trường Đại học Thăng Long đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

và làm luận văn này

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc

sĩ nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô và độc giả quan tâm đến luận văn này

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Tác giả

Hoàng Văn Năng

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này trình bày các kiến thức cơ bản về thặng dư bậc hai bao gồm: Kí hiệu Legendre và các tính chất, luật thuận nghịch bậc hai và áp dụng trong việc tính kí hiệu Legendre (xem 2 ) Trình bày các vấn đề về biểu diễn

một số nguyên dương thành tổng của hai số chính phương, tổng của bốn số

chính phương Nêu ra một số tính chất cơ bản của liên phân số (xem 3 )

1.1 Thặng dư bậc hai

Định nghĩa 1.1 Giả sử p là số nguyên tố lẻ và a nguyên tố với p Số a được gọi là một thặng dư bậc hai theo modulo p nếu phương trình đồng dư

2(mod )

x a p có nghiệm Nếu ngược lại, ta nói a là bất thặng dư bậc hai modulo p

Bổ đề 1.1 Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết cho p Khi đó phương trình đồng dư 2

p

thặng dư bậc hai theo modulo p

Định nghĩa 1.2 Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết

cho p Kí hiệu Legendre a

  nếu a là bất thặng dư bậc hai theo modulo p

Định lý 1.2 (Tiêu chuẩn Euler) Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên dương không chia hết cho p Khi đó

Định lý 1.3 Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a và b là các số nguyên không

chia hết cho p Khi đó:

a p

 

 

 

với p, q là các số nguyên tố lẻ Định lý này thường được sử dụng trong việc

tính toán với các kí hiệu Legendre Để chứng minh luật thuận nghịch bậc hai

ta dựa vào hai bổ đề sau đây

Bổ đề 1.2 (Bổ đề Gauss) Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết cho p Nếu s là số các thặng dư bé nhất của các số nguyên a a,2 , ,1

2

p a



lớn hơn

2

p , thì

( 1)s

a p

  nên các thặng dư nhỏ nhất thuộc 1,2, ,p1 Ta

p

số p u p u 1,  2, ,p u v v s, , , ,1 2 v tđều nhỏ hơn

12

p

nên ta chỉ cần chứng tỏ rằng chúng không đồng dư nhau modulo p

Hiển nhiên p u  i  p u j(mod )p và v i v j(mod )p , nếu i j; vì nếu không ta suy ra mana(mod )p , hay mn(mod )p , điều này không xảy ra

Trang 9

Vậy thì

1( )( ) ( ) !

p s

( 1) s

a p

 

 

 

  

Bổ đề 1.3 Nếu p là số nguyên tố lẻ và a là số lẻ không chia hết cho p thì

1 2

a p

(mod 2).

p j

ja s p

a p

2 2( 1)

  Như vậy nhóm thứ nhất có số cặp là:

1 2 1

p j

qj p

p j

pj q

hay không Sau đây ta xét ví dụ minh họa

Ví dụ 1.1 Tính các kí hiệu Legendre sau: 13

 

Trang 13

Lời giải Theo luật thuận nghịch bậc hai ta có:

13 1 17 1

1.2 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng của các bình phương

1.2.1 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng hai số chính phương

Bổ đề 1.4 Nếu p là số nguyên tố không có dạng 4k+3 thì có các số nguyên x,

y sao cho 2 2

x y  p

Chứng minh Khi p2 , ta có 2 1 2 12 Giả sử p là số nguyên tố dạng

4k+1 Do (-1) là thặng dư bậc hai mod p nên có số nguyên x, 0 < x < p để

  Vậy tm Nếu t0 , thì a2 b2 tm0, kéo theo a b 0 Thế thì x y 0(mod )m Nhưng x2 y2 mp, nên 2

|

m mp, hay m p , điều |

này không xảy ra vì 0 m  p.

Định lý 1.6 Số nguyên dương n là tổng của hai số chính phương khi và chỉ

khi mỗi thừa số nguyên tố dạng 4 k3 của n xuất hiện với số mũ chẵn trong

khai triển n thành tích các thừa số nguyên tố

Chứng minh Giả sử ngược lại là có thừa số nguyên tố p3(mod 4) của n có

Vì p|m nên p a| 2(1z2) Nhưng ( , ) 1a p  nên p|1z2 , hay z2  1(mod ).p

và điều này không xảy ra khi p3(mod 4)

Giả sử phân tích của n không có thừa số nguyên tố dạng 4 k3 với số mũ lẻ Khi đó ta có n t u 2 trong đó u không có thừa số nguyên tố dạng 4 k3

Theo bổ đề 1.4 mỗi thừa số nguyên tố không có dạng 4k 3, đều là tổng của hai số chính phương và hệ thức

1.2.2 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng bốn số chính phương

Bổ đề 1.5 Nếu m, n đều là tổng của bốn số chính phương thì tích mn cũng là

  sao cho x2y2 1 zp Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất

sao cho phương trình 2 2 2 2

x  y z  t mp có nghiệm nguyên (x; y; z; t) Hiển nhiên m < p vì

y, z, t đều là số chẵn hoặc đều là số lẻ, hoặc hai trong chúng là số chẵn và hai

số còn lại là số lẻ Như vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng : (mod 2)

xy và zt(mod 2) Khi đó các số (xy) / 2;(x y) / 2;(zt) / 2;(zt) / 2 đều là các số nguyên và

điều này vô lý với giả thiết về tính nhỏ nhất của m

Bây giờ giả sử m là số lẻ Gọi a, b, c, d là các số nguyên sao cho:

ax (mod m), b y (mod m), cz (mod m), dt (mod m) và

và điều này vô lý với giả thiết về tính nhỏ nhất của m.

Định lý 1.7 Mọi số nguyên dương đều là tổng của bốn số chính phương

Chứng minh Khi n1 là hiển nhiên Khi n1 thì n là tích của các số nguyên

tố Theo bổ đề 1.5 và bổ đề 1.6 ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 1.2 Biểu diễn thành tổng các số chính phương:

a Số 5825 thành tổng của hai số chính phương

1.3 Một số tính chất của liên phân số

Định nghĩa 1.3 Cho a0là số nguyên, còn a a1, 2, ,a n là các số nguyên

dương Khi đó đại lượng a a a0; ,1 2, ,a được kí hiệu như sau: n

 0 1 2  0

1 2 3

1

1

; , , ,

111

gọi là liên phân số hữu hạn có độ dài n Với mỗi kn , C k a a a0; ,1 2, ,a k

được gọi là giản phân thứ k của liên phân số đã cho

Định nghĩa 1.4 Cho a a a0, 1, 2, là dãy vô hạn các số nguyên với a i 0,i1

Với mỗi k đặt * C k a a a0; ,1 2, ,a k Khi đó tồn tại giới hạn

Trang 21

Tính chất 2 Cho liên phân số hữu hạn a a a0; ,1 2, ,a Giả sử hai dãy số n

nguyên dương p p p0, 1, 2, ,p n và q q q0, ,1 2, ,q n được xác định như sau:

;

p C q



 Tính chất 3 Với mọi k1,2, ,n , thì p q k k1 p q k1 k  ( 1)k1.

 Tính chất 4 Giả sử  C là dãy giản phân của liên phân số hữu hạn độ k

dài n : a a a0; ,1 2, ,a n Khi đó ta có mối liên hệ sau:

1 1

 Tính chất 6 Với mọi k0,1, ,n thì (p q k, k) 1 (tức là p k và q k là nguyên

 Tính chất 9 Số vô tỉ  có biểu diễn liên phân số tuần hoàn khi và chỉ khi

nó là số vô tỉ bậc hai (tức  là nghiệm của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên)

 Tính chất 10 Nếu d là số không chính phương thì biểu diễn liên phân số

của d là tuần hoàn và có dạng d a a a; ,1 2, ,a n, 2a với a   d Hơn nữa dãy ( ,a a1 2, ,a n) là đối xứng tức là a1 a a n, 2 a n1,a3 a n2,

Chẳng hạn biểu diễn liên phân số vô hạn của 17, 21, 29, 31 là :

(2.1) Vì vậy sau đây ta chỉ yêu cầu tìm nghiệm x, y nguyên dương Phương

trình (2.1) có tên gọi là phương trình Pell loại 1 (xem 5 )

Bổ đề 2.1 Cho d là số vô tỉ, khi đó tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p; q):

21

p d

p d

Bổ đề 2.2 Tồn tại vô số cặp số nguyên dương ( ; )p q sao cho:

Định lý 2.1 ( Điều kiện tồn tại nghiệm) Nếu d là số nguyên dương không

chính phương thì phương trình (2.1) có nghiệm nguyên dương

Chứng minh Giả sử d là số không chính phương Từ bổ đề 2.1 tồn tại vô số

cặp số nguyên dương ( ; )x y sao cho : 2 2

Ta có mâu thuẫn Vậy ( ; )u v là nghiệm nguyên dương của (2.1).

Định lý 2.2 (Công thức nghiệm) Kí hiệu ( ; ) a b là nghiệm nhỏ nhất của phương trình 2 2

1

x dy  (nghĩa là nếu ( ; ) u v là nghiệm bất kì thì a u b v ;  )

Khi đó dãy số x y cho bởi n; n

cho ta tất cả các nghiệm của phương trình (2.1)

Dãy nghiệm x y có thể xác định theo công thức truy hồi n; n

n n

x dy  a db

Lại có x y d x, m y m d nên u0 Hơn nữa uv duv d 1 và

1 u v d  nên 0 u v d   1 u v d  v 0 Vậy  u v là nghiệm của ;(2.1) do đó au b,   v a b d  u v d trái với (2.6).

Từ định lí trên ta thấy việc tìm nghiệm của phương trình (2.1) quy về việc tìm nghiệm nhỏ nhất ( ; )a b của nó Cách đơn giản nhất là thử trực tiếp : Thay lần

lượt y1,2,3 vào biểu thức 1 dy 2 cho tới khi nào được số chính phương thì dừng lại Vì phương trình (2.1) có nghiệm nên chắc chắn quá trình này sẽ

dừng lại sau b phép thử Khi đó nghiệm nhỏ nhất là ( ; ) a b với a 1db2

Tuy nhiên nếu nghiệm nhỏ nhất (a;b) với b lớn thì cách thử này không khả

thi Chẳng hạn với phương trình x261y2 1 thì nghiệm nhỏ nhất là :

Trang 29

1 1

1

n n

n

p C

Khi đó p n1;q n1 là nghiệm nhỏ nhất của (2.1)

+ Nếu chu kì n là số lẻ ta tính giản phân thứ 2 n1

2 1

2 1

2 1

n n

n

p C

Khi đó p2n1;q2n1 là nghiệm nhỏ nhất của (2.1)

Ví dụ 2.1 Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:

Vậy tập hợp nghiệm x y của phương trình được xác định bởi công thức: n; n

7 2

12

7 2 7 1

13

13

7 1 7 1

12

7 1 7 1

13

111





Trang 31

Suy ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình là (8;3)

Vậy tập hợp nghiệm nguyên dương x y của phương trình được xác định n; n

(2.7) Vì vậy ta cũng chỉ yêu cầu tìm nghiệm x,y nguyên dương của phương

trình Phương trình (2.7) có tên gọi là phương trình Pell loại 2

Định lý 2.4 Điều kiện cần để (2.7) có nghiệm là d không là số chính phương

và d không có ước nguyên tố dạng 4 k 3

Chứng minh Nếu d m2, *

m thì (2.7) trở thành

myx my x1

Vì my x 0 nên suy ra my x my   x 1 x 0

Vậy (2.7) không có nghiệm (nguyên dương)

Nếu d có ước nguyên tố dạng p4k3, giả sử  x y là nghiệm Khi đó ;

Điều này vô lý vì p4k3 thì

1

2 1 2

1( 1) ( 1) 1

Trang 33

Định lý 2.6 Gọi (a;b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2dy2 1

Khi đó (2.7) có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm nguyên dương

Hơn nữa nếu hệ trên có nghiệm nó sẽ có nghiệm duy nhất Nghiệm duy nhất

x y này chính là nghiệm nhỏ nhất của (2.7) 1; 1

Chứng minh Giả sử (2.7) có nghiệm Gọi x y là nghiệm nhỏ nhất của 1; 1

1

n n

n

p C

cho ta tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình

Chứng minh Giả sử (x y n; n) cho bởi công thức trên Khi đó

Vậy ( ; )s t là nghiệm của phương trình x2 dy2 1 Gọi ( ; )a b là nghiệm nhỏ

nhất của nó Theo công thức nghiệm của phương trình (2.1) và định lý 2.7 tồn tại n sao cho: *

Ta gọi phương trình x2 dy2 1 là phương trình liên kết của phương trình

 có nghiệm nghiệm duy nhất (18;5)

Suy ra (18;5) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho và tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là  x n; y n, xác định bởi công thức:

2.3 Phương trình x2 y2 z2

Xét phương trình 2 2 2

x  y z (2.9) hay còn gọi là phương trình Pitago (xem

 5 ) Bộ ba số nguyên dương ( ; ; )x y z thỏa mãn phương trình được gọi là bộ

ba Pitago Bộ ba Pitago ( ; ; )x y z được gọi là nguyên thủy nếu ( ; ; ) 1 x y z  Sau đây ta sẽ đi tìm tập hợp tất cả các bộ ba Pitago, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho

Bổ đề 2.3 Nếu ( ; ; ) x y z là bộ ba Pitago nguyên thủy thì ( , ) x y ( , )x z ( , )y z

Chứng minh Dễ thấy ( ; ; )x y z cho bởi công thức trên thì x2 y2 z2

Ngược lại giả sử ( ; ; )x y z là bộ ba Pitago

x  k h m n y  mn z  k s m n (2.10) Giả sử ( , ) 1m n  và p là ước nguyên tố chung của m n, hay p m p n thì | , |

b Giả sử phương trình x4  y4 z2 có nghiệm nguyên dương Gọi (x y z0; 0; 0)

là nghiệm nguyên dương sao cho z0 nhỏ nhất Khi đó ta có:

+ (x y z02, 02, 0) 1

Giả sử y0 chẵn x0 lẻ khi đó ta có

2 2 2 0

2 0

02

2 2 0

1( , ) 1b m   a a , 2 2

x  y z không có nghiệm nguyên dương

2.4 Phương trình dạng x2  y2 n (với n nguyên dương)

Xét phương trình 2 2

x  y n với n là số nguyên dương

Nếu n là số nguyên tố thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi n4k3

x y x y x y

2.5 Phương trình dạng x2  y2z2  t2 n (với x y z t, , , ,n ) *

Với mọi n phương trình * 2 2 2 2

x  y z  t n luôn có nghiệm nguyên

Ví dụ 2.5 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

b Ta thấy 57 chỉ có đúng hai cách phân tích khác nhau thành tổng của bốn

x  py n (với n nguyên, p là số nguyên tố,

( , ) 1n p  ) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi n là thặng dư bậc hai modulo p