Một số dạng phương trình nghiệm nguyên

www.facebook.com/hocthemtoan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Pi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  THÂN VĂN CƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Pii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  THÂN VĂN CƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: Công nghệ sinh học Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Piii 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 1.1. Một số kết quả của số học trong giải phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Phương trình Điôphăng tuyến tính . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Các bộ số Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 23 2.1. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Phương pháp lựa chọn Modulo . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Phương pháp sử dụng các tính chất cơ bản của số học . 34 2.3.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Phương pháp lùi vô hạn (phương pháp xuống thang) . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2.4.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÂN VĂN CƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Hà Huy Khoái Phản biện 1: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Đại học sư phạm Hà Nội . . . . . . . . . . Phản biện 2: PGS. TS Nông Quốc Chinh, Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên . . . . . . Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, những giả thuyết chưa có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó, có nhiều tư tưởng lớn, nhiều lí thuyết lớn của toán học đã nẩy sinh. Hơn nữa, trong những năm gần đây, Số học không chỉ là một lĩnh vực của toán học lí thuyết, mà còn là lĩnh vực có nhiều ứng dụng, đặc biệt trong lĩnh vực bảo mật thông tin. Vì thế, việc trang bị những kiến thức cơ bản về số học ngay từ trường phổ thông là hết sức cần thiết. Không như nhiều ngành khác của toán học, có rất nhiều thành tựu hiện đại và quan trọng của Số học có thể hiểu được chỉ với những kiến thức phổ thông được nâng cao một bước. Do đó, đây chính là lĩnh vực thuận lợi để đưa học sinh tiếp cận nhanh với khoa học hiện đại. Tuy nhiên, trong chương trình Số học ở trường phổ thông hiện nay, môn Số học chưa được giành nhiều thời gian. Cũng vì thế mà học sinh thường rất lúng túng khi giải bài toán Số học, đặc biệt là trong các kì thi chọn học sinh giỏi. Trong phần Số học, các bài toán về Phương trình nghiệm nguyên đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và nghiên cứu lí thuyết để hoàn thiện. Việc giải các bài toán về phương trình nghiệm nguyên chính là việc áp dụng các kiến thức của số học. Đây là một trong những bài toán cơ bản được đề cập nhiều trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh (thành phố), Quốc gia, Quốc tế. Mục đích chính của luận văn là nêu ra được một số dạng phương trình nghiệm nguyên và phương pháp giải của từng dạng. Cụ thể là phân loại được các dạng phương trình thông qua hệ thống bài tập giải phương trình nghiệm nguyên. Đồng thời đưa ra được hệ thống các bài tập tham Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 khảo cho từng dạng. Nội dung của luận văn gồm 2 chương Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản trong việc áp dụng giải phương trình nghiệm nguyên. Chương 2: Một số dạng phương trình nghiệm nguyên và phương pháp giải. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TSKH. Hà Huy Khoái - Viện Toán Học Hà Nội. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi xin cảm ơn tới Sở Nội Vụ, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang, trường THPT Tân Yên 2, tổ Toán trường THPT Tân Yên 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin gửi tới các Thầy Cô khoa Toán, phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, cũng như các Thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2009-2011 lời cảm ơn sâu sắc về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại Học Khoa Học đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011 Tác giả THÂN VĂN CƯƠNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của một số loại phương trình như phương trình Điôphăng tuyến tính, phương trình Fermat, phương trình Pell 1.1. Một số kết quả của số học trong giải phương trình nghiệm nguyên Định lý 1.1.1. (Định lý cơ bản về số nguyên tố). Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Khi đó n luôn có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng sau: n = p α 1 1 .p α 2 2 p α k k . Trong đó k, α i (i = 1, 2, , k) là các số tự nhiên và p i là các số nguyên tố thỏa mãn: 1 < p 1 < p 2 < < p k . Định lý 1.1.2. (Định lý Euclid.) Tồn tại vô hạn số nguyên tố. Định lý 1.1.3. (Định lý cơ bản về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố). Giả sử a, b là hai số nguyên dương, còn p là số nguyên tố sao cho ab . . .p. Khi đó ta phải có hoặc là a . . .p, hoặc là b . . .p. Định nghĩa 1.1.1. Cho hai số nguyên a và b. Ta nói rằng a đồng dư vơi b theo Modulo m (m nguyên dương) và ký hiệu a ≡ b(mod m) khi và chỉ khi (a − b) . . .m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chương 2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Mở đầu Trong chương này trình bày một số dạng phương trình nghiệm nguyên và cách áp dụng Chúng ta sẽ đi nghiên cứu giải phương trình nghiệm bằng cách phân tích, dùng Modulo, đánh giá, dùng bất đẳng thức 2.1 2.1.1 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách phân tích Mô tả phương pháp Phương pháp... đi xét số dư từng vế của một phương trình Nếu hai vế của phương trình cùng chia cho một số mà được hai số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên Phương pháp này tỏ ra rất có hiệu quả khi cần chứng minh một phương trình nghiệm nguyên vô nghiệm Xét các ví dụ sau 2.2.2 Một số ví dụ Ví dụ 2.2.1 Chứng minh rằng phương trình x15 + y 15 + z 15 = 192003 + 72003 + 92003 không có nghiệm nguyên. .. a, b là các số nguyên, d là ước chung lớn nhất của a và b Khi đó phương trình ax + by = c không có nghiệm nguyên nếu d không là ước của c Nếu d|c thì phương trình có vô số nghiệm Hơn nữa nếu x = x0 , y = y0 là một nghiệm nào đó của phương trình thì mọi nghiệm của phương trình có dạng: b x = x0 + ( d )n, y = y0 + a n d Trong đó n là số nguyên Chứng minh Giả sử (x, y) là nghiệm của phương trình Do d|a,... là một bộ số Pitago nguyên thủy Ví dụ 1.3.2 Lấy m = 5, n = 2 ta tìm được x = 21, y = 20, z = 29 là một bộ số Pitago nguyên thủy 1.3.2 Phương trình Fermat Ta thấy rằng phương trình x+y =z Có vô hạn nghiệm nguyên (x, y, z) Các bộ số Pitago cũng cho ta vô Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 hạn nghiệm nguyên của phương trình x2 + y 2 = z 2 Cứ như vậy nếu số. .. nghiệm của (1) khi d là chính phương sẽ tương ứng với nghiệm của hệ phương trình x + Dy = a x − Dy = b Trong đó a và b là các số nguyên sao cho n = ab Trong trường hợp đó, chỉ có nghiệm hữu hạn , vì tồn tại nhiều nhất là một nghiệm nguyên của hai phương trình trên ứng với một cách phân tích n = ab Trong phần tiếp theo, ta quan tâm phương trình x2 − dy 2 = n, trong đó d và n là các số nguyên, d là số. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 1.3.3 Phương trình Pell Trong phần này chúng ta chỉ nghiên cứu phương trình Điôphăng có dạng x2 − dy 2 = n (1) Trong đó d và n là các số nguyên cố định Khi d < 0 và n < 0 phương trình vô nghiệm Khi d < 0 và n > 0, phương trình chỉ có thể có hữu √ n hạn nghiệm, vì đẳng thức x2 − dy 2 = n suy ra | x |≤ n, | y |≤ |d| Khi d là một số chính phương, chẳng hạn d = D2 thì x2 −... ) là nghiệm nguyên thỏa mãn phương trình (1) Ta nhận thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y do đó y 3 3 Đặt y0 = 3t0 , t ∈ Z thay vào phương trình ta được 3x0 + 17.3t0 = 159 ⇔ x0 + 17t0 = 53 Do đó: x = 53 − 17t y = 3t Với t nguyên tùy ý Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào phương trình ta được nghiệm đúng Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên được xác định bởi công thức trên Số hóa... Các nghiệm dương của phương trình x2 − 13y 2 = −1 là p10j−6 , q10j−6 , j = 1, 2, 3 Nghiệm dương bé nhất là p4 = 8, q4 = 5 Định lý sau đây cho phép ta tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell xuất phát từ một nghiệm nguyên dương bé nhất mà không phải tìm các tổng hội tụ riêng của khai triển phân số liên tục của √ d Định lý 1.3.7 Giả sử x1 , y1 là nghiệm nguyên dương bé nhất của phương trình. .. Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.3 Phương trình Fermat 1.3.1 Các bộ số Pitago Bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn phương trình: x2 + y 2 = z 2 được gọi là một bộ số Pitago - Tên gọi đó xuất phát từ Định lý Pitago quen thuộc Như vậy, (x, y, z) là một bộ số Pitago khi và chỉ khi tồn tại tam giác vuông có số đo hai cạnh góc vuông là x và y , số đo cạnh huyền bằng z (Với x, y, z là các số nguyên. .. được xác định một cách duy nhất Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1.2 Phương trình Điôphăng tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Phương trình Điôphăng tuyến tính là phương trình có dạng: ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các số nguyên, các giá trị x, y cũng nhận các giá trị nguyên Giải phương trình Điôphăng (1) tức là tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (1) Định . trình bày một số kiến thức cơ bản của một số loại phương trình như phương trình Điôphăng tuyến tính, phương trình Fermat, phương trình Pell 1.1. Một số. văn là nêu ra được một số dạng phương trình nghiệm nguyên và phương pháp giải của từng dạng. Cụ thể là phân loại được các dạng phương trình thông qua hệ