Một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên -Cao Thị Vân Oanh MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Ngư

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

-Cao Thị Vân Oanh

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2013

Đại học Quốc gia Hà Nội Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

-Cao Thị Vân Oanh

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2013

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu người đãhướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các giảngviên trong khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã dạy bảotôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ độngviên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.Mặc dù tôi đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức và thời gian còn nhiều hạnchế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đónggóp của quý thầy cô và các bạn để bài luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013

Học viênCao Thị Vân Oanh

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản 7

1.1.1 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 7

1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 9

1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 12

1.2 Hàm xác định trên tập số nguyên 15

1.2.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên 15

1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số nguyên 20

1.3 Một số dãy số dạng đặc biệt 21

2 Một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên 27 2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp 27

2.1.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học 28

2.1.2 Hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình 42

2.1.3 Một số dạng khác của phương trình hàm trên tập số nguyên 49 2.2 Áp dụng một số tính chất của dãy số và hàm số để giải phương trình hàm 57

2.2.1 Số hạng tổng quát của dãy số 57

2.2.2 Áp dụng một số tính chất của hàm số 63

2.2.3 Cấp số cộng và phương trình hàm trên N,Z 66

2.2.4 Kết hợp các tính chất của hàm số với các tính chất của dãy số 68 2.2.5 Hàm số sinh bởi phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng 70

2.2.6 Hàm số sinh bởi phép biến đổi phân tuyến tính 76

2.3 Sử dụng nguyên lý thứ tự 78

2.4 Sử dụng tính chất của hàm tuần hoàn nhân tính 82

2.5 Sử dụng một số tính chất của số học 86

2.6 Bài tập áp dụng 90

3 Mở rộng phương trình hàm trên tập số hữu tỉ và một số phương trình hàm trong các đề thi Quốc tế 96 3.1 Phương trình hàm trên tập số hữu tỉ 96

3.2 Một số bài toán về phương trình hàm trên tập số nguyên trong các đề thi Olympic Toán 102

Mở đầu

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọngcủa giải tích toán học Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú baogồm các loại phương trình tuyến tính, phương trình phi tuyến, phương trình một

ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm

Trong các kỳ thi Olympic Toán Quốc gia và Quốc tế thường xuất hiện các dạngtoán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm Để giúp các thầy cô giáo, họcsinh các trường phổ thông có thêm nhiều tư liệu mới về vấn đề này tôi xin trìnhbày một số phương pháp chọn lọc trong việc giải phương trình hàm trên tập sốnguyên

Luận văn gồm ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của hàm số (tuần hoàn, phản tuầnhoàn cộng tính và nhân tính) và một số dãy đặc biệt

Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên

Chương 3 trình bày một số phương trình hàm mở rộng trên tập số hữu tỉ vàmột số bài toán về phương trình hàm trong các đề thi Olympic Toán

Chương 1

Tính chất cơ bản của hàm số

1.1 Một số kiến thức cơ bản

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂R và tập giá trị trong R.

1.1.1 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.1 1 Hàm số f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn (cộng tính) chu

kỳ a (a > 0) trên M (M ⊂ D(f )) và



∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M

f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M

2 Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kì

cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T mà không là hàm tuần hoànvới bất kỳ chu kỳ nào nhỏ thua T

Ví dụ 1.1 1 Hàm số f (x) = sin x là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ cơ sở2π Thật vậy, dễ thấy rằng hàm số f (x) = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π Giả

sử tồn tại α(0 < α < 2π) sao cho f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ α Ta có,

f (x) = f (2π + α) = f (2π)(vô lý) Vậy giả sử là sai Ta có điều phải chứng minh

2 Hàm số f (x) = cos x là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ cơ sở 2π

Nhận xét 1.1 Tồn tại hàm số là hàm tuần hoàn trên R nhưng không có chu kỳ

Khi đóf (x) là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ a ∈R+ tùy ý Vì trong R+ không

có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở

Định nghĩa 1.2 1 Hàm sốf (x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn (cộng tính)chu kỳ a (a > 0)trên M (M ⊂ D(f )) và

Ví dụ 1.3 Hàm sin x và cos x phản tuần hoàn với chu kỳ cơ sở π

sin(x + π) = − sin x cos(x + π) = − cos xBài toán 1.1 Cho f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M Chứng minh

f (x) cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M

Lời giải Theo giả thiết, f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M nên

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M

Nhận xét 1.2 Điều ngược lại không đúng Tức là, một hàm tuần hoàn chưa chắc

đã là một hàm phản tuần hoàn

Bài toán 1.2 Hàm sốf (x) = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳπ nhưng không

là hàm phản tuần hoàn

Thật vậy, dễ thấy f (x) = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π

Giả sử f (x) = tan x cũng là hàm số phản tuần hoàn với chu kỳ α nào đó Suy ra

tan α = tan(α + π) = − tan π = 0.

trong đó g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2a trên M.

Lời giải Thật vậy, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M

Suy rax ± a ∈ M với mọi x ∈ M Nếu ta chọng(x) = f (x)2 thìg(x) là hàm tuần hoànchu kỳ 2a trên M (Bài toán1.1) và

g(x) − g(x + a) = 12f (x) − 12f (x + a) = 12f (x) − (−12f (x))

Ngược lại, với f (x) thỏa mãn (1.1) ta có

f (x + a) = g(x + a) − g(x + 2a) = g(x + a) − g(x) − [g(x) − g(x + a)] = −f (x), ∀x ∈ M.Hơn nữa,∀x ∈ M thìx±a ∈ M Do đóf (x)là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M

Bài toán 1.4 Cho f (x) và g(x) là hai hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở tương ứng

là a, b trên R, F (x) = f (x) + g(x) Chứng minh rằng F (x) là hàm tuần hoàn trên R

Lời giải Theo giả thiết, tồn tại m, n ∈N∗ (m, n) = 1 sao cho ab = mn

Đặt T = na = mb Khi đó

F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈R.

Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈R thì x = ±T ∈R.

Vậy F (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T trên R

1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.3 Hàm số f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a(a / ∈ {0; ±1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và



∀x ∈ M ⇒ a±1x ∈ M

f (ax) = f (x), ∀x ∈ M

Ví dụ 1.4 Xét f (x) = sin(2π log2x) Khi đóf (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu

kì 2 trên R+

Thật vậy, ta có ∀x ∈R+ thì 2±1x ∈R+ và

f (2x) = sin(2π log2(2x)) = sin(2π(1 + log2x))

= sin(2π log2x) = f (x), ∀x ∈R+ Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn nhân tính chu

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 9

Ta chứng minh nếu f có dạng (3) thì f là phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 vàngược lại Thật vậy f (3x) = 12(g(3x) − g(9x)) = 12(g(3x) − g(x)) = −f (x)

Ngược lại nếu f (x) là nghiệm của (1) thì có dạng (3) vì nếu f (x) là nghiệm của(1) ⇔ (2) ⇒ (3) với g(x) = f (x)

Bài toán 1.5 Chứng minh nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ strên M thì f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ s2 trên M

Lời giải Theo giả thiết,f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s trên Mnên

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng hàm số f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tínhchu kỳ b (b 6= 0, ±1) trên M khi và chỉ khi



b±1x ∈ M, ∀x ∈ M

trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M

Lời giải Thật vậy, với f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M.Suy ra b±1x ∈ M với mọi x ∈ M

Chọn g(x) = f (x)2 thì g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và

g(x) − g(bx) = 12f (x) − 12f (bx) = 12f (x) + 12f (x) = f (x), ∀x ∈ M

Ngược lại, với f (x) thỏa mãn hệ thức trên ta có

f (bx) = g(bx) − g(b2x) = g(bx) − g(x) = −f (x), ∀x ∈ M.Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1x ∈ M Do đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ btrên M

Bài toán 1.7 Chof (x), g(x)là hai hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a, b tương ứngtrên R(ln|a|ln|b| = mn, m, n ∈N) Chứng minh rằngF (x) = f (x) + g(x) và G(x) = f (x)g(x)

là những hàm tuần hoàn nhân tính trên R

Lời giải Do R(ln|a|ln|b| = mn, m, n ∈N)(giả thiết) nên nln|a| = mln|b| hay|a| n = |b|m

Ta chứng minh T = a2n = b2m là chu kỳ của F (x) và G(x)

Theo giả thiết, f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và g(x) là hàm tuầnhoàn chu kỳ b nên ta có



f (T x) = f (a2nx) = f (x), ∀x ∈Rg(T x) = g(b2mx) = g(x), ∀x ∈R.Suy ra

F (T x) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈RG(T x) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x), ∀x ∈R.Hơn nữa, dễ thấy T±1x ∈R, ∀x ∈R.

Vậy F (x), G(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ T trên R

Bài toán 1.9 Chứng minh rằng f (x) là hàm chẵn trên R khi và chỉ khi f (x) códạng

với g(x) là hàm tùy ý trên R

Lời giải Nếu f (x) là hàm chẵn trên R thì ta có

f (x) = f (−x), ∀x ∈R.

Suy ra

f (x) = f (x)+f (x)2 = f (x)+f (−x)2 Chọn g(x) = f (x)2 thì f (x) có dạng (1.3)

Ngược lại, nếu f (x) có dạng (1.3) thì hiển nhiên f (x) là hàm chẵn trên R

Bài toán 1.10 Chứng minh rằngf (x) là hàm lẻ trên R khi và chỉ khif (x) có dạng

với g(x) là hàm tùy ý trên R.

Lời giải Nếu f (x) là hàm lẻ trên R thì ta có

f (x) = −f (−x), ∀x ∈R.

Suy ra

f (x) = f (x)+f (x)2 = f (x)−f (−x)2 Chọn g(x) = f (x)2 thì f (x) có dạng (1.4)

Ngược lại, nếu f (x) có dạng (1.4) thì hiển nhiên f (x) là hàm lẻ trên R

Bài toán 1.11 Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viếtdưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ

Lời giải Giả sử f (x) là hàm số bất kỳ trên R

g(−y) = g(y)hayg(y) là hàm chẵn trên R.

Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f (x) = g(x − a) = h(x − a) + h(−x + a),trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R

Bài toán 1.13 Cho a, b ∈ R Xác định hàm số f (x) trên R thỏa mãn điều kiện

f (2a − x) + f (x) = b, ∀x ∈R. (1.6)Lời giải Đặt x = a − y

Khi đó 2a − x = a + y và điều kiện bài ra tương đương với

f (a + y) + f (a − y) = b, ∀y ∈R.

Đặt g(y) = f (a + y) − b2 hay f (y) = g(y − a) +2b thì ta có phương trình

g(−y) = −g(y), ∀y ∈R,hayg(y) là hàm lẻ trên Q

Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f (x) = g(x − a) + b2 = h(x − a) − h(−x + a) + b2,trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R

Định nghĩa 1.6 (Phương trình đương đương - phương trình hệ quả) Cho phươngtrình

Nếu S1 ⊂ S2 thì ta nói phương trình (1.8) là hệ quả của phương trình (1.7).

Kí hiệu : f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x).

1.2 Hàm xác định trên tập số nguyên

1.2.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ Z và tập giá trị trong R Khi đó ta

có được định nghĩa hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên nhưđịnh nghĩa 1.1; 1.2; 1.3; 1.4

Do tập số nguyên Z là tập rời rạc nên ta có thể xác định được dạng tổng quát củacác hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn khi biết chu kỳ tuần hoàn của hàm số đó

Nhận xét 1.3 Mọi hàmf (n)là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z đều là hàm hằng

Mệnh đề 1.1 Mọi hàm f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z đều có dạng

f (n) = 1

2[a + b + (a − b)(−1)

n

], ∀n ∈Z(a, b ∈ R). (1.9)Chứng minh Giả sử f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z, ta cần chứng minh

f (n) = 1

2[a + b + (a − b)(−1)

n

], ∀n ∈Z(a, b ∈ R). (1.10)Thật vậy, giả sử f (0) = a, f (1) = b (a, b ∈R).

Theo giả thiết, f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 nên ta có

f (n + 2) = 12[a + b + (a − b)(−1)n+2]

= 12[a + b + (a − b)(−1)n] = f (n).Vậy f (n) = f (n + 2), ∀n ∈Z hay f (n) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2

Mệnh đề 1.2 Mọi hàm f (n) tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z đều có dạng

3 ], ∀n ∈Z, (a, b, c ∈R) (1.11)

Lời giải Với mọi hàm số f (n) có dạng (1.11) thì dễ dàng ta có

f (n + 3) = f (n), ∀n ∈Z.

Suy ra f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3

Ngược lại, giả sử f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 và f (0) = c, f (1) = a, f (2) = b(a, b, c ∈R)

Đặt g(n) = 13[a + b + c + (−a − b + 2c)cos2nπ3 + √

3(a − b)sin2nπ3 ].Theo trên ta có g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z

2 ]

= b = f (2)

Mà f (n) và g(n) đều là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 nên

1 Nếu a chẵn thì phương trình (1.12) có n nghiệm

λ 1 = 1, λ 2 = −1, λk = cos2kπa + isin2kπa , λ0k = cos2kπa − isin2kπa ,với k = 1, 2, ,a−22

Do đó f (n) có dạng

f (n) = a 1 + a 2 (−1)n+

a−2 2

Thay n = 0, 1, 2, , a − 1 vào phương trình (1.13) ta được hệ a phương trình a

ẩn Giải hệ này ta tìm được a1, a2, ck, dk(k = 1, 2, ,a−22 )

Với a = 2 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề 1.1

2 Nếu a lẻ thì phương trình (1.12) có n nghiệm

λ1= 1, λk = cos2kπa + isin2kπa , λ0k = cos2kπa − isin2kπa ,với k = 1, 2, ,a−12

Do đó f (n) có dạng

f (n) = a1+

a−1 2

Giả sử f (0) = b0, f (1) = b1, f (a − 1) = ba−1.

Thay n = 0, 1, 2, , a − 1 vào phương trình (1.14) ta được hệ a phương trình a

ẩn Giải hệ này ta tìm được a1, ck, dk(k = 1, 2, ,a−12 )

Với a = 3 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề (1.2)

Nhận xét 1.4 Cho a ∈Z+ Nếu hàm số f (n) xác định tập số nguyên thỏa mãnđiều kiện

f (n − a) = f (n), ∀n ∈ Z,thì hàm số f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z

Bài toán 1.15 Xác định hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z,biết f (1) = 2

Lời giải Vì f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z nên hàm số f (n) códạng

f (n) = g(n) − g(n + 1),trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2

Theo mệnh đề 1.1 thì g(n) = 12[a + b + (a − b)(−1)n], ∀n ∈ Z, với a, b ∈R.

Suy ra g(n + 1) = 12[a + b + (a − b)(−1)n+1], ∀n ∈Z.

Từ đó ta có

f (n) = 12[(a − b)(−1)n− (a − b)(−1)n+1], ∀n ∈ Z,đặt a − b = k, k ∈ R thì hàm số f (n) có dạng

f (n) = 12(k(−1)n− k(−1) n+1 ) = k(−1)n, ∀n ∈Z.

Mà f (1) = 2, nên ta có k = −2

Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng f (n) = −2(−1)n, ∀n ∈Z.

Bài toán 1.16 Cho a ∈ Z+ Xác định hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu

kỳ a trên Z

Lời giải Vì f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên hàm số f (n) códạng

f (n) = g(n) − g(n + a),trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a Hay g(n) có dạng

Nhận xét 1.5 Cho a ∈ Z+ Nếu hàm số f (n) xác định trên tập số nguyên thỏamãn điều kiện

f (n − a) = −f (n), ∀n ∈ Z,thì hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z

Bài toán 1.17 Xác định hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z,biết f (0) = 1 và f (1) = 3

Lời giải Vì f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z nên f (n) có dạng

f (n) = g(n) − g(n + 2), ∀n ∈Z,trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 4 trên Z, hay

g(n) = a1+ a2(−1)n+ c1cosnπ2 + c2sinnπ2 Suy ra

1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số nguyênMệnh đề 1.3 Mọi hàm f (n) tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều có dạng

Bài toán 1.18 Mọi hàm f (n) phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều códạng

Bài toán 1.19 Cho a ∈Z∗, a 6= ±1 Xác định hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ atrên Z

Lời giải Nhận xét rằng, mọin ∈ Z đều có thể viết dưới dạngn = kas với k khôngchia hết cho a, s ∈ N Vì vậy

f (n) = fk,trong đófk nhận giá trị thực tùy ý, n = kas với s ∈ N, k ∈Z, k không chia hết cho

a

Với a = 2 thì f (n) có dạng f (n) = fk tùy ý nếu n = 2lk, với l ∈N, k lẻ

Bài toán 1.20 Choa ∈Z+, a 6= ±1 Xác định hàm phản tuần hoàn nhân tính chu

f (n) =



−fk, n = ka2m+1,

fk, n = ka2m.với fk nhận giá trị thực tùy ý, m N, k ∈Z, k không chia hết cho a

1.3 Một số dãy số dạng đặc biệt

Tương tự như đối với hàm số thông thường, ta có thể coi dãy sốun như một hàm

f (n) = un xác định trên tập Z và nhận giá trị trong R Vì vậy, cũng giống như hàm

số xác định trên tập số nguyên thì dãy số cũng có các dạng như: Dãy số tuần hoàn,phản tuần hoàn, dãy số tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính Ngoài ra,dãy số còn có một số dạng đặc biệt khác: cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hòa

Định nghĩa 1.7 1 Dãy số {u n } thỏa mãn điều kiện

Tính chất 1.1 Giả sử{u n } là một cấp số cộng có số hạng đầu {u 1 } và công said.

1 Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộnghữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

uk = uk−1 +u k+1

2

2 Số hạng tổng quát un của nó được tính theo công thức sau un = u1+ (n − 1)d

3 Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Sn =

2um+n = 2[u0+ (m + n)d].

Từ đó ta có

2um+n = u2m+ u2n, ∀m, n ∈ N.

Điều kiện đủ Giả sử dãy un thỏa mãn điều kiện (1.17)

Ta chứng minh dãy u n là một cấp số cộng có công sai d = u 1 − u 0

Thay m = 0 vào (1.17) ta được

2un = u0+ u2n.Suy ra

được gọi là một cấp số nhân.

2 Khi dãy số {un}lập thành một cấp số nhân thì thươngq = u1

u 0 được gọi là côngbội của cấp số đã cho

Nhận xét 1.7 1 Khi cho một dãy số hữu hạn {u 0 , u 1 , u 2 , , u n } thỏa mãn điềukiện

3 Nếu {un} là một cấp số cộng thì {vn} với vn = aun (∀n ∈ N, a > 0) lập thànhmột cấp số nhân

4 Nếu{u n } là một cấp số nhân với số hạng dương thì {v n } với v n = logau n , ∀n ∈

Bài toán 1.23 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy sốun(un > 0, ∀n ∈N)lập thành một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức

u2m+n = u2mu2n, ∀m, n ∈N (1.20)Lời giải Đặt ln un = vn, ∀n ∈N Khi đó un = evn và đẳng thức trên có dạng

e2vm+n = ev2m +v2n , ∀m, n ∈N.

hay

2vm+n = v2m+ v2n, ∀m, n ∈N (1.21)Theo bài toán trên thì đây chính là điều kiện cần và đủ để dãy số {vn} lập thànhmột cấp số cộng với công sai d = v1− v0 Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 1.24 Cho hàm số f (x) trên R thỏa mãn điều kiện

f ( √ xy) = f (x)+f (y)2 , ∀x, y > 0

và cho cấp số nhân an với an > 0 với mọi n ∈ N Chứng minh rằng dãy {f (an)} làmột cấp số cộng

Lời giải Từ giả thiết, {an} là một cấp số nhân ta có

Lời giải Từ giả thiết, {an} là một cấp số cộng ta có

a1− a0 = a2− a1 = = an− an−1 = an+1− an =

vì vậy

2an = an−1+ an+1, ∀n ∈N∗.hay

f (an) = f (an−1 +a n+1

2 ) =pf (an−1)f (an+1), ∀n ∈N∗

Từ đó ta thu được dãy {f (an)} là một cấp số nhân

Bài toán 1.26 Cho cấp số cộng {an} và cho hàm số f : R → R thỏa mãn điềukiện

f (x+y2 ) = f (x)+f (y)2f (x)f (y), ∀x, y ∈R.

Chứng minh rằng dãy {f (a n )} là một cấp số điều hòa

Lời giải Từ giả thiết ta có hệ thức

a1− a0 = a2− a1 = = an− an−1 = an+1− an =

vì vậy

2an = an−1+ an+1, ∀n ∈ N∗.hay

f (an) = f (an−1 +a n+1

2 ) = 2f (an−1 )f (a n+1 )

f (a n−1 )+f (a n+1 ).Suy ra điều phải chứng minh

Ta có thể xét dãy số {u n } mở rộng trên tập số nguyên, tức là có thể xét các bàitoán về dãy {un}, n ∈Z như là một hàm số trên tập số nguyên.

Chương 2

Một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên

Các hàm số xác định trên tập số nguyên là rất đa dạng Ngoài các vấn đề củahàm số như đơn điệu, bị chặn, tuần hoàn, đơn ánh, chúng còn liên quan đếncác khái niệm của số học như tính chia hết, số nguyên tố, số chính phương, quan

hệ đồng dư, hàm nhân tính, Trong một số trường hợp, bản chất của bài toán vềcác hàm số xác định trên tập số nguyên chính là bài toán số học Mặt khác, khixét các bài toán về hàm f : N∗ → R ta có thể chuyển về bài toán của dãy số Sửdụng các kết quả của dãy số, ta thu được các tính chất cần thiết để giải các bàitoán liên quan đến phương trình hàm Dưới đây ta xét một vài phương pháp giảiphương trình hàm trên tập số nguyên

2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp

Nguyên lý quy nạp là một nguyên lý quen thuộc và rất quan trọng trong chươngtrình toán phổ thông Nguyên lý là đôi khi là một công cụ hữu hiệu để giải quyếtmột số bài toán khó liên quan đến tập số nguyên, chẳng hạn việc giải các phươngtrình hàm trên tập số nguyên

Nguyên lý quy nạp:Cho T⊂N∗, 1 ∈T và nếun ∈ T suy ra n + 1 ∈T thì T=N∗.Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình hàm ta có thể sử dụng các phươngpháp quy nạp khác nhau Thông thường ta tìm cách tính một vài giá trị ban đầu

để phát hiện quy luật tổng quát của{f (n)}nvà chứng minh nó bằng quy nạp theon

2.1.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học

Hàm chuyển đổi từ phép cộng

Bài toán 2.1 Tìm f : N→N thỏa mãn điều kiện

f (f (n)) + f (n) = 2n + 3, ∀n ∈N.Lời giải.Giả sử tồn tại hàm số f (n) thỏa mãn yêu cầu bài ra

Cho n = 0 ta được f (f (0)) + f (0) = 3 suy ra f (0) ≤ 3.

Nếu f (0) = 0 ta được 0 = 3 là điều vô lý

Giả sử (1) đúng đến n = k, k ≥ 0 Tức là f (k) = k + 1 Khi đó

f (k + 1) = f (f (k)) = 2k + 3 − f (k) = 2k + 3 − (k + 1) = k + 2 ⇒ f (k + 1) = k + 1 + 1.Vậy (1) đúng với n = k + 1 Theo nguyên lý quy nạp ta được (1) đúng với mọi

n ∈N Mặt khác, dễ thấy hàm số f (n) = n + 1 thỏa mãn phương trình đã cho nên

f (f (2)) = 2 + f (2) ⇒ f (4) = 6.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi x ∈ Z thì f (2x) = 2x + 2.(2) Theotrên (2) đúng khi x = 0 Giả sử (2) đúng tới x = k(k ∈Z, k ≥ 0).

Bài toán 2.3 Xác định hàm sốf (m) trên tập số nguyên, sao cho

f (m) = am, ∀m ∈Z, m ≥ 0.Với m < 0, ta có

0 = f (0) = f (m + (−m)) = f (m) + f (−m),hay

f (m) = −f (−m) = am, ∀m ∈Z, m < 0.Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f (m) = am, ∀m ∈Z(a ∈R)

Bài toán 2.4 Cho b ∈Z+, A, B ∈R+ Xác định hàm số f (m)trên tập số nguyên,sao cho

f (m + bn) = Af (m) + Bf (n), ∀m, n ∈Z (1)

Lời giải Chom = 0, n = 0 thay vào (1) ta được f (0) = (A + B)f (0)

Cho n = 0, thay vào (1) ta được f (m) = Af (m) + Bf (0), ∀m ∈Z.

f (n) = nf (1), ∀n > 0.+ Với n < 0 ta có

f (m + bn) = f (m + b(n + 1) − b) = f (m + b(n + 1)) + Bf (−1) = = f (m) − nBf (−1).Suy ra

f (m) − nBf (−1) = f (m) + Bf (n),hay f (n) = −nf (−1)

f (k + bn) = A1f (k) −BAf (n), ∀k, n ∈Z.

Bài toán 2.5 Choa, b ∈ Z+, A, B ∈R+ Xác định hàm sốf (m)trên tập số nguyên,sao cho

f (am + bn) = Af (m) + Bf (n), ∀m, n ∈Z (2)

Lời giải Chom = n = 0, thay vào phương trình (2) ta được

f (0) = Af (0) + Bf (0) = (A + B)f (0)

1 Nếu A + B 6= 1 thì f (0) = 0 Với mọi m, n ∈Z ta có

f ((m + n)ab) = f (mab + nab) = Af (mb) + Bf (na) = ABf (m) + ABf (n)

f ((m + n)ab) = Af ((m + n)b) = ABf (m + n),suy ra f (m + n) = f (m) + f (n), ∀m, n ∈Z.

f (m) có dạng f (m) = mk, ∀m, n ∈Z(k ∈R)

Thử lại, thay vào phương trình (2) ta được

(am + bn)k = Amk + Bnk, ∀m, n ∈Z,suy ra, k(a − A)m = k(b − B)n, ∀m, n ∈Z.

2 Nếu A + B = 1 với mọi m, n ∈Z ta có

f ((m + n)ab) = f (mab + nab) = Af (mb) + Bf (na) = ABf (m) + A2f (0) + ABf (n) + B2f (0)

Thử lại, thay vào phương trình (2) ta được

(am + bn)β + α = A(mβ + α) + B(nβ + α) = (Am + Bn)β + α, ∀m, n ∈Z.

Nếu A 6= a hoặc B 6= b thì β = 0 và hàm số f (m) = α(α ∈R) là nghiệm của bài

toán

Nếu A = a và B = b thì hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f (m) = mβ + α, ∀m ∈Z(α, β ∈R)

Bài toán 2.6 Xác định hàm sốf (m) trên tập số nguyên, sao cho

1 Nếu m ≥ 0 Giả sử f (1) = a(a ∈R+) Ta có

f (2) = f (1 + 1) = f (1)f (1) = a2.Bằng phương pháp quy nạp ta có kết quả

f (m) = am, ∀m ∈Z, m ≥ 0

2 Nếu m < 0 Ta có

1 = f (0) = f (m + (−m)) = f (m)f (−m)suy ra

f (m) = −m1 = am.Thử lại, ta thấy hàm số f (m) = am thỏa mãn điều kiện

Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f2(m) = f2(n), ∀m, n ∈Z.

Từ đó ta có f2(1) = f2(2m) = 1

1 Nếu A + B 6= 1, f (0) = 1 Với mọi m, n ∈Z ta có

f ((m + n)ab) = f (mab + nab) = f (mb)Af (na)B = f (m)ABf (n)AB

f ((m + n)ab) = f ((m + n)b)A = f (m + n)AB,suy ra f (m + n) = f (m)f (n), ∀m, n ∈Z.

Đặt f (0) = α > 0, g(m) = f (m)α > 0 thì ta có

Hàm chuyển đổi từ phép nhân

Bài toán 2.9 Tìm tất cả các hàm số f :N∗ →N∗ sao cho

Ta có f (1) = 1, f (2) = 2 Giả sử khẳng định f (n) = n đã đúng tới n = k, với k ≥ 2.Lúc nàyf (k) = k, ta cần chứng minh f (k + 1) = k + 1 Nếuk là số lẻ thì k + 1 là sốchẵn và

f (n) = n, ∀n ∈N∗.Thử lại, thấy f (n) = n thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét 2.2 Các điều kiện đã nêu trong bài toán là rất chặt và đã được sửdụng một cách tối đa vào phương pháp quy nạp toán học Tuy nhiên, chỉ cần làm

"yếu" đi một trong những điều kiện đó thì việc giải bài toán mới đã bắt đầu khókhăn, đòi hỏi một số kỹ thuật khác Chẳng hạn bài toán sau đây

Bài toán 2.10 Tìm tất cả các hàm sốf : N∗ →N∗ sao cho

f (4) = 4, f (5) = 5, f (6) = 6, f (7) = 7, f (8) = 8, f (9) = 9, f (10) = 10.

Do đó f (n) = n, ∀n ∈ N∗, n 6= 10 Ta chứng minh f (n) = n, ∀n ∈ N∗. Giả sử

f (k) = k(k ∈ N∗, 10 6= k 6= n) Ta cần chứng minh điều khẳng định vẫn còn đúngvới k = n + 1 Nếu k là số chẵn, xét 2 trường hợp sau:

= 2(2α−1+ 1) = 2α+ 2 = (k + 1) + 2 = k + 3.

Mà k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) =< f (k + 3) = k + 3 nên f (k) = knên

Bài toán 2.11 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f :N∗ →N∗ sao cho:

f (256) = f (28) = (f (2))8 = 6561; f (243) = f (35) = (f (3))5 = 7776.

Suy ra f (256) < f (243) (mâu thuẫn)

Vậy không tồn tại hàm số f thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài toán 2.12 Xác định hàm sốf (m) 6= 0 trên tập số nguyên, sao cho

f (mn) = f (m) + f (n), ∀m, n ∈Z, m, n 6= 0

Lời giải Với mọi m ∈Z+, ta có

2f (−m) = f ((−m)2) = f (m2) = 2f (m).Suy ra

f (m) = f (−m), m ∈Z+

Do đó, ta chỉ cần xét m > 0

Vìf (m) = f (m) + f (1) nên f (1) = 0

Giả sử m = p là số nguyên tố và f (p) = cp Khi đó bằng phương pháp quy nạp tachứng minh được f (pk) = kf (p) = kcp.

Nếu m = pα1

1 pα2

2 pαnn , với p1, p2, , pn là các số nguyên tố thì

f (m) = α1cp1 + α2cp2 + + αncpn,trong đó cpi(i = 1, 2, , n) có thể nhận giá trị tùy ý Thử lại, ta thấy thỏa mãn.Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f (m) = f (1) − f (m), ∀m ∈Z+.Suy ra

f (m) = f (1)2 = 0, ∀m ∈Z∗.Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

f (mabnab) = f ((mn)ab) = Af ((mn)b) = ABf (mn).Suy ra f (mn) = f (m) + f (n).

f (manb) = (aα 1 + bβ 1 )c p 1 + (aα 2 + bβ 2 )c p 2 + + (aα n + bβ n )c p n.Suy ra

- Nếu A = a và B = b, hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng như trên

- Nếu A 6= a hoặc B 6= b, hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

AB[f (m) + f (n)] + (A2+ B2)f (1) = ABf (mn) + (A2+ Bf (1)),hay

f (m) + f (n) = f (mn) + f (1), ∀m, n ∈Z+.Đặt f (1) = c, g(m) = f (m) − c(c ∈R), ta có

g(m) + f (n) = g(mn), ∀m, n ∈Z+.Suy ra

- Nếu A = a và B = b, hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng như trên.

- Nếu A 6= a hoặc B 6= b thì hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng

Giả sử m = p là số nguyên tố, f (p) = cp Khi đó bằng phương pháp quy nạp tachứng minh được f (pk) = f (p)k = ckp Và nếu

m = pα1

1 pα2

2 pαn

n ,với p 1 , p 2 , , p n là các số nguyên tố thì

f (m) = cα1

p 1 cα2

p 2 cαn

p n,trong đó cpi, i = 1, 2, , n có thể nhận giá trị thực tùy ý

Ta lại có



f (−m) = f (−1)f (m)

1 = f (1) = (f (−1))2.Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng