1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
2.2.Phương pháp lựa chọn Modulo
2.2.1. Mô tả phương pháp
Nội dung của phương pháp này chính là đi xét số dư từng vế của một phương trình. Nếu hai vế của phương trình cùng chia cho một số mà được hai số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên. Phương pháp này tỏ ra rất có hiệu quả khi cần chứng minh một phương trình nghiệm nguyên vô nghiệm.
Xét các ví dụ sau.
2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 2.2.1. Chứng minh rằng phương trình
x15+y15 +z15 = 192003+ 72003 + 92003 không có nghiệm nguyên.
Lời giải.
Ta có 192003 = (2.9 + 1)2003, vì thế theo công thức nhị thức Newton ta suy ra.
192003 ≡ 1 (mod 9) (1)
Lại thấy 72003 = (9−2)2003, do vậy:
Mặt khác: (−2)2003 = (−2).22002 = (−2)(23)667.2 = (−4)(23)667.
Do 23 ≡ 1(mod 9) =⇒(23)667 ≡ −1(mod 9)=⇒ (−4)(23)667 ≡ 4(mod 9) Từ đó ta đi đến:
72003 ≡ 4(mod 9) (2)
Từ (1) và (2) ta đi đến:
192003 + 72003 + 92003 ≡ 5 (mod 9) (3) Vì lập phương một số tự nhiên khi chia cho 9 chỉ có thể cho các số dư là 0,1 hoặc −1, nên mọi x, y, z nguyên ta đều có:
x15+y15 +z15 = (x5)3 + (y5)3 + (z5)3
Do đó x15+y15 +z15 khi chia cho 9 có thể dư 0,3,1,−3 hoặc −1. Kết hợp với (3) suy ra phương trình
x15+y15 +z15 = 192003+ 72003 + 92003 không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2.2.2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình.
19x+ 5y + 1890 = (19754)30+ 1993 (1)
Lời giải.
Ta thấy V T = 19x + 5y + 1890 ≡ 19x(mod 5)
Mặt khác: 19x = (20−1)x ≡(−1)x(mod 5). Từ đó ta thấy: - Nếu x chẵn thì 19x ≡1 (mod 5)
- Nếu x lẻ thì 19x ≡ −1(mod) ≡ 4(mod 5). Dẫn đến V T ≡ 1; 4(mod 5).
Còn V P ≡1993 (mod 5)≡ 3(mod5) (vô lý) Do đó phương trình trên vô nghiệm.
Ví dụ 2.2.3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau
2x+ 5y = 19z (1)
Lời giải.
Ta có vế phải của phương trình:
V P = 19z = (18 + 1)z ≡1(mod 3)
Ta nhận thấy: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Nếu x, y cùng chẵn thì 2x+ 5y ≡ 2(mod 3) dẫn đến phương trình vô nghiệm.
- Nếu x, y không cùng tính chẵn, lẻ. Khi đó 2x+ 5y ≡ 0(mod 3) suy ra phương trình vô nghiệm
Ta xét x, y lẻ
Khi đó ta đặt x = 2k + 1 ta được:
2x = 2.4k = 2(5−1)k ≡ 2(−1)k(mod 5) Vì vậy, 2x ≡ 2(mod 5) nếu k chẵn
2x ≡3(mod 5) nếu k lẻ
Từ đó, V T = 2x+ 5y ≡ 2,3(mod 5)
Còn V P = 19z = (20−1)z ≡(−1)z ≡ 1,4(mod 5) Tóm lại: Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2.2.4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau
x3 +y3 +z3 = 20034
Lời giải.
Nhận xét Với mọi a ∈ Z, ta có a ≡ 0(mod3), hoặc a ≡ 1(mod3), hoặc
a ≡ −1(mod3). Từ đó suy ra a3 ≡ 0(mod9) hoặc a3 ≡ 1(mod9), hoặc
a3 ≡ −1(mod9) với mọi a ∈ Z.
Như vậy với mọi x, y, z ∈ Z thì chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau: Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ 0(mod9); Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ 1(mod 9); Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ 2(mod 9); Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ 3(mod 9); Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ −1(mod 9); Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ −2(mod 9); Hoặc x3 +y3 +z3 ≡ −3(mod 9);
Mặt khác, ta có 2003 ≡ 5(mod 9) nên suy ra 20034 ≡ 625(mod 9) hay 20034 ≡ 4(mod 9).
Ví dụ 2.2.5. Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn phương. xy + 1 = z Lời giải. Xét phương trình xy + 1 = z (1) Với x, y, z là các số nguyên tố.
Do x, y là các số nguyên tố nên x ≥ 2, y ≥ 2. Từ đó suy ra xy + 1 ≥ 5. Vậy từ (1) suy ra z ≥ 5.
z là số nguyên tố mà z ≥ 5 nên z phải là số lẻ, từ đó suy ra xy + 1 phải lẻ, dẫn đến xy chẵn, lại dẫn đến x = 2 (do x = 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất). Ta xét hai khả năng sau.
1. Nếu y lẻ thì:
xy + 1 = 2y + 1 = 2y + 1y = (2 + 1)(2y−1 −2y−2 + 2y−3 −...).
Từ đó suy ra (xy+ 1)...3, vậy từ (1) đi đến z...3. Đó là điều không thể xảy ra ví z là số nguyên tố. Vậy trường hợp y lẻ không xảy ra.
2. Nếuy chẵn, doy chẵn và số nguyên tố nêny = 2. Từ đóz = 22+1 = 5. Ta thấy thỏa mãn phương trình vì z = 5 cũng là số nguyên tố.
Vậy phương trình có duy nhất một bộ số nguyên tố x = y = 2, z = 5 thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 2.2.6. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình.
2x−3y = 1 (1)
Lời giải.
Ta nhận thấy chỉ có các khả năng sau xảy ra:
1. Nếu y = 0 khi đó từ phương trình ta suy ra 2x = 2 ⇒x = 1. Vậy trong trường hợp này nghiệm của phương trình là (1,0). 2. Nếu x = 0. Khi đó từ (1) ta có:
3y = 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điều trên vô lý vì 3y > 0 dẫn đến trường hợp này vô nghiệm.
3. Nếu x ≥ 1, y ≥ 1, x, ynguyên. Vì 2x = (3 − 1)x ≡ (−1)x(mod 3), 3y ≡ 0(mod 3).
2x1 ≡ (−1)x1(mod3). Từ đó suy ra x1 phải là số chẵn, hay x1 = 2k. Thay lại vào (1) ta có
22k −1 = 3y1 ⇔(2k −1)(2k + 1) = 3y1 (2) Từ (2) suy ra:
(
2k −1 = 3u 2k + 1 = 3v
Ở đây do u, v nguyên dương nên từ hệ trên ta đi đến
3v −3u = 2 (3) Nếu u, v ≥ 1 thì vế trái của (3)3v −3u ≡ 0(mod3). Mặt khác vế phải của (3)2 ≡ 2(mod3) từ đó dẫn đến vô lý.
Lại dov > u, nên chỉ có thể xảy ra v = 1, u = 0, suy ra k = 1 nên
x1 = 2k = 2 và y1 = 1. Trường hợp này ta được nghiệm là (2,1). Tóm lại: phương trình có nghiệm (x, y) = (1,0),(2,1)
Ví dụ 2.2.7. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
3x+ 3y = 6z (1) Lời giải. Xét phương trình 3x+ 3y = 6z Xét các khả năng sau 1. Nếu x = y. Khi đó (1) trở thành: 2.3x = 6z ⇔2.3x−z = 2z ⇔3x−z = 2z−1 (2) Từ tính nguyên của x, y, z và từ (2) ta dẫn đến x−z = z−1 = 0 hay
x = z = 1. Trường hợp này dẫn đến nghiệm (x, y, z) = (1,1,1). 2. Nếu x = z. Khi đó (1) trở thành:
3x+ 3y = 6x ⇔ 1 + 3y−x = 2x ⇔2x−3y−x = 1 (3) Từ (3) ta thấy nếu y < x thì vế trái của (3) không thể là số nguyên (cũng như vậy x cũng phải là số nguyên không âm). Theo kết quả bài trên ta suy ra
(
x = 1
hoặc
(
x = 2
y −x = 1
Giải hai hệ trên ta tìm được các nghiệm sau: (1,1,1); (2,3,2) 3. Nếu x > z khi đó ta xét hai trường hợp sau
a. Nếu y > z Viết lại phương trình (1) dưới dạng
3x−z + 3y−z = 2z (4) Vì x > z, y > z nên vế trái của (4) chia hết cho 3, từ đó suy ra 2z...3. Điều này vô lý.
Vậy trường hợp này không xảy ra.
b. Nếu y < z khi đó do x > z > y nên (1) được viết lại như sau
3x−y + 1 = 2z.3z−y (5) Từ x > z, y > z, nên 3x−y...3 và 3z−y...3 nên từ (5) suy ra 1...3 điều này vô lý. Chứng tỏ trường hợp này cũng không xảy ra.
4. Nếu x < z. Khi đó lại xét các trường hợp sau a. Nếu y < x từ đó y < x < z nên (1) có dạng
3y−x+ 1 = 2z.3z−y
Từ (5) ta suy ra vô lý, vậy không có trường hợp này. b. Nếu y > x khi đó:
- Nếu x = y hoặc x = z (xét ở phần trên) - Nếu y < z thì x < y < z. Khi đó (1) có dạng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 + 3y−x = 2z.3z−x (6) Tương tự phần trên ta cũng suy ra điều vô lý.
Tóm lại: Phương trình đã cho có nghiệm nguyên là (1,1,1),(2,3,2).
Ví dụ 2.2.8. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên.
x2 +y2 = 8z+ 6 (1)
Lời giải.
Do x, y nguyên nên x2 ≡ a(mod 8); y2 ≡ b (mod 8), Với a, b là các số 0; 1; 4.
Vì thế với mọi x, y nguyên, ta có:
Ở đây c là các số 0; 1; 2; ; 4; 5. Mặt khác, với mọi z nguyên thì:
8z+ 6 ≡ 6 (mod 8)
Từ đó suy ra phương trình (1) không có nghiệm nguyên. Với cách làm tương tự ta có thể giải các bài toán sau.
. 2.3. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau. 1. 312x+ 122x+ 20052x = y2 2. 3x+ 4y = 7z 3. 5x = 1 + 2y 4. 28x = 19y + 87z 5. x3 +y3 + z3 = 1012 6. m2 = n5 −4
. 2.4. Tìm các nghiệm không âm của các phương trình sau. 1. 2x+ 5y = 19z
2. 2x−3y = 1
3. 5x+ 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z.
4. yy +zz = 2.xx
5. 28 + 211 + 2x = y2