Định lý Riesz trong khụng gian khụng compact

Vỡ phần lớn chỳng ta quan tõm đến cỏc khụng gian metric mà khụng là compact, việc đú tất nhiờn sẽ đưa chỳng ta đi nghiờn cứu sự mở rộng của định lý Riesz đối với khụng gian khụng compact. Việc mở rộng đú cú thể thu được bằng cỏch compact húa khụng gian.

Sự compact húa của Bổ đề 2.1 cú ưu điểm hơn việc metric húa, nhưng nú khụng phự hợp với mục đớch hiện tại. Ta muốn tỡm mối liờn hệ giữa cỏc hàm liờn tục trờn khụng gian compact húa với cỏc hàm liờn tục, bị chặn trờn khụng gian ban đầu. Như vậy sự compact húa là sự compact húa Stone – Cech.

Định lý 2.5. Cho X d, là khụng gian metric. Tồn tại khụng gian compact Hausdorff Y và ỏnh xạ T X: Y sao cho

(i)T là một phộp đồng phụi từ X lờn T X . (ii) T X  là trự mật trong Y,

(iii) Với mỗi f C Xb  tồn tại một và chỉ một g C Y   “ mà khuếch f”, tức là g T  f .

Cặp  Y T, trong định lý trờn là duy nhất về bản chất và được gọi là compact húa Stone – Cech của X . Ta sẽ khụng cần phải xột chi tiết và xem X như là khụng gian con của Y. Khi đú định lý trờn núi rằng mỗi khụng gian metric X là khụng gian con trự mật của khụng gian compact Hausdorff Y sao cho

   

b

C X C Y theo đẳng cấu tự nhiờn của sự mở rộng và hạn chế. Từ định lý Riesz với khụng gian compact Hausdorff ta cú kết luận sau.

Vũ Trường Giang 46 K31B CN Toỏn

Hệ quả 2.2. Cho X d,  là khụng gian metric. Nếu :C Xb  là tuyến tớnh bị chặn và dương, khi đú tồn tại duy nhất độ đo Borel hữu hạn  trờn compact húa Stone – Cech Y của X sao cho

 f f d

   với mọi f C Xb . trong đú f là mở rộng của f .

Như vậy hàm tuyến tớnh bị chặn dương trờn C Xb  tương ứng với độ đo Borel hữu hạn trờn compact húa Stone – Cech của X . Một điều cần biết là khi đú độ đo như vậy tập trung trờn chớnh X . Sự thay đổi đú cú quan hệ chặt chẽ với tớnh liờn tục của cỏc hàm hơn so với hội tụ thụng thường. Khẳng định trong định lý tiếp theo là một mở rộng của định lý Riesz đối với khụng gian compact. Với lý thuyết hội tụ của dóy suy rộng.

Định lý 2.6. Cho X d,  là khụng gian metric và C Xb  dương. Cỏc mệnh đề sau là tương đương:

(a) Tồn tại một độ đo Borel hữu hạn kớn  trờn X sao cho

 f fd

   với mọi f C Xb .

(b) Với mọi  0 tồn tại tập compact K X sao cho  f  với mọi

 

b

f C X với f  1 và f 0 trờn K.

(c) Hạn chế của  trờn hỡnh cầu đơn vị Bf C Xb : f  1 là liờn tục đối với topo của hội tụ đều trờn cỏc tập compact.

Vũ Trường Giang 47 K31B CN Toỏn

Chứng minh. Việc chứng minh tớnh duy nhất là thường xuyờn. Nú cũng được suy ra từ định lý trự mật trong phần 8.

   a  c : Giả sử  fi i I là lưới trong B và f B sao cho fi hội tụ đều đến f trờn cỏc tập compact. Giả sử  0. Ta muốn chứng minh rằng tồn tại

0

i I sao cho    fi  f  với mọi iI i, i0. Vỡ  là kớn, tồn tại một tập compact KX với X K\  / 3. Khi đú fi hội tụ đều đến f trờn K, như vậy tồn tại i0I sao cho

    / 3 1 i f  f   K  trờn K với mọi i i0. Khi đú với ii0,           \ \ 3 1 / 3 2 / 3 . i K i X K i i f f f f d f f d K f f X K K                           Do đú  fi  f và  là liờn tục trờn B.

   c  b : Giả sử  b khụng đỳng. Khi đú tồn tại  0 sao cho với mọi tập compact K X tồn tại fKC Xb  với fK  1 và fK 0 trờn K sao cho  fK . Khi đú  fK KK, trong đú KKX K: compact với quan hệ bao hàm được xem như quan hệ thứ tự, là lưới trong B mà hội tụ tới khụng theo topo của hội tụ đều trờn cỏc tập compact. Thật vậy, với mỗi tập compact

0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

K X, fK 0 trờn K0 với mọi KK0. Vỡ  fK  với mọi KK , điều đú chứng tỏ  khụng liờn tục trờn B.

Vũ Trường Giang 48 K31B CN Toỏn

   b  a : Với mỗi m1 lấy một tập compact Km X sao cho

 f 1/m

  với mọi f C Xb , f  1 và f 0 trờn Km. Giả sử Y là compact húa Stone – Cech của X . Với mỗi g C Y  , hạn chế của nú trờn X

là phần tử của C Xb  và ta cú thể định nghĩa

 g  gX

  , g C Y  .

Khi đú  :C Y  là một hàm tuyến tớnh bị chặn và dương, như vậy theo định lý Riesz tồn tại một độ đo Borel hữu hạn  trờn Y sao cho

 g gd

   với mọi g C Y  .

Ta muốn hạn chế của  là một độ đo  trờn X mà biểu diễn cho . Vỡ vậy ta cần chỉ ra  khụng hội tụ ngoài X.

Đặt m

m

E K  X. Vỡ mọi Km là compact, E là tập Borel trong Y. Để chỉ ra  khụng hội tụ ngoài E ta sử dụng điều kiện  b bằng cỏch xấp xỉ c

m K  bởi một hàm liờn tục. Đặt   min  , ,1 m m h x  d x K , x Y m , 1. Khi đú hmC Y ,0  c m m K h  và  c m n m K h  khi n , vỡ h xm 0 với mọi c m

xK . Do đú theo định lý hội tụ đơn điệu,

               \ lim lim lim 1 / , c m n m K n m n n m m n n X Y K d h d h h m      

Vũ Trường Giang 49 K31B CN Toỏn Theo giả thuyết (b). Thành ra

  1 \ mc 0 m Y E K            Đặt   A A E    , AB X .

( Chỳ ý rằng AB X  A E là Borel trong E do đú Borel trong Y.) Khi đú  là độ đo Borel hữu hạn trờn X . Để chứng tỏ rằng  biểu diễn cho , lấy f C Xb  và f C Yb  là mở rộng của f . Vỡ Y E\  0   và X E\ 0, điều đú chứng tỏ rằng          fd  f Ed  f Ed f d  f  f .

Cuối cựng, chỳ ý rằng X K\ m  E K\ m  Y K\ m1/m với mọi

m, do đú  là độ đo Radon.

Nhận xột. (1) Nếu X là compact, khi đú mọi C Xb thỏa món điều kiện (c). Do đú ta cú thể ỏp dụng định lý Riesz với cỏc khụng gian metric compact. (2) Đầu tiờn ta chỉ ra rằng nếu X d,  là khụng gian metric đủ và tỏch được, khi đú mỗi độ đo Borel hữu hạn trờn X là độ đo Radon. Do đú với khụng gian như vậy điều kiện (c) là cần thiết cho việc biểu diễn một độ đo Borel hữu hạn.

Vũ Trường Giang 50 K31B CN Toỏn

Vớ dụ. Cho X , d x y ,  x y, x y X,  . Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại

 

b

C X

  mà khụng biểu diễn được bằng một độ đo Borel hữu hạn. Chỳ ý rằng C Xb l  và đặt     0 lim k x x k    (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

với mọi x c { y l   : limky k  tồn tại}. Tập c là khụng gian con đúng của l  và 0 là hàm tuyến tớnh dương bị chặn trờn c. Đặt

  max limsup  ,0

k

p x x k



 , x l   .

Khi đú p x y      p x p y và p x p x  với mọi x y l,    , 0

 . Hơn nữa, 0   x  p x với mọi x c . Do đú theo định lý Hahn – Banach, tồn tại một hàm tuyến tớnh :l   mà là mở rộng của 0 sao cho    x p x với mọi x l   . Khi đú  x  p x   x  với mọi

 

x l   do đú  là bị chặn, và với x l   , x0 ta cú

 x  x

       p x 0, do đú  là dương. Bõy giờ lấy

  

 , 1,... 

n n n

x  c, n1,2,...

Khi đú  xn 0 xn 1 với mọi n, nhưng với độ đo Borel hữu hạn bất kỡ

Vũ Trường Giang 51 K31B CN Toỏn

0xn 1 với mọi n. Do đú  khụng thể biểu diễn bằng một độ đo Borel hữu hạn.

Vũ Trường Giang 52 K31B CN Toỏn

kết luận

Trong khúa luận này em đó nghiờn cứu một số vấn đề cơ bản sau đõy: Độ đo xỏc suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo, metric Prokhorov, định lý Prokhorov, định lý Riesz, định lý Riesz đối với khụng gian khụng compact.

Luận văn mang tớnh chất tổng quan nhưng em đó chứng minh một số định lý, bổ đề và đưa ra cỏc vớ dụ cụ thể để làm rừ hơn một số tớnh chất, để hiểu rừ hơn cỏc vấn đề mà trong khúa luận đó đề cập. Mong rằng đõy sẽ là một tài liệu bổ ớch cho những ai quan tõm đến vấn đề này.

Do thời gian cú hạn và chưa cú kinh nghiệm trong cụng tỏc làm nghiờn cứu khoa học nờn khúa luận của em khụng trỏnh khỏi những thiếu sút. Rất mong nhận được sự đúng gúp ý kiến của thầy cụ và cỏc bạn đọc.

Trước khi kết thỳc khúa luận em xin gửi lời cảm ơn chõn thành nhất tới cỏc thầy trong tổ Toỏn ứng dụng, cỏc thầy cụ trong khoa và đặc biệt là thầy Nguyễn Trung Dũng – người đó tận tỡnh chỉ bảo, giỳp đỡ em trong suốt thời gian qua để cú thể hoàn thành khúa luận này.

Vũ Trường Giang 53 K31B CN Toỏn

tài liệu tham khảo Tiếng Việt

[1] Nguyễn Viết Phỳ, Nguyễn Duy Tiến, (2002), “Cơ sở lý thuết xỏc suất”,

NXB Đại học Quốc gia.

Tiếng Anh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

[1] Billingslay, Patrick, (1968), “Convergence of Probability measures”,

Wiley and Sons, New York – London.

[2] K.R.Parthasarathy, (1967), “Probability measures on metric spaces”,

Academic.

[3] Onno Van Gaans, (2003), “Probability measurộ on metric space”, Delft University of Technology, Holand.