Định lý Riesz

Trong chứng minh định lý Prokhorov ta cú sử dụng định lý Riesz. Định lý thu được sự tương ứng giữa cỏc hàm trờn khụng gian cỏc hàm liờn tục và độ đo trờn cỏc tập cơ bản. Định lý được ỏp dụng với cỏc khụng gian compact và sẽ được thảo luận trong phần này. Phần tiếp theo thu được từ việc compact húa và mở rộng đối với khụng gian khụng compact.

Cho X d,  là khụng gian metric. Với mỗi độ đo Borel hữu hạn  trờn X , ỏnh xạ  được xỏc định bởi  f fd    , f C Xb , là tuyến tớnh từ C Xb  vào  và  f f d f  X      .

Do đú C Xb , trong đú C Xb là khụng gian Banach đối ngẫu của khụng gian Banach C Xb , . .( ở đú f  supx X f x  .) Hơn nữa,

 X    và vỡ    X     X ta cú  X    . Hơn nữa,   0 0 f   f  .

Định nghĩa 2.2. Một ỏnh xạ tuyến tớnh :C Xb  được gọi là dương nếu

 f 0

Vũ Trường Giang 40 K31B CN Toỏn (Khi đú f  g    f  g .)

Bổ đề 2.2. Với mọi ỏnh xạ dương C Xb  ta cú

 



   .

Chứng minh. Hiển nhiờn,     .    . Với f C Xb ,

   f   f f , vỡ vậy          f    f  f   , do đú  f    f .    Do đú     .

Nếu X là compact, khi đú C Xb C X   f X:  : liên tụcf  và mỗi hàm tuyến tớnh bị chặn dương trờn C X  được biểu diễn bằng một độ đo Borel hữu hạn trờn X. Chõn lớ của mệnh đề này khụng phụ thuộc vào trờn X

tồn tại hay khụng một khụng gian metric. Trong việc mở rộng cho trường hợp khụng compact mà ta sẽ thảo luận trong phần tiếp theo ta cần những tớnh chất tổng quỏt của khụng gian compact Hausdorff khụng metric húa được. Về hỡnh thức ta khụng cú định nghĩa tập Borel, độ đo Borel, C Xb , v.v… với khụng gian topo mà khụng metric húa được. Cỏc định nghĩa tương tự cũng bị bỏ qua.

Vũ Trường Giang 41 K31B CN Toỏn

Định lý 2.2. (Định lý Riesz). Nếu X d,  là khụng gian compact Hausdorff và

 

C X

  dương và  1, khi đú tồn tại duy nhất một độ đo Borel xỏc suất

 trờn X sao cho

 f fd

   với mọi f C X 

Bằng sự xỏc định rừ ràng, định lý Riesz cú thể được mở rộng tương ứng cho hàm bị chặn khụng nhất thiết phải dương trờn C X  và độ đo Borel hữu hạn trờn X . Hơn thế nữa trong khụng gian topo cũng vậy.

Xột topo yếu* trờn C Xb , đú là topo thụ nhất sao cho hàm   f trờn

 

C X  là liờn tục với mọi f C Xb . Một dóy  1, 2,... trong C Xb  hội tụ theo topo yếu* tới C Xb  khi và chỉ khi n f  f với mọi

 

f C X . Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp.

Mệnh đề 2.2. Cho X d,  là khụng gian metric compact và   , 1, 2,... là cỏc độ đo Borel hữu hạn trờn X . Khi đú hai mệnh đề sau là tương đương:

(a) n tức là, fdn fd với mọi f C Xb . (b)

 

  theo topo yếu*, tức là n f  f với mọi f C Xb .

Cựng với sự phự hợp của phộp biểu diễn độ đo khụng dương, việc biểu diễn bởi độ đo cũn cú thể được mở rộng đối với mọi phần tử của C Xb . Ta đưa vào mệnh đề trờn mà khụng chứng minh.

Vũ Trường Giang 42 K31B CN Toỏn

Định nghĩa 2.3. Một độ đo cú dấu trờn khụng gian metric X d,  là ỏnh xạ

 

: X

 B  cú dạng

1 2

   

trong đú 1 và 2 là cỏc độ đo Borel hữu hạn trờn X . Điều này tương đương với   0,  là _cộng tớnh, tức là, A A1, 2,...B X rời nhau i1Aii1 Ai ,     supAB X  A  .

Định lý 2.3. Cho X d,  là khụng gian metric compact. Với độ đo hữu hạn 

trờn X , đặt  f  fd, f C X , và T là ỏnh xạ  . Khi đú

(1) T      T  T  và T c  cT  với mọi độ đo Borel hữu hạn  và  trờn X và mọi c0.

(2) T là một phộp đồng phụi liờn tục từ { : là độ đo Borel hữu hạn trờn X } lờn {C Xb : dương} với topo yếu*, và

 

T P X {C Xb :  1, dương},

(3) T mở rộng duy nhất thành phộp đồng phụi tuyến tớnh liờn tục từ độ đo Borel cú dấu trờn X lờn C X  với topo yếu*.

Vũ Trường Giang 43 K31B CN Toỏn

Nhận xột. (1) cú thể chỉ ra rằng C X  là tỏch được nếu X là compact và metric húa được và (1) cú thể nhận được từ tớnh tỏch được của C X  đú là

 

C X :  1 là metric húa được. Vỡ vậy T trong định lý trờn là phộp đồng phụi và khụng phải là phộp đồng phụi liờn tục duy nhất.

Bõy giờ ta cú cơ sở quay lại kết thỳc chứng minh định lý 5.3.

Định lý 2.4. Cho X d,  là khụng gian metric. Khi đú

(1) B   C Xb :  1 là compact yếu* (Định lý Alaoglu) (2) C Xb :  1, dư ơng  là đúng yếu* trong B.

Chứng minh (2). Với B dương, ta cú   1   1. Do đú C Xb :  1, dư ơng                                                    , 0 : 1, 1, 0, sao cho f 0 : 1 : 0 . b b b f C X f C X f f C X B B f

Vỡ   f là liờn tục yếu* với mọi f C Xb , đõy là tập đúng yếu* trong

B.

Hệ quả 2.1. Nếu X d,  là khụng gian metric compact, khi đú P X d, P là khụng gian metric compact.

Vũ Trường Giang 44 K31B CN Toỏn

Chứng minh. ỏnh xạ T:P  X C X :  1, dư ơng   là một phộp đồng phụi liờn tục đối với topo yếu* trờn . Theo định lý trờn,  là compact yếu*. Như vậy P X là dóy compact. Vỡ P X là khụng gian metric, P X là compact.

Vũ Trường Giang 45 K31B CN Toỏn

Định lý Riesz trong khụng gian khụng compact