Định nghĩa 2.2.6.1
Toán tử A từ không gian định chuẩn X1 vào không gian định chuẩn
2
X được gọi là đóng nếu đồ thị G A là không gian con đóng của X1 X2, đó là xn D A ,xn x, và Axn y nghĩa là x D A và Ax y. Với D A E1. Định lí 2.2.6.2 Nếu toán tử A đóng và khả nghịch, thì A 1 đóng. Định lí 2.2.6.3
Nếu A là toán tử xác định trên miền trù mật, thì A* đóng.
Định lí 2.2.6.4
Cho A là toán tử trong không gian Hilbert H. Tồn tại toán tử B sao cho G B clG A khi và chỉ khi điều kiện sau thỏa mãn:
xn D A x, n 0,Axn y nghĩa là y 0. (*)
Chứng minh:
Nếu xn D A x, n 0, và Axn y thì 0,y G B vì G B là tập đóng. Từ đó 0,0 G B vậy ta có y 0.
Giả sử có (*) ta phải chứng minh G B clG A . Thật vậy: Cho x y, 1 , x y, 2 clG A thì ở đó tồn tại x Axn, n , z Axn, n G A sao cho xn x z, n x Ax, n y1, và Azn y2. Từ xn zn G A x, n zn 0, và A xn zn y1 y2 theo (*) thì 1 2 0 y y . Từ đó ta có thể định nghĩa B là B x y nếu x y, clG A . Từ đó suy ra G B clG A . Định lí được chứng minh. W 2.3. Một số ví dụ minh họa Bài 1:
Trên không gian con các hàm xác định và bị chặn trên đoạn 0,1 của không gian Hilbert L2 0;1 cho phiếm hàm:
1 2
f x x .
Thì f là phiếm hàm tuyến tính nhưng không bị chặn. Thật vậy: + Dễ thấy f xác định trên L2 0;1 + f tuyến tính. gTính cộng tính 2 , 0;1 x y L , ta có: 1 2 f x y x y
1 1 2 2 x y f x f y . Suy ra f x y f x f y . gTính thuần nhất 2 0;1 , x L P, ta có: 1 2 f x x 1 2 x f x . Suy ra f x f x .
Vậy f là phiếm hàm tuyến tính. + Tính không bị chặn
Xét dãy xn L2 0;1 xác định như sau:
1 , 2 1 1, 2 n khi t n khi t x t Với mọi n 1,2,3,... Ta có: 1 2 n n f x x n và x 1, n 1,2,3,...
Vậy f là phiếm hàm tuyến tính không bị chặn.
Bài toán: Trên không gian con các hàm xác định và bị chặn trên đoạn a b; của không gian Hilbert L a b2 ; , t0 là điểm cố định thuộc a b; , f là một hàm trên H định nghĩa bởi f x x t0 , thì f là hàm tuyến tính nhưng không bị chặn.
Bài 2:
Cho toán tử vi phân trên không gian con của L2 , :
2 ; : ' 2 ;
E f L f L .
Khi đó toán tử vi phân nói trên không bị chặn. Thật vậy: Xét fn x sinnx, n 1,2,3,...Ta có: 2 sin n f nx dx 2 sin nxdx 1 os2 2 2 c nx dx 1 sin 2 | | 2 4 nx x n = . Và 2 cos n Df n nx dx 2 cos n nxdx n .
Vậy toán tử vi phân trên không bị chặn.
KẾT LUẬN
Qua quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, tôi đã bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó tôi cũng củng cố thêm kiến thức giải tích hàm, đồng thời thấy được sự phong phú, lí thú của toán học. Đặc biệt trong khóa luận này tôi nghiên cứu một cách khái quát một số vấn đề của lí thuyết toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong được sự đóng góp của các thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1, Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm (tập 1), Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
2, Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội. 3, Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập giải tích hàm, Nxb Khoa học và Kĩ thuật
Hà Nội.
4, Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục.
5, Nguyễn Xuân Liêm (1997), Bài tập giải tích hàm, Nxb Giáo dục.
6, Lokenath Debnath and Piotr Mikisi’nski (2005), Hilbert spaces with applications.
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, cô trong tổ giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tao điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình cho em để em có thể
hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập nghiên cứu ở bậc đại học. Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Kiên Cường.
Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài „„Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert‟‟ không có sụ trùng lặp với kết quả
của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ... 1
NỘI DUNG ... 2
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ... 2
1.1. Không gian Hilbert. ... 2
1.1.1. Không gian véctơ. ... 2
1.1.2. Không gian định chuẩn. ... 3
1.1.3. Tích vô hướng. ... 4
1.1.4. Bất đẳng thức Schwarz. ... 5
1.1.5. Định nghĩa không gian Hilbert... 5
1.1.6. Tính trực giao. ... 7
1.1.7. Đinh lí về hình chiếu lên không gian con. ... 9
1.1.8. Hệ trực chuẩn – Qúa trình trực giao hóa Hilbert–Schmidt ... .10
1.2. Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert. ... 11
1.2.1. Toán tử tuyến tính. ... 11
1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert... 13
1.2.3. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục. ... 14
1.2.4. Toán tử liên hợp. ... 17
1.2.5. Toán tử tự liên hợp. ... 20
1.2.6. Sự hội tụ yếu. ... 23
1.2.7. Sự hội tụ mạnh. ... 23
1.2.8. Toán tử Compact. ... 24
Chương 2. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT ... 27
2.1. Định nghĩa và ví dụ. ... 27
2.2.1. Mở rộng của toán tử ... 27
2.2.2. Toán tử xác định trên miền trù mật……….28
2.2.3. Liên hợp của toán tử xác định trù mật……….29
2.2.4. Toán tử tự liên hợp. ... 32
2.2.5. Toán tử đối xứng ... .32
2.2.6. Toán tử đóng. ... 34
2.3. Một số ví dụ minh họa. ... 35
KẾT LUẬN ... 39