Khung trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————— TĂNG TẤN ĐÔNG KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————— TĂNG TẤN ĐƠNG KHUNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy Đà Nẵng - 2019 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Một vài kiến thức chung khung sở không gian Hilbert 1.2 Biên khung tốt không gian Hilbert 1.3 Một vài tính chất khung 14 1.4 Toán tử unitar khung 25 CHƯƠNG TOÁN TỬ KHUNG VÀ TOÁN TỬ KHUNG ĐỐI NGẪU 27 2.1 Toán tử khung 27 2.2 Khung đối ngẫu khung đối ngẫu tắc 38 CHƯƠNG KHUNG GABOR TRONG KHÔNG GIAN L2 (R) 52 3.1 Chuỗi Fourier sở khung Gabor 52 3.2 Khung dịch chuyển khung Gabor 57 iii iv 3.3 Điều kiện cần để hệ Gabor khung 67 3.4 Điều kiện đủ để hệ Gabor khung 71 3.5 Một vài ứng dụng điều kiện đủ để hệ Gabor khung 72 3.6 Về hệ Gabor vài lớp hàm cửa sổ đặc biệt 77 3.6.1 Hàm Gauss g(x) = e−x 78 3.6.2 Hàm đặc trưng g(x) = χ[0,c] , c > 78 3.6.3 Các hàm mũ g(x) = e−|x| g(x) = e−x χ[0,∞) 79 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một khái niệm quan trọng không gian vectơ sở, vectơ khơng gian biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc cở sở Chẳng hạn ta xét không gian vectơ hữu hạn chiều H Nếu {fk }N k=1 sở không gian H, vectơ f ∈ H biểu diễn dạng N f= ck (f )fk k=1 hệ số ck (f ) nhất, chúng phụ thuộc f Chính mà hệ vectơ sở khơng gian tuyến tính thường xem khối xây dựng (elementary building blocks) Tuy nhiên, yêu cầu hệ vectơ tạo thành sở lại chặt chẽ, mà địi hỏi phải độc lập tuyến tính Thậm chí H khơng gian Hilbert người ta cịn địi hỏi chúng phải sở trực chuẩn, từ sở (hệ độc lập tuyến tính cực đại) ta sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt chuẩn hóa để sở trực chuẩn Khái niệm khung xuất nhằm làm giảm thiểu yêu cầu khắt khe độc lập tuyến tính hệ vectơ, nhờ mà có nhiều ứng dụng Ta nói dãy đếm vectơ {fk }∞ k=1 không gian Hilbert H gọi khung (frame) không gian tồn số A B, < A ≤ B < ∞ cho A f ≤ ∞ k=1 | f, fk |2 ≤ B f với f ∈ H Các số A, B > bất đẳng thức nói tương ứng gọi biên khung biên khung Rõ ràng biên khung không Ta gọi biên khung tốt (the optimal lower frame bound) supremum tất biên khung dưới, biên khung tốt (the optimal upper frame bound) infimum tất biên khung Nhiều tài liệu có đưa định nghĩa biên khung tốt nhất, chưa thấy tài liệu xây dựng công thức cho biên khung tốt Trong nghiên cứu đề tài, thu công thức tổng quát cho biên khung tốt Đồng thời xây dựng ví dụ áp dụng cho cơng thức tổng qt Thực ra, ngồi lí địi hỏi cứng độc lập tuyến tính nói trên, cịn lý khác quan trọng hơn, xuất phát từ yêu cầu ứng dụng, mà nguyên nhân dẫn đến khái niệm khung Đó Định lý lấy mẫu cổ điển (Classical Sampling Theorem), định lý cịn có tên gọi Định lý lấy mẫu Nyquyst Shanon (Nyquyst Shanon Sampling Theorem) Định lý lấy mẫu Nyquyst Shanon có vai trị đá tảng (cornerstne) Lý thuyết truyền tin Xử lý tín hiệu mà ngày thiết phải sử dụng Định lý lấy mẫu nói lại tương đương với phát biểu rằng, với < b ≤ 1, dãy εb = e2πibnx n∈Z khung chặt L2 [0, 1], tức bất đẳng thức định nghĩa khung nói ta có A = B Chính Gabor, nhà tốn học Mỹ năm 75 Ta tính     f−1,0 (x) = g(x + 1)2 k =    f−1,k (x) = f−1,1 (x) = g(x + 1)g(x) k =      0 trường hợp lại    f0,0 (x) = g(x)2 k =     f0,k (x) = f0,−1 (x) = g(x)g(x + 1) k = −1      0 trường hợp cịn lại Từ sử dụng định nghĩa hàm g(x) cho khoảng nói trên, với x ∈ (0, 1] ta có n∈Z g(x − n)g(x − n − k) = =     g(x)g(x + 1)        g(x)2 + g(x + 1)2                      k = −1 k = g(x + 1)g(x) k = l trường hợp lại (x + 1)2 k = −1 (x + 1)2 k =     (x + 1)      0 k = l trường hợp lại 76 Để tính biên B ta dùng cơng thức (3.31) với ý n nhận hai giá trị −1 Khi n = −1 k nhận hai giá trị k = k = Cịn n = k nhận hai giá trị k = −1 k = Do B = sup | x∈[0,1] k∈Z n∈Z g(x − n)g(x − n − k)| = sup [g(x + 1)2 + 2g(x)g(x + 1) + g(x)2 ] x∈[0,1] = sup [g(x) + g(x + 1)2 ] x∈[0,1] (x + 1) + (1 + x)2 = sup x∈[0,1] (1 + x)2 = sup x∈[0,1] = sup (1 + x)2 = x∈[0,1] Tiếp theo để tính A ta sử dụng (3.32), tức cần tính G(x) = n∈Z |g(x − n)|2 k=0 |Hk |= | k=0 n∈Z Ta thấy G(x) kết k = 0, nên ta có G(x) = n∈Z Còn k=0 |Hk (x)| g(x − n)g(x − n − k)| n∈Z g(x − n)g(x − n − k) tính |g(x − n)|2 = (x + 1)2 x ∈ (0, 1] tổng k = 0, tức n = −1, k = 77 n = 0, k = −1 Do k=0 |Hk (x)|= k=0 n∈Z 1 |g(x − n)g(x − n − k)| = (1 + x)2 + (1 + x)2 , x ∈ (0, 1] 2 = (1 + x)2 , x ∈ (0, 1] Vậy  A = inf G(x) − x∈[0,1] Do < k=0  |Hk (x)| = inf x∈[0,1] (x + 1)2 − (1 + x)2 1 (x + 1)2 = x∈[0,1] = inf = A < B = < ∞ nên theo Định lý 3.5 nói trên, {Em Tn g}m,n∈Z khung Gabor L2 (R) với biên khung A = 14 , B = 3.6 Về hệ Gabor vài lớp hàm cửa sổ đặc biệt Xét hệ Gabor {Emb Tna g, (a, b) > 0}m,n∈Z Hàm g ∈ L2 (R) gọi cửa số (window) Định lý 3.4(a) cho thấy ab > hệ Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z không khung Như vậy, muốn hệ Gabor khung điều kiện tiên ab ≤ Nhưng nhớ điều kiện cần mà điều kiện đủ Vì thế, điều kiện đủ để hệ Gabor phụ thuộc vào cửa số g Phần cuối chương ta giới thiệu vài lớp cửa sổ liên quan đến hệ Gabor, thông tin cần thiết trình nghiên cứu tìm điều kiện đủ cho khung Gabor 78 3.6.1 Hàm Gauss g(x) = e−x Định lý 3.6 Cho hàm Gauss g(x) = e−x a, b > Khi hệ Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z khung ab < Định lý chứng minh năm 1991 Lyubarskii (xem [13]) 3.6.2 Hàm đặc trưng g(x) = χ[0,c] , c > Bài toán đặt ra: với a, b, c > hệ Gabor {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z khung L2 (R) gọi Bài toán abc (abc problem) Bài toán abc giải ? Sau giới thiệu vài kết số cơng trình Janssen (xem [10]) (i) {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z không khung c < a a > (ii) {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z khung ≥ c ≥ a (iii) {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z không khung a = c > (iv) {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z khung a = Q, a < c ∈ (1, 2] (v) {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z không khung a = p/q ∈ Q, a < 1, (p, q) = − q < c < (vi) {Emb Tna χ[0,c] , }m,n∈Z không khung < a < c > 1, c = L − + L(1 − a) với L ∈ N, L ≥ Ta biết toàn toán abc giải năm 2012 X.R Dai Q Sun (xem [14]) cơng trình ấn tượng Chú ý việc chứng minh chia thành ba trường hợp mà đó, trường hợp có câu trả lời rõ ràng "có" "khơng" 79 3.6.3 Các hàm mũ g(x) = e−|x| g(x) = e−x χ[0,∞) Janssen giải trường hợp g(x) = e−|x| [12] {Emb Tna g}m,n∈Z khung với a, b > cho ab < Một hàm mũ khác, g(x) = e−x χ[0,∞) , Janssen nghiên cứu báo [11], trường hợp {Emb Tna g}m,n∈Z khung cho ab < 80 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số lý thuyết tổng qt khung khơng gian Hilbert, tốn tử khung, toán tử khung đối ngẫu, khung đối ngẫu tắc khung Gabor Các kết Luận văn là: Chương 1: Định lý 1.1, Ví dụ 1.4, Nhận xét 1.1, Mệnh đề 1.1, Bổ đề 1.3 tự chứng minh Đặc biệt Định lý 1.1 chúng tơi xây dựng cơng thức tính biên tối ưu cho khung áp dụng kết Ví dụ 1.4 (ví dụ tự xây dựng) Kết giới thiệu báo [1] Chương 2: Định lý 2.5 Định lý 2.6 tự chứng minh Chương 3: Định lý 3.2, Mệnh đề 3.1, Mệnh đề 3.2, Bổ đề 3.1, Mệnh đề 3.3 tự phát biểu tự chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Tăng Tấn Đông (2019), Về biên khung tốt khơng gian Hilbert, Tạp chí khoa học Đà Nẵng, Vol.17, No.1.1 tr.96-98 [2] Nguyễn Nhụy (2015), Giáo trình giải tích Fourier, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] O.Christensen (2016), What is a Frame ?, Volume 60, Number 6, Notices the AMS [5] O.Christensen (2016), An Introduction to Frame and Riesz Bases, Second Edition, Birkhăaeuser, Boston [6] O.Christensen (2010), Fuctions, Spaces and Expansions, Mathematical Tools in Physisc and En-engineering, Birkhăaeuser, Boston [7] G H Fullerton (1971), Mathematical Analysis, Oliver & Boyd Edinburg [8] Hernandez.E.Weiss (1996), G A First Course on Wavelets, Boca Raton, New York [9] Haurro G Heuser (1982), Functional Analysis,Wiley, New York 81 82 [10] Janssen, A.J.E.M, Zak transforms with few zeros and the tie In: Feichtinger, H.G, Strohmer, T (eds), (2002), Advances in Gabor Analysis Birhaeuser, Boston [11] Janssen, A.J.E.M (1996), Some Weyl - Heisenberg frame bound calculations, Indag Math 7, 165 - 183 [12] Janssen, A.J.E.M (2003), On generating tight Gabor frames at critical density, J Fourier Anaal App (2), 175 - 214 [13] Lyubarskii, Y (1992), Frames in the Bargmann space of entire functions, Adv Sov Math Anal 11, 167 − 180 [14] Sun, Q.Dai, X.R (2015), The abc - problem for Gabor systems Memoirs of the Ameican Mathematical Society ... quan lý thuyết khung không gian Hilbert, khung Gabor, kỹ thuật tìm biên khung tốt cho khung không gian Hilbert 6 CHƯƠNG KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Trong chương... chung khung sở không gian Hilbert Mục dành cho việc giới thiệu tính chất chung, định nghĩa khung khơng gian Hilbert vài ví dụ minh họa khái niệm Không gian Hilbert xét luận văn không gian Hilbert. .. CHƯƠNG KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Một vài kiến thức chung khung sở không gian Hilbert 1.2 Biên khung tốt không gian Hilbert