Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN GIANG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU KHÔNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục 1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 6 1.1. Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm phi tuyến . . 6 1.1.1. Một số tính chất hình học của không gian . . . . . . 6 1.1.2. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . 16 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu 21 2.1. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu . . . 21 2.1.1. Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . . . . 21 2.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ . . . . . . . . . 28 2.2.2. Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mở đầu Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu đơn trị và ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational inequality) được phát biểu như sau (xem [3]): với f ∈ X ∗ , tìm x 0 ∈ X sao cho Ax 0 − f, x − x 0 + ϕ(x) − ϕ(x 0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.1) ở đây x ∗ , x kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), khi toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh và hàm ϕ không lồi mạnh, nói chung là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Do đó việc giải số của bài toán này gặp khó khăn, lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến sai số bất kì trong lời giải. Vì thế, người ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Bằng phương pháp này O. A. Liskovets [7] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm phần tử x τ α ∈ X sao cho A h x τ α + αU s (x τ α − x ∗ ) − f δ , x − x τ α + ϕ ε (x) − ϕ ε (x τ α ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.2) ở đây (A h , f δ , ϕ ε ) là các xấp xỉ của (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε), U s là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X, α là một tham số (gọi là tham số hiệu chỉnh). Năm 2008 Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [2] đã đưa ra cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α và đánh giá tốc độ hội tụ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 của nghiệm hiệu chỉnh x τ α của bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh của Liskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh. Kết quả tương tự trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu được nghiên cứu trong [8]. Nếu toán tử nhiễu A h không đơn điệu thì bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.2) của Liskovets có thể không có nghiệm. Trong trường hợp này, mở rộng kết quả với bất đẳng thức biến phân cổ điển của Liskovets, Nguyễn Thị Thu Thủy [9] đã nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1): tìm phần tử x τ α ∈ X sao cho A h x τ α + αU s (x τ α − x ∗ ) − f δ , x − x τ α + ϕ ε (x) − ϕ ε (x τ α ) ≥ −µg(x τ α )x − x τ α , ∀x ∈ X, µ ≥ h, (0.3) ở đây µ là một số dương đủ bé. Mục đích của luận văn nhằm trình bày kết quả trong [9] của Nguyễn Thị Thu Thủy về hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không gian Banach phản xạ thực X. Một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và bài toán thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được trình bày ở phần cuối của chương. Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu không đơn điệu. Cụ thể là trình bày định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh (0.3), sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bất đẳng thức biến phân (0.1), đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi toán tử A có tính chất ngược đơn điệu mạnh. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Người viết luận văn Nguyễn Văn Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Một số ký hiệu và chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp của X R n không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x inf x∈X F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị A T ma trận chuyển vị của ma trận A a ∼ b a tương đương với b A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A x k → x dãy {x k } hội tụ mạnh tới x x k x dãy {x k } hội tụ yếu tới x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.1. Một số khái niệm và kết quả của giải tích hàm phi tuyến Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., kí hiệu x ∗ , x là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Các khái niệm và kết quả trong mục này chúng tôi tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [6] và [10]. 1.1.1. Một số tính chất hình học của không gian Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S kéo theo x + y < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì một đoạn thẳng nào). Ví dụ 1.1. Không gian L p [a, b], 1 < p < ∞, là một không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε thì bất đẳng thức x + y ≤ 2(1 − δ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 đúng. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach thực X được gọi là không gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử x n x và sự hội tụ chuẩn x n → x luôn kéo theo sự hội tụ mạnh x n − x → 0 . Ví dụ 1.2. Không gian Hilbert là không gian có tính chất E-S. 1.1.2. Toán tử đơn điệu Cho toán tử đơn trị A : X → X ∗ , như thường lệ ta ký hiệu miền hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A là GraA. Theo định nghĩa ta có: D(A) = {x ∈ X : Ax = ∅}, R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)}, GraA := {(x, y) : y = Ax, x ∈ X}. Định nghĩa 1.4. Toán tử A được gọi là (i) đơn điệu nếu Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) đơn điệu ngặt nếu x = y thì Ax − Ay, x − y > 0, ∀x, y ∈ D(A); (iii) đơn điệu đều nếu tồn tại hàm không âm δ (t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và Ax − Ay, x − y ≥ δ x − y), ∀x, y ∈ D(A); (iv) đơn điệu mạnh nếu ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ τx − y 2 , ∀x, y ∈ D(A); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 (v) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số m A > 0 thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ m A Ax − Ay 2 , ∀x, y ∈ D(A). Ví dụ 1.3. Cho toán tử A xác định trên R, A(x) = x với mọi x ∈ R. Khi đó A là toán tử đơn điệu. Thật vậy, vì với mọi x, y ∈ R ta có: Ax − Ay, x − y = x − y, x − y = (x − y) 2 ≥ 0. Định nghĩa 1.5. Cho X là không gian Banach phản xạ thực, D ⊆ X, A : X → X ∗ . Toán tử A được gọi là: (i) hemi-liên tục tại x 0 ∈ D nếu A(x 0 + t n x) Ax 0 khi t n → 0 với véc tơ x tùy ý sao cho x 0 + t n x ∈ D và 0 ≤ t n ≤ t(x 0 ); (ii) demi-liên tục tại x 0 ∈ D nếu với dãy bất kỳ {x n } ⊂ D sao cho x n → x 0 thì kéo theo Ax n Ax 0 đúng. Nhận xét 1.1. Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi- liên tục trên X. Định nghĩa 1.6. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho A(x + h) = A(x) + T h + o(h), với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A (x) = T . Định nghĩa 1.7. Ánh xạ U s : X → 2 X ∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X nếu U s (x) = {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x = x ∗ x, x ∗ = x s−1 }, s ≥ 2. Khi s = 2 thì U s thường được là U được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U được cho trong mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.1. (xem [1]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó, 1) U(x) là tập lồi, U(λx) = λU(x) với mọi λ ∈ R; 2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Nhận xét 1.2. i) Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong H. ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi không gian Banach. Ví dụ 1.4. Với X = L p (Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của không gian R n thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng (Ux)(t) = x 2−p |x(t)| p−2 x(t), t ∈ Ω. Định lý 1.1. (xem [1]) Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt. Định nghĩa 1.8. Toán tử A : X → X ∗ có tính chất Γ nếu từ sự hội tụ yếu của dãy x n (x n x) và Ax n − Ax, x n − x → 0 suy ra sự hội tụ mạnh (x n → x) khi n → ∞. 1.1.3. Phiếm hàm lồi Cho D ⊂ X là một tập lồi khác rỗng, ϕ : X → R ∪ {+∞}. Miền hữu hiệu của hàm ϕ được định nghĩa bởi domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) = 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... toán tử nhiễu không đơn điệu Chương được chia làm 3 phần Phần thứ nhất trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Phần thứ hai sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu Các kết quả của chương này được tham khảo trong các tài liệu [7], [9] 2.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu 2.1.1 Sự... bài toán bất đẳng thức biến phân: tìm điểm x ∈ U sao cho ˜ Ax + µ − α, y − x + y T Ay − xT Ax ≥ 0, ∀y ∈ U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu. .. ϕ(x) = 0 , nếu x ∈ K +∞ , trong các trường hợp khác thì bài toán (1.1) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm x0 ∈ K sao cho Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K (1.3) 2) Khi K là toàn bộ không gian X thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.3) có dạng phương trình toán tử Ax = f 1.2.3 Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Ví dụ 1.5 Bài toán cân bằng mạng giao thông (xem [5]):... 2.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ Trong trường hợp toán tử nhiễu Ah không đơn điệu, bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) của Liskovets có thể không có nghiệm Nguyễn Thị Thu Thủy [9] đã nghiên cứu bài toán hiệu chỉnh: tìm phần tử xτ ∈ X α thỏa... x0 ∈ X 1.2 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã được nhà toán học người Italia là G Stampacchia và các đồng sự đưa ra lần đầu tiên vào năm 1960 trong khi nghiên cứu các bài toán biên tự do Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều đã được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong các phương trình vật lý toán Lớp bài toán này được... một toán tử đơn trị, đơn điệu h-liên tục và bị chặn, ϕ : D(ϕ) ≡ X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) được trình bày trong định lý sau (xem [6]) Định lý 2.1 Nếu tồn tại phần tử u ∈ dom ϕ thỏa mãn lim x →∞ Ax, x − u + ϕ(x) = ∞, x (2.2) thì (2.1) có ít nhất một nghiệm Bổ đề 2.1 (xem [1]) Bất đẳng thức biến phân. .. rồi cộng các bất đẳng thức lại, ta được Ah x1 − Ah x2 , x2 − x1 ) + α U (x1 − x∗ ) − U (x2 − x∗ ), x2 − x1 ≥ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Do tính đơn điệu của Ah và tính đơn điệu chặt của U , bất đẳng trên chỉ xảy ra khi x1 = x2 2 ¯ Sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm xτ tới nghiệm x có x∗ -chuẩn nhỏ α nhất của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1), nghĩa... xα ≥ α xτ − x∗ α − Ah (xε ) s−1 1+ xτ − x∗ − x∗ − xε α xε xτ α (2.9) − cε , với xτ > rε Do đó (2.2) được thỏa mãn với toán tử Ah + αU và hàm α ϕε Vậy với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.8) tồn tại Ta sẽ chứng minh tính duy nhất Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm khác nhau của bất đẳng thức biến phân (2.8) Khi đó ta có Ah x1 + αU (x1 − x∗ ) − fδ , x − x1 (2.10) + ϕε (x)... nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm xτ ∈ X sao α cho Ah xτ + αU (xτ − x∗ ) − fδ , x − xτ + α α α + ϕε (x) − ϕε (xτ ) ≥ 0, ∀x ∈ X α (2.8) Bổ đề 2.3 (xem [7]) Giả sử các điều kiện (2), (3) thỏa mãn Khi đó bất đẳng thức biến phân (2.8) tồn tại duy nhất nghiệm Chứng minh: Cho xε ∈ domϕε Do tính đơn điệu của Ah và điều kiện (3) ta có bất đẳng thức Ah xτ + αU (xτ − x∗ ), xτ − xε... rε thỏa mãn ϕε (x) ≥ −cε x với x > rε và |ϕε (x) − ϕ(x)| ≤ εd( x ), ∀x ∈ X, ε → 0, (2.7) ở đây d(t) có tính chất giống như g(t) Theo các giá trị gần đúng được cho, ta đòi hỏi sự ổn định khi xấp xỉ nghiệm x0 ∈ S của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) Để hiệu chỉnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1), Liskovets [7] đã . biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. Ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . 16 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu. chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không. x τ α của bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh của Liskovets (0.2) với toán tử ngược đơn điệu mạnh. Kết quả tương tự trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu được nghiên cứu trong [8]. Nếu toán tử nhiễu