Bài toán (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (A, f, ϕ).
Cho R∗ = (0, δ∗]×(0, h∗]×(0, ε∗] với δ∗, h∗, ε∗ là các hằng số dương. Giả sử các dữ kiện (A, f, ϕ) của (2.1) được cho xấp xỉ bởi (Ah, fδ, ϕε) với các giá trị của các đại lượng τ = (h, δ, ε) ∈ R∗ cho trước thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) fδ ∈ X∗ : kfδ −fk ≤ δ, δ →0;
(2) Ah : X → X∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, D(Ah) = D(A) =
X và
kAh(x)−A(x)k ≤ hg(kxk), ∀x ∈ X, (2.6) ở đây g(t) là một hàm không âm và bị chặn với t ≥ 0;
(3) ϕε : X → R là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X và tồn tại các hằng số dương cε và rε thỏa mãn
ϕε(x) ≥ −cεkxk với kxk > rε
và
|ϕε(x)−ϕ(x)| ≤εd(kxk), ∀x ∈ X, ε →0, (2.7) ở đây d(t) có tính chất giống như g(t).
Theo các giá trị gần đúng được cho, ta đòi hỏi sự ổn định khi xấp xỉ nghiệmx0 ∈ S của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1). Để hiệu chỉnh
bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1), Liskovets [7] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm xτα ∈ X sao cho
hAhxτα+αU(xτα −x∗)−fδ, x−xταi+
+ϕε(x)−ϕε(xτα) ≥0, ∀x ∈ X.
(2.8)
Bổ đề 2.3. (xem [7]) Giả sử các điều kiện (2), (3) thỏa mãn. Khi đó bất đẳng thức biến phân (2.8) tồn tại duy nhất nghiệm.
Chứng minh: Cho xε ∈ domϕε. Do tính đơn điệu của Ah và điều kiện (3) ta có bất đẳng thức hAhxτα+αU(xτα−x∗), xτα−xεi+ϕε(xτα) kxτ αk ≥ αkxτα−x∗ks−1kxτα−x∗k − kx∗ −xεk − kAh(xε)k1 + kxεk kxτ αk −cε, (2.9)
với kxταk > rε. Do đó (2.2) được thỏa mãn với toán tử Ah+αU và hàm
ϕε. Vậy với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.8) tồn tại.
Ta sẽ chứng minh tính duy nhất. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của bất đẳng thức biến phân (2.8). Khi đó ta có
Ahx1 +αU(x1 −x∗)−fδ, x−x1 +ϕε(x)−ϕε(x1) ≥0, ∀x ∈ X; (2.10) và Ahx2 +αU(x2 −x∗)−fδ, x−x2 +ϕε(x)−ϕε(x2) ≥ 0, ∀x ∈ X. (2.11)
Thay xbởi x2, trong (2.10) vàx1 trong (2.11) rồi cộng các bất đẳng thức lại, ta được
Do tính đơn điệu của Ah và tính đơn điệu chặt của U, bất đẳng trên chỉ xảy ra khi x1 = x2.
2 Sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm xτα tới nghiệm x¯ có x∗-chuẩn nhỏ nhất của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1), nghĩa là x¯ ∈ S sao cho
kx¯−x∗k = min
x∈S kx−x∗k,
được trình bày trong định lý sau.
Định lý 2.2. (xem [7]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực có tính chất E-S, X∗ là một không gian lồi chặt, A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bị chặn với D(A) = X, ϕ : X → R là một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, U : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu của X thỏa mãn điều kiện
hU(x)−U(y), x−yi ≥ mUkx−yk2, mU > 0, (2.12)
tập nghiệm S của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) khác rỗng. Giả sử các điều kiện (1)-(3) thỏa mãn, hơn nữa
lim t→∞supd(t) t2 ≤M, 0< M < ∞, (2.13) và lim α→0 δ +h+ε α = 0. (2.14) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi đó dãy xτα hội tụ mạnh đến nghiệm chính xác của bài toán (2.1) có
x∗-chuẩn nhỏ nhất.
Chứng minh: Lấy x0 ∈ S, đặt x = xτα trong (2.1) và x = x0 trong (2.8), rồi cộng các kết quả ta nhận được
hAx0 −Ahx0, x0 −xταi +hAhx0 −Ahxτα, x0 −xταi
+ αhU(xτα−x∗), xτα−x0i +hf −fδ, xτα−x0i
+ ϕ(x0)−ϕε(x0) +ϕε(xτα)−ϕ(xτα) ≤ 0.
Bất đẳng thức này tương đương với αhU(xτα−x0), xτα−x0i ≤ αhU(x0 −x∗), x0 −xταi +hAhxτα−Ahx0 +Ahx0 −Ax0, x0 −xταi +hf −fδ, x0 −xτα)i +ϕε(x0)−ϕ(x0) +ϕ(xτα)−ϕε(xτα). (2.16)
Sử dụng tính đơn điệu của toán tử A, tính chất (2.12) của U và các điều kiện (1)-(3), từ (2.16) ta suy ra mUkxτα−x0k2 ≤ hU(xτα−x∗)−U(x0 −x∗), xτα−x0i ≤ hg(kx τ αk) +δ α kxτα−x0k +hU(x0 −x∗), x0 −xταi + ε α[d(kx0k) +d(kxταk)], ∀x0 ∈ S. (2.17)
Từ (2.13), (2.14) và (2.17) suy ra dãy xτα bị chặn khi α → 0. Do đó
xτα * x¯∈ X.
Mặt khác từ Bổ đề 2.1 và (2.8) ta có bất đẳng thức
hAhx+αU(x−x∗)−fδ, x −xταi
+ϕε(x)−ϕε(xτα) ≥ 0, ∀x ∈ X.
(2.18)
Do ϕ là hàm lồi, nửa liên tục dưới nên nửa liên tục dưới yếu. Do đó
ϕ(¯x) ≤ lim
α→0infϕ(xτα). (2.19) Vì dãy {xτα} và d(t) bị chặn, từ (2.7) ta nhận được
ϕ(xτα) ≤ ϕε(xτα) +c2ε (2.20) trong đó c2 > 0. Từ (2.14), rõ ràng, ε → 0 khi α → 0. Khi đó từ (2.6), (2.7), (2.18), (2.19), (2.20) và điều kiện (1) suy ra
Từ bất đẳng thức này và Bổ đề 2.1 suy ra x¯ ∈ S. Hơn nữa, từ (2.17) thay x0 = ¯x ta có
mU kxταk − kx¯k2 ≤ hg(kx τ αk) +δ α kxτα−xk + hU(¯x−x∗),x¯−xταi + ε α[d(kx¯k) +d(kxταk)].