Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h liên tục và ngược đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ QN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn Mở đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Một số khái niệm 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ đơn điệu 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh 1.4 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.4.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.4.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15 2.1 Giới thiệu thuật tốn điểm gần kề qn tính 15 2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 20 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Trong q trình học tập làm luận văn, thơng qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu giáo sư Viện Toán học, Viện Công Nghệ Thông Tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô giáo Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học Trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Giáo sư Nguyễn Bường, thầy tận tình hướng đẫn, bảo tác giả suốt thời gian tác giả thực luận văn trực tiếp hướng đẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln theo sát động viên, chia sẻ khó khăn sống, giúp tác giả có điều kiện tốt trình học tập làm luận văn Hải Phòng, tháng 07 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Rất nhiều tốn thực tiễn khoa học, cơng nghệ dẫn đến tốn đặt khơng chỉnh (ill- posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán ( kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiên ban đầu Do tính khơng ổn định tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải Mục đích báo giới thiệu phương án hiệu chỉnh thuật toán điểm gần kề qn tính tìm phần tử chung tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu h-liên tục họ hữu hạn ánh xạ ngược đơn điệu mạnh {Ai }N i=1 từ tập đóng lồi K vào khơng gian Hilbert H Thuật tốn điểm gần kề qn tính đề xuất Alvarez [1] cho toán cực trị lồi Sau Attouch Alvarez xét mở rộng thuật tốn cho tốn tử đơn điệu cực đại [2] Mới Moudafi sử dụng thuật toán để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi Elisabeth [8] nghiên cứu thuật toán với việc sử dụng, mở rộng toán tử đơn điệu cực đại Moudafi Oliny xét kết hợp thuật toán với trình tách [7] Kết nghiên cứu hội tụ yếu không gian Hillbert Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong luận văn cách đưa q trình hiệu chỉnh Browder – Tikhonow chúng tơi việc công thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật tốn điểm gần kề qn tính, ta thu hội tụ mạnh thuật toán cho trường hợp tổng quát Ai, i = 1, , N, N > 1, ánh xạ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, A đơn điệu h- liên tục u thuộc K Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm Các vấn đề liên quan đến đề tài tốn đặt khơng chỉnh trình bày chương Chương trình bày thuật tốn điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục ngược đơn điệu mạnh Thái Nguyên, tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu H Không gian Banach thực ký hiệu X Không gian liên hợp X ký hiệu X ∗ Tập rỗng ký hiệu φ Với x ký hiệu ∀x Infimum tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu inf F (x) x∈X Ánh xạ đơn vị ký hiệu I Miền giá trị toán tử Aký hiệu R(A) Miền xác định toán tử Aký hiệu D(A) Ma trận chuyển vị ma trận Aký hiệu AT Toán tử liên hợp A ký hiệu A∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x ký hiệu xn → x Kí hiệu tập nghiệm A (u∗ ) , x − u∗ ≥ VI(K,A) Ngược đơn điệu mạnh λi Một họ hữu hạn ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H {Ai }N i=1 Tập điểm bất động ánh xạ T F (T ) Kí hiệu tập khơng ánh xạ B SB {Cn } {γn } :Là dãy số thực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Chương gồm hai vấn đề nhằm mục đích nhắc lại khơng gian Hillbert, ánh xạ đơn điệu ánh xạ ngược đơn điệu mạnh khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.1 Khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: 1) x > 0, ∀x = 0, x = ⇔ x = 0; 2) x + y x + y , ∀x, y ∈ X; 3) αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.2 Cặp (H, , ) H khơng gian tuyến tính , :H×H→R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = ⇔ x = x, y = y, x , ∀x, y ∈ H λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 L2[a,b] khơng gian hàm bình phương khả tích [a,b] b f: a f (x) dx < +∞ với f ∈ L2[a,b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng b f (x) g (x) dx f, g = a chuẩn f L2[a,b]  21 b  f (x)dx = a 1.2 Ánh xạ đơn điệu Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn kí hiệu tương ứng , Cho K tập lồi đóng H Một ánh xạ A từ K vào H gọi đơn điệu ,nếu A(x) − A(y), x − y ≥ với x, y ∈ K Bài toán bất đẳng thức biến phân tìm phần tử u∗ ∈ K cho A(u∗ ), x − u∗ ≥ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) với x ∈ K Kí hiệu tập nghiệm (1,1) V I(K, A) 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh Một ánh xạ Ai từ K vào H gọi λi ngược đơn điệu mạnh tồn số dương λi cho Ai (x) − Ai (y), x − y ≥ λi Ai (x) − Ai (y) , (1.2) với x, y ∈ K Dễ dàng nhận thấy ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh Ai đơn điệu Lipschitz liên tục với số 1/λi Do ,ta xét trường hợp < λi < Cho {Ai }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H với tập nghiệm Si = {x ∈ K : Ai (x) = 0} Đặt S = ∩N i=1 Si Giả thiết V I(K, A) ∩ S = ∅ Bài toán xét luận văn tìm phần tử u∗ ∈ V I(K, A) ∩ S (1.3) Như ta biết [13] ánh xạ không gian T từ K vào H , tức , T thoả mãn điều kiện Tx − Ty ≤ x − y với x, y ∈ K , ánh xạ B := I − T 1/2 ngược đơn điệu mạnh Vì vậy, tốn tìm phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ), F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T , tương đương với việc tìm phần tử thuộc V I(K, A) ∩ SB , SB kí hiệu tập khơng ánh xạ B , chứa lớp tốn (1.3) Trường hợp , A λ ngược đơn điệu mạnh A1 = I − T T không giãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 = ϕk − ϕk−1 + k x − xk−1 2 + xk − xk−1 , xk+1 − xk suy : ϕk+1 − ϕk − αk (ϕk − ϕk−1 ) k+1 α 2 x − xk + αk xk − xk−1 , xk+1 − xk + k xk − xk−1 2 1 2 = − xk+1 − xk − αk xk − xk−1 + αk + αk2 xk − xk−1 2 − Vì : ϕk+1 − ϕk − αk (ϕk − ϕk−1 ) − k+1 v 2 + αk xk − xk−1 Trong đó: v k+1 := xk+1 − xk − αk xk − xk−1 Đặt θk := ϕk − ϕk−1 ; δk := αk xk − xk−1 θk+1 αk θk + δk thu : αk [θk ]+ + δk , [t]+ := max {t, 0} dẫn đến [θk+1 ]+ α [θk ]+ + δk , với α ∈ [0, 1] cho : k−1 [θk+1 ]+ αj δk−j αk [θ1 ]+ + j=0 Vì ∞ [θk+1 ]+ k=0 ∞ 1−α [θ1 ]+ + δk , k=1 Xét dãy xác định k ωk := ϕk − [θj ]+ j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.3) 19 ∞ j=1 [θj ]+ Từ ϕk ≥ < ∞ suy ωk giới nội Nhưng k ωk+1 = ϕk+1 − [θk+1 ]+ − k [θj ]+ ϕk+1 − ϕk+1 + ϕk − j=1 [θj ]+ = ωk , j=1 Do {ωk } không tăng Chúng ta suy dãy {ωk } hội tụ ∞ limk→∞ ϕk = [θj ]+ + limk→∞ ωk , j=1 dẫn đến, ∀z ∈ S ,limk→∞ xk − z tồn từ (2.3) ta nhận đánh giá sau: k+1 v suy ∞ v k+1 ϕk − ϕk+1 + α [θk ]+ + δk , ∞ α [θk ]+ + δk < ∞ ϕ1 + k=1 k=1 Như vậy, v k+1 → k → ∞ v k+1 + λk A xk+1 ,theo (i) định lí ta có khoảng cách (0, A(xk )) → k → ∞ Phần lại chứng minh giống trường hợp αk ≡ chứng minh Chúng ta có kết tiếp sau: Mệnh đề 2.1: Với điều kiện định lí 2.1, (ii) thay ∃α ∈ 0, 13 ∀k ∈ N ,0 αk α {αk } khơng giảm, ta có : ∞ xk+1 − xk < ∞, k=1 tồn xˆ ∈ S xk xˆ H k → ∞ Chứng minh: Từ chứng minh định lí 2.1 ta có : ϕk+1 − ϕk − αk (ϕk − ϕk−1 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 − k+1 x − xk 2 + αk xk − xk−1 , xk+1 − xk + αk k x − xk−1 , dẫn đến: (αk − 1) k+1 x − xk ϕk+1 − ϕk − αk (ϕk − ϕk−1 ) 2 + αk xk − xk−1 Đặt : µk := ϕk − αk ϕk−1 + αk xk − xk−1 , từ αk+1 ≥ αk , ta có: µk+1 − µk − (1 − 3α) k+1 x − xk 2 (2.4) Từ (ii), − 3α > ta có dãy [µk ] khơng tăng, đó: ϕk − αϕk−1 µk µ1 Điều dẫn đến : k−1 ϕk k αj α ϕ0 + µ j=0 α k ϕ0 + µ1 1−α Theo ta có − 3α k xj+1 − xj µ1 − µk+1 µ1 + αϕk αk+1 ϕ0 + j=1 µ1 1−α Điều dẫn đến: ∞ xk+1 − xk k=1 2.2 2µ1 < ∞ (1 − α) (1 − 3α) Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Định lý 2.2 Cho K tập lồi đóng H cho λ > Cho A ánh xạ λ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H , cho T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 ánh xạ khơng giãn từ K vào cho V I(K, A) ∩ F (T ) = ∅ Cho dãy {xn } xây dựng theo quy tắc x0 ∈ K, xn+1 = αn xn + (1 − αn )T PK (xn − αn A(xn )), với n = 0, 1, , {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ (0, 2λ) {αn } ⊂ (c, d) với c, d ∈ (0, 1) Khi , {xn } hội tụ yếu đến z ∈ V I(K, A) ∩ F (T ), z = lim PV I(K,A)∩F (T ) (xn ), n→∞ PQ ký hiệu phép chiếu metric lên tập Q Để tìm phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ) ta sử dụng phương pháp Gradient suy rộng [6] không gian hữu hạn chiều.Trong không gian Hilbert vô hạn chiều ,kết hội tụ yếu [10] mở rộng thành hội tụ mạnh [15] Mặt khác, K ≡ H , (1.1) tương đương với việc giải phương trình A(u) = (2.5) với toán tử đơn điệu cực đại A, miền xác định A tồn không gian H A h-liên tục [3], [5] Phần tử khơng (2.5) xấp xỉ thuật tốn điểm gần kề qn tính cn A(zn+1 ) + zn+1 − zn = γn (zn − zn−1 ), z0 , z1 ∈ H, {cn } {γn } hai dãy số thực Lưu ý thuật tốn điểm gần kề qn tính đề xuất Alvarez [1] cho toán cực trị lồi Sau ,Attouch Alvarez xét mở rộng thuật tốn cho tốn tử đơn điệu cực đại [2] Mới đây,Moudafi sử dụng thuật toán để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi Elisabeth [8] nghiên cứu thuật tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 với việc sử dụng mở rộng toán tử đơn điệu cực đại ,và Moudafi Oliny xét kết hợp thuật tốn với q trình tách [7].Kết nghiên cứu hội tụ yếu không gian Hilbert Trong mục này, cách đưa vào q trình hiệu chỉnh BrowderTikhonov chúng tơi trình bày với việc cộng thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật tốn điểm gần kề qn tính, ta thu hội tụ mạnh thuật toán cho trường hợp tổng quát Ai , i = 1, , N, N > 1, ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H , λi 1/2, A đơn điệu h-liên tục u ∈ K Cho F song hàm từ K × K vào R, cho F (u, u) = với u ∈ K Giả thiết thêm F (u, ) lồi nửa liên tục với u ∈ K Bài tốn cân F tìm u∗ ∈ K cho F (u∗ , v) ≥ ∀v ∈ K (2.6) Đầu tiên ,ta nhắc lại số vấn đề [4], [12] cần thiết để chứng minh kết sau Một song hàm cân F gọi (i) đơn điệu , với u, v ∈ K , ta có F (u, v) + F (v, u) ≤ 0; (ii) đơn điệu manh với số τ , nếu, ∀u, v ∈ K , ta có F (u, v) + F (v, u) ≤ −τ u − v Mệnh đề 2.2 (i) Nếu F (., v) h-liên tục với v ∈ K F đơn điệu, U ∗ = V ∗ , U ∗ tập nghiệm (2.6), V ∗ tập nghiệm toán F (u, v ∗ ) ≤ ∀u ∈ K , tập đóng lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 (ii) Nếu F (., v) h-liên tục với v ∈ K F đơn điệu mạnh ,thì U ∗ gồm phần tử Bổ đề 2.2 [14] Cho {an }, {bn }, {cn } dãy số thực không âm với an+1 ≤ (1 − bn )an + cn , bn < 1, (i) ∞ n=0 bn (ii) = +∞, limn→+∞ cbnn = Khi đó, limn→+∞ an = Một ánh xạ T : C → C , C tập đóng lồi H , gọi giả đơn điệu mạnh, tồn số k ∈ (0, 1) cho Tx − Ty ≤ x−y + k (I − T )x − (I − T )y ∀x, y ∈ C, gọi demi-đóng v với dãy {xn } thuộc D(T ) thoả mãn xn x ∈ D(T ) T xn → v , T x = v Bổ đề 2.3 [11] Cho C tập lồi ,đóng khác rỗng không gian Hilbert H cho T : C → C ánh xạ giả co chặt với tập điểm bất động khác rỗng Khi đó, I − T demi-đóng Chúng tơi xây dựng nghiệm hiệu chỉnh Browder-Tikhonov uα cho (1.3) giải toán bất đẳng thức biến phân :tìm uα ∈ K cho N A(uα ) + α µ Ai (uα ) + αuα , v − uα ≥ ∀v ∈ K, < µ < 1, (2.7) i=1 α 0, tham số hiệu chỉnh Ta có kết sau Định lí 2.3 (i)Với α > 0, tốn (2.7) có nghiệm uα (ii) limα→+0 uα = u∗ , u∗ ∈ V I(K, A) ∩ S, u∗ ≤ y ∀y ∈ V I(K, A) ∩ S (iii) uα − uβ ≤ M |α − β| , α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên α, β > 0, http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 M hăng số dương Chứng minh (i) Đặt F0 (u, v) = A(u), v − u , Fi (u, v) = Ai (u), v − u , i = 1, , N Khi ,bài tốn (2.7) có dạng :tìm uα ∈ K cho Fα (uα , v) ≥ ∀v ∈ K, (2.8) N Fα (u, v) = F0 (u, v) + α µ Fi (u, v) + α u, v − u i=1 Khơng khó khăn kiểm tra Fi , i = 0, , N, song hàm đơn điệu ,và ,với v ∈ K cố định, chúng h-liên tục theo biến u Vì vậy, Fα (u, v) đơn điệu h-liên tục theo biến u với phần tử cố định v ∈ K Hơn thế, đơn điệu mạnh với hăng số α > Vì vậy, (2.8) (suy (2.7)) có nghiệm uα với α > (ii) Bây ,ta chứng minh uα ≤ y ∀y ∈ V I(K, A) ∩ S (2.9) Vì y ∈ V I(K, A) ∩ S, F0 (y, uα ) ≥ Ai (y) = 0, i = 1, , N Do , Fi (y, uα ) = 0, i = 1, , N, N F0 (y, uα ) + α µ Fi (y, uα ) ≥ ∀y ∈ V I(K, A) ∩ S i=1 Cộng bất đẳng thức cuối với (2.8) với v thay y sử dụng Fi thu uα , y − uα ≥ ∀y ∈ V I(K, A) ∩ S, suy (2.9) Có nghĩa {uα } tập giới nội.Cho uαk u∗ ∈ H , k → +∞ Vì K đóng lồi ,cho nên K đóng yếu Vì vậy, u∗ ∈ K Ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 chứng minh u∗ ∈ V I(K, A) Từ tính chất đơn điệu (i) Fi , i = 0, , N, (2.8) suy N F0 (v, uαk ) + αkµ Fi (v, uαk ) ≤ αk v, v − uαk ∀v ∈ K i=1 Sau cho k → ∞, ta nhận F0 (v, u∗ ) ≤ với v ∈ K Theo mệnh đề 2.2, ta có u∗ ∈ V I(K, A) Bây ta u∗ ∈ Si , i = 1, , N Từ (2.8), F0 (y, uαk ) ≥ với y ∈ V I(K, A) ∩ S , tính đơn điệu F0 , suy N Fi (uαk , y) + αk1−µ uαk , y − uαk ≥ ∀y ∈ V I(K, A) ∩ S i=1 Dựa vào tính λl ngược đơn điệu mạnh Al , tính đơn điệu Ai , i = l, Ai (y) = 0∀y ∈ V I(K, A) ∩ S, i = 1, , N , bất đẳng thức ta có λl Al (uαk ) − Al (y) ≤ Al (uαk ), uαk − y N Ai (uαk ), uαk − y ≤ αk1−µ uαk , y − uαk ≤ 2αk1−µ y ≤ i=1 Cho k → +∞ bất đẳng thức ,chúng ta nhận lim k→+∞ Al (uαk ) − Al (y) = Vì Al λl ngược đơn điệu mạnh Tl := I − Al thoả mãn tính chất Tl x − Tl y ≤ x − y + kl (I − Tl )x − (I − Tl )y , λl = (1−kl )/2 Vì < λl < 1, −1 < kl < Khi kl < 0, bất đẳng thức không thay đổi, kl thay −kl Khi đó, Tl giả co chặt Dụa vào bổ đề 2.3, ta khẳng định Al (u∗ ) = Al (y) = Điều có nghĩa u∗ ∈ Sl Như ta biết tập V I(K, A), Si đóng lồi, Cho nên , V I(K, A) ∩ S đóng lồi Khi , từ (2.9) suy u∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 thành phần V I(K, A) ∩ S có chuẩn nhỏ Dẫn đến, lim uα = u∗ α→+0 (iii) Từ (2.8) tính chất Fi (u, v), với α, β > suy N µ µ (α − β ) Fi (uα , uβ ) + α uα , uβ − uα + β uβ , uα − uβ ≥ i=1 uα − uβ |αµ − β µ | |α − β| uβ + ≤ α α N |Fi (uα , uβ )| i=1 Tất song hàm Fi , i = 1, , N, giới nội, tốn tử Ai liên tục Lipschitz với số Li = 1/λi Sử dụng (2.9), tính giới nội Fi định lý giá trị trung bình Logrange cho hàm số α(t) = t−µ , < µ < 1, t ∈ [1, +∞), khoảng [α, β] α < β [β, α] β < α ta có kết luận (iii) Định lý chứng minh Chú ý Dễ thấy được, uαk → u˜, uαk nghiệm (2.7) vớiα = αk → 0, k → +∞, V I(K, A) ∩ S = ∅ Bây ,ta xét thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh N cn [A(zn+1 ) + αnµ Ai (zn+1 ) + αn zn+1 ] + zn+1 − zn , v − zn+1 ≥ i=1 γn zn − zn−1 , v − zn+1 ∀v ∈ K, z0 , z1 ∈ K (2.10) Rõ ràng, N Fn (u, v) := cn [A(u)+αnµ Ai (u)+αn u]+u−zn , v−u −γn zn −zn−1 , v−u i=1 song hàm Hơn nữa, song hàm đơn điệu mạnh với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 τ = cn αn + Theo mệnh đề 2.2, tồn phần tử zn+1 xác định (2.10) Định lý 2.4 Giả thiết tham số cn , γn αn chọn cho (i) < c0 < cn < C0 , ≤ γn < γ0 , ≥ αn ∞ n=1 bn (ii) = +∞, bn = cn αn /(1 + cn αn ), ∞ −1 n=1 γn bn (iii) 0, zn − zn−1 < +∞, (iv) αn − αn+1 = n→∞ αn bn lim Khi đó, dãy {zn } xác định (2.10) hội tụ mạnh đến u∗ , n → +∞ Chứng minh Từ (2.10) suy N µn [A(zn+1 ) + αnµ Ai (zn+1 )] + zn+1 , v − zn+1 ≥ βn zn , v − zn+1 i=1 + βn γn zn − zn−1 , v − zn+1 µn = cn βn , βn = 1/(1 + cn αn ) (2.11) Bằng cách lập luận tương tự, từ (2.8) suy N µn [A(un ) + αnµ Ai (un )] + un , , v − un ≥ βn un , v − un , (2.12) i=1 un nghiệm (2.8) α thay bẳng αn Bằng cách đặt v = un (2.11) v = zn+1 (2.12) sau cộng lại ta thu N µn A(zn+1 ) − A(un ) + αnµ (Ai (zn+1 ) − Ai (un )), un − zn+1 i=1 + zn+1 − un , un − zn+1 ≥ βn zn − un , un − zn+1 + βn γn zn − zn−1 , un − zn+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Do ,từ tính đơn điệu ánh xạ A, Ai , i = 1, , N suy zn+1 − un ≤ βn zn − un + βn γn zn − zn−1 Từ (1.6) (2.7) với y = u∗ ta có zn+1 − un+1 ≤ zn+1 − un + un+1 − un ≤ βn zn − un + γn zn − zn−1 + M αn − αn+1 αn ≤ (1 − bn ) zn − xn + dn βn < 1, dn = γn zn − zn−1 + M αn − αn+1 αn Vì chuỗi (iii) hội tụ ,cho nên limn→∞ γn zn − zn−1 /bn = Dẫn đến, limn→∞ dn /bn = Do đó, zn+1 − xn+1 → 0, n → +∞ suy từ bổ đề 2.1 Mặt khác, xn − u∗ → 0, n → +∞ Cuối cùng, ta có zn → u∗ , n → +∞ Định lý chứng minh Chú ý Các dãy số {αn } {γn } xác định sau αn = (1 + n)−p , < 2p < 1, γn = (1 + n)−τ zn − zn−1 + zn − zn−1 với τ > + p thoả mãn điều kiện định lý 2.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 KẾT LUẬN Đề tài đề cập đến vấn đề sau + Giới thiệu thuật toán điểm gần kề qn tính + Tìm phần tử chung tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu h- liên tục họ hữu hạn ánh xạ ngược đơn điệu mạnh Với ứng dụng thực tế, vấn đề trình bày đề tài, nhiều nhà toán học quan tâm, sâu nghiên cứu Mặc dù có cố gắng nỗ lực song hẳn đề tài không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Tài liệu tham khảo [1] F Alvarez, On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space, SIAM J of Control and Optimization, 38 (2000), n 4, 1102-1119 [2] F Alvarez and H Attouch, An inertial proximal method for maximal monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damping, Set-Valued Analysis, (2001) 3-11 [3] V Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces Noordhoff Intern Publishing Leyden Netherlands: Acad Bucuresti, Romania 1976 [4] E Blum and W Oettli, From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Student 63 (1994) 123-145 [5] H Brezis, Opératuer maximaux monotones, Mathematics Studies N 5: North Holland, 1973 [6] G.M Korpelevich, Extragradient method for finding sadle points and for other problems, Ekonomika i Matematicheskie Metody 12 (1976) 747-756 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 [7] A Moudafi and M Oliny, Convergence of a spliting inertial proximal method for monotone operators, J of Comp and Appl Math., 155 (2003) 447-454 [8] A Moudafi and E Elizabeth, An approximate inertial proximal method using the enlargement of a maximal monotone operator, Intern J of Pure and Appl Math., (2003), n 2, 283-299 [9] A Moudafi, A hybrid inertial projection-proximal method for variational inequalities, J of Inequalities in Pure and Applied Math., (2004), n 3, Article 63 [10] N Nadezhkina and W Takahashi, Weak convergence theorems by extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings, J of Optim Theory and Appl 128 (2006), n 1, 191-201 [11] M.O Osilike and A Udomene, Demiclosedness principle and convergence results for strictly pseudocontractive mappings of BrowderPetryshyn type, J Math Anal Appl 256 (2001) 431-445 [12] W Oettli, A remark on vector-valued equilibria and generalized monotonicity, Acta Math Vietnamica 22 (1997) 215-221 [13] W Takahashi and M Toyota, Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings, J of Optim Theory and Appl 118 (2003), n 2, 417-428 [14] V.V Vasin and A.L Ageev, Incorrect problems with priori information Ekaterenburg, Nauka, 1993 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 [15] L.C Zeng and J.Ch Yao, Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed problems and variational inequality problems, Taiwanese J of Math., 10 (2006), n 5, 1293-1303 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI H? ??C THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H? ??C KHOA H? ??C NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ QN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H- LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG... 3α) Thuật tốn điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh Định lý 2.2 Cho K tập lồi đóng H cho λ > Cho A ánh xạ λ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H , cho T Số h? ?a Trung tâm H? ??c liệu – Đại h? ??c Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... BrowderTikhonov chúng tơi trình bày với việc cộng thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu h? ??i tụ mạnh thuật toán cho trường h? ??p tổng quát Ai , i = 1, , N, N > 1, ánh xạ λi ngược