Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j đơn điệu trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN J – ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH NGUYỄN MINH HẢI THÁI NGUYÊN 2015 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 1.1 1.2 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu 10 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu 10 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh 12 1.2.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 12 1.2.2 Bài toán điểm bất động 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 17 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 2.1 2.2 21 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.2 Sự hội tụ 22 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 28 2.2.1 28 Phương pháp lặp ẩn 2.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 BẢNG KÝ HIỆU X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động tốn tử T H khơng gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Mở đầu Cho X không gian Banach thực Ký hiệu X ∗ không gian liên hợp X, C tập lồi đóng khác rỗng X, A : X → X ánh xạ phi tuyến Bài tốn bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu khơng gian Banach (viết tắt VI∗ (A, C)) phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn: x∗ ∈ C : Ax∗ , j(x − x∗ ) ≥ ∀x ∈ C, (0.1) ∗ j(x − x∗ ) ∈ J(x − x∗ ), J : X → 2X ánh xạ đối ngẫu X Nếu X := H không gian Hilbert thực bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trở thành tốn tìm phần tử x∗ ∈ H thỏa mãn x∗ ∈ C : Ax∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (0.2) Bài toán (0.2) ký hiệu VI(A, C) Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) đưa nghiên cứu Stampacchia (xem [8]) vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số nhiều toán kinh tế kỹ thuật Mặc dù có nhiều kết nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân, việc cải tiến phương pháp nhằm gia tăng hiệu ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong [4] bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) không gian Banach lồi trơn tương đương với toán điểm bất động: x∗ = QC (x∗ − µAx∗ ), (0.3) µ > số tùy ý QC ánh xạ co rút không giãn theo tia từ X lên C Do đó, phương pháp chiếu số biến thể phương pháp dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1) Tuy nhiên, ánh xạ co rút không giãn theo tia không dễ dàng tính tốn C tập lồi đóng X Để giảm hạn chế này, không gian Hilbert, ánh xạ co rút không giãn phép chiếu mêtric PC chiếu X lên C, Yamada [11] giả thiết C tập điểm bất động ánh xạ không giãn T : H → H đưa phương pháp lai đường dốc (hybrid steepest-descent) giải bất đẳng thức biến phân VI(A, C) Phương pháp phát triển từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ ánh xạ lên họ ánh xạ Chú ý rằng, toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn, nói chung, tốn đặt khơng chỉnh Do đó, tốn bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) hay VI(A, C), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải toán này, phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3] tài liệu trích dẫn) Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại kết nghiên cứu [9] TS Nguyễn Thị Thu Thủy hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn không gian Banach Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân không gian Banach" nhằm giới thiệu số khái niệm tính chất không gian Banach lồi đều, trơn đều; Ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ không giãn; Bài tốn đặt khơng chỉnh, tốn điểm bất động bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[3] Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu" nhằm giới thiệu bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn; trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh lặp Nội dung chương viết từ báo [9] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Trong q trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường PTDT Nội trú cấp II-III Bắc Quang, Hà Giang quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học Tốn K7A đồn kết, đùm bọc giúp đỡ tồn khóa học Cuối xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình tơi, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Thành đạt q mà tơi muốn dành tặng gia đình thân yêu Tác giả Nguyễn Minh Hải Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Banach Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tính chất khơng gian Banach lồi đều, trơn đều; trình bày khái niệm vài tính chất ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ không giãn; Trong phần thứ hai chương, chúng tơi giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh, toán điểm bất động bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[3] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach lồi đều, trơn Ký hiệu mặt cầu đơn vị không gian Banach X S1 (0) := {x ∈ X : x = 1} Không gian Banach X gọi có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) giới hạn sau lim t→0 x + ty − x , t (1.1) tồn với x, y ∈ S1 (0) Không gian Banach X gọi có chuẩn khả vi Gâteaux y ∈ S1 (0), giới hạn (1.1) tồn với (x, y) ∈ S1 (0) × S1 (0) Giả sử dim(X) ≥ Modul trơn X hàm ρX : [0, ∞) → [0, ∞) xác định ρX (τ ) = sup x+y + x−y − : x ≤ 1, y ≤ τ Không gian Banach X gọi trơn nếu: ρX (τ ) = τ →0 τ lim Với q > 1, không gian Banach X gọi q-trơn tồn số c > cho ρX (τ ) ≤ cτ q Dễ thấy rằng, X khơng gian q-trơn q ≤ X không gian trơn Không gian Hilbert, không gian Lp (hoặc lp ) với < p < ∞, không gian Sobolev Wmp với < p < ∞ không gian q-trơn < p ≤ 2-trơn p ≥ Không gian Banach X gọi không gian lồi chặt với x, y ∈ S1 (0), x = y V ert(1 − λ)x + λy < với λ ∈ (0, 1), lồi với ε, < ε ≤ 2, từ bất đẳng thức x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε suy tồn δ = δ(ε) > cho x + y ≤ 2(1 − δ) Chú ý rằng, không gian Banach lồi đều không gian phản xạ lồi chặt 23 Bổ đề 2.2 Giả sử {un }, {an } {bn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện sau: (i) un+1 ≤ (1 − an )un + bn , an ≤ 1; ∞ bn (ii) an = ∞, lim = n→∞ an n=1 Khi đó, limn→∞ un = Định lý 2.1 Giả sử q > số thực cho trước X không gian Banach thực, trơn Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) X không gian q-trơn (ii) Tồn số cq > cho với x, y ∈ X ta có bất đẳng thức: x+y q ≤ x q + q y, Jq x + cq y q (iii) Tồn số c1 > cho với x, y ∈ X bất đẳng thức sau thỏa mãn: x − y, Jq x − Jq y ≤ c1 x − y q Bổ đề 2.3 Cho C tập lồi, đóng không gian Banach lồi chặt X Giả sử {Ti }∞ i=1 dãy ánh xạ không giãn C ∞ Fix(Ti ) khác rỗng Giả thiết {si }∞ i=1 dãy số thực i=1 ∞ si = Khi ánh xạ T C xác định dương với i=1 ∞ si Ti x với x ∈ C, Tx = i=1 hoàn toàn xác định ánh xạ không giãn, đồng thời ta có ∞ Fix(T ) = Fix(Ti ) i=1 24 Bổ đề 2.4 Giả sử X không gian Banach thực, trơn Cho F : X → X ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt với η + γ > Khi đó, với λ ∈ (0, 1), I − λF ánh xạ co rút với hệ số co − λτ , τ = − (1 − η)/γ ∈ (0, 1) Sau định lý hội tụ phương pháp Định lý 2.2 Với αn > 0, phương trình (2.2) ln có nghiệm xn Hơn nữa, αn → n → ∞ dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ nghiệm toán VI∗ (A, C) Chứng minh Bước 1: Chứng minh phương trình (2.2) có nghiệm Vì A ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipschitz Sn ánh xạ không giãn nên ánh xạ (I − Sn ) + αn A với αn > ánh xạ (αn η)-j-đơn điệu mạnh (2 + αn L)-liên tục Lipschitz X Do đó, nghiệm xn (2.2) tồn Bước 2: Chứng minh dãy {xn }, {Sn xn } {Axn } bị chặn Với x ∈ C ta có Sn x = x nên từ (2.2) ta nhận (I − Sn )xn − (I − Sn )x, jq (xn − x) (2.3) + αn Axn , jq (xn − x) = Vì Sn ánh xạ không giãn, nên I − Sn ánh xạ j-đơn điệu Từ (2.3) suy Axn , jq (xn − x) ≤ 0, ∀x ∈ C Hay Ax, jq (x − xn ) ≥ xn − x , η (2.4) 25 A η-j-đơn điệu mạnh Từ jq (xn − x) = xn − x q−2 j(xn − x) (2.4) dẫn đến xn − x ≤ Ax /η Vì thế, dãy {xn } bị chặn Mặt khác, Sn ánh xạ khơng giãn A ánh xạ L-liên tục Lipschitz nên ta có Sn xn − Sn x ≤ Ax η Axn − Ax ≤ L Ax , η {Sn xn } {Axn } dãy bị chặn Khơng tính tổng qt ta giả thiết dãy bị chặn số dương M1 với n ≥ Bước 3: Chứng minh lim xn − T xn = n→∞ Ta xác định ánh xạ T sau: T := κ ∞ ∞ κi Ti = i=1 si Ti , si = i=1 κi ∈ (0, 1) κ ∞ si = (vì (1.14) (2.1)) Theo Bổ đề 2.3, ánh xạ từ X vào X với i=1 ta có T ánh xạ khơng giãn Fix(T ) = C Ta có xn − T xn ≤ xn − Sn xn + Sn xn − T xn (2.5) Vì (I − Sn )xn = αn Axn ≤ αn M1 αn → n → ∞ nên ta nhận lim xn − Sn xn = n→∞ (2.6) 26 Vì dãy {xn } bị chặn X {Ti }∞ i=1 ánh xạ không giãn nên Ti xn ≤ M2 < ∞, i = 1, 2, Ta có Sn xn − T xn = sn ≤ sn n i=1 n i=1 κ − sn ≤ κsn κi Ti xn − κ κi Ti xn − κ ∞ κi Ti xn i=1 n ∞ κi Ti xn i=1 + κi Ti xn κ i=n+1 ∞ n κi Ti xn i=1 κi Ti xn + κ i=n+1 ∞ ∞ M2 M2 (κ − sn ) M2 + κi = κi ≤ κ κ i=n+1 κ i=n+1 Để ý ∞ i=n+1 κi → n → ∞ nên lim Sn xn − T xn = (2.7) lim xn − T xn = (2.8) n→∞ Từ (2.5)-(2.7) dẫn đến n→∞ Bước 4: Chứng minh dãy {xn } hội tụ mạnh nghiệm x∗ toán VI∗ (A, C) Với giới hạn Banach µ, ta xác định ánh xạ ϕ : X → R sau ϕ(u) = µ xn − u ∀u ∈ X Dễ thấy ϕ(u) phiếm hàm lồi, liên tục Ta đặt C ∗ = {v ∈ X : ϕ(v) = inf ϕ(u)} u∈X Do X không gian Banach phản xạ nên C ∗ tập khác rỗng Hơn nữa, tính lồi tính liên tục ϕ nên ta có C ∗ tập lồi, 27 đóng X Mặt khác, với T ánh xạ không giãn sử dụng (2.8) với v ∈ C ∗ ta có ϕ(T v) = µ xn − T v ≤ µ xn − T xn + T xn − T v ≤ µ xn − v 2 = ϕ(v) Suy T v ∈ C ∗ T (C ∗ ) ⊂ C ∗ , nghĩa C ∗ tập bất biến qua ánh xạ T Tiếp theo, chứng minh C ∗ chứa điểm bất động ánh xạ T Giả sử x ∈ C Vì tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Banach phản xạ, lồi chặt X tập Chebyshev nên tồn u∗ ∈ C ∗ cho x − u∗ = inf∗ x − v v∈C Mặt khác, ta có T x = x T u∗ ∈ C ∗ , đồng thời T ánh xạ không giãn nên ta nhận x − T u∗ = T x − T u∗ ≤ x − u∗ , suy T u∗ = u∗ từ tính u∗ ∈ C ∗ Do u∗ ∈ C ∩ C ∗ Từ Bổ đề 2.1, u∗ cực tiểu phiếm hàm ϕ(u) X µ u − u∗ , j(xn − u∗ ) ≤ ∀u ∈ X (2.9) Chọn u = (I − A)u∗ (2.9) sử dụng tính chất jq (u∗ − xn ) = u∗ − xn q−2 j(u∗ − xn ) ta nhận µ Au∗ , jq (u∗ − xn ) ≤ Kết hợp với (2.4) (2.10) ta có µ xn − u∗ (2.10) = Do đó, tồn dãy {xni } {xn } hội tụ mạnh tới u∗ i → ∞ Từ (2.4) tính 28 liên tục ∗ yếu theo chuẩn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc jq tập bị chặn X ta Ax, jq (x − u∗ ) ≥ ∀x ∈ C (2.11) Vì x, u∗ ∈ C (tập lồi đóng) nên việc thay x (2.11) tx + (1 − t)u∗ với t ∈ (0, 1) sử dụng tính chất jq (t(u∗ − x)) = tjq (u∗ − x) với t > 0, sau chia hai vế cho t cuối cho t → ta nhận Au∗ , jq (x − u∗ ) ≥ ∀x ∈ C Tính nghiệm x∗ toán VI∗ (A, C) dẫn tới u∗ = x∗ Do đó, dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ n → ∞ 2.2 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Phương pháp lặp ẩn Ta xét phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C): yn = γn (I − λn A)yn + (1 − γn )Sn yn , n ≥ 1, (2.12) việc sử dụng Sn (1.14) (2.1), {γn } {λn } dãy số dương Định lý 2.3 Giả sử X không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt, q-trơn với < q ≤ Cho A ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt với η + γ > Giả sử {Ti }∞ i=1 : X → X họ đếm ∞ Fix(Ti ) = ∅ Khi ánh xạ không giãn X cho C := i=1 29 đó, dãy {yn } xác định (2.12) với λn ∈ (0, 1], γn ∈ (0, 1) thỏa mãn γn → n → ∞ hội tụ mạnh tới phần tử x∗ nghiệm toán VI∗ (A, C) Chứng minh Xét ánh xạ Fn x = γn (I − λn A)x + (1 − γn )Sn x, với n ≥ x ∈ X Khi đó, theo Bổ đề 2.4 ta có Fn x − Fn y = γn (I − λn A)x + (1 − γn )Sn x − [γn (I − λn A)y + (1 − γn )Sn y] = γn [(I − λn A)x − (I − λn A)y] + (1 − γn )(Sn x − Sn y) ≤ γn (1 − λn τ ) x − y + (1 − γn ) x − y = (1 − γn λn τ ) x − y , x, y ∈ X, với γn λn τ ∈ (0, 1) Vì Fn ánh xạ co X Theo nguyên lí co Banach, tồn phần tử yn ∈ X cho yn = Fn yn với n ≥ Đối với phần tử cố định p ∈ C, sử dụng Bổ đề 2.4 tính chất ánh xạ khơng giãn Sn ta có yn − p q = γn (I − λn A)yn + (1 − γn )Sn yn − p q = γn (I − λn A)yn + (1 − γn )Sn yn − p, jq (yn − p) = γn (I − λn A)yn − p + (1 − γn )(Sn yn − p), jq (yn − p) 30 = γn (I − λn A)yn − (I − λn A)p − λn Ap + (1 − γn )(Sn yn − Sn p), jq (yn − p) ≤ γn (1 − λn τ ) yn − p + (1 − γn ) yn − p = (1 − γn λn τ ) yn − p q − γn λn Ap, jq (yn − p) q q − γn λn Ap, jq (yn − p) Do yn − p q ≤ τ −1 Ap, jq (p − yn ) (2.13) Hiển nhiên yn − p ≤ τ −1 Ap Điều có nghĩa {yn } dãy bị chặn dãy {Sn yn } {Ayn } bị chặn Hơn nữa, ta có yn − Sn yn = γn (I − λn A)yn + (1 − γn )Sn xn − Sn yn = γn (I − λn A)yn − γn Sn yn ≤ γn (I − λn A)yn + γn Sn yn Vì γn → n → ∞, λn ∈ (0, 1] {yn }, {Ayn } với {Sn yn } dãy bị chặn nên lim yn − Sn yn = n→∞ (2.14) Tương tự chứng minh Định lí 2.2 (xem (2.7)) ta có lim Sn yn − T yn = n→∞ (2.15) Từ (2.14) (2.15) dẫn đến lim yn − T yn = n→∞ (2.16) Tiếp theo, giới hạn Banach µ xác định ánh xạ 31 ϕ : X → R sau ϕ(x) = µ yn − x ∀x ∈ X Hiển nhiên ϕ(x) phiếm hàm lồi, liên tục Lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.2 ta có điều cần chứng minh 2.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Chúng ta xác định dãy {zn } sau zn+1 = zn − βn (I − Sn )zn + αn Azn , n ≥ 1, z1 ∈ X, (2.17) {αn } {βn } dãy số dương ({αn } dãy tham số hiệu chỉnh {βn } dãy tham số lặp) Ta chứng minh dãy {zn } ∞ ∗ (2.17) hội tụ mạnh tới x ∈ C = Fix(Ti ) nghiệm toán i=1 bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) Định lý 2.4 Cho X không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt, q-trơn q cố định, < q ≤ Giả sử A ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz X với η L số dương Giả sử {Ti }∞ i=1 : X → X họ đếm ánh ∞ Fix(Ti ) = ∅ Giả thiết xạ không giãn X cho C := i=1 điều kiện thỏa mãn: αn − αn+1 κn+1 = lim = 0, 2β n→∞ n→∞ αn αn2 βn n ∞ cq βnq−1 (2 + αn L)q αn βn = ∞, lim sup < 1, ηα n→∞ n n=0 < βn < β0 , αn 0, lim cq số xác định Định lý 2.1, {κn } xác định 32 (1.14) Khi đó, dãy {zn } xác định (2.17) hội tụ mạnh tới x∗ nghiệm toán VI∗ (A, C) Chứng minh Giả sử xn nghiệm (2.2) với αn > 0, ta có zn+1 − xn+1 ≤ zn+1 − xn + xn − xn+1 (2.18) Áp dụng Định lý 2.1 ta zn+1 − xn q = zn − xn − βn (I − Sn )zn + αn Azn q = zn − xn − βn (I − Sn )zn − (I − Sn )xn + αn (Azn − Axn ) ≤ zn − xn q q − qβn (I − Sn )zn − (I − Sn )xn (2.19) + αn (Azn − Axn ), jq (zn − xn ) + cq βnq (I − Sn )zn − (I − Sn )xn + αn (Azn − Axn ) q Từ tính chất j-đơn điệu I − Sn tính chất η-j-đơn điệu mạnh A ta nhận (I − Sn )zn − (I − Sn )xn , jq (zn − xn ) = = zn − xn q−2 (I − Sn )zn − (I − Sn )xn , j(zn − xn ) ≥0 Azn − Axn , jq (zn − xn ) ≥ η zn − xn q Vì thế, từ (2.19) dẫn đến zn+1 − xn q ≤ zn − xn q − qβn αn η + cq βnq (2 + αn L)q , 33 hay zn+1 − xn ≤ zn − xn − qβn αn η + cq βnq (2 + αn L)q 1/q Vì cq βnq (2 + αn L)q < βn αn η (1 − t)s ≤ − st với < s < nên zn+1 − xn ≤ zn − xn 1− q−1 βn αn η q (2.20) Tiếp theo, ước lượng giá trị xn+1 − xn Từ (2.2) dẫn tới xn − xn+1 = Sn xn − Sn+1 xn+1 , j(xn − xn+1 ) − αn Axn − Axn+1 , j(xn − xn+1 ) + (αn+1 − αn ) Axn+1 , j(xn − xn+1 ) ≤ xn − xn+1 (2.21) + Sn xn+1 − Sn+1 xn+1 − αn η xn − xn+1 xn − xn+1 + |αn+1 − αn | Axn+1 xn − xn+1 , Sn ánh xạ không giãn A ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh Ta có n Sn xn+1 − Sn+1 xn+1 = i=1 n ≤ i=1 κi Ti xn+1 − sn n+1 i=1 κi sn+1 Ti xn+1 κi |sn+1 − sn | Ti xn+1 sn sn+1 (2.22) κn+1 Tn+1 xn+1 sn+1 κn+1 ≤ 2M2 sn+1 + Từ (2.21) (2.22) suy xn+1 − xn ≤ κn+1 M1 |αn+1 − αn | + 2M2 ηαn sn+1 (2.23) 34 Từ (2.18), (2.20) (2.23) ta nhận zn+1 − xn+1 ≤ zn − xn − q−1 βn αn η + q κn+1 + M1 |αn+1 − αn | + 2M2 ηαn sn+1 (2.24) Sử dụng Bổ đề 2.2 với un = zn − xn , q−1 an = βn αn η, q κn+1 bn = M1 |αn+1 − αn | + 2M2 , ηαn sn+1 ta có limn→∞ zn − xn = lim zn = x∗ n→∞ Chú ý: Các dãy αn = (1 + n)−p , < p < 1/2 βn = γ0 αn với 1/(q−1) < γ0 < 1/(cq (2 + α0 )q/(q−1) ) thỏa mãn điều kiện cần Định lí 2.4 q = Trong trường hợp < q < 2, αn = (1 + n)−p 1/(q−1) với p < (q − 1)/(2q) βn = γ0 αn thỏa mãn điều kiện 35 KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn không gian Banach số phương pháp giải toán Đề tài trình bày hai định lý hội tụ mạnh hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn khơng gian Banach Đóng góp tác giả tìm hiểu, nghiên cứu dịch tài liệu [9], đồng thời tổng hợp kiến thức để hoàn thành nội dung luận văn Tác giả kính mong nhận ý kiến góp ý thầy, đồng nghiệp 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Y Alber and I Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer [4] K Aoyama, H Iiduka, and W Takahashi (2006), "Weak convergance of an iterative sequence forr accretive operation in Banach spaces", Fixed Point Theory Application, 2006, Art no 35390 [5] Ng Buong and Ng.T.H Phuong (2012), "Regularization methods for a class of variational inequalities in Banach spaces", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 52, pp 1487–1496 [6] R Chen, Y Song, and H Zhou (2006), Convergence theorems for implicit iteration process for a finite family of continuous pseu- 37 docontractive mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 314(2), pp 701–709 [7] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers Dordrecht [8] G Stampacchia (1964), "Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes", Comptes Rendus de lÁcadémie des Sciences, Paris, 258, pp 4413–4416 [9] Ng.T.T Thuy (2015), "Regularization Methods and Iterative Methods for Variational Inequality with Accretive Operator", Acta Mathematica Vietnamica, DOI 10.1007/s40306-015-0123-2 (Published online: 14 March 2015) [10] H.-K Xu and T.H Kim (2003), "Convergence of hybrid steepestdescent methods for variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 119, pp 85–201 [11] I Yamada (2001), "The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inhently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473– 504 [12] Y Yao, M.A Noor, and Y.-C Liou (2010), "A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities", Applied Mathematics and Computation, 216(3), pp 822–829 ... 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 17 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu 2.1 2.2 21 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu 21 2.1.1 Mô tả phương... "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu" nhằm giới thiệu bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ khơng giãn; trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức. .. 21 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu Nội dung