Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✶ ▼ơ❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✶ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✶✳✶✳ ✶✳✷✳ ✶✳✸✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✷✳✷✳ ✷✳✸✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❚♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✸✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✸✳✷✳ ❱Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✷✸ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✷✳✸✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✳ ✳ ✸✺ ❱Ý ❞ơ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✷ http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✷ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❞➢í✐ t tì ủ ế sỹ ễ ị ❚❤✉ ❚❤đ②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ ✈Ò sù t❐♥ t➞♠ ✈➭ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❝đ❛ ❝đ❛ ❝➠ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t➳❝ ❣✐➯ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❣✐➯♥❣✱ t➳❝ ❣✐➯ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ❝đ❛ ❝➳❝ ●✐➳♦ s➢ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥ t❤✉é❝ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ư ❱✐Ưt ◆❛♠✱ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr♦♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ò ì t tá ❧ß♥❣ ❝➯♠ ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➳❝ ❚❤➬② ❈➠✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ◗✉❛♥ ❤Ư q✉è❝ tÕ✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➠✐ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t ợt q ữ ó tr ộ số ể t➠✐ ❝ã ➤➢ỵ❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ◆❣✉②Ơ♥ ❳✉➞♥ ❇➳❝❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✸ ▼ë ➤➬✉ ❘✃t ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝đ❛ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ư ❞➱♥ tí✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❬✽❪✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❦❤✐ ❞÷ ❦✐Ư♥ t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤á✮ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ữ ệ tí ổ ị ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ sè ❝ñ❛ ♥ã ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✶✮ A(x) = f, tr♦♥❣ ➤ã ①➵ A : X −→ X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ trÞ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ X ∗ ❝đ❛ X ✳ ➜Ĩ ❣✐➯✐ ❧♦➵✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✱ t sử ụ ữ ổ ị s ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ❝đ❛ ❝➳❝ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝➭♥❣ ♥❤á tì ệ ỉ tì ợ ệ ➤ó♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ①✉✃t ♣❤➳t✳ ◆➝♠ ✶✾✻✸✱ ❆✳ ◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❬✾❪ ➤➢❛ r❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ✈➭ ❦Ó tõ ➤ã ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❤Õt sø❝ s➠✐ ➤é♥❣ ✈➭ ❝ã ♠➷t ë ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❧➭ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ H ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ xh,δ α ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ tr♦♥❣ ➤ã + α x − x∗ ✭✷✮ α > ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ h ✈➭ δ ✱ x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝❤♦ tr➢í❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß ❧➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤ä♥ ✈➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (Ah , fδ ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (A, f )✳ http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹ ❍❛✐ ề ợ qết tì ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✈➭ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ t✐Ĩ✉ α = α(h, δ) t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ➤Ĩ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ xh,δ α(h,δ) ❞➬♥ tí✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ h ✈➭ δ ❞➬♥ tí✐ ❦❤➠♥❣✳ ❱✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ sÏ ❣➷♣ ♥❤✐Ò✉ ❦❤ã ❦❤➝♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥✳ ➜è✐ ✈í✐ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ A : X → X ∗ ✱ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤➢❛ r❛ ♠ét ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤đ ②Õ✉ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞♦ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤Ị ①✉✃t ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ♠ét t♦➳♥ tư M : X → X ∗ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t h✲❧✐➟♥ tơ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✳ J s ✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ X ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❤➢ ✈❐②✳ ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②✱ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✶❪ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ Ah : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❱✐Ư❝ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❦❤✐ ✭✸✮ α = α(δ) t❤Ý❝❤ ợ trì ệ Ah A ợ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❜ë✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ˜ p , < p < 1, K ˜ ≥ 1, ρ(α) = Kδ ✈í✐ ρ(α) = α xδα ✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❝ï♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè α = α(δ) ♥❤➢ tr➟♥ ❧➭ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✶✮✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ❬✺❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ t❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ➤é ❧Ö❝❤ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ❝➡ së ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ρ(α) = δ p α−q , < p ≤ q ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ ①Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ Ah ≡ A✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ A : X → X ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ ♥❣➢ê✐ t❛ sö ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❬✷❪ Ah (x) + αx = fδ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✺ tr♦♥❣ ➤ã Ah : X −→ X ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ D(Ah ) = D(A)✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ổ ị trì t tử ✭✵✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❧➭ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❬✸❪✳ ❈➳❝ ✈✃♥ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ➤Ị ❝❐♣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭✿ ✶✳ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✵✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡❀ ✷✳ ❙ù ❤é✐ tơ ✈➭ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤❀ í ụ số ộ ợ trì ❜➭② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✶❪ ✈➭ ❬✷❪✱ tr×♥❤ ❜➭② tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ø♥❣ ✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ❬✺❪ ✈➭ ❬✻❪✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ơ sè ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✻ ▼ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t H ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ X∗ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ Rn ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ∅ t❐♣ rỗ X n ề x := y x ợ ị ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y ∀x ✈í✐ ♠ä✐ ∃x tå♥ t➵✐ inf F (x) x∈X x x ✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣ {F (x) : x ∈ X} I ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ AT ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥ a∼b a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b A∗ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư D(A) ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư R(A) ♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư xk → x xk x ❞➲② A A A A {xk } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x ❞➲② {xk } ❤é✐ tơ ②Õ✉ tí✐ x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✼ ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ö✉ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ✈í✐ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) = X ✈➭ ♠✐Ị♥ ➯♥❤ R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✸❪✱ ị ĩ tử A ợ ❣ä✐ ❧➭ ✭✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); ✭✶✳✶✮ ✭✐✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝❤➷t ✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ (1.1) ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❦❤✐ x = y❀ ✭✐✐✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ò✉ ✭✉♥✐❢♦r♠❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ δ(t) ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐ t ≥ 0, δ(0) = ✈➭ A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y , ∀x, y ∈ D(A); ◆Õ✉ δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮❀ ✭✐✈✮ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ♥Õ✉ A(x) − A(y) ≤ x − y ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳ ◆Õ✉ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝đ❛ t♦➳♥ tư✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✽ ❱Ý ❞ơ ✶✳✶ A : RM → RM ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❚♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A = B T B, ✈í✐ B ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷ ♥Õ✉ ❚♦➳♥ tö ✭❞❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ tr➟♥ X ♥Õ✉ tõ xn → x s✉② r❛ A(xn ) tr➟♥ X A(x) ❦❤✐ n → ∞✳ ❍➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥✿ ϕ(x, y) = xy ♥Õ✉ (x, y) = (0, 0) (x2 + y ) 0 ❧➭ ✭❤❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ A(x) ❦❤✐ t → ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ d✲❧✐➟♥ tơ❝ A(x + ty) ❱Ý ❞ơ ✶✳✷ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ♥Õ✉ (x, y) = (0, 0) h✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸ ❚♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈❡✮ ♥Õ✉ lim ||x||→+∞ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹ A(x), x = +∞, ∀x ∈ X ||x|| ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉ ❤é✐ tô ②Õ✉ tô ♠➵♥❤ (xn X ♣❤➯♥ ①➵ ✈➭ tr♦♥❣ X tõ sù x) ✈➭ sù ❤é✐ tô ❝❤✉➮♥ ( xn → x ) ❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐ ( xn − x → 0)✳ ❱Ý ❞ô ✶✳✸ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺ ❱í✐ ∗ s ≥ 2✱ ➳♥❤ ①➵ J s : X −→ 2X ✭♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ➤❛ trị ợ ị ĩ J s (x) = {x ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ x ; x∗ = x ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❧➭ s−1 }, ✭✶✳✷✮ X ✳ ❑❤✐ s = t❤× J s J ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ✳ ❚Ý♥❤ ➤➡♥ trÞ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✾ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✶✮ J(x) ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ J(λx) = λJ(x), ✈í✐ ♠ä✐ λ > 0❀ ✷✮ J ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➳ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ●✐➯ sư X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤× X∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳ ❚r♦♥❣ J = I ✲t♦➳♥ tư ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ X✳ ♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ơ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ♥ã tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ◆Õ✉ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ X X∗ J : X → X∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❜ø❝ ✈➭ J ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× d✲❧✐➟♥ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ệ t ệ t tử ệ ò ợ ♠➠ t➯ ❞ù❛ tr➟♥ ➤å t❤Þ t♦➳♥ tư tơ❝✳ ❍➡♥ Gr(A) ❝đ❛ A tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ tÝ❝❤ X × X ∗ ✱ tr♦♥❣ ➤ã Gr(A) = {(x, A(x)) : x X} ị ĩ tử A ợ ọ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) ❚❐♣ Gr(A) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳ ◆Õ✉ Gr(A) ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø❛ t❤ù❝ sù tr♦♥❣ ♠ét t❐♣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➭♦ ❦❤➳❝ tr♦♥❣ X × X ∗ t❤× t♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ö✉ A : X → X∗ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ g − f, y − x0 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A), s✉② r❛ x0 ∈ D(A) ✈➭ f ∈ A(x0 )✳ ▼ét ✈Ý ❞ơ ➤✐Ĩ♥ ❤×♥❤ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼ ❍➭♠ F : X → R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✶✵ ✭✐✮ ❧å✐ tr➟♥ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X t❛ ❝ã ✭✶✳✸✮ F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1]; ✭✐✐✮ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ X ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ①➯② r❛ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ✈í✐ x = y❀ ✭✐✐✐✮ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥ X ♥Õ✉ lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X; y→x ✭✐✈✮ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ tr➟♥ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {xn } : xn x t❤× lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X n→∞ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ F : X → R ❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥ X ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ∂F (x) ❜ë✐ ∂F (x) = x∗ ∈ X ∗ : F (x) − F (y) ≤ x − y, x∗ , ∀y ∈ X , ∀x ∈ X, ✭✶✳✹✮ P❤➬♥ tö x∗ ∈ X ∗ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t ❝đ❛ ❤➭♠ F t➵✐ x ✈➭ ∂F (x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ F t➵✐ x✳ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥ ❝ù❝ ➤➵✐ tõ X ❚♦➳♥ tư ✈➭♦ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ X✳ ◆Õ✉ F :X →R X∗ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✱ X ✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ∂F ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ X ∗✳ A ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♠✐Ị♥ ➯♥❤ ❝đ❛ A + λJ ❧➭ t♦➭♥ ❜é ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ∗ ✱ ➤ã ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦ ✈➭ ❧å✐ ❝❤➷t✱ J : X → X∗ X ✈➭ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ X ∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵ A X✱ A : X → X∗ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø λ > 0✱ R(A + λJ) ❧➭ t♦➭♥ ❜é X ∗ ✳ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜✃t ❝ø ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❝❤➷♥ ♥➭♦ tõ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❜Þ X ✈➭♦ X ∗ ❝ị♥❣ ➤Ị✉ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✷✾ ✷✳✷✳ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✷✳✷✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tơ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✷✳✶✮ ✈í✐ A : X −→ X ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ã ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ D(A) = X ✱ tr♦♥❣ ➤ã X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝ã tÝ♥❤ ①✃♣ ①Ø✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ J : X −→ X ∗ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ✇✲t♦✲✇ tr➟♥ X ✳ ●✐➯ sö ❝➯ t♦➳♥ tö ①✃♣ ①Ø ❜ë✐ A ✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐ f ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ ➤Ị✉ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ (Ah , fδ )✱ tr♦♥❣ ➤ã Ah : X −→ X ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ ♠ä✐ h > 0, D(Ah ) = D(A) = X t❤á❛ ♠➲♥✿ ||fδ − f || ≤ δ, ✭✷✳✶✼✮ ||A(x) − Ah (x)|| ≤ g(||x||)h, ∀x ∈ X, ✭✷✳✶✽✮ ✈➭ tr♦♥❣ ➤ã g(t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✷✳✶✾✮ Ah (x) + αx = fδ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✸ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ●✐➯ sö tÝ♥❤ ①✃♣ ①Ø✱ X∗ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ❝ã ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ❧å✐ ❝❤➷t✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ tr➟♥ X ✱ Ah ❧➭ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ X✱ X ✈➭ J : X −→ X ∗ X∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ✇✲t♦✲✇ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(Ah ) = X ✳ ❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ (2.19) ó t ệ ỗ h > > ✈➭ α > 0✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿❱× Ah ❧➭ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã✿ J(x), Ah (x) + αx = Jx, Ah (x) − Ah (θX ) + Ah (θX ) + αx = J(x − θX ), Ah (x) − Ah (θX ) ✭✷✳✷✵✮ + J(x), Ah (θX ) + J(x), αx ≥ −||x||.||Ah (θX )|| + α||x||2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✵ ❚õ ✭✷✳✷✵✮ s✉② r❛ t♦➳♥ tö T = Ah + αI ❝ị♥❣ ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈➭ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❜ø❝✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✾ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✾✮ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ xτα , τ = (δ, h) ✈í✐ ♠ä✐ α > 0✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ❝ị♥❣ tõ ✭✷✳✷✵✮ t❛ s✉② r❛ Ah + αI ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♠➵♥❤✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ❈❤ó ý ✶✳✷ s✉② r❛ ♥❣❤✐Ö♠ xτα ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✱ ✈➭ Ah (xτα ) + αxτα = fδ ✭✷✳✷✶✮ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ợ ị ý s ị í ✷✳✹ ①Ø✱ X∗ ●✐➯ sö X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ❝ã tÝ♥❤ ①✃♣ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ X✱ X ✈➭ X∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✱ J : X −→ X ∗ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ✇✲t♦✲✇ tr➟♥ X ✱ A ✈➭ D(A) = D(Ah ) = X ✱ f, fδ ∈ X δ+h → ✈➭ α → t❤× ♥❣❤✐Ư♠ xτα t❤á❛ ♠➲♥ (2.17)✱ (2.18)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ α ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ (2.19) ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ∈ S0 ✱ ✈í✐ x0 Ah ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (2.1) t❤á❛ ♠➲♥✿ J(x0 − x0 ), x0 ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤Ø r❛ ♣❤➬♥ tö ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö tå♥ t➵✐ x0 t❤á❛ ♠➲♥ ✭✷✳✷✷✮ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ x00 , x0 = x00 ✈➭ J(x00 − x0 ), x00 ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 ❚r♦♥❣ ✭✷✳✷✷✮ ❝❤ä♥ ✭✷✳✷✸✮ x00 = x0 t❛ ➤➢ỵ❝ ✭✷✳✷✹✮ J(x0 − x00 ), x0 ≤ ❚r♦♥❣ ✭✷✳✷✸✮ ❝❤ä♥ ✭✷✳✷✷✮ x0 = x0 t❛ ➤➢ỵ❝ ✭✷✳✷✺✮ J(x00 − x0 ), x00 ≤ ❈é♥❣ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✷✹✮ ✈➭ ✭✷✳✷✺✮ t❛ ➤➢ỵ❝✿ ≥ J(x0 − x00 ), x0 − x00 = ||x0 − x00 ||2 ⇒ ||x0 − x00 || = ⇔ x0 = x00 ❱❐② x0 t❤á❛ ♠➲♥ ✭✷✳✷✷✮ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✶ ❇➞② ❣✐ê ❧✃② tï② ý x0 ∈ S0 ❚õ ✭✷✳✶✮ ✈➭ ✭✷✳✷✶✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J(xτα − x0 ), f δ − αxτα − f + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 ✭✷✳✷✻✮ = J(xτα − x0 ), f δ − f − α J(xτα − x0 ), x0 ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ñ❛ Ah ✈➭ ✭✷✳✶✼✮✱ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ❝ã✿ J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − Ah (x0 ) + J(xτα − x0 ), Ah (x0 ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 ≥ α xτα − x0 − xτα − x0 g( x0 )h, ✭✷✳✷✼✮ ✈➭ J(xτα − x0 ), f δ − f − α J(xτα − x0 ), x0 ≤ δ xτα − x0 + α xτα − x0 ✭✷✳✷✽✮ x0 ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✷✳✷✻✮✱ ✭✷✳✷✼✮ ✈➭ ✭✷✳✷✽✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ α xτα − x0 − hg( x0 ) xτα − x0 ≤ δ xτα − x0 + α xτα − x0 ❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦ xτα − x0 ≤ x0 , ∀α > α xτα − x0 t❛ ➤➢ỵ❝ h δ + g( x0 ) + x0 , ∀α > 0, α α ❤❛② xτα ≤ ❚õ ✭✷✳✷✾✮ t❛ s✉② r❛ ❞➲② δ h + g( x0 ) + x0 α α ✭✷✳✷✾✮ {xτα } ❜Þ ❝❤➷♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ X ✳ {xτα } ❤é✐ tô ②Õ✉ ➤Õ♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư x ❝đ❛ h+δ X ✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tỉ♥❣ q✉➳t t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝♦✐ {xτα } x ❦❤✐ α → 0, → α ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❝đ❛ ❞➲② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✷ ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư Ah ✈í✐ ♠ä✐ h > 0✱ tõ ✭✷✳✷✶✮ t❛ ❝ã J(x − xτα ), Ah (x) − Ah (xτα ) = J(x − xτα ), Ah (x) + αxτα − fδ ≥ 0, ∀x ∈ X ❱× ✭✷✳✸✵✮ J ❧➭ t♦➳♥ tư ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ✇✲t♦✲✇✱ ♥➟♥ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮ ❝❤♦ α → t❛ ➤➢ỵ❝ x − x, A(x) − f ≥ 0, ∀x ∈ X ▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➟♥ ✭✷✳✸✶✮ A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(A) = X ✱ A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ù❝ ➤➵✐ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✽✮✳ ❑❤✐ ➤ã tõ ✭✷✳✸✶✮ t❛ s✉② r❛ f = A(x) ❤❛② x ∈ S0 ❚õ ✭✷✳✷✻✮ ✈í✐ x0 = x, t❛ ❝ã J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J(xτα − x), Ah (xτα ) − A(x) + α J(xτα − x), xτα − x ≥ −g( x )h xτα − x + α xτα − x ✈➭ J(xτα − x0 ), fδ − f − α J(xτα − x0 ), x0 = J(xτα − x), fδ − αxτα − f + α J(xτα − x), xτα − x ≤ δ xτα − x − α J(xτα − x), x ❚õ ➤ã s✉② r❛ xτα − x ≤ δ τ h xα − x + g( x ) xτα − x − J(xτα − x), x ✭✷✳✸✷✮ α α {xτα } ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ ❤é✐ tơ ②Õ✉ ✈Ị x ∈ S0 ❚õ ✭✷✳✸✷✮ t❛ ❝ò♥❣ s✉② r❛ h+δ {xτα } ❤é✐ tơ t❤❡♦ ❝❤✉➮♥ ✈Ị x ❦❤✐ α → 0, → 0✳ ❱❐② {xτα } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ α h+δ ✈Ò x ❦❤✐ α → 0, → ▼➷t ❦❤➳❝ tõ ✭✷✳✷✻✮ t❛ ❝ã α ❙✉② r❛ ❞➲② J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα = J(xτα − x0 ), fδ − f ⇔ −g( x0 )h xτα − x0 + α J(xτα − x0 ), xτα ≤ δ xτα − x0 ⇔ J(xτα − x0 ), xτα ≤ δ h + g( x0 ) α α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên xτα − x0 , ∀x0 ∈ S0 http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✸ ❈❤♦ h+δ → t❛ ➤➢ỵ❝ α α → 0, J(x − x0 ), x ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 ➜✐Ò✉ ➤ã ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ h+δ → α 0, ✷✳✷✳✷✳ x = x0 ✳ ❱❐② ❞➲② {xτα } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ x0 ❦❤✐ α → ✷ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t♦➳♥ tư A ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ≡ Ah ✈➭ ♣❤➬♥ tö x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tö ❦❤➠♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ X ✳ ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ã ❞➵♥❣✿ A(x) + α(x − x∗ ) = fδ , fδ − f ≤ δ → 0, ë ➤➞② ✭✷✳✸✸✮ α > ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ t♦➳♥ tư A t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ A(y) − A(x0 ) − QA (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ τ y − x0 A (x0 )∗ J(y − x0 ) , ✭✷✳✸✹✮ ✈í✐ ∀y ∈ S(x0 , r)✲❤×♥❤ ❝➬✉ t➞♠ x0 ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r = x0 − x∗ + ε, ε > ❚r♦♥❣ ➤ã τ > ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ✈➭ Q ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ X ∗ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✺ ✐✮ ✭①❡♠ ❬✻❪✮ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✿ A ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ A ✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ z∈X (2.34)✱ ✈➭ s❛♦ ❝❤♦ A (x0 )z = x∗ − x0 ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α ∼ δ θ ✱ < θ < 1, ✈➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ δ1 ✈í✐ τ ( x0 − x∗ + δ11−θ ) < t❤× θ xδα(δ) − x0 = O(δ µ ), µ = min{1 − θ, } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✹ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư xδα − x0 J ✱ ✭✷✳✶✮✱ ✭✷✳✸✸✮✱ A ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ii) ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý t❛ ❝ã✿ δ δ xα − x0 + x∗ − x0 , J(xδα − x0 ) α δ δ xα − x0 + z, A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ α ≤ ✭✷✳✸✺✮ ▼➷t ❦❤➳❝✱ z, A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ z ✈➭ tõ A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) , (2.1), (2.33), tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ñ❛ t♦➳♥ tư A ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ J t❛ ➤➢ỵ❝ δ α + c1 δ 1−θ xδα − x0 ≤ x∗ − x0 + ≤ x∗ − x0 ≤ x∗ − x0 + δ11−θ , c1 > 0, ✈í✐ δ ➤đ ♥❤á✳ ❙ư ❞ơ♥❣ (2.34) t❛ s✉② r❛ A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) = QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ A(xδα ) − f + τ xδα − x0 QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ A(xδα ) − f δ + δ + τ xδα − x0 QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ (α xδα − x∗ + δ) 1−θ − τ ( x0 − x∗ + δ1 ) ✭✷✳✸✻✮ ❙✉② r❛✱ tõ (2.35)✱ sù ❜Þ ❝❤➷♥ ❝đ❛ xδα ❦❤✐ α, δ θ > δ ❦❤✐ δ < t❛ s✉② r❛ xδα − x0 δ → 0✱ tõ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ α ∼ δ θ ✈➭ α ≤ c1 δ 1−θ xδα − x0 + c2 δ θ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✸✺ tr♦♥❣ ➤ã ci ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❤Ư t❤ø❝ a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) t❛ t❤✉ ợ x x0 = O( ), = , , ị ý ợ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷ ❈❤ó ý ✷✳✶✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ x0 − x∗ + δ 1−θ < ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ t❤✐Õt ♥Õ✉ ➤✐Ị✉ τ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✸✹✮ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❜ë✐ A(y) − A(x) − QA (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ τ A(y) − A(x0 ) , ∀y ∈ X ✭✷✳✸✼✮ ❚❤❐t ✈❐②✱ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✸✻✮ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❜ë✐ A (x0 )∗ J(y − x0 ) = QA (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ A(xδα ) − f + A(xδα ) − A(x0 ) − QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ (τ + 1) A(xδα ) − fδ + δ ≤ (τ + 1) α xδα − x∗ + δ ❈❤ó ý ✷✳✷✳ ◆Õ✉ t❤➟♠ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✶✮ ❝❤Ø ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ✇✲t♦✲✇✱ t❤× ❞➲② ♥❣❤✐Ư♠ x0 ✈➭ J ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t xδα ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ x0 ❦❤✐ α✱ δ/α → 0✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❛② ❝❤♦ ✭✷✳✸✻✮ t❛ ❝ã A (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ a α xδα − x∗ + δ , ❜ë✐ ✈× ✷✳✷✳✸✳ τ xδα − x∗ ≤ 1/2 ✈í✐ α, δ ➤đ ❜Ð✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭②✱ t❛ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✭✷✳✶✾✮ ❜ë✐ An (x) + α(x − xn∗ ) = fδn , x ∈ Xn , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✭✷✳✸✽✮ http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✻ ë ➤➞②✱ fδn = Pn fδ ✱ xn∗ = Pn x∗ ✱ An = Pn APn ✱ Pn ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❧➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ Xn ❝ñ❛ X ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t X1 ⊂ X2 ⊂ ⊂ Xn ⊂ ⊂ X ✱ Pn x → x✱ ∀x ∈ X ✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ Pn ị ề tr X ì A t tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥➟♥ An ❝ị♥❣ ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❉♦ ✈❐② sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ xδα,n ❝đ❛ ✭✷✳✸✽✮ ✈➭ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ xδα,n ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ xδα ❝đ❛ ✭✷✳✶✾✮ ỗ > ợ ứ t tự ♣❤➬♥ tr➟♥✳ ◆❣✉②Ô♥ ❇➢ê♥❣ ❬✻❪ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ α, δ → ✈➭ n → ∞ tì ệ ệ ỉ ữ x,n ộ tụ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮✳ ➜➷t γn (x) = (Pn − I)x , x ∈ X, γn = max γn (x0 ), γn (f ) ●✐➯ sư ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ J t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ö♥ J(x) − J(y) ≤ C(R) y − x ν , < ν ≤ 1, ë ➤➞② ✭✷✳✸✾✮ Cν(R)✱ R > ❧➭ ❤➭♠ t➝♥❣ tr➟♥ R = max{ x , y }✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ ✈Ị tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ỉ ữ ề ị í ✐✐✮ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✿ A ❧✐➟♥ tơ❝✱ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ A A(Xn ) ➤➢ỵ❝ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ Xn ✐✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư z∈X ✈í✐ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (2.37)✱ n ➤đ ❧í♥✱ s❛♦ ❝❤♦ A (x0 )z = x∗ − x0 , ✐✈✮ t❤❛♠ sè α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥ α ∼ (δ + γn )θ1 ✱ < θ1 < 1✳ ❑❤✐ ➤ã✱ xδα,n − x0 = O((δ + γn )µ1 ) + γnν/2 , µ1 = − θ1 , ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿➜➷t θ1 xn0 = Pn x0 ✳ ❚õ ✭✷✳✸✽✮✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư An ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t J n (x) = J(x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Xn ✱ ë ➤➞② J n = Pn∗ JPn ❧➭ ➳♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✼ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ xδα,n − xn0 Xn ✱ Pn∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ Pn ✱ t❛ s✉② r❛ = xδα,n − xn0 , J n (xδα,n − xn0 ) = fδn − An (xδα,n ), J n (xδα,n − xn0 ) + xn∗ − xn0 , J n (xδα,n − xn0 ) α ≤ fδn − An (xn0 ), J n (xδα,n − xn0 ) + xn∗ − xn0 , J n (xδα,n − xn0 ) α ≤ Pn∗ (fδ − f + A(x0 ) − A(xn0 )), J n (xδα,n − xn0 ) α + x∗ − x0 , J(xδα,n − xn0 ) ✭✷✳✹✵✮ ❚õ ✭✷✳✹✵✮ s✉② r❛ ❞➲② s❛♦ ❝❤♦ {xδα,n } ❜Þ ❝❤➷♥✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ M xδα,n − xn0 ≤ M ✳ ❚õ ✭✷✳✸✼✮ ✈➭ xn0 → x0 ❦❤✐ n → ∞ t❛ ❝ã A(xn0 ) − A(x0 ) ≤ A (x0 + βn βxn0 ) γn (x0 ), < βn < 1, ✈➭ A (x0 + βn xn0 ) ≤ C0 ✱ ✈í✐ C0 ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✱ ✈× A ❧➭ t♦➳♥ tư ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ x0 ✳ ❉♦ ➤ã tõ ✭✷✳✹✵✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ xδα,n − xn0 ≤ δ + C0 γn (x0 ) δ xα,n − xn0 + x∗ − x0 , J(xδα,n − xn0 ) α ✭✷✳✹✶✮ ❚õ ✭✷✳✸✾✮ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✐✐✐✮ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s✉② r❛ x∗ − x0 , J(xδα,n − xn0 ) = z, A (x0 )∗ (J(xδα,n − xn0 ) − J(xδα,n − x0 )) + z, A (x0 )∗ J(xδα,n − x0 ) ˜ z (γn (x0 ))ν + z ≤ C0 C(R) ë ➤➞② A (x0 )∗ J(xδα,n − x0 ) , ˜ ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✱ R ˜ > R + γn (x0 )✳ R ▼➷t ❦❤➳❝✱ A (x0 )∗ J(xδα,n − x0 ) ≤ (τ + 1) A(xδα,n ) − A(x0 ) ≤ (τ + 1) An (xδα,n ) − f n + cγn (f ) ≤ (τ + 1) α xδα,n − xn∗ + c(δ + γn (f )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✽ ✈í✐ n ➤đ ❧í♥✳ ❱× ✈❐② tõ ✭✷✳✹✶✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ xδα,n − xn0 ≤ C1 (δ + γn )1−θ1 xδα,n − xn0 + C2 (δ + γn )θ1 + γnν , Ci > 0, i = 1, ❙✉② r❛ xδα,n − xn0 = O(( + n )à1 + n/2 ) ì x,n − x0 = O((δ + γn )µ1 + γnν/2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✾ ✷✳✸✳ ❱Ý ❞ơ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ sè ➳♣ ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤Ĩ ①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤♦ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♣❤➬♥ tư x0 ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ ✭✷✳✹✷✮ A(x0 ) = f0 , ë ➤➞② A ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ n✱ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈➭ ❝ã ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❜➺♥❣ ✵✱ f0 ✈➭ = θ ∈ Rn ✳ ❑❤✐ ➤ã ✭✷✳✹✷✮ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ x0 = ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ã ❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t ❝đ❛ ✭✷✳✹✷✮✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ✭✷✳✹✷✮ ❝ã ❞➵♥❣✿ ✭✷✳✹✸✮ Ah (x) + αx = fδ ❈ơ t❤Ĩ✱ ✈í✐ M = 5✱ ♠❛ tr❐♥ A ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ A = B T B ✈í✐ −2 11 8 B = 1 5 −1 ❳✃♣ ①Ø ✈Õ ♣❤➯✐ T f0 = 0 0 ∈ R5 ❜ë✐ fδ = 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 ✈➭ ①✃♣ ①Ø T ∈ R5 A ❜ë✐ Ah = A + hI, h = 10−4 ✭I ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ ❝✃♣ ✺✮✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø xδα ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ tr♦♥❣ ❬✶✵❪ ✈í✐ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ❞➲② ❧➷♣ ❧➭ (m+1) max1≤j≤5 |xj (m) − xj | ≤ ε✱ ε ❧➭ s❛✐ sè ❝❤♦ tr➢í❝✳ • ❱í✐ t❤❛♠ sè δ = 0.0001✱ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø ❧➭✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✵ ✈í✐ ①1 ✵✳✵✵✵✺✽✶✼✾ ①2 ✲✵✳✵✵✵✶✶✹✸✹ ①3 ✵✳✵✵✵✶✵✾✾✶ ①4 ✵✳✵✵✵✺✽✶✼✾ ①5 ✼✳✷✹✼✼×10−5 126 ❧➬♥ ❧➷♣✱ s❛✐ sè ε = 9.7737 × 10−6 ✳ • ❱í✐ t❤❛♠ sè δ = 0.00001✱ ♥❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø ❧➭✿ ✈í✐ ①1 ✵✳✵✵✵✸✼✷✶✶ ①2 ✲✵✳✵✵✵✷✺✽✶✾ ①3 ✲✼✳✵✸✸✷×10−5 ①4 ✵✳✵✵✵✸✼✷✶✶ ①5 ✲✾✳✼✸✼✹×10−5 127 ❧➬♥ ❧➷♣✱ s❛✐ sè ε = 9.7399 × 10−6 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✶ ❑Õt ❧✉❐♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tử rt trì ị ý ề ộ tơ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ✈➠ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ P❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✷ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ✭✶✾✼✺✮✱ ✬✬❖♥ s♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡✬✬✱ ❙✐❜✐r✐❛♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❏♦✉r♥❛❧✱ ✱ ✸✲✶✶✳ ✷✻ ❬✷❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ✭✶✾✼✼✮✱ ✧❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❜② t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ♦♣✲ ❡r❛t♦r ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✐rst ❦✐♥❞ ✇✐t❤ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ✱ ✶✸✵✵✲✶✸✵✸✳ ✶✸ ❬✸❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❛♥❞ ■✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ✭✷✵✵✻✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ t②♣❡✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✹❪ ❱✳ ❇❛r❜✉ ✭✶✾✼✻✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r s❡♠✐❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱ ❊❞✐t✉r❛ ❆❝❛❞❡♠✐❡✐✱ ❘♦♠❛♥✐❛✳ ❬✺❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ✬✬❖♥ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s✬✬✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ❙✐♥✐❝❛✱ ✷✶ ✭✺✮✱ ✶✵✵✶✲✶✵✵✹✳ ❬✻❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ✬✬❖♥ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✬✬✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✭✶✮✱ ✶✲✶✵✳ ✶✶ ❬✼❪ ■✳ ❊❦❡❧❛♥❞ ❛♥❞ ❘✳ ❚❡♠❛♠ ✭✶✾✼✻✮✱ ❈♦♥✈❡① ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✱ ❆♠st❡❞❛♠✿ ◆♦rt❤ ❍♦❧❧❛♥❞✳ ❬✽❪ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✭✶✾✸✷✮✱ ✧▲❡ ♣r♦❜Ð♠❡ ❞❡ ❈❛✉s❤② ❡t ❧❡s ❡sq✉❛t✐♦♥s ❛✉① ❞Ðr✐✈Ð❡s ♣❛rt✐❡❧❧❡s ❧✐♥Ð❛✐r❡s ❤②♣❡r♣♦❧✐q✉❡s✧✱ ❍❡r♠❛♥♥✱ P❛r✐s✳ ❬✾❪ ❆✳ ◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✭✶✾✻✸✮✱ ✬✬❖♥ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✬✬ ❉♦❦❧✳ ❆❦❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❆✱ ✱ ✺✵✶✲✺✵✹ ✭❘✉s✲ ✶✺✶ s✐❛♥✮✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✸ ❬✶✵❪ ◆❣✳ ❚✳ ❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✵✮✱ ✧❆♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♥✈❡rs❡✲str♦♥❣❧② ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✧✱ ❆❞✈❛♥❝❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙✐❡♥❝❡s✱ ✶✻✺✲✶✼✹✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✺ tr♦♥❣ ➤ã Ah : X −→ X ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ D(Ah ) = D(A)✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ổ ị trì t tử ✈í✐ t♦➳♥ tư... xτα Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✷✻ ❉♦ A ✈➭ Ah ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✵✮ t❛ ♥❤❐♥... θ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✸✺ tr♦♥❣ ➤ã ci ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❤Ư t❤ø❝ a, b, c ≥ 0, p > q, ap