Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 2 và phương trình liên hợp của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THÁI SƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NĨ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS Đào Thị Liên Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NĨ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phương trình vi phân đại số số 1.3 Phân rã phương trình 1.4 Các phép chiếu tắc 10 1.5 Cách giải phương trình vi phân đại số số 14 1.6 Phương trình liên hợp phương trình số 17 1.7 Tính giải phương trình liên hợp 18 1.8 Định nghĩa số cho phương trình liên hợp 26 1.9 Hệ nghiệm 28 1.10 Mối quan hệ hệ nghiệm 36 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NĨ 40 2.1 Đặt vấn đề 40 2.2 Khái niệm 43 2.3 Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình số 50 2.4 Các phép chiếu tắc 56 2.5 Ma trận 57 2.6 Phương trình liên hợp 59 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Đào Thị Liên Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thành kính đến Cô Cô không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà Cơ cịn thơng cảm tạo điều kiện động viên tơi suốt q trình làm luận văn Cũng xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tơi quan tâm giúp đỡ thời gian học tập hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo viện Tốn học Việt Nam, thầy giáo khoa sau Đại học khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên dạy bảo em tận tình suốt trình học tập trường Bản luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên Phạm Thái Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong vài thập kỷ gần đây, vấn đề thời nhiều nhà toán học quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể phương diện lý thuyết áp dụng, phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số xuất phát từ nhu cầu giải toán thực tế kỹ thuật mở rộng phương trình vi phân thường Luận văn tập hợp kết phương trình vi phân đại số số 1, số phương trình liên hợp chúng Trong lý thuyết phương trình vi phân thường, xét phương trình: Ax + Bx = (1) với hệ số liên tục A, B: I ⊆ R −→ L(Cm ), A khơng suy biến, có phương trình liên hợp −(A∗ y) + B∗ y = (2) Để có phương trình (2), ta thực phép biến đổi phương trình (1) dạng x + A−1 Bx = Phương trình liên hợp −z + B∗ A−1∗ z = Cuối ta đặt A−1∗ z = y Mỗi cặp nghiệm phương trình gốc phương trình liên hợp có đồng thức Lagrange z∗ (t)x(t) = z∗ (t0 )x(t0 ) Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính dx = A(t)x dt Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (3) http://www.lrc-tnu.edu.vn với A ∈ C(I, L(Cm , Cm )), I = [t0 , +∞) Phương trình dạng dy = −A∗ (t)y dt (4) với A∗ (t) = A−T (t) gọi phương trình vi phân liên hợp phương trình (3) Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số Khi người ta đạt nhiều kết quan trọng tồn nghiệm phương trình liên hợp mối quan hệ nghiệm bản, đặc biệt đáng ý đồng thức Lagrange Trong báo [2] [3], K.Balla chứng minh rằng: phương trình vi phân đại số tuyến tính số với hệ số khả vi, tồn phương trình vi phân đại số mà ta gọi phương trình vi phân đại số liên hợp nó, cho với cặp nghiệm phương trình vi phân đại số gốc phương trình vi phân đại số liên hợp thỏa mãn đồng thức mà xem tương tự hóa đồng thức Lagrange Bài báo [1] K.Balla R.Marz phát triển tiếp kết đạt hai báo Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi hệ số, tác giả phương trình liên hợp phương trình vi phân đại số số giải tính trơn xuất định nghĩa - điều kiện yếu tính khả vi hệ số Đồng thời tác giả chứng minh đồng thức tương tự đồng thức Lagrange, với phép chiếu khả vi tùy ý, kết trình bày khơng gian phức Thay cho ma trận xảy thiết lập tiêu chuẩn, thuật ngữ phương trình vi phân tuyến tính xuất cặp ma trận Khi khái niệm số đưa cho hệ phương trình Các hệ số giả thiết liên tục vài khơng gian có số chiều phải khả vi liên tục Cách giải toán có số cao Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chứng minh nhờ vào phương trình có số thấp Nghiệm đại diện phải dựa nghiệm số phương trình vi phân thường qui xác định kiện toán Các giả thiết cho cách giải phải thống phương trình gốc phương trình liên hợp Cả hai phương trình có số giống đồng thời triệt tiêu Ma trận nghiệm thỏa mãn mối ràng buộc tổng quát hóa đồng thức Lagrange Bản luận văn chia làm chương: Chương 1: Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Chương trình bày kiến thức sở, khái niệm phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp nó; chứng minh tính chất quan trọng phép chiếu tắc, chứng minh tồn nghiệm tốn giá trị ban đầu phương trình liên hợp Chương 2: Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Chương nêu khái niệm phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp nó; đưa cách giải tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân đại số số 2; trình bày mối quan hệ hệ nghiệm phương trình số phương trình liên hợp Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học hạn chế nên luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Phương trình A(t)x (t) + B(t)x(t) = q(t) (1.1.1) + A, B ∈ C(I, L(Cm , Cm )), detA(t) = 0, ∀t ∈ I + x = colon(x1 , , xm ), q(t) = colon(q1 (t), , qm (t)), gọi phương trình vi phân đại số tuyến tính Phương trình vi phân đại số tuyến tính gọi có dạng chuẩn có dạng (1.1.1) 1.1.2 Định nghĩa Ma trận hàm Q ∈ C(I, L(Cm , Cm )) gọi phép chiếu Q2 = Q, ∀t ∈ I Kí hiệu P = I − Q với I ma trận đơn vị cấp m, P phép chiếu, PQ = Nếu Q phép chiếu imQ ⊕ kerQ = Cm Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Định nghĩa Số tự nhiên k gọi số ma trận A số bé thỏa mãn kerAk = kerAk+1 Kí hiệu số ma trận A ind(A), ind(A) = k : kerAk = kerAk+1 1.1.4 Định nghĩa Cặp ma trận {A, B} gọi quy det(zA + B) khơng đồng thời triệt tiêu với z, tức tồn z0 ∈ C cho det(z0 A + B) = 1.1.5 Định nghĩa Nếu cặp {A, B} quy det(cA + B) = với c ∈ C ind (cA + B)−1 A gọi số cặp {A, B} Như ind {A, B} = ind (cA + B)−1 A với c ∈ C 1.2 Phương trình vi phân đại số số 1.2.1 Định nghĩa Phương trình A(Px) + (B − AP )x = q (1.2.1) A, B : I −→ L(Cm , Cm ), f : I −→ Cm ma trận hàm thỏa mãn giả thiết sau: (T1 ) dimimA(t) = r < m, ∀t ∈ I (T2 ) Cặp ma trận (A(t), B(t)) quy số với ∀t ∈ I (T3 ) Tồn phép chiếu Q ∈ C1 (I, L(Cm , Cm )) lên kerA, gọi phương trình vi phân đại số tuyến tính số chuyển (index-1 tractable) 1.2.2 Ví dụ Xét phương trình A(Px) + (B − AP )x = q (1.2.2) A(t) = t ; t B(t) = ; q= t t +1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m = 2, Q phép chiếu lên kerA, P = I − Q Ta có (T1 ) dimimA(t) = < 2, ∀t (T2 ) {A(t), B(t)} quy, tồn ∈ C thỏa mãn det(0A(t) + B(t)) = −1 = 0, ∀t Khi đó, kerA(t) = x ∈ C2 : A(t)x = = (−tx2 , x2 )T : x2 ∈ C , imA(t) = z ∈ C2 : z = A(t)x = (z1 , z1 )T : z1 ∈ C Giả sử x ∈ S(t) ∩ kerA(t), S(t) = {z ∈ Cm : B(t)z ∈ imA(t)} , ∀t ∈ I ⇒ x ∈ kerA(t) : Bx ∈ imA(t), ∀t ∈ I ⇔ x = (−tx2 , x2 )T x = (z1 , z1 )T ⇔ −tx2 = x2 , ∀t ∈ I ⇔ x2 = ⇔ x = ⇒ S(t) ⊕ kerA(t) = C2 ⇔ ind(A(t), B(t)) = ∀t ∈ I (T3 ) Tồn Q= −t −t(t + 1) −1 1−t ∈ C1 (I, L(C2 , C2 )) phép chiếu lên kerA Thậy vậy, rõ ràng Q ∈ C1 (I, L(C2 , C2 )) ∀x ∈ kerA : x = (−tz, z)T Qx = −t −t(t + 1) −1 1−t −tz z = −tz z = x, ∀t ∈ I Vậy (1.2.2) phương trình vi phân đại số số 1.2.3 Định nghĩa Giả sử A, B ∈ C(I, L(Cm , Cm )), q ∈ C(I, Cm ) Một hàm x ∈ C1A (I, Cm ) gọi nghiệm phương trình (1.2.1) biến (1.2.1) thành đồng thức Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Phân rã phương trình i Xét phương trình (1.2.1) A(Px) + (B − AP )x = q Đặt B0 = B − AP , A1 = A + B0 Q Theo [8] Định lý 13 phụ lục A ta có A1 −1 khả nghịch Nhân hai vế (1.2.1) với PA−1 QA1 ta  L Px = PA−1 q s (1.3.1) Qs x = QA−1 q với Ls z = z + (PA−1 B0 − P )z, Qs z = Qz + QA−1 BPz (1.3.2) Khi ta nói, phương trình (1.2.1) phân rã thành hai phương trình hệ (1.3.1) phương trình thứ phương trình vi phân thường, phương trình thứ hai phương trình đại số m ii Ta có Ls z = z + (PA−1 B0 − P )z với z ∈ C (I, C ) hoàn tồn xác định tốn giá trị ban đầu  L z = g s z(t0 ) = z0 g ∈ C(I, Cm ) t0 ∈ I, z0 ∈ Cm (1.3.3) có nghiệm C1 (I, Cm ) Hơn nữa, nghiệm z ∈ imP(t) z0 ∈ imP(t0 ) g(t) ∈ imP(t) Thật vậy, phương trình (1.2.1) khơng phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P nên Ls không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P Với g ∈ imP(t), ∃h : I → Cm cho g = Ph −1 −1 Xét  q = A1 h ⇒ h = A1 q ⇒ g = PA1 q Ta có tốn giá trị ban L z = PA−1 q s đầu có nghiệm z ∈ C1 (I, Cm ) Lại theo phương z(t0 ) = z0  L Px = PA−1 q s trình thứ hệ (1.3.1), toán giá trị ban đầu Px(t0 ) = z0 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp có tính chất tương tự phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Đặc biệt phương trình gốc phương trình liên. .. giá trị ban đầu phương trình liên hợp Chương 2: Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Chương nêu khái niệm phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp nó; đưa cách giải... khả vi, tồn phương trình vi phân đại số mà ta gọi phương trình vi phân đại số liên hợp nó, cho với cặp nghiệm phương trình vi phân đại số gốc phương trình vi phân đại số liên hợp thỏa mãn đồng