phương trình với toán tử loại đơn điệu

Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A(x) = f, A : X −→ X ∗ X X ∗ X H x h,δ α F h,δ α (x) = A h (x) − f δ  2 + αx − x ∗  2 α > 0 h δ x ∗ (A h , f δ ) (A, f) Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn α = α(h, δ) x h,δ α(h,δ) h δ A : X → X ∗ M : X → X ∗ h J s X A h (x) + αJ s (x − x ∗ ) = f δ A h : X → X ∗ α = α(δ) A h ≡ A ρ(α) = ˜ Kδ p , 0 < p < 1, ˜ K ≥ 1, ρ(α) = αx δ α  α = α(δ) ρ(α) = δ p α −q , 0 < p ≤ q A h ≡ A A : X → X A h (x) + αx = f δ , Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A h : X −→ X D(A h ) = D(A) Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H X X ∗ X R n n ∅ x := y x y ∀x x ∃x x inf x∈X F (x) {F (x) : x ∈ X} I A T A a ∼ b a b A ∗ A D(A) A R(A) A x k → x {x k } x x k  x {x k } x Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X A : X → X ∗ D(A) = X R(A) X ∗ A A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (1.1) x = y δ(t) t ≥ 0, δ(0) = 0 A(x) − A(y), x − y ≥ δ  x − y  , ∀x, y ∈ D(A); δ(t) = c A t 2 c A A A(x) − A(y) ≤ x − y. A Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A : R M → R M A = B T B, B M A h X A(x + ty)  A(x) t → 0 x, y ∈ X d X x n → x A(x n )  A(x) n → ∞ ϕ(x, y) =      xy (x 2 + y 2 ) (x, y) = (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) h A lim ||x||→+∞  A(x), x  ||x|| = +∞, ∀x ∈ X. X X X (x n  x) (x n  → x) (x n − x → 0) s ≥ 2 J s : X −→ 2 X ∗ J s (x) = {x ∗ ∈ X ∗ : x ∗ , x = x ∗ x; x ∗  = x s−1 }, X s = 2 J s J X Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X J(x) J(λx) = λJ(x), λ > 0 J X ∗ X J = I X X ∗ J : X → X ∗ d X J Gr(A) A X × X ∗ Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X}. A x ∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x ∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y). Gr(A) Gr(A) X × X ∗ A A : X → X ∗ g − f, y − x 0  ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A), x 0 ∈ D(A) f ∈ A(x 0 ) F : X → R Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X x, y ∈ X F (tx + (1 − t)y) ≤ tF(x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1]; X x = y X lim inf y→x F (y) ≥ F(x), ∀x ∈ X; X {x n } : x n  x lim inf n→∞ F (x n ) ≥ F (x), ∀x ∈ X. X F : X → R X ∂F (x) ∂F (x) =  x ∗ ∈ X ∗ : F (x) − F (y) ≤ x − y, x ∗ , ∀y ∈ X  , ∀x ∈ X, x ∗ ∈ X ∗ F x ∂F (x) F x X X ∗ X F : X → R X ∂F X X ∗ A A + λJ X ∗ X X ∗ J : X → X ∗ X A : X → X ∗ A λ > 0 R(A + λJ) X ∗ h X X ∗ Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 1.1.2 A là toán tử bức thì ta có R(A) = X Phương trình với toán tử đơn điệu Xét phương trình toán tử (1.5) A(x) = f, với A : X X là một toán tử cho trước, f X Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.5) được cho trong định lý sau Định lí 1.6 (xem [3]) Cho không gian Banach phản xạ A(x) = f A X có nghiệm với mọi Chứng minh: là một toán tử vào h-liên tục, đơn điệu và bức từ X , với D(A) =... iu 23 Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử accretive 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử đơn điệu 2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Cho X là một không gian Banach thực, X là không gian liên hợp của X Xét phương trình toán tử đã được đề cập ở Chương 1: (2.1) A(x) = f, ở đây f X là phần tử cho trước, A : X X là một toán tử đơn điệu, đơn trị, h-liên tục với D(A) = X Trong toàn... là một toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A+B tục và bị chặn, B: A : X X là cũng là một toán tử đơn điệu cực đại Tính bị chặn của toán tử nó là toàn bộ không gian Định lí 1.5 A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của X Ta có kết quả sau (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và A : X X là một toán tử đơn điệu, h-liên tục với D(A) X Khi đó A là toán tử đơn điệu cực... 29 2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử accretive 2.2.1 Sự hội tụ Trong mục này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (2.1) với A : X X là toán tử accretive có miền xác định D(A) = X , trong đó X là không gian Banach có tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X X là liên tục và w-to-w trên X Giả sử cả toán tử xấp xỉ bởi A và vế phải f của phương trình (2.1) đều được... đương với x1 x x x , x S0 Do phần tử x1 đến S0 thỏa mãn (2.7) là duy nhất, nên cả dãy {x } hội tụ mạnh x1 = x0 2 Nhờ kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình (2.2) và một sự phụ thuộc T (f, ) = ( ) để nghiệm phương trình này hội tụ tới nghiệm của phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1) Vì lẽ đó mà phương trình (2.2) được gọi là phương trình. .. trên cơ sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử (1.5) với tử từ không gian Banach A : X Y là một toán X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa của Hadamard (xem [8]) Định nghĩa 1.13 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.5) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu 1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f Y ; 2) nghiệm... thì phương trình (1.5) có ít nhất một nghiệm Chú ý 1.1 Tất cả các điều kiện nêu trong Định lý 1.9 đều thỏa mãn với không gian Banach Chú ý 1.2 x thỏa mãn ||x|| r X = lp , p > 1 Nếu toán tử A trong Định lý 1.9 là toán tử accretive ngặt thì phương trình toán tử (1.5) có nghiệm duy nhất 1.3 1.3.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán. .. nếu (v) toán tử accretive (t) = ct2 , c > 0; A được gọi là bức (coercive) nếu J(x), A(x) c(||x||).||x||, x D(A), trong đó c(t) + khi t + (vi) toán tử accretive mọi A được gọi là m-accretive nếu R(A + I) = X, với > 0, I là toán tử đơn vị trong X Khái niệm toán tử accretive còn được mô tả dựa trên đồ thị không gian tích Gr(A) trong X ì X Định nghĩa 1.10 Toán tử A được gọi là (i) toán tử accretive... tính đơn điệu của toán tử A ta suy ra f J(x ) y, x x 0, (x, y) Gr(A) Cho 0 ta nhận được f y, x x 0, (x, y) Gr(A) Vì A là toán tử đơn điệu cực đại, nên từ bất đẳng thức này và Mệnh đề 1.2 ta suy ra f A() Định lý được chứng minh x 2 Ký hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (1.5), giả thiết nghiệm tồn tại Ta có định lý sau (xem [7]) Định lí 1.7 Nếu và đóng trong A : X X là toán tử đơn điệu. .. iu 15 1.2 Toán tử accretive 1.2.1 Toán tử accretive Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X là không gian liên hợp của X , X và X là các không gian lồi chặt, A : D(A) = X X là một toán tử Định nghĩa 1.9 Toán tử A được gọi là (i) toán tử accretive nếu J(x y), A(x) A(y) 0, x, y D(A); (ii) toán tử accretive ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi x = y; (iii) toán tử accretive . Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung. f δ , Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A h : X −→ X D(A h ) = D(A) Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số. X ∗ X H x h,δ α F h,δ α (x) = A h (x) − f δ  2 + αx − x ∗  2 α > 0 h δ x ∗ (A h , f δ ) (A, f) Phương trình với Toán tử loại đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn α