2.2.1. Sự hội tụ
Trong mục này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (2.1) với A : X −→ X là toán tử accretive có miền xác định
D(A) = X, trong đó X là không gian Banach có tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J :X −→X∗ là liên tục và w-to-w trên X.
Giả sử cả toán tử A và vế phải f của phương trình (2.1) đều được cho xấp xỉ bởi (Ah, fδ), trong đó Ah : X −→ X là toán tử accretive với mọi
h >0, D(Ah) =D(A) =X thỏa mãn:
||fδ −f|| ≤ δ, (2.17) và
||A(x)−Ah(x)|| ≤ g(||x||)h, ∀x ∈ X, (2.18) trong đó g(t) là một hàm liên tục không âm với mọi t ≥ 0. Khi đó phương trình hiệu chỉnh cho bài toán (2.1) có dạng
Ah(x) +αx = fδ. (2.19)
Định lí 2.3 (xem [2]) Giả sử X là một không gian Banach phản xạ thực có tính xấp xỉ, X∗ là không gian liên hợp của X, X và X∗ là các không gian lồi chặt, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X −→ X∗ là liên tục và w-to-w trênX, Ah là toán tử accretive, h-liên tục với D(Ah) = X. Khi đó bài toán
(2.19) có duy nhất nghiệm với mỗi h > 0, δ > 0và α > 0. Chứng minh:Vì Ah là toán tử accretive, nên ta có:
hJ(x), Ah(x) +αxi = hJ x, Ah(x)−Ah(θX) +Ah(θX) +αxi = hJ(x−θX), Ah(x)−Ah(θX)i
+hJ(x), Ah(θX)i+hJ(x), αxi ≥ −||x||.||Ah(θX)||+α||x||2
Từ (2.20) suy ra toán tử T = Ah + αI cũng là toán tử accretive và có tính chất bức. Khi đó theo Định lý 1.9 phương trình (2.19) có một nghiệm
xτα, τ = (δ, h) với mọi α > 0. Mặt khác cũng từ (2.20) ta suy ra Ah+αI là toán tử accretive mạnh, nên theo Chú ý 1.2 suy ra nghiệm xτα là duy nhất, và
Ah(xτα) +αxτα = fδ. (2.21) Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (2.1) với toán tử accretive được cho bởi định lý sau (xem [2]).
Định lí 2.4 Giả sử X là một không gian Banach phản xạ thực có tính xấp xỉ, X∗ là không gian liên hợp của X, X và X∗ là các không gian lồi chặt, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắcJ :X −→X∗ là liên tục và w-to-w trênX, A và
Ah là các toán tử accretive, h-liên tục với D(A) = D(Ah) = X, f, fδ ∈ X
thỏa mãn (2.17), (2.18). Khi đó, nếu δ +h
α → 0 và α → 0 thì nghiệm xτα
của phương trình hiệu chỉnh (2.19) hội tụ mạnh đến nghiệm x0 ∈ S0, với x0
là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn:
hJ(x0 −x0), x0i ≤ 0, ∀x0 ∈ S0. (2.22) Chứng minh: Đầu tiên ta chỉ ra phần tử x0 thỏa mãn (2.22) là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại x00, x0 6= x00 và
hJ(x00 −x0), x00i ≤ 0, ∀x0 ∈ S0. (2.23) Trong (2.22) chọn x00 = x0 ta được
hJ(x0 −x00), x0i ≤ 0. (2.24) Trong (2.23) chọn x0 = x0 ta được
hJ(x00−x0), x00i ≤ 0. (2.25) Cộng hai vế của các bất đẳng thức (2.24) và (2.25) ta được:
0 ≥ hJ(x0 −x00), x0 −x00i = ||x0 −x00||2
⇒ ||x0 −x00|| = 0 ⇔x0 = x00.
Bây giờ lấy tùy ý x0 ∈ S0. Từ (2.1) và (2.21) ta nhận được hJ(xτα−x0), Ah(xτα)−A(x0)i+ αhJ(xτα−x0), xτα−x0i = hJ(xτα−x0), fδ−αxτα−fi+αhJ(xτα−x0), xτα −x0i = hJ(xτα−x0), fδ−fi −αhJ(xτα−x0), x0i. (2.26) Sử dụng tính chất accretive của Ah và (2.17), (2.18) ta có: hJ(xτα−x0), Ah(xτα)−A(x0)i+αhJ(xτα−x0), xτα−x0i = hJ(xτα−x0), Ah(xτα)−Ah(x0)i+hJ(xτα−x0), Ah(x0)−A(x0)i + αhJ(xτα −x0), xτα−x0i ≥ αkxτα−x0k2 − kxτα−x0kg(kx0k)h, (2.27) và hJ(xτα−x0), fδ −fi −αhJ(xατ −x0), x0i ≤ δkxτα−x0k +αkxτα−x0kkx0k. (2.28) Kết hợp (2.26), (2.27) và (2.28) ta nhận được αkxτα−x0k2 −hg(kx0k)kxτα−x0k ≤ δkxτα−x0k +αkxτα−x0kkx0k, ∀α > 0.
Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho αkxτ
α−x0k ta được kxτα−x0k ≤ δ α + h αg(kx0k) + kx0k, ∀α > 0, hay kxταk ≤ δ α + h αg(kx0k) + 2kx0k. (2.29) Từ (2.29) ta suy ra dãy {xτ
α} bị chặn trong không gian Banach phản xạ X. Do đó tồn tại một dãy con của dãy {xτ
α} hội tụ yếu đến một phần tử x của
X. Không giảm tổng quát ta có thể coi {xτ
α} * x khi α →0,h+δ
Sử dụng tính chất accretive của toán tử Ah với mọi h >0, từ (2.21) ta có
hJ(x−xτα), Ah(x)−Ah(xτα)i = hJ(x−xτα), Ah(x) +αxτα−fδi
≥ 0, ∀x ∈ X. (2.30)
Vì J là toán tử có tính chất w-to-w, nên trong (2.30) cho α →0 ta được
hx−x, A(x)−fi ≥ 0, ∀x∈ X. (2.31) Mặt khác theo giả thiết A là toán tử accretive, h-liên tục với D(A) = X, nên A là toán tử accretive cực đại (Định lý 1.8). Khi đó từ (2.31) ta suy ra
f = A(x) hay x ∈ S0. Từ (2.26) với x0 = x, ta có hJ(xτα−x0), Ah(xτα)−A(x0)i+αhJ(xτα−x0), xτα−x0i = hJ(xτα−x), Ah(xτα)−A(x)i+αhJ(xτα−x), xτα−xi ≥ −g(kxk)hkxτα −xk+αkxτα−xk2. và hJ(xτα−x0), fδ −fi −αhJ(xτα −x0), x0i = hJ(xτα−x), fδ −αxτα−fi +αhJ(xτα −x), xτα−xi ≤ δkxτα−xk −αhJ(xτα−x), xi. Từ đó suy ra kxτα −xk2 ≤ δ αkxτα−xk+ h αg(kxk)kxτα−xk − hJ(xτα −x), xi. (2.32) Suy ra dãy {xτ
α} bị chặn và hội tụ yếu về x ∈ S0. Từ (2.32) ta cũng suy ra
{xτ
α} hội tụ theo chuẩn về x khi α →0,h+δ
α → 0. Vậy {xτ α} hội tụ mạnh về x khi α → 0,h+ δ α → 0. Mặt khác từ (2.26) ta có hJ(xτα−x0), Ah(xτα)−A(x0)i+αhJ(xατ −x0), xταi = hJ(xτα−x0), fδ−fi ⇔ −g(kx0k)hkxτα−x0k+αhJ(xτα−x0), xταi ≤ δkxτα−x0k ⇔ J(xτα −x0), xταi ≤ δ α + h αg(kx0k) kxτα−x0k, ∀x0 ∈ S0.
Cho α →0,h+δ
α →0 ta được
hJ(x−x0), xi ≤ 0, ∀x0 ∈ S0.
Điều đó có nghĩa là x = x0. Vậy dãy {xτ
α} hội tụ mạnh đến x0 khi α → 0, h+ δ
α →0.
2 2.2.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Trong mục này chúng tôi trình bày tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong trường hợp toán tửA ≡Ah và phần tửx∗ là phần tử không trong không gian Banach X. Khi đó phương trình hiệu chỉnh có dạng:
A(x) +α(x−x∗) =fδ,kfδ −fk ≤ δ →0, (2.33) ở đây α > 0 là tham số hiệu chỉnh và toán tử A thỏa mãn điều kiện:
kA(y)−A(x0)−QA0(x0)∗J(y −x0)k ≤ τky −x0kkA0(x0)∗J(y−x0)k,
(2.34) với∀y ∈ S(x0, r)-hình cầu tâmx0 bán kínhr = kx0−x∗k+ε, ε >0.Trong đó τ > 0là một hằng số và Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn của X∗.
Định lí 2.5 (xem [6]) Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: i) A khả vi Fréchet với A0 thỏa mãn điều kiện (2.34), và ii) tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho
A0(x0)z = x∗ −x0.
Khi đó, nếuα được chọn sao cho α ∼ δθ, 0< θ < 1,và tồn tại một hằng số nguyên dương δ1 với τ(kx0 −x∗k+δ11−θ) < 1 thì
kxδα(δ) −x0k= O(δà), à = min{1−θ, θ 2}.
Chứng minh:Từ định nghĩa của ánh xạ đối ngẫu chuẩn J, (2.1), (2.33), tính chất accretive của toán tử A và điều kiện ii) của định lý ta có:
kxδα−x0k2 ≤ δ αkxδα−x0k+hx∗ −x0, J(xδα −x0)i ≤ δ αkxδα−x0k+hz, A0(x0)∗J(xδα−x0)i. (2.35) Mặt khác, hz, A0(x0)∗J(xδα−x0)i ≤ kzkkA0(x0)∗J(xδα−x0)k,
và từ (2.1),(2.33), tính chất accretive của toán tử A và tính chất của J ta được kxδα−x0k ≤ kx∗ −x0k+ δ α ≤ kx∗ −x0k+ c1δ1−θ ≤ kx∗ −x0k+ δ11−θ, c1 > 0, với δ đủ nhỏ. Sử dụng (2.34) ta suy ra kA0(x0)∗J(xδα−x0)k = kQA0(x0)∗J(xδα−x0)k ≤ kA(xδα)−fk+τkxδα−x0kkQA0(x0)∗J(xδα−x0)k ≤ kA(xδα)−fδk+δ +τkxδα −x0kkQA0(x0)∗J(xδα−x0)k.
Bất đẳng thức này tương đương với
kA0(x0)∗J(xδα−x0)k ≤ 1
1−τ(kx0 −x∗k+δ11−θ)(αkxδα−x∗k+ δ).
(2.36) Suy ra, từ (2.35), sự bị chặn của xδα khi α, δ
α → 0, từ điều kiện α ∼ δθ và
δθ > δ khi δ <1 ta suy ra
trong đó ci là các hằng số dương. Sử dụng hệ thức a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq+ c ⇒ap = O(bp/(p−q)+c) ta thu được kxδα−x0k = O(δà), à = min 1−θ, θ 2 , định lý được chứng minh. 2 Chú ý 2.1. Điều kiện τ kx0 −x∗k+ δ1−θ < 1 là không cần thiết nếu điều kiện (2.34) được thay bởi
kA(y)−A(x)−QA0(x0)∗J(y −x0)k ≤ τkA(y)−A(x0)k, ∀y ∈ X.
(2.37) Thật vậy, trong phần chứng minh định lý, bất đẳng thức (2.36) được thay bởi
kA0(x0)∗J(y −x0)k = kQA0(x0)∗J(y −x0)k
≤ kA(xδα)−fk+kA(xδα)−A(x0) −QA0(x0)∗J(xδα−x0)k
≤(τ + 1) kA(xδα)−fδk+δ ≤(τ + 1) αkxδα−x∗k+ δ.
Chú ý 2.2. Nếu thêm điều kiện (2.1) chỉ có một nghiệm x0 vàJ có tính chất w-to-w, thì dãy nghiệm xδα hội tụ mạnh đến x0 khi α, δ/α →0. Khi đó thay cho (2.36) ta có
kA0(x0)∗J(y −x0)k ≤ a αkxδα−x∗k+δ,
bởi vì τkxδ
α−x∗k ≤ 1/2với α, δ đủ bé.
2.2.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiềuTrong mục này, ta xấp xỉ hữu hạn chiều (2.19) bởi Trong mục này, ta xấp xỉ hữu hạn chiều (2.19) bởi
ở đây, fδn = Pnfδ, xn∗ = Pnx∗, An = PnAPn, Pn là phép chiếu tuyến tính X
lên không gian con hữu hạn chiều Xn của X có tính chất X1 ⊂ X2 ⊂ ... ⊂ Xn ⊂ ...⊂ X, Pnx → x, ∀x ∈ X. Giả thiết rằng Pn bị chặn đều trên X.
Vì A là toán tử accretive nên An cũng là toán tử accretive. Do vậy sự tồn tại nghiệm xδα,n của (2.38) và sự hội tụ của nghiệm xδα,n đến nghiệm xδα của (2.19) với mỗi α > 0 được chứng minh tương tự phần trên. Nguyễn Bường [6] đã chỉ ra rằng nếu α, δ → 0 và n → ∞ thì dãy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều xδα,n sẽ hội tụ mạnh đến nghiệm x0 của bài toán (2.1).
Đặt γn(x) = k(Pn −I)xk, x ∈ X, γn = max n γn(x0), γn(f) o .
Giả sử ánh xạ đối ngẫu chuẩn J thỏa mãn điều kiện
kJ(x)−J(y)k ≤ C(R)ky −xkν, 0< ν ≤ 1, (2.39) ở đây Cν(R), R >0 là hàm tăng trên R = max{kxk, kyk}.
Bây giờ ta sẽ trình bày kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều (xem [6]).
Định lí 2.6 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) A liên tục, khả vi Fréchet với A0 thỏa mãn điều kiện (2.37), ii) A(Xn) được chứa trong Xn với n đủ lớn,
iii) tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho
A0(x0)z = x∗ −x0,
iv) tham số α được chọn thỏa mãn α ∼(δ + γn)θ1, 0 < θ1 < 1. Khi đó, kxδα,n−x0k= O((δ +γn)à1) +γnν/2, à1 = min n 1−θ1, θ1 2 o .
Chứng minh:Đặt xn0 = Pnx0. Từ (2.38), tính chất accretive của toán tử
xạ đối ngẫu chuẩn của Xn, Pn∗ là toán tử liên hợp của Pn, ta suy ra kxδα,n−xn0k2 = hxδα,n−xn0, Jn(xδα,n−xn0)i = 1 αhfδn−An(xα,nδ ), Jn(xδα,n−xn0)i+hxn∗ −xn0, Jn(xδα,n−xn0)i ≤ 1 αhfδn−An(x0n), Jn(xδα,n −xn0)i+hxn∗ −xn0, Jn(xδα,n −xn0)i ≤ 1 αhPn∗(fδ−f +A(x0)−A(xn0)), Jn(xδα,n−xn0)i +hx∗ −x0, J(xδα,n−xn0)i. (2.40) Từ (2.40) suy ra dãy {xδ
α,n} bị chặn, nghĩa là tồn tại một hằng số dương M
sao cho kxδ
α,n−xn0k ≤ M.
Từ (2.37) và xn0 →x0 khin → ∞ ta có
kA(xn0)−A(x0)k ≤ kA0(x0 +βnβxn0)kγn(x0), 0 < βn < 1,
vàkA0(x0+βnx0n)k ≤ C0, với C0 là một hằng số dương, vì Alà toán tử khả vi liên tục tại x0. Do đó từ (2.40) ta nhận được
kxδα,n−xn0k ≤ δ +C0γn(x0)
α kxδα,n −xn0k+ hx∗ −x0, J(xδα,n−xn0)i.
(2.41) Từ (2.39) và điều kiện iii) của định lý suy ra
hx∗ −x0, J(xδα,n−xn0)i = hz, A0(x0)∗(J(xδα,n−xn0)−J(xδα,n −x0))i + hz, A0(x0)∗J(xδα,n −x0)i ≤ C0C( ˜R)kzk(γn(x0))ν +kzkkA0(x0)∗J(xδα,n−x0)k, ở đây R˜ là một hằng số dương, R > R˜ +γ n(x0). Mặt khác, kA0(x0)∗J(xδα,n−x0)k ≤ (τ + 1)kA(xδα,n)−A(x0)k ≤(τ + 1) kAn(xδα,n)−fn+cγn(f) ≤(τ + 1) αkxδα,n−xn∗k+c(δ +γn(f))
với n đủ lớn. Vì vậy từ (2.41) ta nhận được kxδα,n−xn0k2 ≤ C1(δ +γn)1−θ1kxδα,n −xn0k+ C2 (δ +γn)θ1 +γnν, Ci > 0, i = 1,2. Suy ra kxδα,n−xn0k= O((δ +γn)à1 +γnν/2). Vì vậy kxδα,n−x0k = O((δ +γn)à1 +γnν/2).
2.3. Ví dụ
Trong mục này chúng tôi trình bày một kết quả số áp dụng phương pháp hiệu chỉnh để xấp xỉ nghiệm cho hệ phương trình đại số tuyến tính trong không gian Rn. Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ Rn sao cho
A(x0) =f0, (2.42)
ở đây A là một ma trận vuông cấp n, đối xứng, xác định không âm và có định thức bằng 0, f0 = θ ∈ Rn. Khi đó (2.42) là bài toán đặt không chỉnh, và x0 = 0 là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của (2.42). Phương trình hiệu chỉnh của (2.42) có dạng:
Ah(x) +αx = fδ. (2.43)
Cụ thể, với M = 5, ma trận A được cho bởi A = BTB với
B = 1 2 3 4 5 −2 1 11 6 8 3 2 7 5 1 1 2 3 4 5 −1 2 5 8 6 Xấp xỉ vế phải f0 = 0 0 0 0 0 T ∈ R5. bởi fδ = 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 T ∈ R5.
và xấp xỉ A bởi Ah = A+hI, h = 10−4 (I là ma trận đơn vị cấp 5).
Sau đây là kết quả tính toán nghiệm xấp xỉxδαbằng phương pháp lặp trong [10] với tiêu chuẩn dừng của dãy lặp là max1≤j≤5|xj(m+1) −x(jm)| ≤ ε, ε là sai số cho trước.
x1 0.00058179 x2 -0.00011434 x3 0.00010991 x4 0.00058179 x5 7.2477ì10−5 với 126 lần lặp, sai sốε = 9.7737ì10−6.
• Với tham số δ = 0.00001, nghiệm xấp xỉ là: x1 0.00037211 x2 -0.00025819 x3 -7.0332ì10−5 x4 0.00037211 x5 -9.7374ì10−5 với 127 lần lặp, sai sốε = 9.7399ì10−6.
Kết luận
Luận văn đã trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử đơn điệu và toán tử accretive, trình bày các định lý về sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian Banach phản xạ thực vô hạn chiều và nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều. Phần cuối của luận văn đưa ra một ví dụ minh họa.
Tài liệu tham khảo
[1] Ya. I. Alber (1975), ''On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach space'', Sibirian mathematics Journal, 26, 3-11. [2] Ya. I. Alber (1977), "The solution by the regularization method of op-
erator equations of the first kind with accretive operators", Differential Equations, 13, 1300-1303.
[3] Ya. I. Alber and I. Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, Berlin.
[4] V. Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Editura Academiei, Romania.
[5] Ng. Buong (2005), ''On monotone ill-posed problems'', Acta Mathematica Sinica, 21 (5), 1001-1004.
[6] Ng. Buong (2006), ''On nonlinear ill-posed equations involving accretive operators'', Nonlinear functional analysis and applications, 11(1), 1-10. [7] I. Ekeland and R. Temam (1976), Convex analysis and Variational prob-
lems, Amstedam: North Holland.
[8] J. Hadamard (1932), "Le probéme de Caushy et les esquations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques", Hermann, Paris.
[9] A. N. Tikhonov (1963), ''On the solution of ill-posed problems and the method of regularization'' Dokl. Akad. Nauk SSSA, 151, 501-504 (Rus- sian).
[10] Ng. T. T. Thuy (2010), "An iterative method to a common solution of inverse-strongly problems in Hilbert spaces", Advances and Applications in Mathematical Siences, 165-174.