Phương trình toán tử j đơn điệu và phương pháp newton kantorovich

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Phương trình toán tử phi tuyến 1.1 Không gian Banach 6 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn Ánh xạ J -đơn điệu 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Phương trình toán tử phi tuyến 1.2.1 1.2.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 10 1.2.3 Phương pháp Newton 11 Phương pháp Newton–Kantorovich 15 2.1 Phương pháp Newton–Kantorovich định lý hội tụ 15 2.1.1 2.1.2 2.2 Phương pháp 15 Định lý hội tụ 16 Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich 30 2.2.1 Mô tả phương pháp 30 2.2.2 Sự hội tụ 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động toán tử T H không gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Mở đầu Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp X Để đơn giản, ta ký hiệu chuẩn không gian X X ∗ Ta viết x, x∗ thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Đề tài luận văn nghiên cứu toán tìm nghiệm phương trình toán tử phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (0.1) A : X → X toán tử J-đơn điệu X Nếu thêm điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính chất J-đơn điệu J-đơn điệu mạnh, phương trình (0.1) nói chung toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm toán không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải loại toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov dạng (xem [3]): A(x) + αn (x − x+ ) = fn , (0.2) với fn − f ≤ δn → n → +∞, x+ phần tử cho trước αn dãy tham số dương đủ bé thỏa mãn αn → n → +∞ Nếu A toán tử phi tuyến phương trình hiệu chỉnh (0.2) toán phi tuyến Để khắc phục khó khăn giải toán phi tuyến này, Bakushinskii đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich không gian Hilbert H giải phương trình (0.1) (xem [4]): x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn , (0.3) với A A ký hiệu đạo hàm Fréchet cấp cấp hai tương ứng A, giả thiết thỏa mãn điều kiện: (C1) A liên tục Lipschitz, (C2) A (x) ≤ M, ∀x ∈ H, M số dương Phương pháp (0.3) phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach Ryazantseva dạng (xem [11]): x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn , với A ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ thỏa mãn điều kiện (C3) A (x) ≤ ϕ( x ), (1) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ Năm 2008, Giáo sư Nguyễn Bường học trò (xem [6]) cải tiến phương pháp (0.3) trường hợp A toán tử m-J-đơn điệu không gian Banach chứng minh hội tụ mạnh phương pháp với việc sử dụng điều kiện trơn nghiệm, nghĩa tồn phần tử ω ∈ X cho A (x∗ )ω = x+ − x∗ , điều kiện đặt lên ánh xạ đạo hàm A : A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) ∀x ∈ E, τ số dương J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp Newton– Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu (0.1) trình bày số định lý hội tụ phương pháp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Phương trình toán tử phi tuyến" nhằm giới thiệu phương trình toán tử phi tuyến J-đơn điệu đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh toán Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[9] Chương với tiêu đề "Phương pháp Newton–Kantorovich" nhằm giới thiệu phương pháp Newton–Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu Nội dung chương viết từ báo [5], [8] [10] Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới người cô kính mến TS Nguyễn Thị Thu Thủy tận tình hướng dẫn hoàn thành đề tài Tôi vô biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy cô giáo Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dạy dỗ, đóng góp nội dung cách thức trình bày đề tài Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2015 Nguyễn Văn Đạt Chương Phương trình toán tử phi tuyến Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tính chất không gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều, toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu Phần thứ hai chương giới thiệu phương trình toán tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[11] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach lồi đều, trơn Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T (x) = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi không gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SE , x = y (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ x − y ≥ ε, tồn δ = δ(ε) ≥ cho x+y ≤ − δ Chú ý không gian Banach lồi đều không gian phản xạ lồi chặt Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux với y ∈ SX giới hạn tồn với x ∈ SX Các không gian Lp , lp ví dụ không gian trơn 1.1.2 Ánh xạ J -đơn điệu Mục trình bày định nghĩa ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ J-đơn điệu, J-đơn điệu mạnh, mối liên hệ với ánh xạ đơn điệu không gian Hilbert số ví dụ Định nghĩa 1.3 Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp X Với s ≥ 2, ánh xạ J s từ X vào X ∗ xác định J s (y) = {g ∈ X ∗ : y, g = y g s−1 , g = y , ∀y ∈ X}, gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát X Khi s = 2, J thường ký hiệu J, gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị, ta ký hiệu j Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ A từ X vào X gọi ánh xạ (i) J-đơn điệu (accretive) với x, y ∈ D(A), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho: A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0; (ii) m-J-đơn điệu (m-accretive) A J-đơn điệu R(A+αI) = X với α > 0, I ánh xạ đơn vị X; (iii) α-J-đơn điệu mạnh, tồn số α > 0, j(x−y) ∈ J(x−y) cho A(x) − A(y), j(x − y) ≥ α x − y ∀x, y ∈ D(A); (vi) L-liên tục Lipschitz, tồn số L > cho A(x) − A(y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ D(A) Chú ý A ánh xạ J-đơn điệu X, D(A) = X, L-liên tục Lipschitz A ánh xạ m-J-đơn điệu Nếu X ≡ H không gian Hilbert thực, ánh xạ J-đơn điệu m-J-đơn điệu tương ứng ánh xạ đơn điệu, đơn điệu cực đại 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Cho X, Y không gian Banach, điểm x0 ∈ X r > Hình cầu mở (tương ứng đóng) tâm x0 với bán kính r ký hiệu B(x0 ; r) (tương ứng B(x0 ; r)) Ký hiệu L(X, Y ) không gian tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Cho Ω tập mở không gian X Ánh xạ f : Ω ⊂ X → Y gọi khả vi điểm a ∈ Ω có phần tử f (a) ∈ L(X, Y ) cho f (a + h) = f (a) + f (a)h + δ(h) 25 từ sup x − x0 = sup (1 − t)(a − x0 ) + t(b − x0 ) x∈[a,b] t∈[0,1] ≤ max{ a − x0 , b − x0 } < r, µνr = nên ta a = b Thứ hai, thấy rằng, λµν < 21 , hàm f không điểm tập B(x0 ; r+ ) − B(x0 ; r− ) Cuối cùng, ta suy từ (ii) h(x) − h(x0 ) − h (x0 )(x − x0 ) ≤ µν x − x0 2 với x ∈ B(x0 ; r+ ) Nhưng h (x0 ) = idX h(x0 ) ≤ λ; thế, h(x) ≥ h(x0 ) + h (x0 )(x − x0 ) − ≥ x − x0 − h(x0 ) − ≥− µν x − x0 2 µν x − x0 µν x − x0 2 − x − x0 + λ = −p( x − x0 ) với x ∈ B(x0 ; r+ ) Từ p(t) < với r− < t < r+ λµν < 12 , ta có h(x) > với r− < x − x0 < r+ Kết là, f (x) = với x ∈ B(x0 ; r+ ) − B(x0 ; r− ) Mặt khác, f có không điểm B(x0 ; r), không điểm a ∈ B(x0 ; r− ) (tìm (vi)) không điểm f B(x0 ; r+ ) λµν < 21 (viii) Chứng minh a không điểm f B(x0 ; r) λµν = 12 , giả thiết thêm B(x0 ; r) ∈ Ω Trước hết, ta ý f (x) − f (x) ≤ ν x − x) với x, x ∈ B(x0 ; r) 26 Từ đó, λµν = 12 , không điểm a ∈ B(x0 ; r) (tìm (vi)) không điểm f B(x0 ; r) Cuối cùng, điểm b ∈ B(x0 ; r) thỏa mãn f (b) = λµν = 21 , dãy lặp Newton xk+1 := xk − (f (xk ))−1 f (xk ), k ≥ 0, thỏa mãn r với k ≥ 2k Rõ ràng, bất đẳng thức với k = Ta giả sử điều b − xk ≤ với k = 0, , n với số nguyên n ≥ Từ f (b) = ta viết b − xn+1 b − xn+1 = f (xn )−1 (f (b) − f (xn ) − f (xn )(b − xn )) vậy, từ (ii) giả thiết quy nạp, b − xn+1 ≤ f (xn )−1 f (b) − f (xn ) − f (xn )(b − xn ) ν ≤ f (xn )−1 b − xn νr2 ≤ 2n+1 (f (xn ))−1 Bên cạnh đó, từ (iii) cho ta f (xn )−1 ≤ Truy hồi với t0 = tk+1 − tk ≤ µ − µν xn − x0 λ , 2k k ≥ 0, xn − x0 ≤ tn (xem (i) (v)), ta suy x n − x ≤ tn ≤ λ + 1 + · · · + n−1 2 = 2λ − 2n Vì vậy, b − xn+1 ≤ µνr (1 − 2λµν(1 − 2−n ))2n r 2n+1 = r 2n+1 , 27 µνr = 2λµν = Do đó, b − xk ≤ r với k ≥ 2k Kết là, b − a = lim b − xk = 0, k→∞ suy b = a Ta xét ví dụ áp dụng cho toán biên phi tuyến: − u (t) + u(t)p = ϕ(t), ≤ t ≤ 1, u(0) = u(1) = 0, p ≥ số nguyên ϕ ∈ C[0, 1] hàm cho trước Ta biết tìm nghiệm u ∈ C [0, 1] cho toán giá trị biên giống tìm nghiệm u ∈ C[0, 1] cho toán phương trình tích phân phi tuyến tính, phương trình mà trường hợp có dạng G(t, ξ)(ϕ(ξ) − u(ξ)p )d(ξ), u(t) = ≤ t ≤ Hàm G xác định G(t, ξ) := ξ(1 − t) ≤ ξ ≤ t ≤ G(t, ξ) := t(1−ξ) ≤ t ≤ ξ ≤ Giải phương trình tích phân dẫn tới việc tìm không điểm ánh xạ phi tuyến tính f : u ∈ C[0, 1] → f (u) ∈ C[0, 1] xác định G(t, ξ)(u(ξ)p − ϕ(ξ))d(ξ), (f (u))(t) = u(t) + ≤ t ≤ Tiếp theo, ta xét không gian X := C[0, 1] với chuẩn · X để X không gian Banach Khi đó, ta thấy ánh xạ f thuộc lớp C , với đạo hàm Fréchet f (u) ∈ L(X) cho G(·, ξ)u(ξ)p−1 v(ξ)d(ξ) f (u)v = v + p với v ∈ X 28 Cho u0 biểu diễn hàm [0, 1], đó, f (u0 )−1 f (u0 ) X = ϕ X , f (u0 )−1 L(X) = 1, f (u) − f (u) L(X) ≤ p(p − 1)rp−2 u − u X ∀u, u ∈ B(u0 ; r), ∀r > 0, 8 ϕ X ≤ 4rp , mà rp := ( p(p−1) ) p−1 , giả thiết định lý Newton– Kantorovich thỏa mãn Điều chứng tỏ rằng, trường hợp này, toán giá trị biên hai điểm phi tuyến có nghiệm nghiệm tính xấp xỉ phương pháp Newton Cụ thể hơn, biết điểm lặp thứ k phương pháp Newton uk , điểm lặp thứ k + uk+1 tìm từ việc giải toán: − u (t) + p(uk (t))p−1 u(t) = (p − 1)(uk (t))p − ϕ(t), ≤ t ≤ 1, u(0) = u(1) = Số lượng số xuất giả thiết định lý Newton– Kantorovich giảm xuống thay đổi đơn giản việc hình thành giả thiết Định lý 2.4 (Định lý Newton–Kantorovich cổ điển với hai số [8]) Cho X Y hai không gian Banach, Ω tập mở X, điểm x0 ∈ Ω, ánh xạ f ∈ C (Ω; Y ) cho f (x0 ) ∈ L(X; Y ) ánh xạ một-một lên, để f (x0 )−1 ∈ L(Y ; X) Giả sử có hai số λ r cho r B(x0 ; r) ⊂ Ω, f (x0 )−1 f (x0 ) X ≤ λ, f (x0 )−1 (f (x) − f (x)) L(X) ≤ x − x X với x, x ∈ B(x0 ; r) r Khi đó, f (x) ∈ L(X; Y ) ánh xạ một-một lên f (x)−1 ∈ L(Y ; X) 0 B(x0 ; r) ⊂ Ω, r f (x0 )−1 f (x0 ) X ≤ , f (x0 )−1 (f (x) − f (x)) L(X) ≤ x − x X với x, x ∈ B(x0 ; r) r 30 Khi f (x) ∈ L(X; Y ) ánh xạ một-một lên f (x)−1 ∈ L(Y ; X) x ∈ B(x0 ; r) Dãy {xk } xác định xk+1 = xk − f (xk )−1 f (xk ), k ≥ 0, thỏa mãn xk ∈ B(x0 ; r) với k ≥ dãy hội tụ tới không điểm a ∈ B(x0 ; r) f Ngoài ra, với k ≥ 0, xk − a ≤ r , 2k điểm a ∈ B(x0 ; r) không điểm f B(x0 ; r) 2.2 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich Mô tả phương pháp Trong mục này, xét toán tìm nghiệm phương trình toán tử đặt không chỉnh phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (2.3) A toán tử m-J-đơn điệu không gian Banach X Ta giả thiết tập nghiệm S toán (2.3) khác rỗng Nếu thêm điều kiện đặt lên cho toán tử A, chẳng hạn tính J-đơn điệu J-đơn điệu mạnh, phương trình (2.3) nói chung toán đặt không chỉnh Để giải toán (2.3), ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định, phương pháp sử dụng rộng rãi phương pháp hiêu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3]): A(x) + αn (x − x+ ) = fn , fn − f ≤ δn → n → +∞, (2.4) 31 x+ phần tử cho trước αn tham số dương đủ bé tiến tới n → +∞ Rõ ràng, A toán tử phi tuyến, toán hiệu chỉnh (2.4) toán phi tuyến, nên giải gặp nhiều khó khăn Để khắc phục hạn chế này, người ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich Bakushinskii đưa phương pháp sau trường hợp X không gian Hilbert H (xem [4]): x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn , (2.5) với A A đạo hàm Fréchet bậc bậc hai A giả thiết thỏa mãn điều kiện: A liên tục Lipschitz A (x) ≤ M , M số dương với x ∈ H Phương pháp (2.5) Ryazantseva phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach dạng (xem [11]): x0 ∈ X, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn , trường hợp A toán tử đơn điệu từ không gian Banach X vào không gian liên hợp X ∗ X với điều kiện: A (x) ≤ ϕ( x ), (2.6) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ Trong [6], giáo sư Nguyễn Bường học trò phát triển phương pháp (2.5) trường hợp A toán tử m-J-đơn điệu không gian Banach chứng minh hội tụ mạnh phương pháp sử dụng điều kiện trơn nghiệm, tức tồn phần tử ω ∈ X thỏa mãn A (x∗ )ω = x+ − x∗ , điều kiện đặt lên A sau: A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) ∀x ∈ X, τ số dương J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian X ∗ 32 Trong [5], tác giả nghiên cứu hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich xác định bởi: z0 ∈ E, An (zn ) + An (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fn , (2.7) với An fn thỏa mãn điều kiện: A(x) − An (x) ≤ hn g( x ) f − f n ≤ δn , (2.8) với hn , δn → n → ∞, g(t) hàm không âm bị chặn với t ≥ An có tính chất giống A 2.2.2 Sự hội tụ Trước hết, ta xét phương pháp (2.7) với kiện xác (A, f ): x0 ∈ X, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f (2.9) Ta có kết sau (xem [5]) Định lý 2.6 Giả sử X không gian Banach thực phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux giả sử A toán tử m-J-đơn điệu hai lần khả vi Fréchet X thỏa mãn điều kiện (2.6) Giả sử thêm dãy {αn }, điểm xuất phát ban đầu x0 (2.9) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) {αn } dãy đơn điệu giảm với < αn < tồn σ > cho αn+1 ≥ σαn với n = 0, 1, ; b) ϕ(d + γ) x0 − xα0 ≤ q < 1, 2σα0 với số dương d γ xác định từ bất đẳng thức 2σα0 ≤ γ, d ≥ x∗ − x+ + x+ , ϕ(d + γ) 33 x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ S : x∗ − x+ , J(x∗ − y) ≤ ∀y ∈ S; (2.10) xα0 nghiệm phương trình: A(xαn ) + αn (xαn − x+ ) = f, (2.11) với n = 0; c) dϕ(d + γ) |αn+1 − αn | q − q ≤ , c = αn2 c1 2σ Khi đó, lim n→+∞ xn − x∗ = Chứng minh Giả sử xαn nghiệm phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (2.11) với α = αn Trong [7], Nguyễn Bường học trò chứng minh dãy {xαn } hội tụ mạnh đến x∗ nghiệm toán (2.10) n → +∞ Hơn nữa, xαn − x+ ≤ d xαn − xαn+1 ≤ αn − αn+1 d, αn với n = 0, 1, Sử dụng khai triển Taylor (2.11) ta có A(xn ) + A (xn )(xαn − xn ) + A (θn )(xαn − xn )2 + αn (xαn − x+ ) = f, (2.12) θn = xαn + θ(xn − xαn ), < θ < Hơn nữa, từ (2.9) (2.12) suy A (xn )(xn+1 −xαn )+αn (xn+1 −xαn )− A (θn )(xαn −xn )2 , J(xn+1 −xαn ) = 0, kết hợp với tính chất J-đơn điệu A (xn ) suy xn+1 − xαn ≤ ϕ(rn ) ∆ , 2αn n 34 ∆n = xn − xαn rn ≥ max{ xαn , ∆n } Từ điều kiện a) suy σ < Sử dụng điều kiện b) tính chất dãy {αn }, ta có 2σαn ≤ γ, ϕ(d + γ) ∀n > Vì vậy, ∆0 ≤ γ Do r0 = d + γ Bây giờ, ta ϕ(d + γ)∆n ≤ q < 1, 2σαn ∀n ≥ (2.13) Thật vậy, với n = 0, kết luận suy trực tiếp từ điều kiện b) Giả sử, (2.13) thỏa mãn với n = k rk = d + γ Ta chứng minh với n = k + Rõ ràng, ∆k+1 = xk+1 − xαk+1 ≤ xk+1 − xαk + xαk − xαk+1 (2.14) ϕ(rk ) αk − αk+1 ∆ + d ≤ 2αk k αk Nhân hai vế (2.14) với ϕ(d + γ)/(2σ αk ) sử dụng điều kiện a) c), ta nhận ϕ(d + γ)∆k+1 ≤ 2σαk+1 ϕ(d + γ) ∆k 2σαk + (αk − αk+1 )dϕ(d + γ) 2σ αk2 ≤ q + q − q = q < 1, (2.13) Bây ta rk+1 = d + γ Thật vậy, rk+1 ≥ max{ xαk+1 , ∆k+1 } với ∆k+1 ≤ 2σαk+1 ≤ γ, ϕ(d + γ) đó, ta lấy rk+1 = d + γ Tiếp theo, αn → n → +∞, từ (2.13), ta có ∆n → Cuối hội tụ mạnh dãy {xn } đến x∗ đảm bảo xn − x∗ ≤ ∆n + xαn − x∗ n → +∞ xαn − x∗ → 35 Định lý 2.7 Giả sử X A thỏa mãn điều kiện Định lý 2.6 giả sử {An } toán tử m-J-đơn điệu, hai lần khả vi Fréchet {fn } dãy phần tử X thỏa mãn điều kiện (2.6) (với A thay An ) (2.8) Giả sử δn /αn , hn /αn , αn → 0, n → +∞ Giả thiết thêm dãy {αn } thỏa mãn điều kiện a), b) với x0 − xα0 thay z0 − x˜0 ˜ x˜0 nghiệm phương trình d thay d, An (˜ xn ) + αn (˜ x n − x + ) = fn , (2.15) với n = 0, δn hn d˜ ≥ t˜ = max sup , sup g( x∗ ) + x∗ − x+ , n≥0 αn n≥0 αn c) q − q2 2σ t˜|αn+1 − αn | + a ˜n αn ≤ , c ˜ = , ˜ d˜ + γ) αn2 c˜1 dϕ( a ˜n = δn+1 + δn + C(hn+1 + hn ) /αn , C = max{g(t) : ≤ t ≤ t˜ + x+ } Khi đó, lim n→+∞ zn − x∗ = 0, với zn xác định (2.7) Chứng minh Chú ý rằng, dãy {˜ xn } hội tụ mạnh đến x∗ nghiệm (2.10), hn /αn , δn /αn → 0, n → +∞ Sử dụng công thức Taylor (2.15), ta có An (zn ) + An (zn )(˜ xn − zn ) + An (τn )(˜ xn − zn )2 + αn (˜ xn − x+ ) = fn , (2.16) 36 τn = zn + τ (˜ xn − zn ), < τ < Bây giờ, từ (2.16) (2.8) suy An (zn )(zn+1 − x˜n )+αn (zn+1 − x˜n )+ An (τn )(˜ xn −zn )2 , J(zn+1 − x˜n ) = 0, kết hợp với tính chất J-đơn điệu An suy zn+1 − x˜n ≤ ϕ(˜ rn ) ˜ ∆ , 2αn n ˜ n = zn − x˜n r˜n ≥ max{ x˜n , ∆ ˜ n } Mặt khác từ (2.15), ta có với ∆ thể nhận bất đẳng thức sau (xem [3]): x˜n − x+ ≤ y − x+ + hn g( y ) δn + , αn αn ∀y ∈ S, ˜ Hơn nữa, ta có với n = 0, 1, , đó, x˜n ≤ d x˜n −˜ xn+1 ≤ |αn − αn+1 | δn + δn+1 (hn + hn+1 )g( x˜n+1 ) x˜n+1 −x+ + + αn αn αn Vì vậy, ˜ n+1 = zn+1 − x˜n+1 ≤ zn+1 − x˜n + x˜n − x˜n+1 ∆ ϕ(rn ) ˜ t˜|αn − αn+1 | + a ˜ n αn ≤ ∆n + 2αn αn Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.6, ta có ˜n ϕ(d˜ + γ)∆ ≤ q < 1, 2σαn ∀n ≥ (2.17) ˜ n → Cuối cùng, hội tụ Vì αn → n → +∞, từ (2.17) suy ∆ mạnh dãy {xn } đến x∗ suy từ ˜ n + x˜n − x∗ zn − x∗ ≤ ∆ n → +∞ Định lý chứng minh x˜n − x∗ → 0, 37 Kết luận Đề tài giới thiệu số khái niệm tính chất không gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều; trình bày khái niệm vài tính chất ánh xạ J-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu; giới thiệu phương trình toán tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov Giới thiệu phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến; phương pháp Newton–Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton– Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu Trong khuôn khổ thời gian có hạn trình độ thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thông cảm, đóng góp ý kiến quý báu thầy cô đồng nghiệp để tiếp tục bổ sung, hoàn thiện đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! 38 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [3] Y Alber and I Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer [4] A.B Bakushinskii (1976), "Regularization algorithm based on the Newton–Kantorovich method for the solution of variational inequalities", Zh Vychisl Mat Mat Fiz SSSR, 16(6), 1397–1404 [5] Ng Buong, T.V Dinh and Ng.T.T Thuy (2014), "Newton– Kantorovich regularization for solutions of nonlinear ill-posed equations involving accretive mappings", Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 116(2), 153–159 [6] Ng Buong, V.Q Hung (2005), "Newton–Kantorovich iterative regularization for nonlinear ill-posed equations involving accretive operators", Ukrainian Math Zh., 57, 271–276 39 [7] Ng Buong, Ng.T.H Phuong (2013), "Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces", Iz VUZ 2, 67–74 [8] P.G Ciarlet and C Mardare (2012), "On the Newton–Kantorovich theorem", Analysis and Applications, 10(3), 249–269 [9] P Deuflhard (2012), "A short history of Newton’s method", Documenta Mathematica, 2012, 25–30 [10] B T Polyak (2006), "Newton–Kantorovich method and its global convergence", Journal of Mathematical Sciences, 133(4), 1515–1523 [11] I.P Ryazantseva (1987), "Iterative methods of the Newton– Kantorovich type for solving nonlinear ill-posed problems with monotone operators", Differ Equations, 23, 2012–2014 [...]... Phương pháp Newton Kantorovich Chương này trình bày phương pháp Newton Kantorovich giải phương trình phi tuyến F (x) = 0 trong không gian Banach Trong phần đầu của chương, chúng tôi giới thiệu phương pháp của Kantorovich giải phương trình phi tuyến và định lý hội tụ Newton Kantorovich Phần thứ hai của chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Newton Kantorovich giải phương trình toán tử J- đơn điệu trong không... [5], [8] và [10] 2.1 2.1.1 Phương pháp Newton Kantorovich và định lý hội tụ Phương pháp Vào năm 1948, L.V Kantorovich [10] đã mở rộng phương pháp Newton (1.5) cho việc giải các phương trình phi tuyến với không gian các phiếm hàm và gọi là phương pháp Newton Kantorovich Đóng góp này của Kantorovich là một trong các kỹ thuật căn bản trong giải tích số và giải tích hàm Kantorovich nghiên cứu phương trình. .. bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử đặt không chỉnh phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (2.3) ở đây A là một toán tử m -J- đơn điệu trên không gian Banach X Ta giả thiết rằng tập nghiệm S của bài toán (2.3) khác rỗng Nếu không có thêm điều kiện đặt lên cho toán tử A, chẳng hạn tính J- đơn điệu đều hoặc J- đơn điệu mạnh, thì phương trình (2.3) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Để giải bài toán. .. là C 1 (Ω; Y ), và C 1 (Ω) nếu Y = R 1.2 1.2.1 Phương trình toán tử phi tuyến Phương trình toán tử đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa của Hadamard Định nghĩa 1.5 Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (wellposed) nếu 1) phương trình A(x) = f có... một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.2) có duy nhất nghiệm xδα Ngoài ra nếu α, δ/α → 0 thì {xδα } hội tụ đến nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1) 1.2.3 Phương pháp Newton Trong mục này, ta giới thiệu phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến (xem [9], [10]): f (x) = 0, (1.3) ở đây f : R → R là một hàm phi tuyến Ý tưởng cơ bản của phương. .. + αn J s (xn+1 ) = fn , trong trường hợp A là toán tử đơn điệu từ không gian Banach X vào không gian liên hợp X ∗ của X với điều kiện: A (x) ≤ ϕ( x ), (2.6) ở đây ϕ(t) là một hàm không âm, không giảm với mọi t ≥ 0 Trong [6], giáo sư Nguyễn Bường và học trò đã phát triển phương pháp (2.5) trong trường hợp A là toán tử m -J- đơn điệu trong không gian Banach và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp. .. Banach nổi tiếng cung cấp cách đơn giản nhất để chứng tỏ rằng phương trình phi tuyến f (x) = x có nghiệm và tìm nghiệm bằng phương pháp lặp Định lý Newton Kantorovich cung cấp một cách khác để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến F (x) = 0, cùng với phương pháp lặp để tìm nghiệm của phương trình ấy Cách chứng minh của nó đòi hỏi một vài phân tích hàm tuyến tính và phi tuyến tính trong không... làm thành phần hiệu chỉnh Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s của X Bằng phương pháp này, Alber (xem [3]) đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình A(x) + J s (x − x∗ ) = fδ (1.2) 11 Sự tồn tại duy nhất nghiệm xδα với mỗi α > 0 và sự hội tụ của dãy nghiệm xδα về nghiệm của phương trình (1.1) được trình bày trong định lý dưới đây Định lý... là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Phương pháp lặp được xây dựng như sau: xk+1 = xk − F (xk )−1 F (xk ), k = 0, 1, , (2.2) trong đó F (xk ) là đạo hàm (Fréchet) của toán tử phi tuyến F tại điểm xk và F (xk )−1 là toán tử nghịch đảo 2.1.2 Định lý hội tụ Sự hội tụ của phương pháp (2.2) được trình bày trong định lý sau Định lý 2.1 (xem [10]) Giả sử toán tử F xác định và khả... Phương pháp Newton đặc biệt phù hợp cho việc giải hệ phương trình phi tuyến n phương trình n ẩn số, tương ứng với các ánh xạ f = (fi ) : Ω ⊂ Rn → Rn Trong trường hợp này, mỗi bước lặp trong phương pháp Newton chủ yếu là để tìm nghiệm δxk ∈ Rn cho hệ tuyến tính f (xk )δxk = −f (xk ), ở đây f (xk ) biểu diễn ma trận ( j fi (xk )) cấp n, và cho phép ta tính toán xk+1 := xk + δxk 15 Chương 2 Phương pháp Newton Kantorovich ... nhằm trình bày phương pháp Newton Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu (0.1) trình bày số định lý hội tụ phương pháp Nội dung luận văn trình. .. toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu Phần thứ hai chương giới thiệu phương trình toán tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương. .. phương pháp Kantorovich giải phương trình phi tuyến định lý hội tụ Newton Kantorovich Phần thứ hai chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Newton Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu