2 Phương pháp Newton–Kantorovich
2.2.1 Mô tả phương pháp
Trong mục này, chúng tôi xét bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử đặt không chỉnh phi tuyến:
A(x) =f, f ∈ X, (2.3) ở đây A là một toán tử m-J-đơn điệu trên không gian Banach X. Ta giả thiết rằng tập nghiệm S của bài toán (2.3) khác rỗng. Nếu không có thêm điều kiện đặt lên cho toán tử A, chẳng hạn tính J-đơn điệu đều hoặc J-đơn điệu mạnh, thì phương trình (2.3) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Để giải bài toán (2.3), ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định, một trong những phương pháp được sử dụng khá rộng rãi là phương pháp hiêu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3]):
A(x) +αn(x−x+) = fn, (2.4) và
ở đây x+ là một phần tử cho trước và αn là tham số dương đủ bé tiến tới
0 khi n → +∞. Rõ ràng, nếu A là một toán tử phi tuyến, thì bài toán hiệu chỉnh (2.4) cũng là một bài toán phi tuyến, nên giải nó cũng gặp nhiều khó khăn. Để khắc phục hạn chế này, người ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich. Bakushinskii đưa ra phương pháp sau trong trường hợp X là một không gian Hilbert H (xem [4]):
x0 ∈ E, A(xn) +A0(xn)(xn+1 −xn) +αnxn+1 = fn, (2.5) với A0 và A00 là các đạo hàm Fréchet bậc nhất và bậc hai của A được giả thiết thỏa mãn các điều kiện:A0 liên tục Lipschitz vàkA00(x)k ≤ M,M là một hằng số dương với mọix ∈ H. Phương pháp (2.5) được Ryazantseva phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach ở dạng (xem [11]):
x0 ∈ X, A(xn) +A0(xn)(xn+1−xn) +αnJs(xn+1) = fn,
trong trường hợp A là toán tử đơn điệu từ không gian Banach X vào không gian liên hợp X∗ của X với điều kiện:
kA00(x)k ≤ ϕ(kxk), (2.6) ở đây ϕ(t) là một hàm không âm, không giảm với mọi t ≥ 0. Trong [6], giáo sư Nguyễn Bường và học trò đã phát triển phương pháp (2.5) trong trường hợpA là toán tửm-J-đơn điệu trong không gian Banach và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp sử dụng điều kiện trơn của nghiệm, tức là tồn tại một phần tử ω ∈ X thỏa mãn A0(x∗)ω = x+−x∗, và một điều kiện đặt lên A0 như sau:
kA(x)−A(x∗)−J∗A0(x∗)∗J(x−x∗)k ≤ τkA(x)−A(x∗)k ∀x ∈ X, ở đây τ là một hằng số dương và J∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian X∗.
Trong [5], các tác giả đã nghiên cứu sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich được xác định bởi:
z0 ∈ E, An(zn) + A0n(zn)(zn+1 −zn) +αn(zn+1−x+) = fn, (2.7) với An và fn thỏa mãn điều kiện:
kA(x)−An(x)k ≤ hng(kxk) và kf −fnk ≤ δn, (2.8) với hn, δn → 0 khi n → ∞, ở đây g(t) là một hàm không âm và bị chặn với mọi t≥ 0 và An có tính chất giống như A.