Hệ phương trình toán tử loại đơn điệu

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử loại đơn điệu luận văn thạc sĩ toán học thái nguyên 2012 đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử loại đơn điệu Chuyên ngành: Toán ứng Dụng MÃ số: 60.46.0112 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Ts nguyễn thị thu thủy thái nguyên 2012 Mục lục Mục lục Mở đầu Hệ phương trình với tốn tử ngược đơn điệu mạnh 1.1 Tốn tử đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ đơn điệu cực đại 1.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử ngược đơn điệu mạnh 1.2.1 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 1.2.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 6 11 13 13 19 Hệ phương trình với tốn tử accretive 2.1 Toán tử accretive 2.1.1 Toán tử accretive 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ 2.2 Hệ phương trình tốn tử accretive 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 2.2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính 2.2.3 Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Kết luận 22 22 22 24 26 26 29 33 39 Mở đầu Cho E không gian Banach thực phản xạ, E ∗ không gian liên hợp E, hai có chuẩn kí hiệu , A : E → E ∗ toán tử đơn điệu đơn trị Với f ∈ E ∗ , tìm x0 ∈ E cho A(x0 ) = f (0.1) Một hướng nghiên cứu quan trọng toán (0.1) việc xây dựng phương pháp giải Bài toán (0.1), tốn tử A khơng có tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh, nói chung tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu Năm 1963 A.N Tikhonov [7] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết tốn đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết tốn thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử (0.1) không gian Hilbert thực H dựa việc tìm phần tử cực tiểu xh,δ α phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ + α x∗ − x (0.2) α > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h δ, x∗ phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh,δ α(h,δ) dần tới nghiệm xác tốn (0.1) h δ dần tới khơng Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp toán phi tuyến Đối với toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : E → E ∗ , F Browder [5] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh J s , ánh xạ đối ngẫu tổng qt E, tốn tử có tính chất Bằng phương pháp Ya.I Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ (0.3) cho toán (0.1) Một mở rộng toán (0.1) tốn tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử Aj (x) = fj ∀j = 1, , N, (0.4) Aj : E → E ∗ , toán tử loại đơn điệu, đơn trị fj ∈ E ∗ Dựa việc sử dụng phương trình (0.3) để hiệu chỉnh cho phương trình (0.4), năm 2006 Nguyễn Bường [4] kết hợp phương trình dạng để hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử (0.4) sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số N αµj Ahj (x) + αJ s (x − x∗ ) = θ, j=1 µ1 = < µj < µj+1 < 1, j = 2, , N − 1, (0.5) trường hợp fj = θ, Ahj xấp xỉ Aj Mục đích luận văn nhằm trình bày lại kết phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử (0.4) với toán tử đơn điệu toán tử accretive sở nghiên cứu Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thủy Trương Minh Tuyên tài liệu [4], [6], [8] [9] Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình với tốn tử đơn điệu đồng thời trình bày định lý tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình với tốn tử accretive, đồng thời trình bày ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trường hợp Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người hướng dẫn, dạy tận tình để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô công tác trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tơi xin cảm ơn quan, bạn bè, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Vân Chương Hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh Trong chương chúng tơi trình bày số kết nghiên cứu [4] [6] hội tụ tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach phản xạ thực 1.1 Toán tử đơn điệu Các khái niệm kết mục tham khảo tài liệu [1], [3] [10] 1.1.1 Không gian Banach Cho E không gian Banach E ∗ không gian đối ngẫu E, tức không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Sự hội tụ mạnh hội tụ yếu dãy {xn } ∈ E phần tử x E kí hiệu xn → x xn x tương ứng Không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ E ∗ Sau tính chất khơng gian phản xạ: Mệnh đề 1.1.1 Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ; ii) Mọi tập lồi, đóng bị chặn E tập compact yếu; iii) Mọi dãy bị chặn E có dãy hội tụ yếu Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt mặt cầu đơn vị S = {x ∈ E : x = 1} E lồi chặt, tức từ x, y ∈ S kéo theo x + y < (nói cách khác biên S khơng chứa đoạn thẳng nào) Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε ta ln có x+y ≤ − δ (ε) Dễ thấy E khơng gian Banach lồi khơng gian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại khơng đúng, ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.1.1 Xét E = c0 (không gian dãy số hội tụ không) với chuẩn β xác định ∞ x β = x c0 +β i=1 |xi |2 i2 , x = (xi ) ∈ c0 Khi đó, (X, β ), β > không gian lồi chặt không không gian lồi Để đo tính lồi không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm mô đun lồi δE ( ) = inf − 2−1 x + y : x = 1, y = 1, x − y = Mô đun lồi không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0, 2] Không gian Banach E lồi chặt δE (2) = Không gian Banach E lồi δE (ε) > với ε > Mệnh đề 1.1.2 Mọi không gian Banach lồi đều không gian phản xạ Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định ρE (τ ) = sup 2−1 ( x + y + x − y ) − : x = 1, y = τ Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng khoảng [0, +∞) Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach E gọi trơn ρE (τ ) = τ →∞ τ lim Ví dụ 1.1.2 Mọi khơng gian Hilbert khơng gian lp (1 < p < +∞) không gian Banach lồi trơn Định lý 1.1.1 Cho E khơng gian Banach Khi khẳng định sau tương đương: i) Nếu E không gian trơn E ∗ khơng gian lồi đều; ii) Nếu E khơng gian lồi E ∗ không gian trơn 27 R0 = y − QS y Chứng minh i) Với n ≥ 0, phương trình (2.6) xác định dãy {xn } ⊂ E, n, phần tử xn điểm bất động ánh xạ co T : C → C xác định T (x) = N + αn N Ti (x) + i=1 αn y N + αn (2.8) ii) Từ phương trình (2.6) ta có N Ai (xn ), J(xn − x0 ) + αn xn − y, J(xn − x0 ) = ∀x0 ∈ S (2.9) i=1 N Ai tính chất J, ta nhận Sử dụng tính accretive i=1 N Ai (xn ), J(xn − x0 ) ≥ ∀x0 ∈ S i=1 Do đó, xn − y, J(xn − x0 ) ≤ ∀x0 ∈ S (2.10) Từ bất đẳng thức (2.10) ta có xn − x0 ≤ y − x0 , J(xn − x0 ) 0 ≤ y − x xn − x (2.11) ∀x ∈ S Suy xn − x0 ≤ y − x0 xn − x0 ∀n ≥ 0, ∀x0 ∈ S (2.12) Bất đẳng thức chứng tỏ {xn } bị chặn Do tập bị chặn không gian Banach phản xạ tập compact tương đối yếu, nên tồn 28 dãy {xnk } ⊆ {xn } hội tụ yếu x¯ Vì C tập lồi đóng nên C đóng yếu Do đó, x¯ ∈ C Ta x¯ ∈ S Thật vậy, với i ∈ {1, 2, , N }, x0 ∈ S R > thỏa mãn R ≥ max sup xn , x0 δE Ai (xn ) 4R ≤ , ta có L Ai (xn ) , J (xn − x∗ ) R2 L ≤ R N Ak (xn ) , J (xn − x∗ ) k=1 Lαn xn − y xn − x∗ R Lαn ≤ (R + y ) y − x∗ → 0, n → ∞ R ≤ Vì mơ đun δE liên tục E không gian Banach lồi đều, nên Ai (xn ) → 0, n → ∞ Từ Bổ đề 2.1.4, suy Ai (¯ x) = Vì i ∈ {1, 2, , N } bất kì, nên ta nhận x¯ ∈ S Trong bất đẳng thức (2.11) thay xn xnk x0 x¯ sử dụng tính liên tục yếu J, ta xnk → x¯ Từ bất đẳng thức (2.10) ta có x¯ − y, J(¯ x − x0 ) ≤ ∀x0 ∈ S (2.13) Bây giờ, ta bất đẳng thức (2.13) có nghiệm Giả sử x¯1 ∈ S nghiệm (2.13) Khi x¯1 − y, J(¯ x1 − x0 ) ≤ ∀x0 ∈ S (2.14) Trong bất đẳng thức (2.13), (2.14) thay x0 x¯1 x¯, tương ứng ta nhận x¯ − y, J(¯ x − x¯1 ) ≤ y − x¯1 , J(¯ x − x¯1 ) ≤ 29 Kết hợp bất đẳng thức trên, suy x¯ − x¯1 ≤ Do x¯ = x¯1 = QS y dãy {xn } hội tụ yếu x¯ = QS y QS y thỏa mãn bất đẳng thức (2.13) Cuối từ bất đẳng thức (2.11) suy xn → QS y Để kết thúc chứng minh, ta chứng minh bất đẳng thức (2.7) Trong phương trình (2.5) thay n n + 1, ta có N Ai (xn+1 ) + αn+1 (xn+1 − y) = (2.15) i=1 Từ (2.6) (2.15), ta nhận αn+1 xn+1 − αn xn ,J(xn+1 − xn ) ≤ (2.16) ≤ (αn+1 − αn ) y, J(xn+1 − xn ) Suy αn xn+1 − xn ≤ (αn+1 − αn ) y − xn+1 , J (xn+1 − xn ) ≤ |αn+1 − αn | y − xn+1 xn+1 − xn ≤ y − QS y |αn+1 − αn | xn+1 − xn Do đó, xn+1 − xn ≤ |αn+1 − αn | R0 ∀n ≥ 0, αn với R0 = y − QS y 2.2.2 Thuật toán điểm gần kề qn tính Chúng ta xét thuật tốn điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử accretive (2.5) sau: N Ai (un+1 ) + αn (un+1 − y) cn (2.17) i=1 + un+1 = QC (un + γ(un − un−1 )) , n ≥ 1, 30 u0 , u1 ∈ C QC : E → C ánh xạ S-co rút không giãn từ E lên C Bổ đề 2.2.1 Cho αn dãy số thực không âm thỏa mãn tính chất αn+1 ≤ (1 − λn ) αn + λn βn + σn ∀n ≥ 0, λn , βn σn thỏa mãn điều kiện: N λn = ∞; i) n=0 ∞ ii) lim sup βn ≤ n→∞ |λn βn | < ∞; n=0 N iii) σn ≥ ∀n ≥ σn < ∞, n → ∞ n=0 Khi đó, dãy αn hội tụ n → ∞ Định lý 2.2.2 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi đóng, S-co rút khơng giãn E cho Ti : C → C, i = 1.2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu dãy số cn , αn , γn thỏa mãn |αn+1 − αn | → 0; i) < c0 < cn , αn > 0, αn → 0, αn2 ii) γn ≥ 0, γn αn−1 un − un−1 → 0, dãy un xác định (2.17) hội tụ mạnh QS y, QS : E → S S-co rút không giãn từ E lên S Chứng minh Trước hết, với n ≥ 1, phương trình (2.17) xác định dãy {un } ⊂ E, với n, phần tử un+1 điểm bất động ánh xạ co f : C → C xác định cn f (x) = cn (N + αn ) + N Ti (x) i=1 cn αn + y+ z cn (N + αn ) + cn (N + αn ) + (2.18) 31 z = QC (un + γn (un − un−1 )) ∈ C Bây giờ, ta lại viết phương trình (2.6) (2.17) dạng tương đương N Ai (xn ) + xn − y = βn (xn − y) dn (2.19) i=1 N Ai (un+1 ) + un+1 − y = dn (2.20) i=1 = βn [QC (un + γn (un − un−1 )) − y] , βn = dn = cn βn + cn αn N Ai Từ phương trình (2.19), (2.20) tính chất accretive i=1 ta nhận un+1 − xn ≤ βn QC (un + γn (un − un−1 )) − xn = βn QC (un + γn (un − un−1 )) − QC (xn ) ≤ βn un − xn + βn γn un − un−1 Do đó, un+1 − xn+1 ≤ un+1 − xn + xn+1 − xn ≤ βn un − xn + βn γn un − un−1 + (2.21) |αn+1 − αn | R, αn tương ứng với un+1 − xn+1 ≤ (1 − bn ) un − xn + σn , bn = σn = βn γn un − un−1 + |αn+1 − αn | R αn cn αn , + cn αn (2.22) 32 Theo giả thiết, ta có σn 1 |αn+1 − αn | = αn−1 γn un − un−1 + +1 R bn cn cn αn2 1 |αn+1 − αn | +1 R → ≤ αn−1 γn un − un−1 + c0 cn αn2 ∞ ∞ αn = +∞, nên Ngồi ra, n=0 bn = +∞ Theo Bổ đề 2.2.1 suy n=0 un − xn → Vì xn → QS y nên un → QS y Hệ 2.2.1 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J từ E vào E ∗ Cho Ti : E → E, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu dãy số cn , αn γn thỏa mãn: ∞ |αn+1 − αn | i) < c0 < cn , αn > 0, αn → 0, αn = +∞; → 0, αn2 n=0 ii) γn ≥ 0, γn αn−1 un − un−1 → 0, dãy un xác định N Ai (un+1 ) + αn un+1 ) + un+1 = un + γn (un − un−1 ) , u0 , u1 ∈ E cn ( i=1 hội tụ mạnh QS θ, QS : E → S ánh xạ S-co rút không giãn từ E lên S Chứng minh Sử dụng Định lý 2.2.2 với C = E y = θ, ta nhận điều chứng minh Hệ 2.2.2 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi đóng, S-co rút khơng giãn E cho Ti : C → E, i = 1.2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu dãy số cn , αn γn thỏa mãn: 33 |αn+1 − αn | → 0, αn2 → 0, ∞ i) < c0 < cn , αn > 0, αn → 0, ii) γn ≥ 0, γn αn−1 un − un−1 αn = +∞; n=0 dãy un xác định N Bi (un+1 ) + αn (un+1 − y)) + un+1 = QC (un + γn (un − un−1 )) cn ( i=1 hội tụ mạnh QS y, Bi = I − QC fi , i = 1, 2, , N , QC S-co rút không giãn từ E lên C, QS S-co rút không giãn từ E lên S y, u0 , u1 ∈ C Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.7 suy S = ∩N i=1 F ix(QC fi ) Áp dụng Định lý 2.2.2 với Ti = QC fi , i = 1, 2, , N ta điều cần chứng minh ✷ 2.2.3 Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Trong mục trình bày định lý tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (2.6) hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử accreive (2.5) Giả sử Ti C thỏa mãn điều kiện: (A1) Đối với miền C, tồn dãy tập lồi, đóng S-co rút không giãn Cn ∈ E, n = 1, 2, 3, cho H(Cn , C) ≤ δn , δn dãy số dương thỏa mãn δn+1 ≤ δn ∀n ≥ (2.23) (A2) Trên tập Cn tồn ánh xạ không giãn Tin : Cn → Cn , i = 1, 2, , N thỏa mãn điều kiện: tồn hàm dương g(t) ξ(t) 34 tăng với t > cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = x ∈ Ck , y ∈ Cm , x − y ≤ δ, Tik x − Tim y ≤ g (max { x , y }) ξ (δ) (2.24) Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (2.6) hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử (2.5) thiết lập dạng N Ani (zn ) + αn (zn − QCn y) = 0, (2.25) i=1 y ∈ E, Ani = I − Tin , i = 1, 2, , N QCn : E → Cn S-co rút không giãn từ E lên Cn Định lý 2.2.3 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi đóng, S-co rút không giãn E cho Ti : C → C, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Khi đó, i) với αn > phương trình (2.25) có nghiệm zn ; ii) điều kiện (A1) (A2) thỏa mãn dãy số dương αn , δn thỏa mãn điều kiện αn → 0, δn + ξ (δn ) → 0, n → ∞ αn (2.26) dãy zn hội tụ mạnh QS (QC y) , QS : E → S S-co rút không giãn từ E lên S Hơn nữa, thêm điều kiện αn dãy giảm, ta có đánh giá sau zn+1 − zn ≤ 4δn + K δn + ξ (2δn ) αn − αn+1 + R αn αn + K1 hE (δn ) ∀n ≥ 0, R, K, K1 , số (2.27) 35 Chứng minh i) Với n ≥ 0, lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 suy phương trình (2.25) có nghiệm zn ii) Vì khoảng cách Hausdorff H(Cn , C) ≤ δn , nên với nghiệm xn phương trình (2.6) (chú ý trường hợp phần tử y (2.6) thay QC y), tồn phần tử un ∈ Cn cho xn − un ≤ δn Từ phương trình (2.6) (2.25) ta có N (Ani (zn ) − Ani (un )) + αn (zn − xn ) − αn (QCn y − QC y) i=1 (2.28) N (Ani (un ) − Ani (xn )) = + i=1 N Từ tính accretive tốn tử Ani tính chất ánh xạ đối ngẫu i=1 chuẩn tắc J ta nhận N (Ani (zn ) − Ani (un )), J(zn − un ) ≥ 0, i=1 điều suy αn zn − xn , J(zn − un ) ≤ αn QCn y − QC y, j(zn − un ) N (Ai (xn ) − + Ani (un )) , J(zn (2.29) − un ) i=1 Do đó, αn zn − un ≤ αn xn − un N Ai (xn ) − Ani (un ) + αn QCn y − QC y + i=1 N Ai (xn ) − Ani (un ) ≤ αn δn + αn QCn y − QC y + i=1 36 Vì H(Cn , C) ≤ δn nên tồn số K2 > K3 > cho bất đẳng thức sau đúng: QCn y − QC y ≤ K2 hE (K3 δn ) ≤ K2 LK3 hE (δn ) Tiếp theo, với i ∈ {1, 2, , N } , ta có Ai (xn ) − Ani (un ) ≤ δn +g (max { xn , un }) ξ (δn ) ≤ δn +g (M ) ξ (δn ) , M = max {sup xn , sup un } < +∞ Từ đánh giá ta nhận αn zn − un ≤ αn δn + αn K2 LK3 hE (δn ) (2.30) + N (δn + g (M ) ξ (δn )) Do đó, zn − xn ≤ zn − un + xn − un ≤ 2δn + K2 LK3 δn + g (M ) ξ (δn ) hE (δn ) + N αn (2.31) δn + ξ (δn ) → 0, nên δn → hE (δn ) → Từ bất αn đẳng thức (2.31) ta xn − zn → Theo Định lý 2.2.1 suy Vì αn → 0, xn → QS (QC y) , dãy zn hội tụ mạnh QS (QC y) Cuối cùng, ta chứng minh bất đẳng thức (2.27) Trong phương trình (2.25) thay n n + 1, ta N An+1 (zn+1 ) + αn zn+1 − QCn+1 y = i (2.32) i=1 Vì H (Cn , Cn+1 ) ≤ H (Cn , C) + H (C, Cn+1 ) ≤ 2δn , nên với zn+1 ∈ Cn+1 tồn υn ∈ Cn cho zn+1 − υn ≤ 2δn 37 Từ phương trình (2.25) (2.32) ta nhận N (Ani (zn ) − Ani (υn )) + αn (zn − QCn y) i=1 (2.33) − αn+1 zn+1 − QCn+1 y N (Ani (υn ) − An+1 (zn+1 )) = i + i=1 N Từ tính accretive Ani tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc i=1 J suy αn zn − υn ≤ αn+1 υn − zn+1 + |αn − αn+1 | υn − QCn y + αn+1 QCn y − QCn+1 y (2.34) N Ani (υn ) − An+1 (zn+1 ) i + i=1 Do H(Cn , Cn+1 ) ≤ 2δn , nên tồn số K4 > K5 > cho bất đẳng thức sau đúng: QCn y − QCn+1 y ≤ K4 hE (K5 δn ) ≤ K4 LK5 hE (δn ) (2.35) Từ υn ∈ Cn , suy υn − QCn y ≤ υn − y ≤ sup zn + y + 2δ1 := R (2.36) Tiếp theo, với i ∈ {1, 2, , N } , ta có Ani (υn ) − An+1 (zn+1 ) ≤ 2δn + Tin (υn ) − Tin+1 (zn+1 ) i ≤ 2δn + g (max { υn , zn+1 }) ξ (2δn ) (2.37) ≤ 2δn + g (M ) ξ (2δn ) , M = max {sup υn , sup zn } < +∞ 38 Kết hợp (2.33)-(2.36) ta nhận zn − υn ≤ 2δn + K4 LK5 hE (δn ) δn + ξ (2δn ) αn − αn+1 +K +R αn αn (2.38) K = max {2N, N g (M )} Tóm lại, ta có đánh giá sau δn + ξ (2δn ) αn αn − αn+1 +R + K3 LK4 αn zn+1 − zn ≤ 4δn + K (2.39) hE (δn ) 39 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số kết nghiên cứu Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thủy Trương Minh Tuyên phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh phương trình tốn tử loại đơn điệu Cụ thể: - Trình bày chứng minh hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử ngược đơn điệu mạnh khơng gian Banach; - Trình bày định lý hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov thuật toán điểm gần kề qn tính cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử accretive khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời trình bày tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trường hợp 40 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [2] Ya I Alber (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal, 26, pp 3-11 [3] Ya Alber and I Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006 [4] Ng Buong (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46(3), pp 354-360 [5] F Browder (1966), "Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sci USA, 56(4), pp 1080-1086 [6] Ng T T Thuy (2011), "Regularization for system of inversestrongly monotone operator equations", Journal Nonlinear Functional Analysis and Applications (to appear) 41 [7] A N Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Dokl Akad Nauk SSSA, 151, pp 501-504 (Russian) [8] T M Tuyen (2012), "A Regularization proximal point alogorithm for zeros of accretive operators in Banach spaces", Afr Diaspora J Math., 13(2) pp 62–73 [9] T M Tuyen (2012), "An other approach for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J Nonl Anal Optim, (accepted) [10] E Zeidler (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York ... Hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh 1.1 Toán tử đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu... tắc E, A : E → E ∗ tốn tử đơn điệu Khi A tốn tử đơn điệu cực đại với λ > 0, R(A + λJ) toàn E ∗ Định lý sau toán tử đơn điệu, hemi-liên tục bị chặn từ E vào E ∗ toán tử đơn điệu cực đại Định lý... chất đơn điệu, bị chặn hemi-liên tục toán tử Ahj , suy Ahj toán tử đơn điệu cực đại xác định khơng gian N Banach E Do đó, αµj + αJ tốn tử đơn điệu cực đại Mặt j=1 N khác, J toán tử nên với α > toán