Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học Khoa học Nguyễn thị kim thủy Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu Luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyên 2014 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học Khoa học Nguyễn thị kim thủy Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60 46 01 12 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Pgs.ts đỗ văn l-u TháI nguyên - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Hệ phương trình tốn tử đơn điệu 1.1 1.2 1.3 Không gian Banach Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Một số tính chất hình học khơng gian Banach Tốn tử đơn điệu 1.2.1 Toán tử đơn điệu 1.2.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 11 1.2.3 Toán tử chiếu 11 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 13 1.3.1 Hệ phương trình tốn tử đơn điệu 13 1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu 14 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu 2.1 2.2 21 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert 22 2.1.1 Mô tả phương pháp 22 2.1.2 Sự hội tụ 24 Một phương pháp lặp giải hệ phương trình tốn tử 27 2.2.1 Mô tả phương pháp i 28 2.2.2 30 Ví dụ số 33 Kết luận 35 2.3 Sự hội tụ MỞ ĐẦU Nhiều toán thực tế dẫn đến việc giải hệ phương trình tốn tử Ai (x) = fi , i = 1, 2, , N, (1) Ai : E → F tốn tử từ khơng gian Banach E vào không gian Banach F , fi ∈ F cho trước, N ≥ số tự nhiên Bài tốn ngược tốn tìm đại lượng vật lý chưa biết x thuộc không gian Banach E từ hữu hạn kiện (f1 , f2 , , fN ) ∈ F N cho trước không gian Banach F (xem [7]) Trong thực tế, ta khơng biết xác kiện fi , thay vào ta biết xấp xỉ fiδ ∈ F kiện fi thỏa mãn fi − fiδ ≤ δ, δ → (2) Tập hữu hạn kiện fiδ nhận đo đạc trực tiếp tham số Bài toán mơ tả dạng hệ phương trình tốn tử (1) với Ai : D(Ai ) ⊂ E → F , D(Ai ) định nghĩa miền xác định toán tử Ai , i = 1, 2, , N Hệ phương trình tốn tử (1), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh, theo nghĩa tập nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Một số phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phải kể đến phương pháp kiểu hiệu chỉnh lặp (xem [4] tài liệu trích dẫn) phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (xem [9] tài liệu trích dẫn) sau viết lại hệ phương trình tốn tử (1) dạng phương trình A(x) = f , N A := (A1 , A2 , , AN ) : ∩N i=1 D(Ai ) =: D → F (3) f := (f1 , f2 , , fN ) Các phương pháp thường không hiệu số phương trình hệ N lớn Để khắc phục nhược điểm này, người ta sử dụng phương pháp lặp xoay vịng kiểu Kaczmarz cho phương trình hệ (xem [8] tài liệu trích dẫn) Phương pháp kiểu Kaczmarz vốn thuật toán tuần tự, nên N lớn thường gây tốn xử lý đơn Năm 2006, để giải hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh (1), Nguyễn Bường [5] đưa phương pháp hiệu chỉnh kiểu BrowderTikhonov toán tử Ai hemi-liên tục, đơn điệu có tính chất Phương pháp Nguyễn Bường số biến thể phương pháp dùng cho việc tính tốn song song (xem [3]) Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số kết [6], [10] [11] phương pháp hiệu chỉnh lặp phương pháp lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu (1) Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm kết khơng gian Hilbert, khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu toán tử chiếu Phần cuối chương giới thiệu hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh tốn khơng gian Banach Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp phương pháp lặp không gian Hilbert hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh Phần cuối chương trình bày ví dụ số minh họa hội tụ phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử khơng gian Hilbert Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng dẫn luận văn cao học mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu - Viện Tốn học TS Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng viên trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn giải thắc mắc cho suốt q trình tơi làm luận văn Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, thầy giảng dạy lớp cao học tốn K6C, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện khóa học luận văn Thái Ngun, tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Kim Thủy BẢNG KÝ HIỆU Rn không gian Euclide n chiều E không gian Banach thực E∗ không gian liên hợp E ξ, x giá trị phiếm hàm ξ x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị tốn tử A H khơng gian Hilbert thực A∗ toán tử liên hợp toán tử A I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận A xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Chương Hệ phương trình tốn tử đơn điệu Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức khơng gian Banach, khơng gian Hilbert, tốn tử đơn điệu, hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [10] số tài liệu trích dẫn 1.1 1.1.1 Khơng gian Banach Khơng gian Hilbert Khơng gian Banach Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn khơng gian tuyến tính E ứng với phần tử x ∈ E ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: (1) x > với x = 0, x = x = 0; (2) x + y ≤ x + y với x, y ∈ E; (bất đẳng thức tam giác) (3) αx = |α| x với x ∈ E α ∈ R Không gian định chuẩn đầy đủ khơng gian Banach Ví dụ 1.1 Khơng gian Lp [a, b] với ≤ p < ∞ không gian Banach với chuẩn ❶ ϕ = b a ➀ p1 p |ϕ(x)| dx , ϕ ∈ Lp [a, b] Định nghĩa 1.2 Dãy phần tử xn không gian Banach E gọi hội tụ đến phần tử x0 ∈ E n → ∞, xn − x0 → n → ∞, ký hiệu xn → x0 Sự hội tụ theo chuẩn gọi hội tụ mạnh Định nghĩa 1.3 Dãy {xn } ⊂ E gọi hội tụ yếu đến x0 ∈ E, ký hiệu xn x0 , với f ∈ E ∗ -không gian liên hợp E, ta có f (xn ) → f (x0 ), n → ∞ Từ định nghĩa ta có tính chất sau: (i) Từ hội tụ mạnh dãy {xn } suy hội tụ yếu dãy (ii) Giới hạn yếu dãy có (iii) Nếu xn x sup 1≤n (ii) Giả sử xn+1 nghiệm (2.3) với αn thay αn+1 Từ (2.3) suy N αnλi Ai (xn ) − fi , xn − xn+1 + αn xn − x∗ , xn − xn+1 i=1 N λi αn+1 Ai (xn+1 ) − fi , xn+1 − xn + i=1 + αn+1 xn+1 − x∗ , xn+1 − xn N λi αn+1 Ai (xn ) − fi , xn+1 − xn + i=1 N + λi αn+1 Ai (xn ) − fi , xn − xn+1 = i=1 Sử dụng tính đơn điệu Ai bất đẳng thức cuối ta N λi (αnλi − αn+1 ) Ai (xn ) − fi , xn − xn+1 + αn xn − x∗ , xn − xn+1 i=1 + αn+1 xn+1 − x∗ , xn+1 − xn ≤ Suy αn xn − xn+1 , xn − xn+1 ≤(αn − αn+1 ) xn+1 − x∗ , xn+1 − xn N + λi (αnλi − αn+1 ) Ai (xn ) − fi , xn+1 − xn i=2 Vì ||xn − xn+1 || ≤ K N λi |αn − αn+1 | λi αn − αn+1 , (2.4) ||xn+1 − x∗ || + αn αn i=2 K số dương cho K = max ||Ai (xn ) − fi || 2≤i≤N 23 Mặt khác, từ (2.3) ta có N λi αn+1 Ai (xn+1 ) − fi , xn+1 − x + αn+1 xn+1 − x∗ , xn+1 − x i=1 N λi αn+1 Ai (xn+1 ) − Ai (x) + fi − fi , xn+1 − x = i=1 + αn+1 xn+1 − x∗ , xn+1 − x = 0, ∀x ∈ S Sử dụng tính đơn điệu Ai bất đẳng thức cuối ta N αn+1 xn+1 − x∗ , xn+1 − x = λi αn+1 Ai (xn+1 ) − Ai (x), x − xn+1 i=1 ≤ 0, ∀x ∈ S Vì ||xn+1 − x∗ || ≤ ||x − x∗ ||, ∀x ∈ S (2.5) Kết hợp (2.4) (2.5) Định lý giá trị trung bình Lagrange cho hàm khả vi ϕ(ν) = ν γ , < γ < 1, ν ∈ [1; +∞) đoạn [αn ; αn+1 ] [αn+1 ; αn ], ta ||xn+1 − xn || ≤ M |αn+1 − αn | , αn M = ||x0 − x∗ || + K(N − 1) Định lý chứng minh xong 2.1.2 Sự hội tụ Bổ đề 2.1 Cho {un }, {an } {bn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện (i) un+1 ≤ (1 − αn )un + bn , ≤ αn ≤ 1; ∞ bn (ii) an = +∞, lim = n→+∞ an n=1 Khi lim un = n→+∞ 24 Định lý 2.2 Giả sử dãy {αn } {βn } toán (2.2) thỏa mãn điều kiện sau: (i) ≥ αn 0, β → n → +∞; |αn+1 − αn | βn (ii) lim = 0, lim = 0; n→+∞ n→+∞ αn βn αn2 ∞ (iii) αn βn = +∞ n=1 Khi dãy {zn } xác định (2.2) hội tụ H tới x0 ∈ S n → +∞ Chứng minh Trước hết ta có ||zn − x0 || ≤ ||zn − xn || + ||xn − x0 || Theo Định lý 2.1, số hạng thứ hai vế phải đánh giá dần đến n → ∞ Do ta cần chứng minh zn xấp xỉ xn n → ∞ Đặt n n+1 = ||zn − xn || Ta có = ||zn+1 − xn+1 ||  N = ||zn − xn − βn   αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) i=1 (2.6) − (xn+1 − xn )||  N ≤ zn − xn − βn   αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) i=1 + ||xn+1 − xn ||, 25  N zn − xn − βn  αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗  ) i=1 = ||zn − xn || + ➧ N βn2 αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) i=1 N αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) − 2βn zn − xn , i=1   N (2.7) ➺ αnλi (Ai (xn ) − fi ) + αn (xn − x∗ ) − i=1 ≤ (1 − 2βn αn )||zn − xn ||2 + N βn2 αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) i=1 Vì Ai toán tử ngược đơn điệu mạnh nên liên tục Lipschitz suy N αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) i=1 N = αnλi (Ai (zn ) − fi ) + αn (zn − x∗ ) i=1 N αnλi (Ai (xn ) − fi ) − αn (xn − x∗ ) − i=1 ❸N ➂2 = αnλi ||zn − xn || + αn2 ||zn − xn ||2 mAi i=1 N + 2αn αnλi ||zn − xn ||2 mAi i=1 ≤ c||zn − xn ||2 , c số dương Kết hợp (2.6), (2.7), bất đẳng thức cuối Định lý 2.1 ta n+1 ≤ n (1 − 2βn αn + cβn2 ) 26 1/2 +M |αn+1 − αn | αn Bình phương hai vế bất đẳng thức cuối áp dụng đánh giá (a + b)2 ≤ (1 + αn βn )a2 + + b2 , αn βn ta n+1 ≤ n (1 − βn αn + cβn2 − 2αn2 βn2 + cαn βn3 ) 2 |αn+1 − αn | + 1+ M βn αn αn2 Bổ đề 2.1 thỏa mãn cho dãy { n} (2.8) (2.8) điều kiện (i)-(iii) định lý với an = αn βn − cβn2 + 2αn2 βn2 − cαn βn3 2 |αn+1 − αn | bn = + M βn αn αn2 Định lý chứng minh xong Nhận xét 2.1 Dãy βn = (1+n)−1/2 αn = (1+n)−p , < 2p < 1/N thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2 2.2 Một phương pháp lặp giải hệ phương trình tốn tử Trong mục chúng tơi nghiên cứu phương pháp lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert H: Ai (x) = 0, i = 1, , N, (2.9) với Ai = I − Pi , I toán tử đơn vị H, Pi tốn tử chiếu H lên tập lồi đóng Ci H, i = 1, , N Ở đây, Ci := {¯ x∈H: Ai (¯ x) = 0} Nội dung mục viết từ báo Nguyễn Bường [6] 27 2.2.1 Mô tả phương pháp Ta xét phương trình tốn tử phụ thuộc tham số: N Ai (x) + αn (x − x∗ ) = 0, (2.10) i=1 với dãy tham số αn dần đến khơng n → ∞, x∗ phần tử thuộc H không thuộc C := ∩N i=1 Ci -tập lồi, đóng, khác rỗng H Chúng nghiên cứu phương pháp lặp với dãy lặp {zn } xác định sau ❸N zn+1 = zn − βn ➂ Ai (zn ) + αn (zn − x¯) , z0 ∈ H, (2.11) i=1 {βn } dãy số dương Bổ đề 2.2 (Nguyên lý nửa đóng) Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, T : C → C ánh xạ không giãn, {xn } dãy C cho xn x xn − T xn → x − T x = Định lý 2.3 (i) Với αn > tốn (2.10) có nghiệm xn ; (ii) lim xn = x0 , x0 ∈ S thỏa mãn ||x0 − x∗ || ≤ ||y − x∗ || với n→+∞ y ∈ C; (iii) ||xn − xp || ≤ M |αn − αp | , M = ||x0 − x¯|| αn Chứng minh (i) Vì tốn tử chiếu Pi khơng giãn nên Ai tốn tử đơn điệu liên tục Lipschitz với số Lipschitz Li = Vì tốn tử N i=1 Ai đơn điệu liên tục Lipschitz với số Lipschitz L = 2N Suy ra, toán tử N i=1 Ai tốn tử đơn điệu cực đại, phương trình tốn tử (2.10) có nghiệm xn với αn > 28 (ii) Từ (2.10) ta có N Ai (xn ), xn − y + αn xn − x∗ , xn − y = 0, ∀y ∈ C (2.12) i=1 Vì y ∈ C nên ta có Ai (y) = với i = 1, , N Vì N Ai (xn ), xn − y = i=1 Từ đẳng thức cuối, (2.12) tính đơn điệu Ai cho ta xn − x∗ , xn − y ≤ hay xn − x∗ , xn − x∗ ≤ xn − x∗ , y − x∗ , ∀y ∈ C Vì ||xn − x∗ || ≤ ||y − x∗ ||, ∀y ∈ C (2.13) Suy dãy {xn } bị chặn, tồn dãy {xnk } dãy {xn } cho xnk x˜ ∈ H, k → +∞ Đầu tiên, ta chứng minh x˜ ∈ Ci , i = 1, , N Thật vậy, ta có Ai tốn tử 1/2-ngược đơn điệu mạnh, tức Ai (x) − Ai (y), x − y ≥ ||Ai (x) − Ai (y)||2 Vì với y ∈ C, từ (2.10) ta suy ||Aj (xnk )||2 ≤ Aj (xn−k ), xn−k − y N Ai (y) − Ai (xn−k ), xn−k − y ≤ i=1,i=j + 2αn−k −y, xn−k − y Từ suy ➮ ||Aj (xn−k )|| ≤ 2αn−k ||y|| Suy lim ||Aj (xn−k )|| = k→∞ 29 Từ tính chất nửa đóng tốn tử Aj , ta có Aj (˜ x) = 0, tức x˜ ∈ Ci Từ (2.13) với y = x˜, ta suy lim xnk = x˜ ∈ C k→+∞ Vì C tập lồi, đóng khơng gian Hilbert H nên tồn phần tử x0 có chuẩn nhỏ Khi dãy {xn } hội tụ đến x0 n → +∞ (iii) Gọi xp nghiệm phương trình (2.10) αn thay αp Khi từ cơng thức (2.10) tính đơn điệu tốn tử Aj ta có N Ai (xn ) − Ai (xp ), xn − xp + αn xn − x∗ , xn − xp i=1 + αp xp − x¯, xp − xn = Suy ||xn − xp || ≤ |αn − αp | |αn − αp | ||xp − x∗ || ≤ ||x − x∗ || αn αn Định lý chứng minh xong 2.2.2 Sự hội tụ Định lý 2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) ≥ αn 0, β → n → +∞; α1 − αn+1 βn (ii) lim = lim = 0; n→+∞ n→+∞ αn βn αn ∞ (iii) αn βn = +∞ n=0 Khi zn → x0 n → +∞ Chứng minh Đặt n+1 n = ||zn − xn || Hiển nhiên = ||zn+1 − xn+1 || ❸N = ||zn − xn − βn ➂ Ai (zn ) + αn (zn − x∗ ) − (xn+1 − xn )||, i=1 30 ❸ ➂ zn − xn − βn Aj (zn ) + αn (zn − x∗ ) j∈J = ||zn − xn || + βn2 || N i=1 N ➤ − 2βn zn − xn , ❶ Ai (zn ) + αn (zn − x∗ )||2 Ai (zn ) + αn (zn − x∗ ) i=1 ➀➳ N − Ai (xn ) + αn (xn − x∗ ) i=1 ≤ (1 − 2αn βn )||zn − xn || + N βn2 || Ai (zn ) + αn (zn − x∗ )||2 , i=1 N Ai (zn ) + αn (zn − x∗ )||2 || ❸N i=1 ≤ ➂2 ||Ai (zn ) − Ai (x0 )|| + αn ||zn − x∗ || i=1 ❸N ≤ ➂2 2||zn − x0 || + αn ||zn − x∗ || i=1 ≤ c1 ||zn − xn ||2 + c2 , ci , i = 1, số dương Vì n+1 ≤ n (1 − 2βn αn + c1 βn2 ) + c2 βn2 1/2 +M αn − αn+1 αn Bình phương hai vế bất đẳng thức cuối áp dụng đánh giá (a + b)2 ≤ (1 + ε)(a2 + b2 ), ε > 0, ε 31 ε = αn βn Ta bất đẳng thức n+1 n (1 ≤ − 2αn βn + c1 βn2 ) + c2 βn2 (1 + αn βn ) ❸ + M2 n (1 ≤ αn − αn+1 αn2 βn ➂2 αn βn (1 + αn βn ) − αn βn + c3 βn2 ) + c4 βn2 ❸ + M2 αn − αn+1 αn2 βn ➂2 αn βn (1 + αn βn ), c3 , c4 số dương (có thể phụ thuộc vào z0 ) Bằng cách sử dụng Bổ đề 2.1 với an = n βn ) αn ➂2 ❸ α − α n n+1 αn βn (1 + αn βn ), cn = c4 βn2 + M αn2 βn bn = αn βn (1 − c3 ta điều cần chứng minh Nhận xét 2.2 (1) Các dãy βn = (1 + n)−1/2 αn = (1 + n)−p , < 2p < thỏa mãn điều kiện Định lý 2.4 (2) Một số trường hợp đặc biệt tính tốn phép chiếu: (i) Nếu C = {x ∈ H : ||x|| ≤ 1},     x, ||x|| ≤ PC (x) =    x/||x||, trường hợp khác (ii) Nếu C siêu phẳng, tức C = {x ∈ H : a, x = b} với a ∈ H\{0}, PC (x) = x − (( a, x − b)/||a||2 )a (iii) Nếu C nửa không gian, tức C = {x ∈ H : a, x ≤ b} với a ∈ H\{0} PC (x) = x − (( a, x − b)+ /||a||2 )a 32 2.3 Ví dụ số Ví dụ mục viết sở báo [11] Ta áp dụng kết thu để giải toán tối ưu lồi: Tìm phần tử x0 ∈ H cho ϕi (x0 ) = ϕi (x), x∈H i = 1, , N, (2.14) ϕi hàm lồi thường, nửa liên tục yếu không gian Hilbert thực H Ta xét trường hợp hàm ϕi : L2[0,1] → R ∪ {+∞} định nghĩa ϕi (x) = f ( Bi x, x ), i = 1, f : R → R chọn sau       0     (t , t ≤ b0 , − b0 )   2ν    ν    t − b − f (t) =  , b0 < t ≤ b0 + ν, , t > b0 + ν, ν > đủ nhỏ, Bi : L2[0,1] → L2[0,1] định nghĩa Bi x(t) = Ki (t, s)x(s)ds,     t(1 − s) t ≤ s,   s(1 − t) s < t, K1 (t, s) =   2   (1 − s) st            nếu t ≥ s, K2 (t, s) =  s2 (1 − s)(1             nếu t < s − (1 − s)2 t3 (1 + 2s) (t − s)3 + , 6 − t)2 s2 (1 − t)3 (2s − 3) (s − t)3 + + , 6 33 Khi x0 nghiệm tốn (2.14) x0 ∈ S với Ai (x) = f ( Bi x, x )Bj (x) Ta áp dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.2) sau zm+1 = zm − βm A˜1 zm + αm A˜2 zm + αm zm , z0 ∈ RM , (2.15) x) với A˜i (x) = f ( B˜i x˜, x˜ )B˜i (˜ B˜i = (lki (tk , tl ))M k,l=1 x˜ = (˜ x1 , , x˜M )T x˜k ∼ x(tk ), k = 1, , M, l = , βm = (1 + m)−1/2 , z0 = Chọn αm = (1 + m)−p , < p < T (5, 5, , 5) ∈ R M M 10−3 , ν = 10−2 ta kết b0 = m err ||x0 − zm || 32 0,00067782 0,0077909 64 5, 3403 × 10−5 0,0010353 128 2, 7676 × 10−6 8, 9792 × 10−5 256 8, 6222 × 10−8 4, 6576 × 10−6 Bảng 2.1: M = 50, p = m err ||x0 − zm || 32 0,00013731 0,001026 64 3, 7047 × 10−6 4, 379 × 10−5 128 3, 9267 × 10−8 7, 2603 × 10−7 256 1, 2199 × 10−10 3, 501 × 10−9 Bảng 2.2: M = 50, p = 18 (m−1) Trong bảng err = max |zk 1≤k≤N 34 (m) − zk | sai số KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết nghiên cứu Giáo sư Nguyễn Bường Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh Cụ thể: - Trình bày số khái niệm kết khơng gian Hilbert, khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc toán tử chiếu; - Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh Ai (x) = fi , i = 1, , N không gian Banach trường hợp tốn tử Ai cho xác cịn vế phải fi cho nhiễu; - Trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không phương pháp lặp không gian Hilbert giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu; - Trình bày ví dụ số minh họa hội tụ phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng giải hệ phương trình tốn tử Tác giả dịch tổng hợp kiến thức sở báo [5], [10] [11] để hoàn thành luận văn 35 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2005) [2] Y.I Alber, I.P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer Verlag (2006) [3] P.K Anh, Ng Buong, and D.V Hieu, Parallel meth- ods for regularizing systems of equations involving accretive operators, Appl Anal.: An International Journal, DOI: 10.1080/00036811.2013.872777 [4] A.B Bakushinsky, M.Y Kokurin, Iterative methods for approximate solution of inverse problems, Springer Verlag, Berlin (2004) [5] Ng Buong, Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372–378 (2006) [6] Ng Buong, Regularization extragradient method for Lipschitz continuous mappings and inverse strongly monotone mappings in Hilbert spaces, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 48(11) 1927–1935 (2008) [7] I Cioranescu, Geometry of Banach spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Springer (1990) 36 [8] S Kaczmarz, Approximate solution of systems of linear equations, Inter J Control, 57(6), 1269–1271 (1993) [9] E Resmerita, Regularization of ill-posed problems in Banach spaces: convergence rates, Inverse Problems, 21, 1303–1314 (2005) [10] Ng.T.T Thuy, Regularization for a system of inverse-strongly monotone operator equations, Nonlinear Funct Anal and Appl., 17(1), 71–87 (2012) [11] Ng.T.T Thuy, Numerical results in regularization for convex optimization problems, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 44(1), 53–60 (2008) 37 ... 1.3.1 Hệ phương trình tốn tử đơn điệu 13 1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu 14 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu 2.1 2.2 21 Phương pháp hiệu chỉnh. .. Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp phương pháp lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh (1.4) 20 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu. .. sử dụng phương pháp giải ổn định 1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu Trong mục này, ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt