Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THANH HUYỀN PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THANH HUYỀN PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 ✐✐✐ ▼ö❝ ❧ö❝ ỵ ữỡ Pữỡ tr➻♥❤ t♦→♥ tû tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✺ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✶ ổ ỗ trỡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✷ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✶ ❚♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✸✳✶ ❚♦→♥ tû J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 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❤➻♥❤ ❤â❛ t♦→♥ ❤å❝ ❜ð✐ Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, ✭✷✮ ð ✤➙② Ai : D(Ai ) ⊂ E → F ✈➔ D(Ai ) ỵ t♦→♥ tû Ai t÷ì♥❣ ù♥❣✱ i = 0, 1, , N ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✮✱ ♥â✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔♦ ❞ú ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ❉♦ ✤â✱ ♥❣÷í✐ t❛ ♣❤↔✐ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ê♥ ✤à♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ❝õ❛ ❞ú ❦✐➺♥ ✤➛✉ ✈➔♦ ❝➔♥❣ ♥❤ä t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♣❤↔✐ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ▼ët tr♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ❦❤→ rë♥❣ r➣✐ ✈➔ ❤✐➺✉ q✉↔ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣✳ ✸ ▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✭✷✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t♦→♥ tû A0 ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ h✲❧✐➯♥ tư❝ ✭❤❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✱ ❝á♥ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ i = 1, , N ❦❤→❝ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥❣÷đ❝ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ♣❤↔♥ ①↕ E tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✼❪ ✈➔ ❬✶✻❪ ❝æ♥❣ ❜è ♥➠♠ ✷✵✶✹ ✈➔ ✷✵✶✽✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû tr♦♥❣ ổ ợ t ổ ỗ trì♥✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ 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✷✳✶✳✸✱ ✷✳✷✳✸❪✮ ✭✐✮ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✱ n ≥ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ x n x i=1 ổ ỗ t ữủ 1/2 x2i = , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ✼ ✭✐✐✮ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✱ n ≥ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ x x 1 ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ = |x1 | + |x2 | + + |xn |, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ỗ t ổ lp Lp [a, b] ✈ỵ✐ < p < ∞ ❧➔ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ỗ ố P tr ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻ ✭①❡♠ ❬✶✸✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸❪✮ ⑩♥❤ ①↕ J s : E → 2E ✱ s > ∗ ✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ✤❛ trà✮ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ J s (x) = us ∈ E ∗ : x, us = x us , us = x s−1 , x∈E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ ❑❤✐ s = 2✱ →♥❤ J ữủ ỵ J ữủ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ E ✳ ❚ù❝ ❧➔ J(x) = u ∈ E ∗ : x, u = x u , u = x , x ∈ E ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✶✸✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✻✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✹ ❪✱ ❬✸✱ ❱➼ ❞ö ✷✳✹✳✶✶❪✮ ✭✐✮ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✈à I ✳ ✭✐✐✮ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp (1 < p < ∞) ✈➔ Lp [0, 1] (1 < p < ∞)✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ ∞ Jx = p−1 |xi | p ∀x = (xi )∞ i=1 ∈ l s❣♥ (xi ) i=1 ✈➔ Jx = |x|p−1 s❣♥ (x) ∀x ∈ Lp [0, 1], p−1 x ð ✤➙② s❣♥(x) ❧➔ ❤➔♠ ❞➜✉ ❝õ❛ x ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝✿    −1, ♥➳✉ x < 0,   s❣♥(x) = 1, ♥➳✉ x > 0,     0, ♥➳✉ x = ✷✾ ❉♦ ✤â N Ai (x∗n ) − Ai (x∗ ), J(x∗n − x∗ ) + αn x∗n , J(x∗n − x∗ ) = i=1 ❚ø (ii)✱ x∗n ≤ x∗ ✱ s✉② r❛ x∗n − x∗ ≤ x∗ ✳ ❙û ❞ư♥❣ t➼♥❤ J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤➲✉ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ Ai ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝✿ N ϕ(R, Ai (x∗n ) − Ai (x∗ ) ) ≤ −αn x∗n , J(x∗n − x∗ ) ≤ αn x∗n x∗n x∗ , i=1 tr♦♥❣ ✤â r ≥ x ✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❞➝♥ tỵ✐ ✤→♥❤ ❣✐→ ϕ(r, Ai (x∗n ) ) ≤ 6αn x∗ ❉♦ ✤â ∗ ) Ai (x∗n ) ≤ ϕ−1 r (6αn x ✷✳ ●✐↔ sû ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❇✶✮✲✭❇✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❚ø t➼♥❤ J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤➲✉ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ s✉② r❛ ❝❤ó♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ ❞♦ ✤â ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ▼➦t ❦❤→❝ Ai ✱ i = 1, 2, , N ✱ ❧➔ m✲J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✱ D(Ai ) = E ✱ E ỗ t ỵ tr t♦→♥ tû A = N i=1 Ai ❧➔ m✲J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✽ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✸✮✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ x∗n ❤ë✐ tư ♥❤❛♥❤ tợ x t ỏ ữủ ự ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü ♣❤➛♥ ✶✳ ✷✳✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ➞♥ ❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ➞♥ ✭■♠♣❧✐❝✐t P❛r❛❧❧❡❧ ■t❡r❛t✐✈❡ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞✮ ❣✐↔✐ ❤➺ ✭✷✳✶✶✮ ♥❤÷ s❛✉✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✷✳✷✳✹ ✭P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ➞♥✮ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ❚❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ✭❛✮ ●✐↔✐ N ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ Ai (xin ) + αn + γn xin = γn xn , N i = 1, 2, , N, ✭✷✳✶✹✮ tr♦♥❣ ✤â αn > ❧➔ t❤❛♠ sè ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➔ γn > ❧➔ t❤❛♠ sè s♦♥❣ s♦♥❣✳ ✸✵ ✭❜✮ ❳→❝ ✤à♥❤ ①➜♣ ①➾ t✐➳♣ t❤❡♦ ❧➔ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ xin xn+1 = N N xin , n = 0, 1, , x0 ∈ E ✭✷✳✶✺✮ i=1 ❚❤❡♦ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✽✱ ✷✳✷✳✸✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✹✮ ❧➔ ✤➦t ❝❤➾♥❤ ✈➔ ✤ë❝ ❧➟♣ t↕✐ ộ ữợ xin tỗ t t õ t ữủ t ỗ tớ tr ỷ ỵ s s rữợ t ú t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❞➣② {xn } s✐♥❤ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✹✮✱ ✭✷✳✶✺✮✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ◆➳✉ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❆✶✮✕✭❆✸✮ ❤♦➦❝ ✭❇✶✮✱ ✭❇✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥ t❤➻ ❞➣② {xn } s✐♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ✭✷✳✶✺✮ ự ỵ x ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✸✮ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✭✐✐✐✮✳ ❚❤❡♦ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✼✱ ✶✳✸✳✽✱ ữỡ tr õ t ỵ ❤✐➺✉ ❧➔ xin ✳ ●å✐ B[x∗ , r] ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ t➙♠ x∗ ✈➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ r✳ ❈❤å♥ r > ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦ ❝❤♦ r ≥ x∗ ✈➔ x0 ∈ B[x∗ , r]✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ xn ∈ B[x∗ , r] ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ x0 ∈ B[x∗ , r] ❣✐↔ sû xn ∈ B[x∗ , r] ✈ỵ✐ n ≥ ♥➔♦ ✤â✳ ❚ø ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ Ai (x∗ ) = 0✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝✿ Ai (xin ) − Ai (x∗ ) + αn αn + γn (xin − x∗ ) = γn (xn − x∗ ) − x∗ N N ❉♦ ✤â αn Ai (xin ) − Ai (x∗ ), J(xin − x∗ ) + ( + γn ) xin − x∗ , J(xin − x∗ ) N αn ∗ i ∗ i ∗ = γn xn − x , J(xn − x ) − x , J(xin − x∗ ) N ❱➻ t♦→♥ tû Ai ❧➔ J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➯♥ αn + γn N xin − x∗ ≤ xn − x∗ xin − x∗ + αn ∗ x N xin − x∗ , ❤❛② αn αn ∗ + γn xin − x∗ ≤ γn xn − x∗ + x N N ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ xn − x∗ ≤ r ✈➔ x∗ ≤ r✱ t❛ ✤÷đ❝✿ αn + γn N xin − x∗ ≤ γn r + αn αn r ≤ ( + γn )r N N ✸✶ ✣✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ xin − x∗ ≤ 2✳ ❉♦ ✤â✱ tø ✭✷✳✶✺✮ t❛ ❝â✿ xn+1 − x ∗ ≤ N N xin − x∗ ≤ r i=1 ❙✉② r❛ xn+1 ∈ B[x∗ , r]✳ ❚❤❡♦ q✉② ♥↕♣✱ xn ∈ B[x∗, r] ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✱ {xn } ỵ ❬✼❪✮ ●✐↔ sû ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❆✶✮✕✭❆✸✮ ❤♦➦❝ ✭❇✶✮✱ ✭❇✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❈❤♦ {αn } ✈➔ {γn } ❧➔ ❤❛✐ ❞➣② sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ (i) αn → 0✱ γn → +∞ ❦❤✐ n → +∞✳ (ii) (iii) γ|αn+1 − αn | → ❦❤✐ n → +∞✱ αn2 ∞ n=1 αn = +∞ γn hx (τn )ϕ−1 3R2 R (R1 αn ) → ❦❤✐ n → +∞✱ tr♦♥❣ ✤â R ≥ 2||x∗ ||✱ R1 = ✈➔ αn τn = γn−1 ϕ(s, t) ❜ù❝ t❤❡♦ ❜✐➳♥ t ❦❤✐ ❝è ✤à♥❤ s > 0✱ tù❝ ❧➔ t ϕ(s, t) → +∞ ❦❤✐ t → +∞✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xn } s✐♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ✭✷✳✶✺✮ ❤ë✐ t tö ♠↕♥❤ tỵ✐ x∗ ✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ❣✐↔ sû ❤➔♠ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●å✐ x∗n ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✭✷✳✶✸✮ ✣➦t ein = xin − x∗n , en = xn − x∗n , n = αn τn , N t❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✹✮ ♥❤÷ s❛✉ xin + τn Ai (xin ) + i n xn = xn , ❤❛② ein − en +τn Ai (xin ) − Ai (x∗n ) + n ein = −τn Ai (x∗n )− n x∗n , i = 1, 2, , N ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ t♦→♥ tû Ai ✱ t❛ ✤÷đ❝ ein − en , J ein +2 n ein ≤ −2 τn Ai (x∗n ) + ∗ n xn , J ❚ø ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ t❛ ❝â ein − en , J ein ≥ ein − en ein ✭✷✳✶✻✮ ✸✷ ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔ ✭✷✳✶✻✮✱ s✉② r❛ (1 + n ) ein − en ≤ −2τn Ai (x∗n ) + αn ∗ xn , J ein N , ❞♦ ✤â N N ein (1 + n ) − N en Ai (x∗n ) + ≤ −2τn i=1 i=1 αn ∗ xn , J ein N ú ỵ r xn ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✸✮✳ ❙û ❞ư♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ N − Ai (x∗n ) + αn ∗ xn , J ein N Ai (x∗n ) αn x∗n , J i=1 N =− N + (en ) i=1 i=1 N Ai (x∗n ) + ≤ i=1 N αn ∗ xn N ϕ−1 6αn xˆ∗ R ≤ Ai (x∗n ) + − + i=1 αn ∗ x , J ein − J (en ) N n J ein − J (en ) 2αn ∗ xˆ N ✭✷✳✶✽✮ J ein − J (en ) ❚❤❡♦ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸ ✈➔ ✷✳✷✳✺✱ ❝→❝ ❞➣② {x∗n }✱ {xn } ✈➔ xin ❜à ❝❤➦♥✱ ❞♦ ✤â ❝→❝ ❞➣② {en } ✈➔ {ein } ụ tự tỗ t sè ❞÷ì♥❣ C > s❛♦ ❝❤♦ en ≤ C, ein ≤ C, xin ≤ C ❚ø ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ J ein − J (en ) ≤ 8ChX 16L xin − xn C , ✭✷✳✶✾✮ tr♦♥❣ ✤â L ∈ (1, 1.7) ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❋✐❣✐❡❧✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ Ai (z) ≤ Ci < +∞ ✈ỵ✐ ♠å✐ ||z|| ≤ R0 := C + xˆ∗ ✈➔i = 1, 2, , N ❜➡♥❣ ♣❤↔♥ ự t sỷ ữủ tỗ t ởt ❞➣② {zn } s❛♦ ❝❤♦ ||zn || ≤ R0 ✈➔ Ai (zn ) → ∞ ❦❤✐ n → ∞ ❑❤✐ ✤â✱ ✤➦t tn := Ai (zn ) − Ai (0) ≥ Ai (zn ) − Ai (0) → ∞ ❦❤✐ n → ∞ ✸✸ ▼➦t ❦❤→❝ ϕ(R0 , tn ) = ϕ(R0 , Ai (zn ) − Ai (0) ) ≤ Ai (zn ) − Ai (0), J(zn − 0) ≤ Ai (zn ) − Ai (0) zn ≤ R0 tn , R0 , tn R0 , t ✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❜ù❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✳ ✣➦t tn t αn M = sup Ai (x) + x : x ≤ R0 , n = 1, 2, , i = 1, 2, N N ♥➯♥ R0 ≥ ❚ø ✭✷✳✶✹✮ s✉② r❛ Ai (xin ) + df racαn N xin = γn xn − xin , ❉♦ ✤â γn xn − xin ≤ Ai (xin ) + ❤❛② xn − xin ≤ i = 1, 2, , N αn i x ≤M N n M = M τn γn ❑➳t ủ ợ t tự ố ợ t ữủ ✭✷✳✷✵✮ J ein − J (en ) ≤ c2 hX (k0 τn ), tr♦♥❣ ✤â c2 = 8C, k0 = 16LM ✳ ❚ø ✭✷✳✶✽✮ ✈➔ ✭✷✳✷✵✮✱ t❛ ❝â C N Ai (x∗n ) + − i=1 αn ∗ xn , J ein N N c2 ϕ−1 6αn xˆ∗ R + ≤ 2αn ∗ 2αn ∗ xˆ + xˆ N N hX (k0 τn ) ✭✷✳✷✶✮ hX (k0 τn ) ✭✷✳✷✷✮ ❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✼✮ ✈➔ ✭✷✳✷✶✮✱ s✉② r❛ N ein (1 + n ) ≤ N en i=1 + 2N c2 τn ϕ−1 6αn xˆ∗ R + 2αn ∗ xˆ N ❚ø ✭✷✳✶✺✮✱ ❇ê ✤➲ ✭✷✳✷✳✸✮ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (a + b) ≤ (1 + n) a + b2 n ✱ t❛ ✸✹ t❤➜② r➡♥❣ en+1 = xn+1 − x∗n+1 2 xn+1 − x∗n + x∗n − x∗n+1 = ≤ x∗n xn+1 − N ≤ N ein + xˆ ∗ i=1  ein n) 2 + xˆ∗ + xˆ∗ N ein 2 αn+1 − αn || αn i=1 N αn+1 − αn || αn 1/2 N ≤ √ N ≤ (1 + + xˆ ∗ i=1 |αn+1 − αn |  αn αn+1 − αn || αn2 n ❉♦ ✤â✱ N en+1 (1 + n ) − 4N n αn+1 − αn αn n N xˆ ∗ ein ≤ ✭✷✳✷✸✮ i=1 ❚ø ✭✷✳✷✷✮ ✈➔ ✭✷✳✷✸✮ t❛ ✤÷đ❝ en+1 1+ n αn+1 − αn ≤ en + 4(1 + n ) n xˆ∗ 1+2 n αn n 2c2 (1 + n )τn 2αn ∗ ∗ ϕ−1 6α x ˆ xˆ hX (k0 τn ) + + n R 1+2 n N ✣➦t λn = en , pn = b1n b2n b3n n 1+2 ✭✷✳✷✹✮ ✈➔ bn = b1n + b2n + b3n ✱ tr♦♥❣ ✤â αn+1 − αn = xˆ∗ ; αn n n 2c2 (1 + n )τn −1 = ϕR 6αn xˆ∗ hX (k0 τn ); 1+2 n 4c2 (1 + n )τn αn ∗ xˆ hX (k0 τn ) = N (1 + n ) 4(1 + n) t ữợ ỡ n+1 ≤ (1 − pn )λ + bn ❘ã r➔♥❣ λn , bn ≤ 0✱ p ∈ (0, 1) ✈➔ pn → ❦❤✐ n → ∞✳ ❱➻ pn = n 1+2 ✈➔ n ✸✺ → ❦❤✐ n → ∞ ♥➯♥ pn = +∞ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ αn tữỡ ữỡ ợ tt = + n t❤✐➳t (ii)✱ bn1n → = 4(1 + pn n = +∞✳ ✣✐➲✉ ✤â αn+1 − αn n )(1 + n ) αn n xˆ∗ → ❦❤✐ n → ∞ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ b2n = 2c2 N (1 + pn n) 6αn xˆ∗ ϕ−1 R hX (k0 τn ) αn ❑❤✐ n → +∞✳ rữợ t t r tỗ t số ữỡ m n0 s ợ n n0 ✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â hX (k0 τn ) ≤ 5m hX (τn ) k0 ❚❤➟t ✈➟② t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶ ❬✶✹❪✱ t❛ ❝â ≤ lim+ sup τ →0 ρX (2τ ) ≤ ρX (τ ) ρX (2τ ) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ τ ≤ τ0 ❱➻ τn → ❦❤✐ ρX (τ ) n → +∞ tỗ t số n0 s k0 n τ0 ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ●✐↔ sû m õ tỗ t > s ởt số ữỡ ợ s 2m k0 ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ✱ t❛ ❝â k0 τn k0 τn ≤ 5ρ X 21 21 k0 τn k0 τn = 5ρX ≤ 52 ρX 22 k0 τn ≤ ≤ 5m ρ X m ρX (k0 n ) = X ứ t t ỗ ❤➔♠ ρX ✈➔ k0 ≤ 1✱ s✉② r❛ 2m ρX (k0 τn ) ≤ 5m ρX ❉♦ ✤â✱ k0 τn 2m ≤ 5m ρX (τn ) 5m ρX (τn ) 5m ρX (k0 τn ) hX (k0 τn ) = ≤ = hX (τn ) k0 τn k0 τn k0 ✸✻ ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐✱ ❤➔♠ ϕ−1 t➠♥❣ ✈➔ R := R ≥ xˆ∗ ✱ t❛ ✤÷đ❝ R 2c2 N 5m (1 + b2n ≤ pn −1 n )ϕR (R1 αn )hX (τn ) αn ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ✳ ●✐↔ t❤✐➳t (iii) ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ✈➻ E trì♥ ♥➯♥ b3n = 4c2 (1 + pn ❦❤✐ n → +∞✳ ❉♦ ✤â n) xˆ∗ b2n → ❦❤✐ n → +∞ pn hX (k0 τn ) → bn → ❦❤✐ n → +∞ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸ ✤↔♠ ❜↔♦ r➡♥❣ pn λn = en = xn − x∗n → 0(n → +∞) ▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✱ x∗n → x ˆ∗ (n → +∞)✱ ❞♦ ✤â x∗n − xˆ∗ ≤ xn − x∗n + x∗n − xˆ∗ → (n → +∞) ◆❤÷ ✈➟② ✤à♥❤ ỵ ữủ ự ữợ r tr ỵ tọ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✼ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ●✐↔ sû Ai ✱ i = 1, , N ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû c✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷đ❝ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❆✶✮✕✭❆✸✮ ✈➔ ✭❇✶✮✱ ✭❇✷✮ ✤➲✉ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ ϕ(s, t) = ct2 ♥➯♥ ❤➔♠ ϕ(s, t)/t = ct ❧➔ ❜ù❝✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ρE (t) = √ t2 + − ≤ t2 /2✳ ❉♦ 1/2 ✤â✱ tt (iii) ỵ tữỡ ữỡ ợ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ γn αn → +∞ ❦❤✐ n → +∞✳ ❈➦♣ t❤❛♠ sè αn = (n + 1)−p ✱ < p < 1/2 ✈➔ γn = (n + 1)1/2 tọ tt ỵ Pữỡ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❤✐➺♥ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❤✐➺♥ ✭❊①♣❧✐❝✐t P❛r❛❧❧❡❧ ■t❡r❛t✐✈❡ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞✮ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✶✮✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✷✳✷✳✽ ✭P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❤✐➺♥✮ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ x0 E ỗ tớ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ tr✉♥❣ ❣✐❛♥ zni ✱ i = 1, 2, , N ✱ zni = zn − αn αn Ai (zn ) + zn = zn − τn Ai (zn ) + zn γn N N ✭✷✳✷✺✮ ✭❜✮ ❳→❝ ✤à♥❤ ①➜♣ ①➾ t✐➳♣ t❤❡♦ zn+1 ❧➔ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ tr✉♥❣ ❣✐❛♥ zni zn+1 = N N zni , n = 1, 2, ✭✷✳✷✻✮ i=1 ϕ(s, t) t ❜ù❝ t❤❡♦ ❜✐➳♥ t ✈ỵ✐ s > ❝è ✤à♥❤✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❣✐↔ sû {αn } ✈➔ {γn } ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✾ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ●✐↔ sû ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❇✶✮✱ ✭❇✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ❤➔♠ sè ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✱ αn ≤ 1✱ γn ≥ ✈➔ τn ≤ d, ρX (τn ) ≤ d2 , τn αn ✭✷✳✷✼✮ tr♦♥❣ ✤â✱ τn := 1/γn ✈➔ d ∈ (0, 1) ❧➔ ♠ët sè ❝è ✤à♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ①✉➜t ♣❤→t tø ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý z0 ∈ X ✱ ❞➣② {zn } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✷✺✮✱ ✭✷✳✷✻✮ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➵ ❞➔♥❣ t❤➜② r➡♥❣ ❞➣② {zn } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✷✺✮ ✈➔ ✭✷✳✷✻✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ zn+1 = zn − tr♦♥❣ ✤â A(z) := N i=1 Ai (z)✳ {A(zn ) + αn zn }, N γn ✭✷✳✷✽✮ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ✱ i = 1, , N ✱ ❧✐➯♥ tư❝✱ m✲J ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ϕ✲✤➲✉ ♥❣÷đ❝✳ ỡ ỳ t ự ỵ Ai ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ ♠é✐ i✱ ❞♦ ✤â✱ t♦→♥ tû A : D(A) = X → X ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✱ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ m − J−✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ữỡ tr A(z) = tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr ỵ {zn } ỵ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✾ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❈❤♦ ❝→❝ ❞➣② sè ❞÷ì♥❣ αn → 0✱ τn := 1/γn → ❦❤✐ n → +∞ s❛♦ ❝❤♦ ∞ αn τn = +∞, i=1 τn → 0, αn |αn − αn+1 | → 0, τn αn2 ρX (τn ) → τn αn ✭✷✳✷✾✮ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {zn } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✷✺✮ ✈➔ ✭✷✳✷✻✮ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ xˆ∗ ❦❤✐ n → ∞✳ ✸✽ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●å✐ x∗n ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✭✷✳✶✸✮✳ ❚ø ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✱ s✉② r❛ ❞➣② {xn } õ tỗ t số d˜ > s❛♦ ❝❤♦ ˜ x∗n − x∗n+1 ≤ d ❚ø ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ t❛ ❝â zni − x∗n+1 ≤ zni − x∗n + x∗n+1 − x∗n , J(x∗n − zni ) + x∗n+1 − x∗n , J(x∗n+1 − zni ) − J(x∗n − zni ) ✭✷✳✸✵✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✶✱ t❛ ✤÷đ❝ zni − x∗n+1 ≤ zni − x∗n + zni − x∗n x∗n+1 − x∗n + 16 x∗n+1 − x∗n + c1 (n)ρX ( x∗n+1 − x∗n ), ✭✷✳✸✶✮ ∗ tr♦♥❣ ✤â c1 (n) = max{2L, zni − zn+1 + zni − zn∗ }✳ ❉ò♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✾ ✈➔ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû Ai ✱ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ ❞➣② {zni } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✱ õ tỗ t số ữỡ c1 k0 s❛♦ ❝❤♦ c1 (n) ≤ c1 ✈➔ zni − x∗n k0 ợ n ú ỵ r ♥➳✉ H ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ t❤➻ ✈ỵ✐ ♠å✐ < τ < τˆ ρX (τ ) ≥ ρH (τ ) = ✭✷✳✸✷✮ + τ − ≥ cˆτ , √ tr♦♥❣ ✤â cˆ = ( + τˆ2 + 1)−1 ✳ ❇➙② ❣✐í✱ ❧➜② tê♥❣ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✷✳✸✶✮ ✈ỵ✐ i = 1, , N ✱ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✷✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✷✮ ✈ỵ✐ τˆ := d˜ ≥ τ := x∗n+1 − x∗n ✱ t❛ ✤÷đ❝ N N zni − x∗n+1 i=1 zni − x∗n +4N k0 ≤ i=1 |αn+1 − αn | ∗ xˆ αn +N (16ˆ c−1 + c1 )ρX |αn+1 − αn | ∗ xˆ αn ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ✈➔ ❝❤ó þ r➡♥❣ ρX (τ ) ≤ τ ✱ t❛ ✤÷đ❝ N N zni − i=1 x∗n+1 zni − x∗n ≤ i=1 + c3 |αn+1 − αn | , αn ✭✷✳✸✸✮ tr♦♥❣ ✤â c3 = 2N x ˆ∗ (2k0 + 16 c1 + c1 ) t t ữợ ❧÷đ♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ N i=1 zni − x∗n ✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✵ ✈➔ ✸✾ ✭✷✳✷✺✮✱ t❛ ❝â zni − x∗n αn zn N αn ≤ zn − x∗n − 2τn Ai (zn ) + zn , J(zn − x∗n ) N ∗ + zni − zn , J(zni − xn ) − J(zn − x∗n ) = zn − x∗n − τn Ai (zn ) + ◆❣♦➔✐ r❛ ✭✷✳✸✹✮ αn zn ≤ M τn , ✭✷✳✸✺✮ N : i = 1, 2, , N ; n = 1, 2, }✳ ❙û ❞ö♥❣ zni − zn = τn Ai (zn ) + tr♦♥❣ ✤â M = sup{ Ai (zn ) + αn N zn ✭✷✳✸✺✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✶✱ t❛ ✤÷đ❝ zni − zn , J(zni − zn∗ ) − J(zn − x∗n ) ≤ 8M τn2 + c2 (n)ρX (M τn ), tr♦♥❣ ✤â c2 (n) = max{2L, zni − x∗n + zn − x∗n } c2 ú ỵ r {zni } {zn } ✈➔ {x∗n } ❜à ❝❤➦♥✳ ❉♦ ✤â zni − zn , J(zni − x∗n ) − J(zn − x∗n ) ≤ 8M τn2 + c2 ρX (M τn ) ✭✷✳✸✻✮ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ ❝→❝ t♦→♥ tû Ai ❧➔ J−✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ x∗n ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✷✷✮✱ t❛ ❝â N i=1 αn Ai (zn ) + zn , J(zn − x∗n ) = N N Ai (zn ) − Ai (x∗n ), J(zn − x∗n ) i=1 N Ai (x∗n ) + αn x∗n , J(zn − x∗n ) + + αn zn − x∗n i=1 ≥ αn zn − x∗n ✭✷✳✸✼✮ ❚✐➳♣ tö❝ ❧➜② tờ ữỡ tr ợ i = 1, 2, , N ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✭✷✳✸✻✮✱ ✭✷✳✸✼✮✱ t❛ ✤÷đ❝ N zni −x∗n ≤ N zn −x∗n −2τn αn zn −x∗n +16N M τn2 +2N c2 ρX (M τn ) i=1 ú ỵ r zn+1 x2n+1 N N zni − i=1 x∗n+1 ≤ N N zni − x∗n+1 ✭✷✳✸✾✮ i=1 ✹✵ ❚ø ✭✷✳✸✸✮✱ ✭✷✳✸✽✮✱ ✭✷✳✸✾✮✱ t❛ ✤÷đ❝ zn+1 − x∗n+1 ≤ zn − x∗n − 2τn αn zn − x∗n N + 16M τn2 + 2c2 ρX (M τn ) + c3 |αn+1 − αn | αn ✭✷✳✹✵✮ 2τn αn ✱ bn = 16M τn2 + 2c2 ρX (M τn ) + c3 + N |αn+1 − αn | ✱ t❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ✭✷✳✹✵✮ ♥❤÷ s❛✉ αn ✣➦t λn = zn − x∗n ✱ pn = λn+1 ≤ (1 − pn )λn + bn tữỡ tỹ tr ự ỵ ✷✳✷✳✻✱ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n0 ✈➔ m s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ✱ ρX (M τn ) ≤ 5m ρX (τn )✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✸ ✈➔ ✭✷✳✷✾✮✱ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ r➡♥❣ λn = zn − x∗n → ❦❤✐ n → +∞✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✸✱ s✉② r❛ zn − xˆ∗ ≤ zn − x∗n + x∗n − xˆ∗ → ❉♦ ✤â✱ ❞➣② {zn } ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ x ỵ ữủ ự ①➨t ✷✳✷✳✶✶ ❈→❝ ❞➣② t❤❛♠ sè {αn } ✈➔ {γn } tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✼ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ỵ t t ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛✲ ♥❛❝❤✳ ❈ư t❤➸✿ ✭✶✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ✈➼ ❞ư ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ✈➼ ❞ư ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✭✷✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ sü ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ✭✸✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ➞♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❧➦♣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❤✐➺♥ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ũ ỵ tử ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ P❤↕♠ ❑ý ❆♥❤✱ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö② ✭✷✵✵✸✮✱ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❘✳P✳ ❆❣❛r✇❛❧✱ ❉✳ ❖✬❘❡❣❛♥✱ ❉✳❘✳ ❙❛❤✉ ✭✷✵✵✾✮✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❢♦r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥✲t②♣❡ ▼❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❬✹❪ ❨✳■✳ ❆❧❜❡r✱ ❈✳❊✳ ❈❤✐❞✉♠❡✱ ❍✳ ❩❡❣❡②❡ ✭✷✵✵✺✮✱ ✧❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲ ❧✐♥❡❛r ✐❧❧♣♦s❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✷✵✵✺✭✶✮✱ ✶✶✕✸✸✳ ❬✺❪ ❨✳■✳ ❆❧❜❡r✱ ■✳P✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ✭✷✵✵✻✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ■❧❧✲♣♦s❡❞ Pr♦❜❧❡♠s ♦❢ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❚②♣❡✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✻❪ P✳❑✳ ❆♥❤✱ ❈✳❱✳ ❈❤✉♥❣ ✭✷✵✶✶✮✱ ✧P❛r❛❧❧❡❧ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s✧✱ ◆✉♠❡r✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ✺✽✭✸✮✱ ✸✼✾✕✸✾✽✳ ❬✼❪ P✳❑✳ ❆♥❤✱ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣✱ ❉✳❱✳ ❍✐❡✉ ✭✷✵✶✹✮✱ ✧P❛r❛❧❧❡❧ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r r❡❣✉❧❛r✲ ✐③✐♥❣ s②st❡♠s ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❆♣♣❧✳ ❆♥❛❧✳✱ 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✭❞❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ t↕✐ x0 ∈ D(A) ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ D(A) ✈➔ xn → x ❦❤✐ n → ∞ t❤➻ A(xn ) A(x) ❦❤✐ n tử st tr D(A) tỗ t↕✐ ❤➡♥❣ sè L ≥ s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A) t❛ ❝â A(x) − A(y) ≤ L x − y ; ✭✈✮