Về toán tử tựa không giãn với bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XN THÙY VỀ TỐN TỬ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XN THÙY VỀ TỐN TỬ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội hướng dẫn Thầy giáo GS TSKH Lê Dũng Mưu Sự định hướng Thầy nghiên cứu, tận tình Thầy học tập hết tình yêu thương Thầy dành cho em sống, thứ quý giá mà em may mắn có Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến với Thầy Em xin bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Khoa Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học tạo hội cho em làm luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội nhiệt tình giảng dạy em suốt năm học vừa qua Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong ý kiến đóng góp từ Thầy, Cơ giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2017 Nguyễn Xuân Thùy Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, hàm lồi nón pháp tuyến 1.2 Hàm nửa liên tục 12 1.3 Hàm khả vi phân 13 1.4 Tính đơn điệu kiểu-Lipschitz cho song hàm 16 1.5 Toán tử chiếu bất đẳng thức biến phân 18 1.6 Dãy hội tụ yếu, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa-khơng giãn 22 ÁNH XẠ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 26 2.1 Định nghĩa ánh xạ tựa-không giãn tập lồi 26 2.2 Ánh xạ tựa-khơng giãn ΦF với tốn V IP (C, F ) 27 VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ 35 3.1 Định nghĩa ánh xạ 35 3.2 Tính chất ánh xạ 36 KẾT LUẬN 46 Tài liệu tham khảo 47 LỜI MỞ ĐẦU Cho H khơng gian Hilbert thực với tích chuẩn ký hiệu ·, · · Gọi C tập lồi, đóng khác rỗng H Một ánh xạ T : C −→ C gọi không giãn C , T (x) − T (y) ≤ x − y với x, y ∈ C Ánh xạ T gọi tựa-không giãn ([1]) C T (x) − p ≤ x − p với x ∈ C với điểm bất động p T T có điểm bất động Rõ ràng, với ánh xạ (toán tử) khơng giãn có điểm bất động tựa-khơng giãn, điều ngược lại không Các ánh xạ tựa-không giãn nghiên cứu nhiều tác giả số phương pháp nghiệm số tốn đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ tựa-không giãn phát triển tài liệu chuyên khảo [4] báo [1, 6, 8, 13, 16] Nói chung, cách tiếp cận dựa điểm bất động ánh xạ không giãn không giãn suy rộng sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Trong [5], Combettes cộng giới thiệu ánh xạ khơng giãn Pf , gọi tốn tử xấp xỉ, xác định bởi, với x ∈ H, y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C}, r r > f : C × C −→ R Với giả thiết f đơn Pf (x) := {z ∈ C : f (z, y) + điệu, nửa liên tục dưới, lồi C đối số thứ hai nửa liên tục (hemicontinuous) C đối số thứ nhất, họ chứng minh Pf đơn trị, khơng giãn C Hơn nữa, nhóm tác giả tập điểm bất động Pf trùng với tập nghiệm toán cân Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C EP (C, f ) MỤC LỤC Liên quan đến toán EP (C, f ), có cơng thức đơn giản, bao hàm nhiều tốn tối ưu hóa, điểm bất động Kakutani, mơ hình cân Nash bất đẳng thức biến phân, xem trường hợp đặc biệt (xem [2, 3, 14]) Toán tử xấp xỉ Pf trở thành công cụ hữu hiệu cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu, toán cân số chủ đề có liên quan Tuy nhiên, nói chung song hàm giả đơn điệu, tốn tử khơng khơng giãn, chí giá trị khơng lồi Luận văn nghiên cứu ánh xạ tựa-khơng giãn với tốn bất đẳng thức biến phân dựa báo [18] Với nội dung nghiên cứu này, phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Kết tập trung Chương Chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn phần đầu trình bày kiến thức cần thiết giải tích lồi giải tích hàm để sử dụng cho chương tập lồi, hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hàm khả vi phân, vv Phần tiếp theo, luận văn trình bày khái niệm tính đơn điệu, kiểu-Lipschitz cho song hàm, toán tử chiếu, bất đẳng thức biến phân, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa-không giãn không gian Hilbert thực Chương Ánh xạ tựa-khơng giãn với điều kiện Lipschitz tốn bất đẳng thức biến phân Trong chương này, ta định nghĩa ánh xạ tựa-không giãn (được ký hiệu ΦF ) với ánh xạ thỏa mãn điều kiện Lipschitz Sau đó, ta xét trường hợp đặc biệt ΦF xảy bất đẳng thức biến phân song hàm f (x, y) := F (x), y − x ánh xạ ΦF xác định ΦF (x) = PC (x − λF (PC (x − λF (x)))) Qua đó, ta nghiên cứu số tính chất liên quan đến tập điểm bất động tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân MỤC LỤC Chương Về ánh xạ tựa-không giãn không điều kiện Lipschitz Trong chương này, nghiên cứu ánh xạ tựa-không giãn LFω mà khơng địi hỏi điều kiện Lipschitz ánh xạ F Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết giải tích lồi giải tích hàm nhằm phục vụ cho Chương Chương Tài liệu tham khảo cho chương [1], [5], [18], [22] [23] 1.1 Tập lồi, hàm lồi nón pháp tuyến Trong phần này, ta ký hiệu Rn không gian Euclide n-chiều trường số thực R Mỗi véc tơ x ∈ Rn gồm n tọa độ số thực Với hai véc tơ x = (x1 , , xn )T y = (y1 , , yn )T thuộc Rn , ta nhắc lại n x, y := xk yk k=1 gọi tích vơ hướng hai véc tơ x y Chuẩn Euclide phần tử x khoảng cách Euclide hai phần tử x y định nghĩa sau: x, x , x := d(x, y) := x − y Ký hiệu R := [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc tơ) a, b Rn tập hợp tất véc tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm a, b Rn tập hợp tất véc tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C Định nghĩa 1.1.1 chứa đoạn thẳng qua hai điểm Nói khác đi, tập C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta gọi x tổ hợp lồi điểm (véc tơ) x1 , x2 , , xk k k x= λj x j với λj > 0; ∀j = 1, , k; j=1 Ví dụ 1.1.2 λj = j=1 Một số ví dụ tập lồi (1) Tập rỗng ∅ Rn tập lồi Rn (2) Tập Ω = {x ∈ Rn | x ≤ 1} tập lồi Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.3 Cho A, B tập lồi Rn C tập lồi Rm Khi đó, tập sau lồi: A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}; αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B; α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong bất đẳng thức biến phân, tối ưu hoá, lý thuyết trị chơi nhiều chun ngành tốn ứng dụng khác, khái niệm nón có vai trị quan trọng Cho C tập Rn Định nghĩa 1.1.4 Tập C gọi nón (1) ∀λ > 0, ∀x ∈ C =⇒ λx ∈ C (2) Một nón C gọi nón lồi C đồng thời tập lồi (3) Một nón lồi gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng Khi đó, ta nói O đỉnh nón Nếu nón lồi lại tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Ví dụ 1.1.5 Một ví dụ điển hình nón lồi đa diện, thường sử dụng, tập hợp nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính có dạng: {x|Ax ≥ 0}, với A ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng số cột hữu hạn) Mệnh đề 1.1.6 Một tập C nón lồi có tính chất sau: (1) λC ⊆ C, (2) C + C ⊆ C với λ > 0; Giả sử C nón lồi Do C nón, nên ta có (1) Từ C tập lồi, nên với x, y ∈ C , (x + y) ∈ C Vậy theo (1) ta có x + y ∈ C Chứng minh Ngược lại, giả sử ta có (1) (2) Từ (1) suy C nón Giả sử x, y ∈ C λ ∈ [0, 1] Từ (1) suy λx ∈ C (1 − λ)y ∈ C Theo (2) ... song hàm, toán tử chiếu, bất đẳng thức biến phân, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa- không giãn không gian Hilbert thực Chương Ánh xạ tựa- không giãn với điều kiện Lipschitz toán bất đẳng thức biến phân Trong... 1.5 Toán tử chiếu bất đẳng thức biến phân 18 1.6 Dãy hội tụ yếu, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa- khơng giãn 22 ÁNH XẠ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN... − p ≤ x − p với x ∈ C với điểm bất động p T T có điểm bất động Rõ ràng, với ánh xạ (tốn tử) khơng giãn có điểm bất động tựa- không giãn, điều ngược lại không Các ánh xạ tựa- không giãn nghiên cứu