Một phương pháp định nghĩa một độ đo

2 Độ đo trên các không gian compact địa phương

2.1.4 Một phương pháp định nghĩa một độ đo

2.1.4.1. Giả sử H là một tập đầy đủ (total) trong E, tức là H là một tập mà không gian vectơ con V sinh bởi H trù mật khắp nơi trong C(E); nói một cách khác, điều đó có nghĩa là mọi hàm số f liên tục trong E có thể xấp xỉ đều bởi các tổ hợp tuyến tính (với hệ số thực) của các hàm thuộc H. Để một phiếm

hàm tuyến tính λ định nghĩa trong V được thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C(E), nghĩa là trở thành một độ đo trên E, cần và đủ là nó phải liên tục trong V, và thác triển của nó lên C(E) khi đó sẽ duy nhất. Trường hợp riêng:

2.1.4.2. Mệnh đề

Giả sử H là một tập hợp đầy đủ trong không gian Banach C(E); nếu µ và ν là hai độ đo trên E sao cho µ(f) = ν(f), ∀f ∈H, thì khi đó µ =ν.

2.1.4.3. Hệ quả

Để một độ đo µ trên E là độ đo không, cần và đủ là ^R f dµ= 0 với mọi hàm f thuộc một tập đầy đủ trong C(E).

Ví dụ: Cho E = [0,1]; các hàm xⁿ, n∈ _N, lập thành một tập đầy đủ trong C(E), theo định lý Weierstrass-Stone. Từ đó suy ra có nhiều nhất một độ đo µ

trên E để các số c_n = ^R xⁿdµ(x) nhận các giá trị cho trước. Các số này gọi là các moment của độ đo µ. Bài toán tìm các điều kiện mà một dãy số thực (c_n)

cần thỏa mãn để trở thành các moment của một độ đo trên E gọi là "bài toán moment".

2.1.4.4. Mệnh đề

Giả sử V là một không gian vectơ con trù mật khắp nơi trong C(E); giả sử µ là một phiếm hàm tuyến tính định nghĩa trong V và µ(f) ≥ 0 với mọi hàm f ≥ 0, f ∈ V. Khi đó µ có thể thác triển một cách duy nhất thành một độ đo trên E và độ đo này dương.

Chứng minh (xem [7]) gồm hai bước: đầu tiên chứng minh rằng µ liên tục trong V suy ra µ thác triển được, thành một độ đo duy nhất trên E. Bước 2 chứng minh các độ đo thác triển nhận được là dương.